De ce avem nevoie de numere noi: ecuația fără soluții reale

În Italia secolului al XVI-lea, matematica se făcea și în piața publică: doi savanți se provocau la duel, își trimiteau câte treizeci de probleme și, la termenul stabilit, cine rezolva mai multe câștiga banii, catedra și gloria. Miza cea mai râvnită era ecuația de gradul al treilea, pe care nimeni nu știuse să o rezolve prin formulă. Când formula a apărut în sfârșit, a adus cu ea un musafir nepoftit: un calcul care cerea, pe drum, să extragi rădăcina pătrată dintr-un număr negativ — și asta chiar în probleme cu date obișnuite, al căror răspuns se dovedea, la final, un număr întreg cât se poate de cuminte.

Vei auzi adesea că numerele complexe au fost inventate „pentru că ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții". Este o poveste frumoasă, dar falsă. Timp de secole, „ecuația aceasta nu are soluții" a fost un răspuns perfect onorabil, la fel de bun ca „parabola nu taie axa $Ox$". Presiunea a venit din altă parte, iar lecția de față îți arată exact de unde — pentru că motivul pentru care acceptăm un obiect matematic nou este cel puțin la fel de important ca obiectul însuși.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi riguros că ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții reale și de ce, singură, această constatare nu obligă la nimic.
• Vei ști motivul istoric real al apariției numerelor complexe: formula de rezolvare a ecuației de gradul al treilea.
• Vei ști să urmărești un calcul în care rădăcinile numerelor negative apar la mijloc și dispar la final, lăsând un răspuns real.
• Vei ști să folosești unitatea imaginară $i$, definită prin $i^2=-1$, ca să scrii soluțiile ecuațiilor $x^2=-k$, cu $k>0$, și să eviți capcana $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}\ne 6$.
• Vei ști ce câștigăm trecând de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{C}$ și ce pierdem: relația de ordine.

Hai să descoperim împreună

1. „Nu are soluții" este un răspuns, nu o problemă

Să începem cu ecuația despre care se vorbește cel mai des.

Propoziție. Ecuația $x^2+1=0$ nu are nicio soluție în mulțimea numerelor reale.

Demonstrație. Fie $x$ real oarecare. Dacă $x\ge 0$, atunci $x^2=x\cdot x\ge 0$ ca produs de numere nenegative; dacă $x<0$, atunci $-x>0$ și $x^2=(-x)(-x)\ge 0$. În ambele cazuri $x^2+1\ge 1>0$, deci $x^2+1$ nu se anulează niciodată. Cum $x$ a fost ales arbitrar, ecuația nu are soluții reale. $■$

Ai mai întâlnit tiparul: în clasa a IX-a, la Funcția de gradul al doilea, o parabolă cu discriminant negativ nu taie axa $Ox$ — informație utilă, nu dramă. Istoria numerelor este, ce-i drept, o istorie de extinderi succesive, fiecare declanșată de o ecuație:

Dar atenție la nuanță: primele trei extinderi au fost impuse de nevoi de măsurare — datorii, împărțiri, diagonala pătratului. A patra nu are un asemenea sprijin: nicio lungime și nicio arie nu cere ca $x^2$ să fie negativ. De aceea a durat atât.

2. Presiunea vine de la ecuația de gradul al treilea

Pe la 1515, Scipione del Ferro, profesor la Bologna, a descoperit cum se rezolvă ecuațiile de forma $x^3+px=q$. Nu a publicat nimic — într-o epocă în care catedra se apăra în dueluri publice, o metodă secretă valora cât o avere — și a transmis-o unui singur elev. Peste douăzeci de ani, Niccolò Tartaglia a redescoperit metoda pe cont propriu și a câștigat un duel răsunător cu acel elev. Girolamo Cardano a aflat metoda de la Tartaglia sub jurământ de tăinuire; aflând mai târziu că del Ferro fusese primul, s-a considerat eliberat de jurământ și a publicat totul în 1545, în Ars Magna — de acolo numele formulei.

Orice ecuație de gradul al treilea se poate aduce, printr-o schimbare de necunoscută, la forma redusă

$$x^3=px+q,$$

în care termenul de gradul al doilea lipsește. Pentru această formă avem o rețetă completă.

3. Cum se deduce formula lui Cardano

Ideea este de o simplitate care taie răsuflarea: căutăm soluția scrisă ca sumă de două numere, $x=u+v$. Ridicăm la cub:

$$(u+v{)}^3=u^3+v^3+3uv(u+v),\text{deci}{x}^3=3uv\cdot x+(u^3+v^3).$$

Comparăm cu $x^3=px+q$: este suficient ca $3uv=p$ și $u^3+v^3=q$. Din prima relație $uv=\frac{p}{3}$, deci $u^3{v}^3=\frac{p^3}{27}$. Așadar cunoaștem suma și produsul numerelor $u^3$ și $v^3$, deci ele sunt soluțiile ecuației de gradul al doilea

$$t^2-qt+\frac{p^3}{27}=0,\text{deci}{t}_{1,2}=\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}.$$

Extragem rădăcinile cubice din $t_1$ și $t_2$ și le adunăm: aceasta este formula lui Cardano. Ea funcționează impecabil ori de câte ori cantitatea de sub radicalul mare este pozitivă — vezi Exemplul 2, unde $x^3=6x+9$ dă $x=3$, fără urmă de număr nou.

4. Momentul în care formula intră în zid

Acum luăm ecuația care a schimbat matematica:

$$x^3=15x+4.$$

Înainte de orice formulă, observă că $x=4$ este soluție: $4^3=64$ și $15\cdot 4+4=64$. ✓ Împărțind, obținem $x^3-15x-4=(x-4)(x^2+4x+1)$, iar $x^2+4x+1=0$ are $\Delta =12>0$ și soluțiile $x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$. Așadar ecuația are trei soluții reale: $4$, $-2+\sqrt{3}$ și $-2-\sqrt{3}$. Nimic suspect: date reale, soluții reale.

Aplicăm acum formula lui Cardano, cu $p=15$ și $q=4$:

$$\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}=\frac{16}{4}-\frac{3375}{27}=4-125=-121.$$

Formula ne cere, deci, să calculăm $\sqrt{-121}$ — și nu la o ecuație bizară, fără soluții, ci la una cu trei soluții reale, dintre care $4$ se vede cu ochiul liber.

Aceasta este situația numită cazul ireductibil: se poate demonstra că, ori de câte ori ecuația redusă are trei soluții reale distincte, cantitatea de sub radicalul mare este negativă. Nu se poate ocoli.

5. Îndrăzneala lui Bombelli: treci prin ele și ieși pe partea cealaltă

În 1572, inginerul și matematicianul Rafael Bombelli publică L'Algebra și face pasul pe care nimeni nu-l făcuse. Îl descrie el însuși ca pe o idee sălbatică, aproape rușinoasă: și dacă am calcula mai departe, ca și cum $\sqrt{-1}$ ar fi un număr cu care se poate lucra?

Să notăm cu $i$ acest obiect, definit prin singura proprietate care contează: $i^2=-1$. Atunci $\sqrt{-121}=\sqrt{121\cdot (-1)}=11i$, iar formula lui Cardano dă

$$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}.$$

Bombelli a ghicit că rădăcinile cubice sunt $2\pm i$. Verificăm, folosind doar regulile obișnuite de calcul și $i^2=-1$:

$$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i,$$

$$(2+i{)}^3=(2+i)(3+4i)=6+8i+3i+4i^2=6+11i-4=2+11i.✓$$

Analog, $(2-i{)}^3=2-11i$. Atunci

$$x=(2+i)+(2-i)=4.$$

Cantitățile imaginare s-au anulat reciproc și au lăsat exact soluția pe care o știam. Acesta este momentul de cotitură. Numerele noi nu sunt un scop — nimeni nu voia să măsoare ceva cu ele — ci un drum: intri cu numere reale, ieși cu numere reale, iar la mijloc treci printr-un teritoriu în care calculul merge mai departe în loc să se blocheze. În Exemplul 3 vei vedea același mecanism la $x^3=6x-4$.

6. Unitatea imaginară și mulțimea numerelor complexe

Am folosit deja obiectul; îi dăm acum statut oficial.

Definiție. Se numește unitate imaginară numărul notat $i$, cu proprietatea

$$i^2=-1.$$

Definiție. Se numește număr complex orice număr de forma $z=a+bi$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Mulțimea tuturor numerelor complexe se notează cu $\mathbb{C}$. Pentru $b=0$ obținem $z=a$, deci $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Iată prima recompensă. Ecuația $x^2=-1$ are acum două soluții, $x=\pm i$, pentru că $i^2=-1$ și $(-i{)}^2=i^2=-1$. La fel:

$$x^2=-9⟺x=\pm 3i,x^2=-7⟺x=\pm i\sqrt{7},$$

deoarece $(3i{)}^2=9i^2=-9$ și $(i\sqrt{7}{)}^2=i^2\cdot 7=-7$.

Atenție, capcană. Regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, folosită la radicali în clasa a IX-a, este demonstrată numai pentru $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Aplicată la numere negative, dă absurdități:

$$\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=2i\cdot 3i=6i^2=-6,\text{dar}\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6.$$

Regula de aur: scrie mai întâi fiecare radical dintr-un număr negativ sub forma $bi$ și abia apoi calculează. În lecțiile următoare vom scrie direct $i\sqrt{k}$.

7. Ce câștigăm și ce pierdem

Câștigul este uriaș. Orice ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are soluții în $\mathbb{C}$ — vezi Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ. Mai mult, teorema fundamentală a algebrei spune că orice ecuație polinomială de grad $n\ge 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ soluții în $\mathbb{C}$. După $\mathbb{C}$ nu mai e nevoie de nicio extindere: drumul se termină aici.

Pierderea există și trebuie știută de la început: în $\mathbb{C}$ nu mai putem compara numerele.

Propoziție. Pe $\mathbb{C}$ nu există o relație de ordine care să se comporte, față de operații, ca ordinea de pe $\mathbb{R}$ (orice număr nenul să fie pozitiv sau negativ, iar produsul a două numere pozitive să fie pozitiv).

Demonstrație (prin reducere la absurd). Presupunem că o astfel de ordine există. Numărul $i$ fiind nenul, ar trebui ca $i>0$ sau $i<0$. Dacă $i>0$, atunci $i\cdot i>0$, adică $-1>0$ — fals. Dacă $i<0$, atunci $-i>0$ și $(-i)(-i)>0$; dar $(-i)(-i)=i^2=-1$, deci iar $-1>0$ — fals. Ambele cazuri duc la contradicție, deci presupunerea este falsă. $■$

Reține: nu are sens să scrii $i>0$ sau $2+3i<5-i$. Comparăm numerele complexe doar prin mărimi reale atașate lor, cum va fi modulul, din lecția Modulul unui număr complex.

8. De la „inutile" la indispensabile

Acceptarea a venit greu. Cardano însuși, în Ars Magna, întâlnise astfel de cantități la o problemă simplă — împărțirea numărului $10$ în două părți cu produsul $40$ — obținuse $5\pm \sqrt{-15}$ și încheiase că rezultatul este pe cât de subtil, pe atât de nefolositor. În 1637, René Descartes le-a numit, cu dispreț, imaginare — iar numele, ironic, le-a rămas.

Reabilitarea a durat două secole: în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea, Leonhard Euler a introdus notația $i$; în jurul anului 1800, Caspar Wessel și Jean-Robert Argand au avut ideea decisivă de a le desena, ca puncte în plan; în 1831, Carl Friedrich Gauss a impus reprezentarea geometrică și numele de astăzi, iar câțiva ani mai târziu William Rowan Hamilton le-a dat o construcție riguroasă, ca perechi de numere reale — vezi Forma algebrică a unui număr complex. Astăzi ele descriu curentul alternativ, semnalele audio și stările din mecanica cuantică: un obiect considerat nefolositor de întemeietorii lui a devenit unul dintre cele mai folositoare din știință.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O ecuație fără soluții reale, dar cu soluții complexe

Arătați că ecuația $x^2+4=0$ nu are soluții reale și rezolvați-o în $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+4\ge 4>0$: ecuația nu are soluții reale. În $\mathbb{C}$ scriem $x^2=-4$; numerele $2i$ și $-2i$ verifică, pentru că $(\pm 2i{)}^2=4i^2=-4$. Soluțiile sunt $x_{1,2}=\pm 2i$.

Exemplul 2 — Formula lui Cardano când totul merge bine

Rezolvați, cu formula lui Cardano, ecuația $x^3=6x+9$.

Rezolvare. Avem $p=6$, $q=9$, deci $\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}=\frac{81}{4}-8=\frac{49}{4}$ — cantitate pozitivă, radicalul se extrage fără probleme: $\sqrt{49/4}=7/2$. Obținem $u^3=\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=8$ și $v^3=\frac{9}{2}-\frac{7}{2}=1$, deci $u=2$, $v=1$ și $x=3$.

Verificare: $3^3=27=6\cdot 3+9$. ✓ Aici nu a fost nevoie de niciun număr nou.

Exemplul 3 — Aceeași formulă, dar prin teritoriul interzis

Verificați că formula lui Cardano aplicată ecuației $x^3=6x-4$ conduce la soluția $x=2$, deși trece prin $\sqrt{-4}$.

Rezolvare. Aici $p=6$, $q=-4$, deci $\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}=4-8=-4$ și $\sqrt{-4}=2i$; formula cere $x=\sqrt[3]{-2+2i}+\sqrt[3]{-2-2i}$. Rădăcinile cubice sunt $1\pm i$, pentru că $(1+i{)}^2=2i$ și

$$(1+i{)}^3=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i,\text{analog}(1-i{)}^3=-2-2i.$$

Deci $x=(1+i)+(1-i)=2$, iar $2^3=8=6\cdot 2-4$. ✓ Ecuația are trei soluții reale: din $x^3-6x+4=(x-2)(x^2+2x-2)$ obținem și $x=-1\pm \sqrt{3}$.

Exemplul 4 — Rădăcini din numere negative, scrise corect

Scrieți sub forma $bi$, cu $b$ real: $\sqrt{-25}$, $\sqrt{-\frac{9}{4}}$, $\sqrt{-3}$. Apoi calculați $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$.

Rezolvare. Folosim $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ pentru $k>0$:

$$\sqrt{-25}=5i,\sqrt{-\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}i,\sqrt{-3}=i\sqrt{3}.$$

Pentru produs, transformăm întâi fiecare factor: $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=2i\cdot 3i=6i^2=-6$. Rezultatul este $-6$, nu $6$: cine ar fi scris $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$ ar fi folosit o proprietate valabilă doar pentru factori nenegativi.

Exemplul 5 — Problema lui Cardano din 1545

Împărțiți numărul $10$ în două părți al căror produs să fie $40$.

Rezolvare. Cele două părți, $x$ și $y$, ar avea $x+y=10$ și $xy=40$, deci ar fi soluțiile ecuației $t^2-10t+40=0$, cu $\Delta =-60<0$: nu există numere reale cu această proprietate. (Se vede și direct: pentru $x+y=10$, produsul maxim este $25$.)

Cardano a scris totuși soluțiile, $t_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{-60}}{2}=5\pm i\sqrt{15}$, și a verificat că $t_1+t_2=10$, iar

$$t_1{t}_2=(5+i\sqrt{15})(5-i\sqrt{15})=25-15i^2=40.✓$$

Numerele funcționează perfect; doar că nu sunt lungimi. Aici a ezitat Cardano — și aici a mers Bombelli mai departe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $x^2-2x+5=0$. a) Arătați că ecuația nu are soluții reale. b) Verificați că numărul $1+2i$ verifică ecuația.

Rezolvare. a) Forma canonică: $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real, deci ecuația nu are soluții reale. (Echivalent: $\Delta =4-20=-16<0$.)

b) Calculăm, folosind $i^2=-1$:

$$(1+2i{)}^2=1+4i+4i^2=-3+4i,$$ $$(1+2i{)}^2-2(1+2i)+5=(-3+4i)-2-4i+5=(-3-2+5)+(4-4)i=0.✓$$

Analog se verifică și $1-2i$. Procedeul general îl vei învăța în Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La calculele cu $i$, singura regulă nouă este $i^2=-1$; în rest, se aplică regulile obișnuite de calcul algebric.

1. Care dintre ecuații au soluții reale și care nu: a) $x^2=16$; b) $x^2=-16$; c) $x^2+7=0$; d) $x^2-7=0$?

2. Demonstrează, cu redactare completă, că $x^2+1>0$ pentru orice $x$ real. Ce concluzie tragi despre ecuația $x^2+1=0$?

3. Calculează, folosind doar $i^2=-1$: $(3i{)}^2$, $(-4i{)}^2$, ${\left(\frac{1}{2}i\right)}^2$, $(i\sqrt{5}{)}^2$.

4. Scrie sub forma $bi$, cu $b$ real: $\sqrt{-49}$, $\sqrt{-\frac{16}{25}}$, $\sqrt{-0,09}$, $\sqrt{-2}$.

5. Rezolvă în $\mathbb{C}$: a) $x^2=-36$; b) $x^2+11=0$; c) $4x^2+9=0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice număr real este și număr complex, dar nu orice număr complex este real."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$."

8. Verifică, scriind toți pașii și folosind doar $i^2=-1$, că $(2+i{)}^3=2+11i$.

9. Verifică analog că $(2-i{)}^3=2-11i$, apoi calculează $(2+i)+(2-i)$. Ce legătură are rezultatul cu ecuația $x^3=15x+4$?

10. Arată că $x=4$ este soluție a ecuației $x^3=15x+4$. Folosind descompunerea $x^3-15x-4=(x-4)(x^2+4x+1)$, determină celelalte două soluții.

11. Verifică prin calcul direct că numărul $-2+\sqrt{3}$ este soluție a ecuației $x^2+4x+1=0$.

12. Verifică, folosind $i^2=-1$, că $(1+i{)}^3=-2+2i$ și $(1-i{)}^3=-2-2i$; deduce de aici soluția pe care formula lui Cardano o dă pentru $x^3=6x-4$.

13. (Problemă aplicată.) Împărțim numărul $10$ în două părți cu produsul $40$. a) Arată că nu există două numere reale cu această proprietate. b) Verifică faptul că $5+i\sqrt{15}$ și $5-i\sqrt{15}$ au suma $10$ și produsul $40$.

14. Arată, cu forma canonică, că ecuația $x^2+2x+5=0$ nu are soluții reale, apoi verifică prin înlocuire că $-1+2i$ o verifică.

15. Explică, în două-trei fraze, de ce despre $i$ nu putem spune nici că este pozitiv, nici că este negativ.

16. Scrie, pentru fiecare verigă a lanțului $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$, câte o ecuație fără soluție în mulțimea mai mică, dar cu soluție în cea mai mare.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $x^2-6x+13=0$. a) Arătați că ecuația nu are soluții reale. b) Verificați că numărul $3+2i$ verifică ecuația.

18. (Provocare.) Bombelli a trebuit să ghicească faptul că $\sqrt[3]{2+11i}=2+i$. Dezvoltă $(a+bi{)}^3$ folosind $i^2=-1$ și arată că din condiția $(a+bi{)}^3=2+11i$, cu $a$ și $b$ reale, se ajunge la sistemul $a^3-3a{b}^2=2$, $3a^{2}b-b^3=11$; verifică apoi că $a=2$, $b=1$ îl satisface.

Răspunsuri și explicații

1. a) Da: $x=\pm 4$. b) Nu: pătratul unui număr real nu poate fi negativ. c) Nu: $x^2=-7<0$, imposibil în $\mathbb{R}$. d) Da: $x=\pm \sqrt{7}$.

2. Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$ (dacă $x\ge 0$, produsul $x\cdot x$ e nenegativ; dacă $x<0$, atunci $x^2=(-x)(-x)\ge 0$), deci $x^2+1\ge 1>0$: expresia nu se anulează niciodată, iar ecuația nu are soluții reale.

3. $-9$; $-16$; $-\frac{1}{4}$; $-5$ (de fiecare dată se folosește $i^2=-1$; de exemplu $(3i{)}^2=9i^2=-9$).

4. $7i$; $\frac{4}{5}i$; $0,3i$ (verificare: $(0,3i{)}^2=-0,09$); $i\sqrt{2}$.

5. a) $x=\pm 6i$, pentru că $(6i{)}^2=-36$. b) $x=\pm i\sqrt{11}$. c) $x^2=-\frac{9}{4}$, deci $x=\pm \frac{3}{2}i$; verificare: $4\cdot \left(-\frac{9}{4}\right)+9=0$. ✓

6. Adevărat. Orice real $a$ se scrie $a=a+0i$, deci aparține lui $\mathbb{C}$; reciproca e falsă, pentru că $i$ nu e real.

7. Fals. Proprietatea $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ cere $a,b\ge 0$. Corect: $2i\cdot 3i=6i^2=-6$.

8. $(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$, apoi $(2+i{)}^3=(2+i)(3+4i)=6+11i+4i^2=2+11i$. ✓

9. $(2-i{)}^2=3-4i$ și $(2-i{)}^3=(2-i)(3-4i)=6-8i-3i+4i^2=2-11i$. Suma $(2+i)+(2-i)=4$ este exact soluția pe care formula lui Cardano o produce pentru $x^3=15x+4$.

10. $4^3=64=15\cdot 4+4$, deci $x=4$ e soluție. Din $x^2+4x+1=0$: $\Delta =12$ și $x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$. Toate trei sunt reale.

11. $(-2+\sqrt{3}{)}^2+4(-2+\sqrt{3})+1=(7-4\sqrt{3})+(-8+4\sqrt{3})+1=0$. ✓

12. $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^3=2i(1+i)=-2+2i$; analog $(1-i{)}^3=-2-2i$. Formula dă $x=(1+i)+(1-i)=2$, iar $2^3=8=6\cdot 2-4$. ✓

13. a) $x,y$ ar fi soluțiile ecuației $t^2-10t+40=0$, cu $\Delta =-60<0$: nu există soluții reale. b) Suma este $10$, iar produsul $25-(i\sqrt{15}{)}^2=25+15=40$. ✓

14. $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4>0$, deci fără soluții reale. Verificare: $(-1+2i{)}^2=-3-4i$, apoi $(-3-4i)+(-2+4i)+5=0$. ✓

15. Din $i>0$ ar rezulta $i\cdot i=-1>0$, fals; din $i<0$ ar rezulta $-i>0$ și $(-i)(-i)=-1>0$, iar fals. Pe $\mathbb{C}$ nu există ordine compatibilă cu operațiile, deci semnul unui număr complex nu are sens.

16. Un răspuns posibil: $x+5=3$ (fără soluție în $\mathbb{N}$, cu soluție în $\mathbb{Z}$); $2x=1$ ($\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$); $x^2=2$ ($\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$); $x^2=-1$ ($\mathbb{R}\to \mathbb{C}$).

17. a) $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4\ge 4>0$ (sau $\Delta =-16<0$), deci nu există soluții reale. b) $(3+2i{)}^2=9+12i+4i^2=5+12i$, apoi $(5+12i)-6(3+2i)+13=0$. ✓

18. $(a+bi{)}^2=(a^2-b^2)+2abi$, apoi $$(a+bi{)}^3=(a+bi)\left[(a^2-b^2)+2abi\right]=(a^3-3a{b}^2)+(3a^{2}b-b^3)i.$$ Egalitatea cu $2+11i$ impune $a^3-3a{b}^2=2$ și $3a^{2}b-b^3=11$; pentru $a=2$, $b=1$: $8-6=2$ ✓ și $12-1=11$ ✓. Metoda se numește identificarea părților — vezi Egalitatea a două numere complexe.

De reținut

• Ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții reale, pentru că $x^2\ge 0$ — iar acest fapt, singur, nu a impus istoric numere noi.
• Numerele complexe s-au născut din formula ecuației de gradul al treilea: în cazul ireductibil (trei soluții reale), formula lui Cardano trece obligatoriu prin rădăcini pătrate din numere negative.
• Unitatea imaginară este $i$, cu $i^2=-1$; un număr complex are forma $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, iar $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.
• Pentru $k>0$ scriem $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$, iar regula $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ nu se aplică numerelor negative: $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=-6$, nu $6$.
• În $\mathbb{C}$ nu există relație de ordine compatibilă cu operațiile: nu are sens să scrii $i>0$.

Greșeli frecvente

• „Numerele complexe au apărut pentru $x^2+1=0$." Motivul real este ecuația de gradul al treilea, unde numerele noi apar la mijlocul unui calcul cu date și rezultate reale.
• Aplicarea regulii radicalilor la numere negative. $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$ nu este $\sqrt{36}$; transformă întâi fiecare radical: $2i\cdot 3i=-6$.
• Confuzia $i^2=-1$ cu $i=-1$. $i$ nu este $-1$ și nu e niciun număr real; doar pătratul lui este $-1$. Din același motiv, $(-i{)}^2=-1$, nu $+1$.
• Compararea numerelor complexe. Scrieri ca $3i>2i$ sunt fără sens; se compară doar mărimi reale atașate lor.
• Uitarea semnului la $bi$ ridicat la pătrat. $(3i{)}^2=9i^2=-9$, nu $9$; iar $(-4i{)}^2=-16$, nu $16$.

Aplică acasă

1. Duelul de la Bologna. Refă, pas cu pas, calculul formulei lui Cardano pentru ecuația $x^3=9x+28$: $p=9$, $q=28$, cantitatea de sub radicalul mare este $196-27=169$, deci $u^3=14+13=27$, $v^3=14-13=1$ și $x=3+1=4$. Verifică apoi soluția prin înlocuire directă: $64=36+28$.

2. Cinci minute de istorie, cu vorbele tale. Explică-i cuiva din familie, în cel mult cinci propoziții, de ce a fost nevoie de numere noi. Testul reușitei: interlocutorul trebuie să poată repeta ideea „intrăm cu numere reale și ieșim cu numere reale, dar trecem printr-un teritoriu nou".

3. Vânătoare de aplicații. Caută o mărime fizică scrisă ca număr complex (impedanța unui circuit de curent alternativ e cel mai la îndemână) și notează ce reprezintă fiecare parte.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul Numere complexe din programa de matematică-informatică (4 ore pe săptămână) și răspunde direct unei activități de învățare din programă: „identificarea necesității extinderii mulțimii numerelor reale la mulțimea numerelor complexe". Accentul nu cade pe calcul — operațiile vin în lecțiile următoare — ci pe motivație: numerele complexe nu sunt o convenție arbitrară, ci răspunsul la o presiune matematică reală, apărută la ecuația de gradul al treilea.

Ce verifică lecția: demonstrația riguroasă a faptului că $x^2+1=0$ nu are soluții reale; calculul corect cu $i$, folosind exclusiv regula $i^2=-1$; scrierea $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$; evitarea capcanei cu produsul radicalilor din numere negative; înțelegerea faptului că $\mathbb{C}$ nu este ordonată. Întrebări bune de control: „De ce nu a fost suficientă ecuația $x^2+1=0$?"; „Ce se întâmplă cu formula lui Cardano la $x^3=15x+4$?"; „Cât face $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$ și de ce nu $6$?"; „Poți spune că $i>0$?". Semne că a înțeles: povestește singur traseul „real → imaginar → real" și nu mai scrie $\sqrt{-9}$ fără să-l transforme imediat în $3i$.

La Bacalaureat M1, numerele complexe apar constant la subiectul I: verificarea unei soluții prin înlocuire, calcule cu $i$, ecuații cu discriminant negativ. Lecția nu conține încă tehnici de examen, dar formează reflexul corect de calcul cu $i$.

Întrebări frecvente

Ce este unitatea imaginară $i$? Este numărul definit prin proprietatea $i^2=-1$. Nu este un număr real (niciun număr real nu are pătratul negativ), ci un obiect nou, care extinde mulțimea numerelor reale. Cu ajutorul lui, orice număr complex se scrie sub forma $a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale.

De ce avem nevoie de numere complexe, dacă ele nu măsoară nimic? Pentru că fac posibile calcule care altfel se blochează. Motivul istoric este formula ecuației de gradul al treilea: când ecuația are trei soluții reale, formula trece obligatoriu prin rădăcini pătrate din numere negative. Intri cu numere reale și ieși cu numere reale, dar drumul dintre ele trece prin $\mathbb{C}$.

Cine a inventat numerele complexe? Nu o singură persoană. Cardano le-a întâlnit în 1545 și le-a considerat nefolositoare, Bombelli a arătat în 1572 că sunt utile, Descartes le-a numit „imaginare" în 1637, Euler a introdus notația $i$, iar Gauss le-a impus în 1831 numele actual și reprezentarea în plan.

Cât face $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$? Face $-6$: se transformă mai întâi fiecare radical, $\sqrt{-4}=2i$ și $\sqrt{-9}=3i$, deci produsul este $6i^2=-6$. Regula $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ e demonstrată doar pentru numere nenegative.

Este $i$ un număr pozitiv sau negativ? Niciuna: pe $\mathbb{C}$ nu există o relație de ordine compatibilă cu operațiile. Din $i>0$ ar rezulta $-1>0$; la fel și din $i<0$. De aceea numerele complexe nu se compară între ele.

Orice ecuație are soluții în mulțimea numerelor complexe? Orice ecuație polinomială de grad cel puțin $1$ cu coeficienți complecși are soluții în $\mathbb{C}$ — este teorema fundamentală a algebrei, pe care o vei întâlni la polinoame. De aceea $\mathbb{C}$ este ultima extindere necesară.

Ce urmează după această lecție? Urmează forma algebrică $z=a+bi$, cu partea reală și partea imaginară, apoi criteriul de egalitate a două numere complexe și operațiile: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Toate se sprijină pe aceeași regulă unică pe care ai învățat-o azi: $i^2=-1$.