Cum calculez cu definiția derivata lui x²+x în 1?

Scrii raportul (f(x)-f(1))/(x-1)= (x²+x-2)/(x-1). Numărătorul se descompune în (x-1)(x+2), iar pentru x≠ 1 raportul devine x+2. Limita în 1 este 3, deci f'(1)=3. Același rezultat îl dă formula f'(x)=2x+1, ca verificare.

Ce este rata medie de variație?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata într-un punct

Pentru o mărime $f$ și intervalul $[a, b]$ , rata medie este $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ : cât se schimbă mărimea, în medie, pe o unitate. Pe grafic ea este panta secantei dintre punctele de abscise $a$ și $b$ . De exemplu, dacă o soluție are $18$ °C la minutul $2$ și $30$ °C la minutul $6$ , rata medie este $\frac{30 - 18}{6 - 2} = 3$ °C pe minut. Unitatea este unitatea mărimii împărțită la unitatea timpului.

Derivata într-un punct este un număr, nu o funcție: valoarea spre care tinde raportul $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ pentru $x \to x_{0}$ , atunci când această valoare există și e finită. Raportul se citește în două feluri deodată — panta secantei care unește punctele de abscise $x_{0}$ și $x$ și rata medie de variație pe intervalul dintre ele. Trecerea la limită le schimbă pe amândouă: panta secantei devine panta tangentei, iar rata medie devine rata instantanee.

Calculul are trei pași care se scriu toți trei: valoarea $f (x_{0})$ , raportul de variație simplificat, limita. Prelucrarea se alege după forma funcției — factorizare la polinoame, numitor comun la funcții raționale, expresie conjugată la radicali — și are un singur scop: să scoată la vedere factorul $x - x_{0}$ care ridică nedeterminarea $\frac{0}{0}$ .

Greșeala care apare cel mai des ține de semn: dacă $f (x_{0})$ e negativ, scăzându-l de fapt aduni. Verificarea ține o secundă, fiindcă la numărător trebuie să obții zero pentru $x = x_{0}$ ; când nu obții, valoarea funcției în punct a fost calculată greșit.

Semnul derivatei se citește înaintea valorii ei: pozitiv înseamnă grafic care urcă trecând prin punct, negativ grafic care coboară, zero tangentă orizontală. La o mărime din științe, derivata poartă o unitate compusă, mărimea raportată la variabilă: metri pe secundă pentru o distanță, miligrame pe litru și pe oră pentru o concentrație, kilopascali pe minut pentru o presiune. Un rezultat aplicativ scris fără unitate este incomplet.

De reținut

rata medie pe $[a, b]$ : $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
rata medie este panta secantei; derivata este panta tangentei
$f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$

Greșeala tipică

Se împarte diferența valorilor la $b$ în loc de $b - a$ ; numitorul este lungimea intervalului, deci pe $[2, 6]$ se împarte la $4$ , nu la $6$ .

Exerciții din această mini-lecție

Într-o reacție de precipitare se cântărește masa de precipitat, în miligrame, din două în două minute, și se obțin valorile $m (0) = 0$ , $m (2) = 18$ , $m (4) = 30$ și $m (6) = 36$ , cu $t$ în minute. Care este rata medie de formare a precipitatului pe intervalul $[2, 4]$ ?
- a) $9$ mg/min
- b) $6$ mg/min
- c) $12$ mg/min
- d) $7, 5$ mg/min
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$ mg/min

Rata medie este variația mărimii împărțită la durata intervalului: $\frac{30 - 18}{4 - 2} = \frac{12}{2} = 6$ mg/min. Varianta c) dă doar creșterea masei, fără împărțirea la durată; a) este rata de pe primul interval, $\frac{18}{2} = 9$ ; d) împarte valoarea $30$ la momentul $4$ , ceea ce nu are legătură cu variația.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 15 x + 3$ , și punctul $x_{0} = 2$ . Care este numărătorul raportului de variație al funcției în acest punct?
- a) $x^{2} - 15 x + 26$
- b) $x^{2} - 15 x + 3$
- c) $x^{2} - 15 x - 20$
- d) $x^{2} - 15 x + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x^{2} - 15 x + 26$

$f (2) = 4 - 30 + 3 = - 23$ , iar numărătorul este $f (x) - f (2) = x^{2} - 15 x + 3 + 23 = x^{2} - 15 x + 26$ : scăderea unui număr negativ adună. Proba: $x^{2} - 15 x + 26 = (x - 2) (x - 13)$ se anulează în $2$ , cum trebuie. Varianta b) uită scăderea, c) scade $23$ în loc să-l adune, iar d) folosește abscisa $2$ în locul valorii funcției.
Se consideră $f : [- \frac{11}{5}, + \infty) \to R$ , $f (x) = 5 x + 11$ . Calculată din definiție, derivata $f^{'} (1)$ este:
- a) $\frac{5}{4}$
- b) $\frac{1}{8}$
- c) $\frac{5}{8}$
- d) $\frac{5}{16}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{5}{8}$

$f (1) = 16 = 4$ . Amplificând cu conjugata, $\frac{5 x + 11 - 4}{x - 1} = \frac{( 5 x + 11 ) - 16}{( x - 1 ) ( 5 x + 11 + 4 )} = \frac{5}{5 x + 11 + 4} ⟶ \frac{5}{8}$ . Varianta b) pierde factorul $5$ venit din interiorul radicalului, a) lasă la numitor doar $16 = 4$ , iar d) înmulțește cei doi termeni de la numitor în loc să-i adune.

Întrebări conexe

Ce legătură are rata medie de variație cu derivata?

Derivata în $x_{0}$ este limita ratei medii când intervalul se strânge spre $x_{0}$ . Pentru $f (x) = x^{2}$ , rata medie pe $[3, 3 + h]$ este $\frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h} = 6 + h$ , care tinde la $6$ când $h \to 0$ , deci $f^{'} (3) = 6$ .

Poate rata medie de variație să fie negativă?

Da, când mărimea scade. Dacă temperatura coboară de la $50$ °C la $35$ °C în $5$ minute, rata medie este $\frac{35 - 50}{5} = - 3$ °C pe minut. Semnul arată sensul schimbării, iar valoarea absolută arată cât de repede se produce.

Cum calculez cu definiția derivata lui $x^{2} + x$ în 1?

Scrii raportul $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1}$ . Numărătorul se descompune în $(x - 1) (x + 2)$ , iar pentru $x \neq = 1$ raportul devine $x + 2$ . Limita în $1$ este $3$ , deci $f^{'} (1) = 3$ . Același rezultat îl dă formula $f^{'} (x) = 2 x + 1$ , ca verificare.

De ce poate fi rata medie zero, deși mărimea s-a schimbat?

Rata medie compară doar capetele intervalului. Dacă o temperatură urcă de la $20$ °C la $26$ °C și apoi revine la $20$ °C, rata medie pe tot intervalul este $0$ , deși între timp a variat. Detaliile din interior se văd doar din ratele pe intervale mai mici sau din derivată.

Ce arată semnul derivatei într-un punct?

O derivată pozitivă înseamnă că, în acel moment, mărimea crește, iar graficul urcă; una negativă, că mărimea scade. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x$ , $f^{'} (1) = - 2$ , deci în $x = 1$ funcția scade, iar $f^{'} (3) = 2$ , deci în $x = 3$ crește.

Oamenii mai întreabă și: rata medie de variație a unei funcții · viteza medie de schimbare · panta secantei și rata medie · cum calculez rata medie de variație