Cum alegi metoda de calcul al unei integrale (M2, științe ale naturii)

La clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), capitolul integralei definite se încheie cu o lecție care nu aduce nicio formulă nouă. Aduce altceva, la fel de important pentru bacalaureatul M2: criteriul de alegere. În fiecare lecție de până acum metoda îți era spusă de titlu, așa că părea evidentă. La Subiectul al III-lea nimeni nu ți-o mai spune — primești o integrală și atât, iar primele zece secunde, cele în care hotărăști pe ce drum intri, valorează cât următoarele zece minute.

Vestea bună e că drumurile sunt puține. La acest profil ai exact trei: citești rezultatul din tabel, faci o schimbare de variabilă sau integrezi prin părți. Nu există a patra. Lecția de față arată după ce semn se recunoaște fiecare, în ce ordine se pun întrebările și, mai ales, ce se întâmplă când două drumuri par deopotrivă posibile.

Ce vei învăța

• Vei ști să numești, pentru orice integrală din programa ta, pe care dintre cele trei ramuri intri.
• Vei ști semnul fiecărei ramuri, adică amănuntul din integrand care hotărăște tabelul, substituția sau părțile.
• Vei ști de ce întrebările se pun în ordinea aceasta și ce te costă dacă le pui invers.
• Vei ști ce faci când două ramuri par posibile deodată și de ce răspunsul iese același.
• Vei ști să recunoști integralele care nu au ramură în programa ta și unde se studiază ele.
• Vei ști să alegi metoda într-un model din fizică, cu unitate de măsură la rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt cele trei ramuri?

Arborele de decizie este, la profilul științe ale naturii, mulțimea celor trei drumuri pe care poate merge calculul unei integrale definite — tabelul, schimbarea de variabilă și integrarea prin părți — împreună cu semnul care îl deosebește pe fiecare. A alege metoda înseamnă a spune pe care dintre cele trei intri, iar asta se hotărăște privind integrandul, nu încercând pe rând.

Mai există un gest, anterior arborelui, pe care l-ai învățat deja și care nu se numără printre metode: citirea expresiei. Ordinea gesturilor de citire — intervalul, liniaritatea, rescrierea, rândul de tabel — e chiar lecția Primitive: cum recunoști funcția la examen, iar ea rămâne valabilă întocmai. Ce se adaugă acum e că, după rescriere, integrandul poate cădea nu doar în tabel, ci și pe una dintre celelalte două ramuri.

Un cuvânt despre ce înseamnă „alegi bine". Nu înseamnă „alegi singura metodă care merge": vom vedea integrale care se lasă calculate pe două drumuri, cu același rezultat. Înseamnă „alegi drumul scurt", iar la o probă de trei ore deosebirea dintre un drum de trei rânduri și unul de o pagină e chiar deosebirea dintre a termina și a nu termina.

2. Ce rezolvă singură liniaritatea?

Prima ramură — semnul: după ce ai desfăcut sumele și ai scos constantele, fiecare bucată a integrandului este unul dintre cele paisprezece rânduri ale tabelului construit în lecțiile Tabelul primitivelor: puteri și radicali, Primitive cu exponențială și logaritm și Primitive trigonometrice și cu arctangentă.

E ramura cea mai ieftină și de aceea se cercetează prima. Pe ea lucrează liniaritatea integralei definite, fixată la Liniaritate, monotonie, aditivitate la integrală: integrala unei sume se desface în sumă de integrale, iar constantele ies în față. Pentru ${\int }_1^2\left(9x^2-\frac{5}{x}\right)dx$, de pildă, ai două rânduri de tabel și obții $\left(3x^3-5\ln x\right){|}_1^2=21-5\ln 2$.

Atenție la limita ramurii: liniaritatea desface sume și diferențe, niciodată produse sau rapoarte. Nu există nicio regulă care să spună că integrala unui produs ar fi produsul integralelor — iar dacă ai fi ispitit s-o crezi, uită-te la ${\int }_0^{4}x\cdot xdx=\frac{64}{3}$ și compar-o cu ce ar da regula inventată: fiecare factor are ${\int }_0^{4}xdx=8$, iar produsul celor două valori este $64$ — de trei ori mai mult decât numărul adevărat. Pentru produse și rapoarte există celelalte două ramuri.

3. Ce cauți alături de expresia împachetată?

A doua ramură — semnul: în integrand apare o expresie împachetată într-o funcție uzuală, iar alături de ea stă chiar derivata acelei expresii, eventual înmulțită cu un număr. Atunci intri pe schimbarea de variabilă, cu formula dedusă la Schimbarea de variabilă și cu unul dintre cele cinci tipare inventariate la Substituțiile care se dau la examen.

Nu reluăm aici nici formula, nici tiparele. Ce merită adăugat e cum se folosește ramura ca decizie, nu ca tehnică: te uiți la ce ar putea fi expresia dinăuntru, îi calculezi derivata în minte și o cauți în restul integrandului. Dacă o găsești, ai intrat pe ramură și treci la tiparul potrivit; dacă nu, ieși de aici fără să scrii niciun rând și pui întrebarea următoare.

Ramura aceasta e cea mai lată dintre cele trei, fiindcă sub ea intră forme care par foarte diferite între ele: puteri de paranteze, logaritmi, radicali, rapoarte în care numărătorul e derivata numitorului. Tocmai de aceea merită cercetată înaintea părților — multe integrale care arată ca niște produse complicate se rezolvă aici în două rânduri.

4. Ce fel de produs cere integrarea prin părți?

A treia ramură — semnul: integrandul este un produs în care cei doi factori sunt de naturi diferite — un polinom înmulțit cu o exponențială, un polinom înmulțit cu un sinus sau cu un cosinus — și niciunul dintre ei nu e derivata celuilalt. Atunci metoda este integrarea prin părți, cu formula și cu regula de alegere fixate la Integrarea prin părți și cu cazurile care cer două aplicări la Integrarea prin părți aplicată de două ori.

Ca să vezi ramura la lucru fără să ieșim din ce s-a predat deja, revenim la exercițiul 1 din lecția Integrarea prin părți: acolo, la ${\int }_0^{1}x{e}^{4x}dx$, factorii sunt un polinom și o exponențială, deci naturi diferite; se derivează polinomul, care se simplifică, se integrează exponențiala, care nu se complică, și rezultatul este $\frac{3e^4+1}{16}$. Reluarea e intenționată: aici nu ne interesează calculul, ci semnul care a decis metoda.

Deosebirea față de ramura a doua se vede cel mai bine pe forme, nu pe cifre. Într-un produs de tipul $x^k{e}^{ax}$ sau $x^k\sin x$, cei doi factori nu au nimic unul cu celălalt: derivata niciunuia nu apare alături. Într-un produs de tipul $x\cdot (\text{expresie ıˆn }{x}^2{)}^n$, dimpotrivă, factorul din față este derivata expresiei dinăuntru, până la un număr — și atunci nu mai e treabă de părți. Un produs, singur, nu trimite la părți; trimite acolo numai un produs de naturi diferite.

5. Ce faci când două ramuri par posibile?

Se întâmplă, și nu e o problemă. Ia ${\int }_0^1(x+11{)}^{2}dx$. Pe de o parte, paranteza se poate desface, iar integrandul devine o sumă de trei rânduri de tabel: ramura întâi. Pe de altă parte, înăuntru stă o expresie de gradul întâi, deci e și un tipar de substituție, cu $t=x+11$: ramura a doua.

Amândouă duc la același număr. Pe drumul cu substituția, limitele devin $11$ și $12$, iar ${\int }_0^1(x+11{)}^{2}dx={\int }_{11}^{12}{t}^{2}dt=\frac{1728-1331}{3}=\frac{397}{3}$. Pe drumul cu desfacerea, integrandul este $x^2+22x+121$, iar ${\int }_0^1\left(x^2+22x+121\right)dx=\frac{1}{3}+11+121=\frac{397}{3}$.

Reține concluzia: rezultatul unei integrale nu depinde de metodă. Când două ramuri se potrivesc, alegi drumul mai scurt și mergi liniștit; iar dacă ai timp la sfârșit, refacerea pe al doilea drum e cea mai bună probă cu putință, fiindcă verifică deodată și alegerea, și calculul.

6. De ce se pun întrebările în ordinea aceasta?

Din economie. Prima întrebare e cea mai ieftină: dacă integrandul e deja în tabel, rezolvarea ține două rânduri, iar dacă nu e, ai pierdut trei secunde. A doua întrebare costă puțin mai mult, fiindcă cere o derivată calculată în minte, dar taie foarte multe cazuri. A treia e cea mai scumpă: integrarea prin părți înseamnă o alegere de factori, o formulă cu doi termeni și o a doua integrală de calculat.

Ordinea inversă se plătește imediat. Cine începe cu părțile la o integrală care era o simplă substituție ajunge, după o aplicare a formulei, la ceva mai greu decât avea la început — și abia atunci se întoarce. Iar cine începe cu substituția la o integrală care era un rând de tabel notează cu $t$ ceva a cărui derivată nu apare nicăieri și se oprește după trei rânduri irosite.

7. Ce nu are ramură, la profilul tău?

Două familii merită numite, ca să nu le cauți în arbore.

Prima: rapoartele de polinoame care nu se simplifică și în care numărătorul nu e derivata numitorului. Ele se rezolvă descompunând fracția în bucăți mai simple, iar tema face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2, la Descompunerea în fracții simple și Integrale de funcții raționale. Până acolo, dacă un raport de polinoame nu intră pe niciuna dintre cele trei ramuri, verifică întâi dacă nu cumva se simplifică.

A doua: integralele care depind de un număr natural $n$ și se studiază printr-o relație între termeni consecutivi. Tema nu apare în programa ta, nici în cea de examen din 2014, nici în cea nouă; o vei găsi la profilul matematică-informatică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un exponent mută calculul pe altă ramură

Calculați a) ${\int }_0^{2}x{\left(x^2+9\right)}^{2}dx$ și b) ${\int }_0^2{x}^2\left(x^2+9\right)dx$.

Rezolvare. a) Ramura a doua. Lângă paranteza ridicată la pătrat stă un $x$ singur, adică jumătate din derivata expresiei dinăuntru. Cu $t=x^2+9$ limitele devin $9$ și $13$, deci

$${\int }_0^{2}x{\left(x^2+9\right)}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_9^{13}{t}^{2}dt=\frac{2197-729}{6}=\frac{734}{3}.$$

b) Ramura întâi. Aici factorul liber este $x^2$, iar derivata expresiei dinăuntru ar fi $2x$ — raportul dintre ele nu e un număr, ci $\frac{x}{2}$, deci substituția nu se aplică. În schimb produsul se desface: $x^2\left(x^2+9\right)=x^4+9x^2$, adică două rânduri de tabel. Prin urmare

$${\int }_0^2\left(x^4+9x^2\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}+3x^3\right){|}_0^2=\frac{32}{5}+24=\frac{152}{5}.$$

Ce le-a despărțit e testul raportului: la a), raportul dintre factorul liber și derivata expresiei dinăuntru este $\frac{1}{2}$, adică un număr, deci substituția merge; la b), el mai conține $x$, deci nu merge, iar produsul se desface.

Exemplul 2 — Ramura întâi, pe o sumă

Calculați ${\int }_1^4\left(\frac{3}{\sqrt{x}}+8x\right)dx$.

Rezolvare. Ramura întâi. Integrandul e o sumă de două rânduri de tabel, iar constantele ies în față prin liniaritate. Primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ este $2\sqrt{x}$, iar a lui $x$ este $\frac{x^2}{2}$, deci

$${\int }_1^4\left(\frac{3}{\sqrt{x}}+8x\right)dx=\left(6\sqrt{x}+4x^2\right){|}_1^4=(12+64)-(6+4)=66.$$

Observă că nu am notat nimic cu $t$ și nu am aplicat nicio formulă cu doi termeni: ramura întâi e ieftină exact în sensul acesta.

Exemplul 3 — Ramura a doua, cu derivata întreagă la numărător

Calculați ${\int }_1^3\frac{2x-1}{x^2-x+5}dx$.

Rezolvare. Ramura a doua. Numitorul are derivata ${\left(x^2-x+5\right)}^{\prime }=2x-1$, adică exact numărătorul — deci nu e nimic de reparat. Numitorul este strict pozitiv pe $[1,3]$, fiindcă $x^2-x+5$ are discriminantul $1-20=-19<0$. Cu $t=x^2-x+5$ limitele devin $5$ și $11$, iar

$${\int }_1^3\frac{2x-1}{x^2-x+5}dx={\int }_5^{11}\frac{dt}{t}=\ln \frac{11}{5}\approx 0,7885.$$

Merită reținut tiparul: o fracție în care numărătorul e derivata numitorului duce întotdeauna la un logaritm.

Exemplul 4 — Ramura a treia, pe un exercițiu deja rezolvat

Precizați ramura pentru ${\int }_0^{\pi /3}x\sin xdx$ și spuneți după ce semn ați hotărât.

Rezolvare. Ramura a treia. Revenim la Exemplul 1 din lecția Integrarea prin părți, unde integrala aceasta e calculată în întregime și dă $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$. Ce ne interesează acum e drumul spre ea, nu rezultatul.

Trecem integrandul prin cele trei întrebări. Este $x\sin x$ un rând de tabel sau o sumă de rânduri? Nu, e un produs, iar liniaritatea nu desface produse. Se vede derivata dinăuntru? Candidatul firesc ar fi $\sin x$, cu derivata $\cos x$ — dar $\cos x$ nu apare nicăieri; celălalt candidat ar fi $x$, cu derivata $1$, ceea ce nu ajută la nimic. Rămâne a treia întrebare: cei doi factori sunt un polinom și o funcție trigonometrică, deci naturi diferite. Am intrat pe ramura părților, iar acolo se derivează factorul care se simplifică, adică polinomul.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev a început să calculeze ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+12\right)}^{3}dx$ prin părți, luând $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)={\left(x^2+12\right)}^3$. Spuneți de ce s-a împotmolit și rezolvați corect.

Rezolvare. Alegerea lui e fără ieșire: ca să aplice formula, elevul are nevoie de o primitivă a lui ${\left(x^2+12\right)}^3$, adică tocmai de un calcul mai greu decât cel pe care îl avea în față. Semnalul pe care l-a citit greșit e prezența unui produs — dar cei doi factori nu sunt de naturi diferite.

Corect este ramura a doua: lângă paranteză stă un $x$ singur, adică jumătate din derivata lui $x^2+12$. Cu $t=x^2+12$ limitele devin $12$ și $13$, iar

$${\int }_0^{1}x{\left(x^2+12\right)}^{3}dx=\frac{1}{2}{\int }_{12}^{13}{t}^{3}dt=\frac{28561-20736}{8}=\frac{7825}{8}.$$

Regula pe care merită să o reții din greșeala lui: întrebarea a doua se pune întotdeauna înaintea celei de-a treia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+11$.

a) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{34}{3}$.

b) Arătați că ${\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{12}{11}$.

c) Precizați ramura potrivită pentru ${\int }_0^{1}xf(x)dx$ și calculați integrala.

Rezolvare. a) Ramura întâi: integrandul e o sumă de două rânduri de tabel, deci ${\int }_0^1\left(x^2+11\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+11x\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+11=\frac{34}{3}$.

b) Ramura a doua: lângă expresia de la numitor stă un $x$ singur. Cu $t=x^2+11$ limitele devin $11$ și $12$, iar ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+11}dx=\frac{1}{2}{\int }_{11}^{12}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{12}{11}$.

c) Ramura întâi, după o înmulțire. Deși integrandul e un produs, el se desface: $x\left(x^2+11\right)=x^3+11x$, adică două rânduri de tabel. Prin urmare ${\int }_0^1\left(x^3+11x\right)dx=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{11x^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{1}{4}+\frac{11}{2}=\frac{23}{4}$. Aceeași funcție, trei cerințe, două ramuri diferite — semnul se citește de fiecare dată din nou.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi ramura și semnul după care ai hotărât, abia apoi calculul.

1. Calculați ${\int }_1^2\left(4x^3-\frac{7}{x}\right)dx$.

2. Calculați ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+21}dx$.

3. Precizați ramura pentru ${\int }_0^{\pi /6}x\sin xdx$, calculată la exercițiul 2 din lecția Integrarea prin părți, și spuneți ce semn ați citit.

4. Calculați ${\int }_0^1(x+7{)}^{3}dx$ pe amândouă ramurile care i se potrivesc și comparați rezultatele.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Doi elevi primesc același integrand, dar cu capete diferite, amândouă intervalele fiind cuprinse în domeniul lui de definiție. Ei pot intra pe ramuri diferite ale arborelui.

6. Calculați ${\int }_1^{e^2}\frac{3}{x}dx$.

7. Calculați ${\int }_0^{\pi /2}\cos x{\left(2+\sin x\right)}^{2}dx$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+20$. a) Arătați că ${\int }_0^{2}g(x)dx=\frac{128}{3}$. b) Arătați că ${\int }_0^2\frac{x}{g(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{6}{5}$.

9. Calculați ${\int }_0^1{\left(x^2+6\right)}^{2}dx$ și spuneți dacă integrala ${\int }_0^1\frac{dx}{(x+2)(x+3)}$ intră pe vreuna dintre cele trei ramuri.

10. (Problemă aplicată.) Un cablu lung de $8$ metri este fabricat neuniform: rezistența lui pe unitatea de lungime, la distanța $x$ de la un capăt, este $r(x)=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$ ohmi pe metru, cu $x\in [0,8]$ măsurat în metri. Calculați rezistența totală a cablului, adică ${\int }_0^{8}r(x)dx$, precizând ramura folosită.

11. Calculați ${\int }_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}$.

12. Calculați ${\int }_0^2\frac{dx}{2x+3}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Precizați ramura pentru ${\int }_1^3{x}^2{e}^{x}dx$, calculată la exercițiul 1 din lecția Integrarea prin părți aplicată de două ori, și spuneți de ce formula se aplică acolo de două ori.

14. Calculați ${\int }_0^{1}x(x+5{)}^{2}dx$ și explicați de ce ramura a doua nu ajută aici.

15. Calculați ${\int }_0^3\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^1\frac{3x}{x^2+4}dx=\frac{3}{2}\ln \frac{5}{4}$.

17. Un elev a scris: „la ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+9}$ notez $t=x^2+9$". Explicați de ce nu merge și calculați integrala pe ramura potrivită.

18. (Provocare.) Calculați ${\int }_1^2\frac{x^2+5}{x}dx$.

Răspunsuri și explicații

1. Ramura întâi: două rânduri de tabel. ${\int }_1^2\left(4x^3-\frac{7}{x}\right)dx=\left(x^4-7\ln x\right){|}_1^2=(16-7\ln 2)-1=15-7\ln 2\approx 10,1480$.

2. Ramura a doua: un $x$ singur lângă $x^2$. Cu $t=x^2+21$ limitele devin $21$ și $25$, iar ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+21}dx=\frac{1}{2}{\int }_{21}^{25}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{25}{21}\approx 0,0872$.

3. Ramura a treia. Semnul citit: produs între un polinom și o funcție trigonometrică, iar derivata niciunuia dintre factori nu apare alături de celălalt. Valoarea, calculată acolo, este $\frac{1}{2}-\frac{\pi \sqrt{3}}{12}$.

4. Pe ramura a doua, cu $t=x+7$: limitele devin $7$ și $8$, iar integrala este ${\int }_7^8{t}^{3}dt=\frac{4096-2401}{4}=\frac{1695}{4}$. Pe ramura întâi, desfăcând cubul: ${\int }_0^1\left(x^3+21x^2+147x+343\right)dx=\frac{1}{4}+7+\frac{147}{2}+343=\frac{1695}{4}$. Aceeași valoare; primul drum e mai scurt, fiindcă derivata expresiei dinăuntru este $1$.

5. Fals. Cele trei semne — fiecare bucată e un rând de tabel, derivata expresiei dinăuntru stă alături, factorii sunt de naturi diferite — se citesc toate în integrand; capetele nu apar în niciunul dintre ele. Ele hotărăsc altceva: ce numere ies la final și, la substituție, care sunt noile limite. Cei doi elevi intră deci pe aceleași ramuri și se deosebesc numai prin rezultat.

6. Ramura întâi: rândul lui $\frac{1}{x}$, cu constanta scoasă în față. ${\int }_1^{e^2}\frac{3}{x}dx=3\ln x{|}_1^{e^2}=6$.

7. Ramura a doua: un $\cos x$ liber, restul scris cu $\sin x$. Cu $t=2+\sin x$ limitele devin $2$ și $3$, iar ${\int }_0^{\pi /2}\cos x{\left(2+\sin x\right)}^{2}dx={\int }_2^3{t}^{2}dt=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}$.

8. a) Ramura întâi: ${\int }_0^2\left(x^2+20\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+20x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}+40=\frac{128}{3}$. b) Ramura a doua: cu $t=x^2+20$ limitele devin $20$ și $24$, iar ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+20}dx=\frac{1}{2}{\int }_{20}^{24}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{6}{5}$.

9. Ramura întâi, după desfacerea pătratului: ${\left(x^2+6\right)}^2=x^4+12x^2+36$, deci ${\int }_0^1\left(x^4+12x^2+36\right)dx=\frac{1}{5}+4+36=\frac{201}{5}$. Substituția nu se aplică: lângă paranteză nu stă niciun $x$ liber. A doua integrală nu intră pe niciuna dintre cele trei ramuri: nu e rând de tabel, nu are la numărător derivata numitorului și nu e produs de naturi diferite. E un raport de polinoame care cere descompunere, adică tema din supliment.

10. Ramura a doua, cu $t=x+1$ — expresie de gradul întâi, deci derivata este $1$ și nu e nimic de reparat. Limitele devin $1$ și $9$, iar rezistența totală este ${\int }_0^8\frac{3}{\sqrt{x+1}}dx=3{\int }_1^9\frac{dt}{\sqrt{t}}=6\sqrt{t}{|}_1^9=6(3-1)=12$ ohmi. Valoarea e plauzibilă: rezistența pe metru scade de la $3$ la $1$ ohm pe metru, deci totalul pe opt metri trebuie să fie între $8$ și $24$ de ohmi.

11. Ramura întâi: rândul lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$. ${\int }_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}{|}_1^4=4-2=2$.

12. Ramura a doua, cu $t=2x+3$: limitele devin $3$ și $7$, iar ${\int }_0^2\frac{dx}{2x+3}=\frac{1}{2}{\int }_3^7\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}\approx 0,4236$.

13. Ramura a treia. Semnul: produs între un polinom și o exponențială. Formula se aplică de două ori pentru că prima aplicare coboară gradul polinomului de la $2$ la $1$, iar a doua îl coboară de la $1$ la $0$; abia atunci integrala rămasă e un rând de tabel. Valoarea, calculată acolo, este $5e^3-e$.

14. Ramura întâi, după desfacere. Ramura a doua nu ajută: dacă notezi $t=x+5$, derivata este $1$, dar în integrand a mai rămas un $x$, care nu se exprimă prin $t$ fără o rescriere suplimentară. Desfăcând, $x(x+5{)}^2=x^3+10x^2+25x$, deci ${\int }_0^1\left(x^3+10x^2+25x\right)dx=\frac{1}{4}+\frac{10}{3}+\frac{25}{2}=\frac{193}{12}$.

15. Ramura întâi pentru primul termen, a doua pentru al doilea, iar liniaritatea le desparte. Obținem ${\int }_0^3\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=\left(x^2-2\sqrt{x+1}\right){|}_0^3=(9-4)-(0-2)=7$.

16. Ramura a doua. Cu $t=x^2+4$ limitele devin $4$ și $5$, iar ${\int }_0^1\frac{3x}{x^2+4}dx=\frac{3}{2}{\int }_4^5\frac{dt}{t}=\frac{3}{2}\ln \frac{5}{4}$.

17. Nu merge pentru că derivata lui $x^2+9$ este $2x$, iar în integrand nu există niciun $x$ liber: raportul dintre ce a rămas și derivată ar fi $\frac{1}{2x}$, care nu e un număr. Integrala e pe ramura întâi, la rândul arctangentei, cu $a=3$: ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{1}{3}\approx 0,1073$.

18. Ramura întâi, după o rescriere. Împărțind termen cu termen, $\frac{x^2+5}{x}=x+\frac{5}{x}$ pentru $x>0$, adică două rânduri de tabel. Prin urmare ${\int }_1^2\frac{x^2+5}{x}dx=\left(\frac{x^2}{2}+5\ln x\right){|}_1^2=\left(2+5\ln 2\right)-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+5\ln 2\approx 4,9657$. Rescrierea e gestul învățat la lecția despre recunoașterea funcției; fără ea, integrandul pare să nu aibă ramură.

De reținut

• La profilul științe ale naturii arborele are trei ramuri: tabelul cu liniaritatea, schimbarea de variabilă și integrarea prin părți. Nu există a patra.
• Semnele: fiecare bucată e un rând de tabel (ramura întâi); derivata expresiei dinăuntru stă alături (a doua); produs de două naturi diferite (a treia).
• Întrebările se pun în ordinea aceasta, de la cea mai ieftină la cea mai scumpă; un produs nu trimite automat la părți, iar o paranteză nu trimite automat la substituție.
• Când două ramuri se potrivesc, rezultatul e același: alegi drumul scurt, iar celălalt rămâne cea mai bună probă.
• Înainte de arbore se face citirea expresiei — interval, liniaritate, rescriere —, așa cum s-a fixat la capitolul de primitive.

Greșeli frecvente

• Se alege metoda după cum arată integrandul, nu după semn. Un produs cu paranteze pare „de părți", iar o fracție pare „de substituție"; hotărăște însă doar dacă derivata expresiei dinăuntru se vede sau nu, și dacă factorii sunt de naturi diferite.
• Se sare peste prima întrebare. Multe integrale sunt sume de rânduri de tabel deghizate într-o singură fracție; cine notează direct cu $t$ pierde un minut înainte de a-și da seama că nu era nevoie de nimic.
• Se schimbă metoda în mijlocul rezolvării, fără să se reia enunțul. Dacă o ramură s-a înfundat, se pornește de la integrandul inițial, nu de la ultima expresie obținută — altfel se pierd factorii deja scoși în față.
• Se caută o ramură pentru integrale care nu au niciuna în programă. Un raport de polinoame care nu se simplifică și în care numărătorul nu e derivata numitorului nu intră pe cele trei ramuri; se rezolvă la supliment, prin descompunere.
• Se crede că răspunsul depinde de drum. Două metode corecte dau același număr; dacă obții valori diferite, una dintre rezolvări are o greșeală de calcul, nu de alegere.

Aplică acasă

1. Jurnalul întoarcerilor. Recitește ultimele zece integrale definite rezolvate în caiet și notează, lângă fiecare, pe ce ramură ai intrat prima dată și dacă a trebuit să te întorci la enunț. Numără întoarcerile și uită-te ce semn ai citit greșit de fiecare dată: dacă toate sunt de același fel, ai găsit singur ce ai de exersat săptămâna asta.

2. Ordinea inversă, o dată. Ia trei integrale care se rezolvă prin substituție și începe-le intenționat cu integrarea prin părți: scrie numai primul rând al formulei și oprește-te acolo. Pune apoi ce ai obținut lângă integrala de la care ai pornit și compară-le pe hârtie. O singură dată e de ajuns — după ea, întrebarea a doua își ia singură locul, înaintea celei de-a treia.

3. Cartonașul de zece secunde. Fă-ți un cartonaș cu cele trei întrebări, în ordine, și ține-l lângă caiet o săptămână. La fiecare integrală pe care o rezolvi, citește întrebările cu voce tare înainte de a scrie primul rând. După câteva zile vei observa că nu mai ai nevoie de cartonaș — iar asta e chiar scopul lecției.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce nicio formulă nouă și tocmai de aceea e ușor de subestimat. Ce verifică ea este un gest de decizie: dacă elevul poate numi ramura înainte de a începe calculul și dacă știe să spună după ce semn a numit-o. La o probă de trei ore, cu două probleme de analiză, deprinderea aceasta face diferența între o rezolvare completă și una întreruptă la jumătate.

Se poate exersa foarte economic, fără caiet: se scriu pe tablă cinci integrande și se cere numai numele ramurii, cu semnul citit, în zece secunde fiecare. Elevii care greșesc au un tipar comun — citesc forma integrandului, nu relația dintre factorii lui. Întrebări bune de control: „Ce ai încercat să pui sub litera $t$ și de ce n-a mers?", „Cei doi factori sunt de naturi diferite?", „Ai verificat întâi dacă nu e o sumă de rânduri de tabel?", „Se putea și altfel?". Semne că a înțeles: pune întrebările în ordine, fără să sară peste prima; nu confundă un produs oarecare cu unul de naturi diferite; și, dacă o ramură se înfundă, se întoarce la enunț, nu la ultimul rând scris.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține același rând, la capitolul „Integrala definită"; cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Ambele metode se cer, așadar, la amândouă generațiile. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Câte metode de calcul trebuie să știu pentru Bacalaureatul M2?

Trei: tabelul primitivelor împreună cu liniaritatea, schimbarea de variabilă și integrarea prin părți. Programa de examen le cere nominal pe ultimele două, iar prima e baza capitolului de primitive. Tot în acel rând mai stau și integralele ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu $\mathrm{grad}Q\le 4$, prin descompunere în fracții simple — nu un drum nou al arborelui, ci o rescriere după care bucățile cad pe ramurile știute; o găsești în supliment.

Cum îmi dau seama, în zece secunde, pe ce ramură intru?

Pui trei întrebări în ordine. Este fiecare bucată a integrandului un rând de tabel? Dacă nu: se vede, alături de o expresie împachetată, derivata acelei expresii? Dacă nu: sunt cei doi factori de naturi diferite? Te oprești la primul răspuns afirmativ, iar dacă niciunul nu e afirmativ, integrandul se rescrie mai întâi.

Ce fac dacă am intrat pe ramura greșită?

Te întorci la enunț, nu la ultimul rând scris. E greșeala care costă cel mai mult: cineva aplică părțile, ajunge la ceva mai complicat, apoi încearcă substituția pe expresia aceea și pierde factorii scoși deja în față. Reluarea de la integrandul inițial durează zece secunde și te scutește de o eroare de semn.

Dacă două metode se potrivesc, care e cea bună?

Amândouă, fiindcă rezultatul nu depinde de drum. Alegi drumul mai scurt — cel care cere mai puține rânduri —, iar celălalt îți rămâne ca probă, dacă mai ai timp la sfârșitul lucrării. Două drumuri corecte care dau numere diferite înseamnă o greșeală de calcul, nu una de alegere.

De ce nu apar funcțiile raționale printre cele trei ramuri?

Pentru că la profilul tău ele se tratează separat, prin descompunere în fracții simple, și fac parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2. Dacă un raport de polinoame nu se simplifică și nu are la numărător derivata numitorului, lasă-l pentru Descompunerea în fracții simple; nu forța niciuna dintre cele trei ramuri.

Se alege metoda la fel și la mate-info (M1)?

Principiul e același, dar acolo arborele are mai multe ramuri: se adaugă funcțiile raționale ca ramură proprie, substituțiile trigonometrice și integralele care depind de un număr natural. Pentru comparație: Cum alegi metoda de integrare la mate-info (M1), unde lista de întrebări e, firesc, mai lungă.

La ce subiect se cere alegerea metodei la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, unde stau cerințele de analiză matematică. Alegerea nu apare ca cerință de sine stătătoare: primești o integrală și trebuie să o calculezi. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, prima cerință a problemei de integrale se rezolvă din tabel, a doua prin schimbare de variabilă, iar a treia dă volumul unui corp de rotație sub forma $\frac{a\pi }{3}$ și cere numărul real $a$ — formula e cea de la capitolul următor.

Ce legătură are lecția cu ghidul de la capitolul de primitive?

Una directă: ghidul Primitive: cum recunoști funcția la examen te învață ce funcție ai și cum o aduci la o formă din tabel, iar lecția de față te învață ce metodă alegi când forma aceea nu se obține. Primul răspunde la o întrebare despre expresie, a doua la una despre drum; se folosesc una după alta, în ordinea aceasta.