Regula lanțului: derivezi dinafară înăuntru (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Masa unei substanțe radioactive scade după o lege de forma $120 e^{- t /8}$ , iar intensitatea luminii într-un lac scade la fel, cu adâncimea. Nicio funcție din tabelul derivatelor nu arată așa: exponențiala din tabel are la exponent pe $x$ , nu o altă expresie. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), formula care rezolvă toate cazurile de acest fel se numește regula lanțului, iar la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2 ea intră în joc ori de câte ori sub radical, în exponent sau în paranteza logaritmului stă o expresie, nu doar $x$ .

Ideea ei se spune într-o propoziție: derivezi dinafară înăuntru și înmulțești pe drum. Lecția de astăzi arată de unde vine factorul care se pierde cel mai des, cum se citesc straturile unei expresii și cum se combină regula aceasta cu cele învățate la regulile de derivare pentru sumă, produs și cât.

Ce vei învăța

Vei ști să desfaci o expresie în straturi și să spui, pentru fiecare funcție compusă, cât este interiorul $u$ și cât face $u^{'}$ .
Vei ști să aplici regula lanțului $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ și să explici de ce apare factorul $g^{'} (x)$ .
Vei ști să alegi din tabelul derivatelor compuse rândul potrivit, fie că expresia e o putere, un radical, un logaritm, o exponențială sau o funcție trigonometrică.
Vei ști să stabilești pe ce interval are voie să existe derivata unei funcții compuse, când interiorul intră sub un radical sau sub un logaritm.
Vei ști să combini regula lanțului cu regula produsului și cu cea a câtului, în ordinea corectă.
Vei ști să rezolvi cerința de tip „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ " pentru funcțiile compuse care apar la bacalaureatul M2, cu redactarea completă.

Hai să descoperim împreună

1. Cum recunoști o funcție compusă?

Ai lucrat cu compunerea încă din clasa a X-a, la operații cu funcții și compunerea funcțiilor. Funcția compusă a două funcții $g$ și $f$ este funcția care îi asociază lui $x$ numărul $f (g (x))$ , notată $f \circ g$ și definită pentru acei $x$ din domeniul lui $g$ pentru care valoarea $g (x)$ se află în domeniul lui $f$ .

Practic, ai o funcție compusă ori de câte ori, calculând valoarea într-un punct, apeși două taste una după alta. Ca să obții $x^{2} + 9$ în $x = 4$ calculezi întâi $16 + 9 = 25$ , apoi extragi radicalul: interiorul este $u (x) = x^{2} + 9$ , exteriorul este radicalul. La $e^{3 x}$ înmulțești întâi cu $3$ , apoi ridici $e$ la acea putere. La $ln (2 x - 9)$ calculezi paranteza, apoi logaritmul.

Notația pe care o vom folosi peste tot este $u$ pentru interior: scriem $f (x) = u$ cu $u = x^{2} + 9$ , sau $f (x) = e^{u}$ cu $u = 3 x$ . Scrisul acesta pare o pierdere de timp la primele exerciții, dar este singura metodă care nu lasă loc de confuzie la expresii mai încurcate, iar la examen se face din minte, în două secunde.

La fel de important este să recunoști când nu ai o compunere, pentru că regula aplicată unde nu trebuie strică la fel de mult ca regula uitată. În $x^{2} + sin x$ nu există niciun interior: este o sumă de două funcții din tabel, deci se derivează termen cu termen. În $3 ln x$ numărul $3$ este un simplu factor în față, nu un strat; interiorul logaritmului este chiar $x$ , cu derivata $1$ . În schimb $ln (3 x)$ chiar are un interior, $u = 3 x$ . Diferența dintre ultimele două scrieri se vede abia în rezultat, iar ea separă, la examen, două răspunsuri.

2. De ce nu ajunge să derivezi doar exteriorul?

Ia o funcție pe care o poți deriva și fără nicio regulă nouă: $f (x) = (2 x + 1)^{2}$ . Desfăcând pătratul, $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$ , deci $f^{'} (x) = 8 x + 4$ .

Acum încearcă „naiv": exteriorul este pătratul, a cărui derivată este $2 u$ , deci ar ieși $2 (2 x + 1) = 4 x + 2$ . Rezultatul corect, $8 x + 4$ , este exact dublul. De unde vine dublul? Din interior: $u = 2 x + 1$ are $u^{'} = 2$ . Când $x$ crește cu puțin, $u$ crește de două ori mai repede, iar pătratul „simte" această accelerare. Factorul pierdut este chiar derivata interiorului.

Verifică pe un al doilea caz, ca să nu pară o coincidență: $f (x) = (3 x)^{3} = 27 x^{3}$ are $f^{'} (x) = 81 x^{2}$ , în timp ce derivarea naivă a exteriorului ar da $3 (3 x)^{2} = 27 x^{2}$ . Raportul dintre ele este $3$ , adică exact derivata interiorului. Regula care urmează nu face altceva decât să transforme observația aceasta în formulă.

3. Regula lanțului

Enunțul se scrie așa: dacă $g$ este derivabilă în punctul $x$ , iar $f$ este derivabilă în punctul $g (x)$ , atunci funcția compusă $f \circ g$ este derivabilă în $x$ și

$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .$

În limbajul cu care vom lucra, unde interiorul se numește $u$ , formula se citește: derivata exteriorului, calculată în $u$ , înmulțită cu derivata interiorului. Numele de „regulă a lanțului" vine tocmai de aici: derivatele se înlănțuie, adică se înmulțesc de-a lungul straturilor, de la cel din afară spre cel dinăuntru.

Atenție la un amănunt care contează: derivata exteriorului se calculează în $u$ , nu în $x$ . Pentru $f (x) = x^{2} + 9$ , derivata radicalului este $\frac{1}{2 u}$ , deci $\frac{1}{2 x ^{2} + 9}$ , nu $\frac{1}{2 x}$ . Interiorul rămâne neschimbat în stratul exterior și apare derivat doar ca factor, la sfârșit.

Enunțul cere două condiții, nu una: interiorul să fie derivabil în punctul în care lucrezi, iar exteriorul să fie derivabil în valoarea pe care interiorul o produce acolo. A doua condiție este cea care se uită, și tocmai ea explică de ce derivata unei funcții compuse poate lipsi într-un punct în care funcția însăși există. La $x^{2} - 4$ , de pildă, în $x = 2$ interiorul se anulează, iar radicalul nu este derivabil în zero: funcția are valoare acolo, dar nu are derivată.

4. Procedura, în trei pași

Ordinea de lucru nu se schimbă niciodată, oricât de complicată ar fi expresia:

Numește interiorul. Scrie $u = \dots$ și calculează $u^{'}$ .
Derivează exteriorul, lăsând $u$ neatins acolo unde stătea.
Înmulțește cu $u^{'}$ și, dacă se poate, simplifică.

Să o urmărim pe $f (x) = ln (x^{2} + 5)$ . Interiorul este $u = x^{2} + 5$ , cu $u^{'} = 2 x$ . Exteriorul este logaritmul, cu derivata $\frac{1}{u}$ . Prin urmare $f^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 5} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 5}$ , pentru orice $x$ real, pentru că $x^{2} + 5$ este pozitiv peste tot.

Un al doilea exemplu, cu radical: $f (x) = 5 x - 1$ . Aici $u = 5 x - 1$ , $u^{'} = 5$ , iar derivata radicalului este $\frac{1}{2 u}$ . Rezultă $f^{'} (x) = \frac{5}{2 5 x - 1}$ . Domeniul se citește din interior: expresia de sub radical trebuie să fie strict pozitivă ca să existe derivata, deci $x > \frac{1}{5}$ .

5. Tabelul derivatelor compuse

Cele trei etape se pot comprima într-un tablou pe care îl vei folosi direct. Peste tot $u$ este o funcție derivabilă de $x$ , iar condițiile din coloana a treia se referă la valorile lui $u$ .

funcția	derivata	condiția
$u^{n}$ , $n$ natural nenul	$n u^{n - 1} u^{'}$	oriunde este derivabilă $u$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u > 0$
$ln u$	$\frac{u ^{'}}{u}$	$u > 0$
$e^{u}$	$e^{u} u^{'}$	oriunde este derivabilă $u$
$a^{u}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$	$a^{u} u^{'} ln a$	oriunde este derivabilă $u$
$sin u$	$u^{'} cos u$	oriunde este derivabilă $u$
$cos u$	$- u^{'} sin u$	oriunde este derivabilă $u$
$tg u$	$\frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$	$cos u \neq = 0$
$ctg u$	$- \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$	$sin u \neq = 0$

Rândurile acestea nu sunt formule noi de memorat, ci tabelul derivatelor funcțiilor uzuale cu $x$ înlocuit prin $u$ și cu factorul $u^{'}$ adăugat. Dacă iei $u = x$ , ai $u^{'} = 1$ și regăsești exact tabelul de bază — o probă bună că n-ai încurcat nimic.

Două rânduri merită citite cu atenție. La radical și la logaritm, condiția din coloana a treia este o inegalitate strictă, nu una largă: $u$ are derivată numai unde $u > 0$ , pentru că în punctele în care interiorul se anulează numitorul formulei devine zero. La puteri, în schimb, nu există nicio condiție suplimentară: $u^{3}$ se derivează la fel de bine oriunde este derivabil interiorul, chiar și acolo unde el ia valori negative. Este singura deosebire de fond dintre rândurile tabelului, iar la examen ea apare ca cerința „precizați domeniul".

6. Ce faci când regula lanțului se combină cu celelalte?

Regula rămâne aceeași: pornești de la ultima operație și cobori. Compunerea nu are prioritate față de produs sau cât; ea intră în joc atunci când ajungi la un factor care este el însuși compus.

La $f (x) = x e^{2 x}$ ultima operație este o înmulțire, deci pornești cu regula produsului: $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot (e^{2 x})^{'}$ . Abia acum apare compunerea, pentru al doilea termen: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ . Rezultatul este $f^{'} (x) = e^{2 x} + 2 x e^{2 x} = e^{2 x} (2 x + 1)$ . Cine sare peste regula produsului și scrie doar $2 e^{2 x}$ pierde jumătate din răspuns.

La $f (x) = \frac{x + 4}{x}$ , definită pentru $x > - 4$ și $x \neq = 0$ , ultima operație este împărțirea, deci pornești cu regula câtului, iar compunerea se folosește pentru derivata numărătorului, $\frac{1}{2 x + 4}$ . Ordinea aceasta — dinspre afară spre înăuntru, indiferent de regulă — este singura care nu lasă termeni pe drum.

7. Straturi suprapuse și proba rapidă

Uneori interiorul este el însuși o funcție compusă. La $f (x) = e^{x}$ ai două straturi: exponențiala în afară, radicalul înăuntru. Aplici regula de două ori, de la exterior spre interior: $f^{'} (x) = e^{x} \cdot \frac{1}{2 x}$ , pentru $x > 0$ . La trei straturi lucrezi la fel, iar în răspuns apar trei factori înmulțiți; dacă numeri mai puțini factori decât straturi, ai pierdut unul.

Un caz aparte apare când unul dintre straturi este o constantă. La $f (x) = e^{5}$ nu ai nicio compunere, ci un număr: derivata este zero. La $f (x) = (x^{2} + 1)^{0}$ , care este constant egal cu $1$ pe tot domeniul, la fel — rândul $u^{n}$ cere $n$ natural nenul, deci exponentul $0$ rămâne în afara tabelului. Regula lanțului lucrează numai acolo unde interiorul chiar depinde de $x$ , iar verificarea aceasta se face dintr-o privire, înainte de orice calcul.

Proba cea mai rapidă este cea a interiorului liniar. Când interiorul este de forma $a x + b$ , derivata lui este $a$ , deci numărul $a$ apare ca factor în rezultat — singura excepție fiind $a = 1$ , când înmulțirea nu lasă nicio urmă. La $sin (5 x)$ răspunsul conține $5$ ; la $e^{- 6 x}$ conține $- 6$ ; la $ln (2 x - 9)$ conține $2$ . Dacă rezultatul tău arată la fel ca formula din tabelul de bază, ai uitat factorul.

A doua probă este numerică și nu cere nimic special: pentru $f (x) = 6 x + 25$ în $x_{0} = 0$ formula dă $\frac{6}{2 \cdot 5} = \frac{3}{5} = 0, 6$ , iar raportul $\frac{f ( 0 , 01 ) - f ( - 0 , 01 )}{0 , 02}$ dă tot $0, 6$ . Două zecimale care se potrivesc sunt, în practică, o garanție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dezintegrarea unei substanțe radioactive

Masa unui izotop dintr-o probă de laborator scade după legea $m (t) = 120 e^{- t /8}$ , unde $m$ se măsoară în miligrame, iar $t$ în zile. a) Calculați $m^{'} (t)$ . b) Determinați viteza de scădere a masei la momentul inițial și arătați că $m^{'} (t) = - \frac{1}{8} m (t)$ .

Rezolvare. a) Interiorul este $u = - \frac{t}{8}$ , cu $u^{'} = - \frac{1}{8}$ , iar exteriorul este exponențiala. Regula lanțului dă

$m^{'} (t) = 120 e^{- t /8} \cdot (- \frac{1}{8}) = - 15 e^{- t /8} .$

b) La momentul inițial, $m^{'} (0) = - 15$ miligrame pe zi: masa scade cu cincisprezece miligrame în prima zi, aproximativ. Semnul minus arată scăderea, iar valoarea absolută arată cât de repede se petrece.

Comparând cele două formule, se vede că $- \frac{1}{8} m (t) = - \frac{1}{8} \cdot 120 e^{- t /8} = - 15 e^{- t /8}$ , adică exact $m^{'} (t)$ . Relația aceasta este semnătura dezintegrării radioactive: viteza de scădere este proporțională cu cantitatea rămasă, așa că o probă de două ori mai mare pierde, în aceeași clipă, de două ori mai multă substanță. Modelul are sens pentru orice $t \geq 0$ , iar masa rămâne pozitivă oricât de mult ar trece timpul, apropiindu-se de zero fără să-l atingă.

Exemplul 2 — O putere a unei expresii

Calculați derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 4 x + 1)^{5}$ .

Rezolvare. Interiorul este $u = x^{2} - 4 x + 1$ , cu $u^{'} = 2 x - 4$ ; exteriorul este puterea a cincea, cu derivata $5 u^{4}$ . Prin urmare

$f^{'} (x) = 5 (x^{2} - 4 x + 1)^{4} (2 x - 4) .$

Rezultatul se poate scrie și $10 (x^{2} - 4 x + 1)^{4} (x - 2)$ , dând factor comun pe $2$ . Nu se desfac parantezele: o putere a cincea desfăcută ar da un polinom de gradul zece, inutil de scris, iar forma factorizată este cea cu care se lucrează mai departe.

Merită observat și cum se controlează rezultatul: exponentul a coborât cu o unitate, de la cinci la patru, iar alături a apărut un factor de gradul întâi, derivata interiorului. Dacă în răspunsul tău exponentul rămâne cinci, ai uitat să derivezi exteriorul; dacă lipsește paranteza $2 x - 4$ , ai uitat interiorul. Cele două greșeli se recunosc, așadar, fără să refaci nimic.

Exemplul 3 — Un radical dintr-o expresie

Calculați derivata funcției $f (x) = x^{2} + 6 x$ și precizați intervalele pe care rezultatul este valabil.

Rezolvare. Interiorul este $u = x^{2} + 6 x = x (x + 6)$ , cu $u^{'} = 2 x + 6$ . Aplicând formula din tabel,

$f^{'} (x) = \frac{2 x + 6}{2 x ^{2} + 6 x} = \frac{x + 3}{x ^{2} + 6 x} .$

Funcția este definită acolo unde $x (x + 6) \geq 0$ , adică pe $(- \infty, - 6] \cup [0, + \infty)$ , dar derivata cere strict pozitivitate, deci formula este valabilă pe $(- \infty, - 6) \cup (0, + \infty)$ . În punctele $- 6$ și $0$ , unde interiorul se anulează, numitorul devine zero și derivata nu există.

Exemplul 4 — Un logaritm compus

Calculați derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = ln (x^{2} + 2 x + 5)$ .

Rezolvare. Mai întâi verificăm că logaritmul are sens peste tot: $x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4 \geq 4 > 0$ pentru orice $x$ real. Interiorul este $u = x^{2} + 2 x + 5$ , cu $u^{'} = 2 x + 2$ , iar formula dă

$f^{'} (x) = \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 5} .$

Aici scrierea sub forma $\frac{2 ( x + 1 )}{x ^{2} + 2 x + 5}$ este mai utilă, pentru că arată dintr-o privire că derivata se anulează numai în $x = - 1$ .

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează derivata funcției $f : (- \frac{16}{9}, + \infty) \to R$ , $f (x) = 9 x + 16$ , și scrie: „derivata este $\frac{1}{2 9 x + 16}$ , deci în origine ea valorează $\frac{1}{8}$ ". Găsiți greșeala și dați rezultatul corect.

Rezolvare. Elevul a derivat corect stratul exterior, dar a uitat complet stratul interior. Interiorul este $u = 9 x + 16$ , cu $u^{'} = 9$ , iar formula cere înmulțirea cu acest factor:

$f^{'} (x) = \frac{9}{2 9 x + 16} .$

În $x = 0$ rezultatul corect este $f^{'} (0) = \frac{9}{8}$ , adică de nouă ori mai mult decât a scris elevul — exact factorul pierdut.

Proba numerică arată imediat cine are dreptate. Avem $f (0) = 4$ și $f (0, 01) = 16, 09 \approx 4, 01123$ , deci raportul de variație pe acest interval scurt este aproximativ $1, 123$ , apropiat de $\frac{9}{8}$ și foarte departe de $\frac{1}{8}$ . Proba interiorului liniar spune același lucru mai repede: interiorul este $9 x + 16$ , deci numărul $9$ trebuie să apară undeva în rezultat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ , $x \in R$ . b) Rezolvați ecuația $f^{'} (x) = 0$ . c) Arătați că $f^{'} (x) < 0$ pentru orice $x > 0$ .

Rezolvare.

a) Ultima operație este o înmulțire, deci pornim cu regula produsului, iar al doilea factor cere regula lanțului: $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ , pentru că interiorul $- x$ are derivata $- 1$ . Atunci

$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + (x + 1) (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x - 1) = - x e^{- x} .$

b) Cum $e^{- x} > 0$ pentru orice $x$ real, ecuația se reduce la $- x = 0$ , deci singura soluție este $x = 0$ .

c) Pentru $x > 0$ avem $- x < 0$ , iar $e^{- x}$ rămâne pozitiv, deci produsul este negativ: $f^{'} (x) < 0$ , ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde prima problemă a Subiectului al III-lea începe cu „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ", continuă cu un calcul și se încheie cu o inegalitate. Funcțiile alese acolo sunt de același tip: un produs dintre un polinom și o exponențială, derivat cu regula produsului. Punctul c) cere doar semnul unei expresii; ce se întâmplă cu monotonia funcției este tema unității următoare.

Să exersăm

Ordinea de lucru: numește interiorul, derivează exteriorul, înmulțește cu $u^{'}$ , verifică factorul.

1. Calculează derivata funcției $f (x) = (3 x - 4)^{6}$ , $x \in R$ .

2. Calculează derivata funcției $f (x) = (x^{3} + 2)^{5}$ , $x \in R$ .

3. Calculează derivata funcției $f (x) = 8 x - 3$ și precizează pe ce interval este valabil rezultatul.

4. Calculează derivata funcției $f (x) = 4 x^{2} + 9$ , $x \in R$ .

5. Calculează derivata funcției $f (x) = e^{- 3 x}$ , $x \in R$ .

6. Calculează derivata funcției $f (x) = e^{x^{2} + x}$ , $x \in R$ .

7. Calculează derivata funcției $f (x) = ln (4 x - 7)$ și precizează domeniul.

8. Calculează derivata funcției $f (x) = cos (x^{3})$ , $x \in R$ .

9. Calculează derivata funcției $f (x) = sin^{3} x$ , $x \in R$ .

10. Calculează derivata funcției $f (x) = ln x$ , $x \in (1, + \infty)$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $g$ este derivabilă pe $R$ și $f (x) = g (3 x)$ , atunci $f^{'} (2) = g^{'} (6)$ ."

12. Calculează derivata funcției $f (x) = (x - 3) e^{4 x}$ , $x \in R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = e^{2 x} - 2 x$ . Arată că $f^{'} (x) = 2 (e^{2 x} - 1)$ , $x \in R$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln (3 x)$ . Arată că $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 3)^{4}$ . Calculează $f^{'} (1)$ .

16. (Problemă aplicată.) Intensitatea luminii într-un lac scade cu adâncimea după legea $I (h) = 900 e^{- h /5}$ , unde $I$ se măsoară în lucși, iar $h$ în metri, $h \in [0, 20]$ . Calculează $I^{'} (h)$ și $I^{'} (0)$ , apoi explică ce înseamnă semnul rezultatului.

17. Calculează derivata funcției $f (x) = e^{5 x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .

18. (Provocare.) Arată că funcția $f : (0, π) \to R$ , $f (x) = ln (sin x)$ , are derivata $f^{'} (x) = ctg x$ , și explică de ce domeniul nu poate fi mărit.

Răspunsuri și explicații

1. Interiorul este $3 x - 4$ , cu derivata $3$ , deci $f^{'} (x) = 6 (3 x - 4)^{5} \cdot 3 = 18 (3 x - 4)^{5}$ .

2. $f^{'} (x) = 5 (x^{3} + 2)^{4} \cdot 3 x^{2} = 15 x^{2} (x^{3} + 2)^{4}$ .

3. Interiorul este $8 x - 3$ , cu derivata $8$ , deci $f^{'} (x) = \frac{8}{2 8 x - 3} = \frac{4}{8 x - 3}$ , valabil pentru $8 x - 3 > 0$ , adică pe $(\frac{3}{8}, + \infty)$ .

4. Interiorul este $4 x^{2} + 9$ , cu derivata $8 x$ , deci $f^{'} (x) = \frac{8 x}{2 4 x ^{2} + 9} = \frac{4 x}{4 x ^{2} + 9}$ , pentru orice $x$ real, pentru că $4 x^{2} + 9 > 0$ peste tot.

5. $f^{'} (x) = - 3 e^{- 3 x}$ . Factorul $- 3$ este derivata interiorului.

6. $f^{'} (x) = (2 x + 1) e^{x^{2} + x}$ . Exponentul rămâne neschimbat; derivata lui apare ca factor.

7. $f^{'} (x) = \frac{4}{4 x - 7}$ , pe domeniul $(\frac{7}{4}, + \infty)$ , unde $4 x - 7 > 0$ .

8. $f^{'} (x) = - 3 x^{2} sin (x^{3})$ . Minusul vine de la derivata cosinusului, iar $3 x^{2}$ de la interior.

9. Scriem $f (x) = (sin x)^{3}$ : interiorul este $sin x$ , cu derivata $cos x$ , deci $f^{'} (x) = 3 sin^{2} x cos x$ .

10. Interiorul este $ln x$ , cu derivata $\frac{1}{x}$ , deci $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x ln x}$ . Condiția $ln x > 0$ explică de ce domeniul începe de la $1$ .

11. Fals. Interiorul $3 x$ are derivata $3$ , deci $f^{'} (x) = 3 g^{'} (3 x)$ , iar în $x = 2$ obținem $f^{'} (2) = 3 g^{'} (6)$ , nu $g^{'} (6)$ . Afirmația uită exact factorul pe care regula lanțului îl adaugă.

12. Regula produsului dă $f^{'} (x) = e^{4 x} + (x - 3) \cdot 4 e^{4 x} = e^{4 x} (4 x - 11)$ . Compunerea intervine numai la derivata celui de-al doilea factor, de unde vine numărul $4$ .

13. $f^{'} (x) = 2 e^{2 x} - 2 = 2 (e^{2 x} - 1)$ , ceea ce trebuia arătat.

14. Interiorul este $3 x$ , cu derivata $3$ , deci $f^{'} (x) = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ . Același rezultat se obține scriind $ln (3 x) = ln 3 + ln x$ : constanta $ln 3$ dispare la derivare.

15. $f^{'} (x) = 4 (x^{2} + 3)^{3} \cdot 2 x = 8 x (x^{2} + 3)^{3}$ , iar în $x = 1$ avem $f^{'} (1) = 8 \cdot 64 = 512$ .

16. $I^{'} (h) = 900 e^{- h /5} \cdot (- \frac{1}{5}) = - 180 e^{- h /5}$ , iar $I^{'} (0) = - 180$ lucși pe metru. Semnul negativ arată că lumina slăbește pe măsură ce cobori, iar valoarea absolută scade odată cu adâncimea: primul metru de apă oprește mult mai multă lumină decât al zecelea.

17. Sunt trei straturi: exponențiala, radicalul și interiorul $5 x$ . Derivând de la exterior spre interior, $f^{'} (x) = e^{5 x} \cdot \frac{5}{2 5 x} = \frac{5 e ^{5 x}}{2 5 x}$ , pentru $x > 0$ . Numărul de factori din răspuns este chiar numărul de straturi.

18. Interiorul este $sin x$ , cu derivata $cos x$ , deci $f^{'} (x) = \frac{cos x}{sin x} = ctg x$ . Domeniul nu poate fi mărit pentru că logaritmul cere $sin x > 0$ , condiție îndeplinită exact pe intervalul $(0, π)$ dintre două zerouri consecutive ale sinusului.

De reținut

Regula lanțului se scrie $(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ și se citește: derivata exteriorului, calculată în interior, înmulțită cu derivata interiorului.
Interiorul rămâne neschimbat în stratul exterior; el apare derivat o singură dată, ca factor, la sfârșitul rezultatului.
Tabelul derivatelor compuse este tabelul obișnuit cu $x$ înlocuit prin $u$ și cu factorul $u^{'}$ adăugat; pentru $u = x$ se regăsește tabelul de bază, ceea ce este și cea mai simplă probă a memoriei.
Când interiorul este de forma $a x + b$ , numărul $a$ trebuie să apară în rezultat; absența lui este semnul sigur că a fost uitat un strat.
Compunerea nu are prioritate față de produs sau cât: se pornește tot de la ultima operație a expresiei, iar regula lanțului intră în joc când se ajunge la un factor compus.

Greșeli frecvente

Confunzi $ln (3 x)$ cu $3 ln x$ . În primul caz există un interior, $u = 3 x$ , și derivata este $\frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ ; în al doilea, $3$ este doar un factor în față, iar derivata este $\frac{3}{x}$ . Două expresii apropiate ca scriere, cu derivate diferite.
Pierzi paranteza interiorului la logaritm și la radical. Derivata lui $ln (x^{2} + 1)$ este $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , nu $\frac{2 x}{x ^{2}} + 1$ : interiorul întreg coboară la numitor, nu doar primul lui termen.
Lași răspunsul scris cu $u$ , nu cu $x$ . O rezolvare care se oprește la $\frac{u ^{'}}{2 u}$ nu este terminată: litera $u$ a fost o unealtă de lucru, iar rezultatul final trebuie să conțină numai expresia în $x$ , cu interiorul pus la loc peste tot.
Aplici regula lanțului și uiți regula produsului. La $f (x) = x e^{2 x}$ răspunsul nu este $2 e^{2 x}$ : expresia este mai întâi un produs, deci are doi termeni, iar compunerea se folosește doar înăuntrul celui de-al doilea.
Derivezi $a^{u}$ fără $ln a$ . Pentru $f (x) = 2^{3 x}$ derivata este $3 \cdot 2^{3 x} ln 2$ , nu $3 \cdot 2^{3 x}$ : baza diferită de $e$ aduce întotdeauna factorul $ln a$ , pe lângă factorul venit din interior.

Aplică acasă

Factorul se vede pe hârtie milimetrică. Desenează pe aceeași foaie, cu grijă, graficele funcțiilor $sin x$ și $sin (2 x)$ pe intervalul de la $0$ la $π$ , luând valori din $0, 2$ în $0, 2$ . În origine, trasează cu rigla câte o tangentă la fiecare curbă, apoi măsoară cât urcă fiecare dreaptă pe o unitate în dreapta. Vei găsi aproximativ $1$ pentru prima și aproximativ $2$ pentru a doua: factorul $u^{'} = 2$ nu este o convenție de calcul, ci se vede cu ochiul liber.
Lumina prin foi de hârtie. Pune telefonul cu ecranul în sus, pornește o aplicație de măsurat luminozitatea și așază deasupra, pe rând, una, două, trei și patru foi de hârtie, notând valoarea de fiecare dată. Valorile scad aproape geometric, adică se potrivesc cu un model de forma $I (n) = I_{0} e^{- k n}$ . Estimează $k$ din raportul a două valori vecine, apoi calculează $I^{'} (2)$ cu regula lanțului și spune ce înseamnă numărul obținut.
Cât de repede se schimbă pH-ul. La chimie, $pH = - l g c$ , unde $c$ este concentrația ionilor de hidrogen. Scrie funcția ca $pH (c) = - \frac{ln c}{ln 10}$ , derivează și calculează valoarea derivatei pentru $c = 1 0^{- 3}$ și pentru $c = 1 0^{- 6}$ . Compară cele două numere și explică de ce, în soluțiile foarte diluate, o schimbare minusculă a concentrației mută pH-ul mult mai mult decât în cele concentrate.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „operații cu funcții derivabile și reguli de derivare". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde „operațiile cu funcții derivabile" sunt cerute explicit de programa de examen (OMEN 4430/2014), iar tema apare la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

Demonstrația regulii nu intră în programa acestui profil: programa de examen precizează că exprimarea „regula lui…" arată un rezultat folosit în aplicații, a cărui demonstrație rămâne în afara ei. În schimb, lecția arată de unde vine factorul care se uită cel mai des, pe două funcții care se pot deriva și fără regulă — o justificare pe care un elev de la științe o reține mai bine decât un șir de inegalități.

Ordinea lecțiilor din unitate are un motiv practic: regula lanțului vine după regulile pentru sumă, produs și cât, pentru că într-o rezolvare ea se folosește împreună cu ele — compunerea apare înăuntrul unui produs sau al unui cât. Un elev care o învață izolat derivează corect $e^{2 x}$ , dar se blochează la $x e^{2 x}$ ; de aceea jumătate dintre exemplele lecției sunt expresii mixte, iar procedura este formulată de fiecare dată pornind de la ultima operație, nu de la prezența unei compuneri.

Lecția verifică patru lucruri: (1) identificarea corectă a interiorului și a exteriorului; (2) prezența factorului $u^{'}$ în fiecare rezultat; (3) stabilirea domeniului pornind de la interior, la radical și la logaritm; (4) ordinea corectă atunci când compunerea apare împreună cu produsul sau cu câtul. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce calculezi primul când afli valoarea funcției într-un punct?"; „Unde apare, în rezultat, derivata interiorului?"; „De ce la $u$ domeniul cere inegalitate strictă?"; „Câți factori trebuie să aibă răspunsul, dacă expresia are trei straturi?". Semne că elevul a înțeles: notează interiorul înainte de a scrie ceva, verifică singur factorul constant și spune domeniul fără să fie întrebat. Continuarea firească este lecția despre derivata a doua și curbura graficului.

Întrebări frecvente

Regula lanțului se dă la fel la M1 și la M2? Formula este aceeași la ambele profiluri, dar tratarea diferă. La matematică-informatică se demonstrează și se folosește și pentru funcții definite pe ramuri sau cu modul, unde apar puncte în care compusa nu mai este derivabilă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: derivarea funcțiilor compuse tratează și aceste situații, care nu intră în programa de științe ale naturii.

La ce subiect apare derivarea funcțiilor compuse la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, care are două probleme de analiză matematică a câte trei subpuncte de câte cinci puncte. Funcțiile pot conține o compunere — o exponențială cu exponent compus, un logaritm dintr-o expresie sau un radical —, iar prima cerință este de tipul „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ "; în modelul oficial al probei, publicat pentru sesiunea 2026, funcția primei probleme este un produs, fără compunere.

De ce se numește „regula lanțului"? Pentru că derivatele straturilor se înmulțesc una după alta, ca verigile unui lanț. Dacă expresia are trei straturi, rezultatul are trei factori: derivata stratului exterior, derivata celui mijlociu și derivata celui interior. Numele descrie tocmai această înșiruire de înmulțiri, de la exterior spre interior.

Cum îmi dau seama care este interiorul și care exteriorul? Calculează în gând valoarea funcției într-un punct oarecare și urmărește ordinea operațiilor. Ceea ce calculezi primul este interiorul; ultima operație pe care o faci dă exteriorul. Pentru $ln (x^{2} + 5)$ calculezi întâi paranteza, deci ea este interiorul, iar logaritmul este exteriorul. Proba merge și invers: acoperă cu degetul stratul din afară, iar ce rămâne dedesubt, dacă are înțeles de sine stătător, este interiorul căutat.

Ce unitate de măsură are constanta $k$ dintr-un model $e^{- k t}$ ? Exponentul unei exponențiale trebuie să fie un număr fără unitate, deci $k$ se măsoară în unitatea inversă timpului: pe zi, pe oră sau pe secundă, după cum e măsurat $t$ . Derivata modelului, care conține factorul $- k$ , iese atunci în unitatea mărimii împărțită la unitatea timpului, exact cum trebuie.

Se poate scrie regula lanțului cu notația $\frac{d y}{d x}$ ? În unele manuale, da. În acest curs și în subiectele de examen se folosește notația cu prim, $(f \circ g)^{'}$ , pentru că ea arată limpede în ce punct se calculează fiecare derivată. Notația cu diferențiale sugerează o simplificare de fracții care nu este o simplificare adevărată și încurcă mai mult decât ajută la acest nivel.

Trebuie să scriu explicit ce este $u$ ? Nu este obligatoriu, dar te ajută. La expresii cu un singur strat, scrierea lui $u$ se face din minte după câteva exerciții; la două sau trei straturi, notarea lui pe o margine a foii este cea mai ieftină asigurare împotriva factorului uitat. Important este ca rezultatul final să fie scris în funcție de $x$ , nu de $u$ .