Pentru funcția $$f(x)=\ln(5-2x)$$, derivata și mulțimea pe care ea este valabilă sunt:

$$f'(x)=\dfrac{-2}{5-2x}$$, pe $$\left(-\infty,\dfrac{5}{2}\right)$$

$$f'(x)=\dfrac{-2}{5-2x}$$, pe $$\left(\dfrac{5}{2},+\infty\right)$$

$$f'(x)=\dfrac{1}{5-2x}$$, pe $$\left(-\infty,\dfrac{5}{2}\right)$$

$$f'(x)=\dfrac{2}{5-2x}$$, pe $$\mathbb{R}$$

Derivata funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\left(x^{2}-5x\right)^{4}$$, este:

$$4\left(x^{2}-5x\right)^{3}(2x-5)$$

$$\left(x^{2}-5x\right)^{3}(2x-5)$$

$$4\left(x^{2}-5x\right)^{4}(2x-5)$$

Cum derivez radicalul dintr-o expresie?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Regula lanțului

Folosești $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , unde $u$ este expresia de sub radical, cu $u > 0$ . Derivezi radicalul ca pe $x$ , păstrând expresia, apoi înmulțești cu derivata ei. De exemplu, pentru $f (x) = x^{2} + 9$ : $u^{'} = 2 x$ , deci $f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 9} = \frac{x}{x ^{2} + 9}$ . În $x = 4$ se obține $\frac{4}{5}$ . Dacă uiți factorul $u^{'}$ , rezultatul iese greșit, chiar dacă restul formulei este corect.

O funcție este compusă atunci când o operație se aplică nu lui $x$ , ci unei expresii întregi cu $x$ : sub radical, la exponent ori între parantezele logaritmului găsești mai mult decât un simplu $x$ . Testul e mecanic — acoperă cu degetul stratul din afară și uită-te ce rămâne dedesubt.

Regula lanțului se scrie $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ : derivezi stratul din afară păstrând interiorul ca argument, apoi înmulțești cu derivata interiorului. Notând interiorul cu $u$ , procedura are trei pași: numești $u$ și calculezi $u^{'}$ , derivezi exteriorul lăsând $u$ neatins acolo unde stătea, înmulțești cu $u^{'}$ . Tabelul derivatelor compuse nu conține formule noi: e același tabel, în care $x$ devine $u$ , iar la sfârșit apare factorul $u^{'}$ ; pentru $u = x$ se regăsește tabelul de bază.

Factorul $u^{'}$ este partea care se pierde cel mai ușor. Când interiorul are forma $a x + b$ , numărul $a$ trebuie să apară în rezultat; dacă rezultatul tău se potrivește literă cu literă cu rândul din tabelul simplu, un strat a rămas nederivat. La două sau trei straturi suprapuse, numărul factorilor din răspuns este chiar numărul straturilor.

Domeniul se citește din interior, cu inegalitate strictă la radical și la logaritm: $u$ se derivează numai acolo unde $u > 0$ , fiindcă anularea interiorului ar cere o împărțire la zero. Puterile nu adaugă nicio condiție. Compunerea nu trece înaintea produsului sau a câtului: pornești tot de la ultima operație și cobori.

De reținut

$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , pentru $u > 0$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
regula lanțului: derivata exteriorului, calculată în $u$ , ori $u^{'}$

Greșeala tipică

Se scrie $(x^{2} + 9)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 9}$ , uitând derivata interiorului; corect este $\frac{2 x}{2 x ^{2} + 9}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = e^{5 x - 2}$ , este:
- a) $e^{5 x - 2}$
- b) $(5 x - 2) e^{5 x - 2}$
- c) $5 e^{5 x - 2}$
- d) $5 e^{5 x - 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 e^{5 x - 2}$

Interiorul este $u = 5 x - 2$ , cu $u^{'} = 5$ , iar exteriorul este exponențiala, care se derivează în ea însăși: $f^{'} (x) = e^{5 x - 2} \cdot 5$ . Varianta a) uită factorul venit din interior — semnul sigur că a fost sărit un strat; b) înmulțește cu interiorul, nu cu derivata lui; d) scade $1$ din exponent, ca la o putere, deși la o exponențială variabila stă sus și exponentul nu coboară.
Pentru funcția $f (x) = ln (5 - 2 x)$ , derivata și mulțimea pe care ea este valabilă sunt:
- a) $f^{'} (x) = \frac{- 2}{5 - 2 x}$ , pe $(\frac{5}{2}, + \infty)$
- b) $f^{'} (x) = \frac{- 2}{5 - 2 x}$ , pe $(- \infty, \frac{5}{2})$
- c) $f^{'} (x) = \frac{1}{5 - 2 x}$ , pe $(- \infty, \frac{5}{2})$
- d) $f^{'} (x) = \frac{2}{5 - 2 x}$ , pe $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f^{'} (x) = \frac{- 2}{5 - 2 x}$ , pe $(- \infty, \frac{5}{2})$

Interiorul este $u = 5 - 2 x$ , cu $u^{'} = - 2$ , deci $f^{'} (x) = \frac{- 2}{5 - 2 x}$ . Logaritmul cere $5 - 2 x > 0$ , adică $x < \frac{5}{2}$ . Varianta a) rezolvă inegalitatea pe dos; c) pierde factorul $- 2$ ; d) îi schimbă semnul și lărgește domeniul, deși logaritmul nu are sens peste tot.
Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 5 x)^{4}$ , este:
- a) $4 (x^{2} - 5 x)^{3}$
- b) $4 (x^{2} - 5 x)^{3} (2 x - 5)$
- c) $(x^{2} - 5 x)^{3} (2 x - 5)$
- d) $4 (x^{2} - 5 x)^{4} (2 x - 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 (x^{2} - 5 x)^{3} (2 x - 5)$

Interiorul este $u = x^{2} - 5 x$ , cu $u^{'} = 2 x - 5$ , iar exteriorul este puterea a patra: $f^{'} (x) = 4 u^{3} u^{'}$ . Varianta a) uită factorul din interior; c) nu coboară exponentul în față; d) nu-l scade cu o unitate.

Întrebări conexe

Cum derivez o putere a unei expresii?

Cu $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} \cdot u^{'}$ . De exemplu, $((3 x - 1)^{5})^{'} = 5 (3 x - 1)^{4} \cdot 3 = 15 (3 x - 1)^{4}$ . Desfacerea parantezei la puterea a cincea ar fi dat același rezultat, dar cu mult mai mult calcul. Factorul $3$ vine din interior și este partea pe care o uită cei mai mulți.

Cât este derivata lui $sin (3 x)$ ?

Exteriorul este sinusul, interiorul $u = 3 x$ , cu $u^{'} = 3$ . Deci $(sin 3 x)^{'} = cos (3 x) \cdot 3 = 3 cos 3 x$ . În $x = 0$ derivata este $3$ , adică de trei ori panta sinusului obișnuit în origine. Graficul lui $sin 3 x$ oscilează de trei ori mai repede, de aceea urcă mai abrupt.

Cum derivez un radical de ordinul 3 dintr-o expresie?

Folosești $(3 u)^{'} = \frac{u ^{'}}{3 3 u ^{2}}$ . Pentru $3 x^{2} + 7$ , în $x = 1$ avem $u = 8$ și $364 = 4$ , iar $u^{'} = 2 x = 2$ , deci derivata este $\frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{1}{6}$ . Formula cere $u \neq = 0$ ; unde expresia de sub radical se anulează, derivata nu există.

Cu ce viteză se schimbă distanța până la un mobil care trece pe lângă mine?

Dacă mobilul merge pe o dreaptă aflată la $3$ m de tine, cu $1$ m/s, distanța este $d (t) = 9 + t^{2}$ metri. Regula lanțului dă $d^{'} (t) = \frac{t}{9 + t ^{2}}$ ; la $t = 4$ s, distanța crește cu $\frac{4}{5}$ m/s.

Cum derivez produsul dintre x și un radical?

Combini regula produsului cu cea a radicalului: $(x x + 1)^{'} = x + 1 + x \cdot \frac{1}{2 x + 1}$ . În $x = 3$ se obține $2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ . Ultima operație din expresie decide regula de pornire, aici produsul, iar regula lanțului intervine abia la derivarea radicalului.

Oamenii mai întreabă și: derivata radicalului dintr-o expresie · derivata lui radical din u · cum derivez radical compus · derivata unei funcții cu radical