Pentru care dintre integralele de mai jos se potrivește integrarea prin părți?

$$\displaystyle\int_0^{\pi/3}(x+4)\sin x\,dx$$

$$\displaystyle\int_0^2 x\big(x^{2}+19\big)^{4}\,dx$$

$$\displaystyle\int_1^4\left(x^{3}+\dfrac{5}{x}\right)dx$$

$$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos x\,\sin^{5}x\,dx$$

Ce metodă cere integrala lui 2x/(x²+1)?

Numărătorul este chiar derivata numitorului, deci substituția t=x²+1 duce la ∫ dt/t. Pe [0,1] limitele devin 1 și 2, iar rezultatul este ln2. Nu e nevoie de părți.

Ce metodă cere integrala lui cos xsin⁴x?

Substituția t=sin x, fiindcă cos x este derivata sinusului. Pe [0, π/2] limitele devin 0 și 1, iar integrala este ∫₀¹t⁴ dt= 1/5. Puterea sinusului nu contează: cât timp cos x apare alături, substituția funcționează.

Ce fac cu (x²+1)/x înainte de a alege metoda?

Rescrii fracția ca x+ 1/x: fiecare bucată e un rând din tabel, deci nu trebuie nici părți, nici substituție. Pe [1,2] integrala este (4-1)/2+ln2= 3/2+ln2. Pasul acesta de rescriere vine înaintea oricărei alegeri de metodă.

Ce metodă cere integrala lui x²e^(x³)?

Substituția t=x³, pentru că x² este, până la factorul 3, derivata lui x³. Cu x² dx= dt/3 și limitele 0 și 1, ∫₀¹x²e^(x³) dx= (e-1)/3. Factorul 1/3 compensează coeficientul care apare la derivarea lui x³.

Când folosesc părțile și când substituția?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Alegerea metodei

Substituția se potrivește când lângă o expresie apare derivata ei, eventual cu un factor numeric. Părțile se potrivesc când integrandul este produsul a doi factori de feluri diferite, fără ca unul să fie derivata celuilalt. Exemplu: $\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$ cere substituția $t = x^{2}$ , fiindcă $x$ e jumătate din derivata lui $x^{2}$ , și dă $\frac{e - 1}{2}$ . În schimb, $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ cere părțile și dă $1$ .

Ultima lecție a capitolului nu adaugă formule, ci criteriul care hotărăște primele clipe ale rezolvării. Drumurile disponibile la profilul acesta sunt numai trei și nu se mai adaugă niciunul: citirea directă din tabel, sprijinită de liniaritate; substituția; părțile. Înaintea lor stă o mișcare care nu se numără printre tehnici — lămurirea expresiei: intervalul, despărțirea adunărilor, rescrierea.

Semnalele. Drumul dintâi se recunoaște când fiecare bucată rămasă e un rând al tabelului. Al doilea, când lângă o expresie împachetată într-o funcție uzuală se vede derivata ei, purtând cel mult un coeficient numeric. Al treilea, când integrandul e o înmulțire între doi factori de feluri deosebite și niciunul nu e derivata celuilalt.

Ordinea întrebărilor se explică prin preț. Prima costă trei secunde; a doua cere o derivată calculată din minte; a treia cere o hotărâre asupra rolurilor, o egalitate cu doi termeni și încă o integrală. O înmulțire nu duce automat la părți, iar o paranteză nu duce automat la substituție.

Când merg amândouă, valoarea iese aceeași: se ia varianta scurtă, cealaltă rămânând verificare. Drumul înfundat se abandonează revenind la cerință, nu la rândul precedent. Fracțiile de polinoame fără simplificare, al căror numărător nu e derivata numitorului, nu au drum aici: ele se descompun, la suplimentul de mai târziu.

De reținut

întâi rescrierea și tabelul, apoi substituția, apoi părțile
substituție: derivata expresiei dinăuntru stă alături
părți: produs de două feluri diferite, fără derivată alături

Greșeala tipică

Se aplică părțile la $x e^{x^{2}}$ ; aici $x$ este, până la un factor, derivata lui $x^{2}$ , deci substituția $t = x^{2}$ închide calculul imediat.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $\int_{1}^{3} (2 x^{3} - \frac{4}{x}) d x$ ?
- a) $40 - 4 ln 3$
- b) $40 + 4 ln 3$
- c) $\frac{81}{2} - 4 ln 3$
- d) $\frac{160}{3} - 4 ln 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $40 - 4 ln 3$

Ramura întâi: două rânduri de tabel, despărțite de liniaritate. O primitivă este $\frac{x ^{4}}{2} - 4 ln x$ , deci integrala este $(\frac{81}{2} - 4 ln 3) - \frac{1}{2} = 40 - 4 ln 3$ . Varianta b) pierde semnul minus, c) sare peste valoarea din capătul de jos, iar d) folosește $\frac{2 x ^{4}}{3}$ ca primitivă a lui $2 x^{3}$ .
Cât este $\int_{0}^{2} \frac{2 x + 6}{x ^{2} + 6 x + 9} d x$ ?
- a) $ln \frac{9}{25}$
- b) $\frac{1}{2} ln \frac{25}{9}$
- c) $ln \frac{25}{9}$
- d) $\frac{16}{225}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $ln \frac{25}{9}$

Ramura a doua: numărătorul este chiar derivata numitorului, fiindcă $(x^{2} + 6 x + 9)^{'} = 2 x + 6$ , deci nu e nimic de reparat. Cu $t = x^{2} + 6 x + 9$ limitele devin $9$ și $25$ , iar integrala este $ln \frac{25}{9}$ ; numitorul este strict pozitiv pe $[0, 2]$ , deci logaritmul se scrie fără modul. Varianta a) inversează capetele, b) scoate un factor $\frac{1}{2}$ inexistent, iar d) folosește rândul lui $\frac{1}{t ^{2}}$ .
Pentru care dintre integralele de mai jos se potrivește integrarea prin părți?
- a) $\int_{0}^{2} x (x^{2} + 19)^{4} d x$
- b) $\int_{0}^{π /3} (x + 4) sin x d x$
- c) $\int_{1}^{4} (x^{3} + \frac{5}{x}) d x$
- d) $\int_{0}^{π /4} cos x sin^{5} x d x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\int_{0}^{π /3} (x + 4) sin x d x$

La b) integrandul este un produs între un polinom de gradul întâi și o funcție trigonometrică, iar derivata niciunuia dintre factori nu apare alături de celălalt: ramura a treia. La a) lângă paranteză stă un $x$ singur, adică jumătate din derivata lui $x^{2} + 19$ , iar la d) stă $cos x$ lângă o expresie scrisă cu $sin x$ — amândouă sunt substituții. La c) fiecare bucată este un rând de tabel.

Întrebări conexe

Ce metodă cere integrala lui $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ?

Numărătorul este chiar derivata numitorului, deci substituția $t = x^{2} + 1$ duce la $\int \frac{d t}{t}$ . Pe $[0, 1]$ limitele devin $1$ și $2$ , iar rezultatul este $ln 2$ . Nu e nevoie de părți.

Ce metodă cere integrala lui $x cos x$ ?

Integrarea prin părți: $x$ și $cos x$ sunt de feluri diferite, iar niciunul nu e derivata celuilalt. Derivând $x$ , pe $[0, π]$ se obține $x sin x_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin x d x = 0 - 2 = - 2$ . Dacă ai integra $x$ și ai deriva cosinusul, polinomul ar crește în grad.

Ce metodă cere integrala lui $cos x sin^{4} x$ ?

Substituția $t = sin x$ , fiindcă $cos x$ este derivata sinusului. Pe $[0, \frac{π}{2}]$ limitele devin $0$ și $1$ , iar integrala este $\int_{0}^{1} t^{4} d t = \frac{1}{5}$ . Puterea sinusului nu contează: cât timp $cos x$ apare alături, substituția funcționează.

Ce fac cu $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ înainte de a alege metoda?

Rescrii fracția ca $x + \frac{1}{x}$ : fiecare bucată e un rând din tabel, deci nu trebuie nici părți, nici substituție. Pe $[1, 2]$ integrala este $\frac{4 - 1}{2} + ln 2 = \frac{3}{2} + ln 2$ . Pasul acesta de rescriere vine înaintea oricărei alegeri de metodă.

Ce metodă cere integrala lui $x^{2} e^{x^{3}}$ ?

Substituția $t = x^{3}$ , pentru că $x^{2}$ este, până la factorul $3$ , derivata lui $x^{3}$ . Cu $x^{2} d x = \frac{d t}{3}$ și limitele $0$ și $1$ , $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x^{3}} d x = \frac{e - 1}{3}$ . Factorul $\frac{1}{3}$ compensează coeficientul care apare la derivarea lui $x^{3}$ .

Oamenii mai întreabă și: părți sau substituție · când aplic integrarea prin părți · diferența dintre părți și schimbare de variabilă · ce metodă aleg la o integrală cu produs

Când folosesc părțile și când substituția?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce metodă cere integrala lui x2+12x​?

Ce metodă cere integrala lui xcosx?

Ce metodă cere integrala lui cosxsin4x?

Ce fac cu xx2+1​ înainte de a alege metoda?

Ce metodă cere integrala lui x2ex3?

Continuă cu

Ce metodă cere integrala lui $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ?

Ce metodă cere integrala lui $x cos x$ ?

Ce metodă cere integrala lui $cos x sin^{4} x$ ?

Ce fac cu $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ înainte de a alege metoda?

Ce metodă cere integrala lui $x^{2} e^{x^{3}}$ ?