Derivata unei funcții: panta tangentei la grafic (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de chimie, concentrația unei substanțe scade minut cu minut, iar întrebarea care interesează nu este „cu cât a scăzut într-o oră", ci „cât de repede scade acum". În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica îți dă exact instrumentul care răspunde la această întrebare: derivata. Este noțiunea cu care se deschide unitatea „Derivabilitate" și, în același timp, noțiunea de la care pornește prima problemă a Subiectului al III-lea de la Bacalaureatul M2 — în modelul oficial publicat, prima ei cerință este chiar derivata funcției date.

Lecția de astăzi construiește derivata din două direcții care par fără legătură și care se întâlnesc în același număr: panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct și viteza cu care se schimbă o mărime într-o clipă. Nu vei memora deocamdată nicio formulă de derivare: vei învăța de unde vin ele, cum se calculează derivata direct din definiție și cum se scrie o rezolvare care ia punctajul întreg.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi rata medie de variație a unei mărimi pe un interval și să o citești ca pantă a unei secante.
• Vei ști să scrii raportul de variație $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ pentru o funcție dată și un punct dat.
• Vei ști să spui pe de rost ce înseamnă derivata într-un punct și ce reprezintă, pe desen, numărul $f^{\prime }(x_0)$.
• Vei ști să alegi din prima privire prelucrarea potrivită formei funcției — factorizare, numitor comun sau conjugată — și să eviți capcana semnului când $f(x_0)$ este negativ.
• Vei ști să traduci rezultatul în limbajul problemei — viteză într-un model cinematic, viteză de variație a unei concentrații în chimie, ritm de creștere la o populație — și să-i pui unitatea de măsură potrivită.
• Vei ști să citești o rată dintr-un tabel de măsurători și să redactezi calculul în ordinea potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Cât de repede se schimbă o mărime?

Într-un vas de reacție, concentrația unui reactant (în miligrame pe litru) scade după legea $c(t)=60-24t+4t^2$, unde $t$ se măsoară în ore, $t\in [0,3]$. Câteva valori:

Rata medie de variație a unei mărimi pe un interval este raportul dintre variația mărimii și durata intervalului. Pe prima oră ea valorează $\frac{40-60}{1-0}=-20$ mg/L pe oră; pe a doua oră, $\frac{28-40}{1}=-12$; pe a treia, $\frac{24-28}{1}=-4$. Semnul minus spune că mărimea scade, iar valoarea absolută spune cât de repede. Reacția încetinește pe măsură ce reactantul se împuținează: în ultima oră se consumă de cinci ori mai puțin decât în prima.

Merită observat și cum se citește unitatea de măsură a acestui raport: la numărător sunt miligrame pe litru, la numitor ore, deci rata se exprimă în miligrame pe litru pe oră. Regula rămâne aceeași oriunde: unitatea ratei este unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei — metri pe secundă la o mișcare, lei pe bucată la un cost, indivizi pe oră la o populație.

Rata medie are însă un defect: ea amestecă tot ce s-a întâmplat pe interval. Pe intervalul $[1,3]$ rata medie este $\frac{24-40}{2}=-8$, o valoare pe care mărimea nu o „atinge" neapărat în vreun moment anume; ea este doar media schimbării, la fel cum media notelor nu este nota vreunei lucrări. Chimistul are nevoie de altceva: de ritmul din clipa $t=1$, adică de o rată calculată pe un interval oricât de scurt. Intervalul nu poate fi însă redus la zero, pentru că împărțirea la zero nu are sens — și aici intervine analiza matematică, exact cu unealta pe care ai construit-o în unitatea precedentă: limita unei funcții într-un punct.

2. Ce este panta secantei la graficul unei funcții?

Traducerea geometrică a ratei medii este imediată. Fie $f$ o funcție, $x_0$ un punct din domeniul ei și $x\ne x_0$ un al doilea punct. Dreapta care unește $A(x_0,f(x_0))$ și $M(x,f(x))$ se numește secantă, iar panta ei se calculează cu formula fixată în clasa a IX-a la panta unei drepte, ca raport:

$$m_{AM}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},x\ne x_0.$$

Acestui raport îi vom spune, în toată unitatea, raportul de variație al funcției $f$ în punctul $x_0$. El este, în același timp, rata medie de variație pe intervalul dintre $x_0$ și $x$ și panta unei drepte concrete, care se poate desena.

Să-l urmărim numeric pe funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2$, în punctul $x_0=1$, unde $f(1)=2$. Pentru un $x$ oarecare,

$$\frac{2x^2-2}{x-1}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x-1}=2(x+1),x\ne 1.$$

Oricât de mult ne apropiem de $1$, dintr-o parte sau din cealaltă, pantele se adună în jurul aceluiași număr, $4$, și nu din întâmplare: $\underset{x\to 1}{\lim }2(x+1)=4$. Observă ce s-a întâmplat în calculul de mai sus: numărătorul s-a factorizat și a scos la iveală exact factorul $x-1$ care stătea la numitor. Fără simplificarea aceasta, raportul ar fi rămas o nedeterminare de tipul $\frac{0}{0}$ și nu s-ar fi putut calcula nimic; după simplificare, expresia rămasă este continuă în $1$, așa că limita se obține prin simplă înlocuire.

3. Cum se ajunge de la secantă la tangentă?

Definiția de gimnaziu a tangentei — „dreapta care are un singur punct comun cu curba" — este croită pe cerc și se rupe în afara lui: la parabola $y=x^2$, axa $Oy$ are un singur punct comun cu curba fără să fie tangentă, iar la graficul funcției sinus dreapta $y=1$ este tangentă în nesfârșit de multe puncte deodată. Numărul punctelor comune nu decide nimic. Definiția bună trece prin limită: ții punctul $A$ fix pe grafic, muți punctul $M$ pe curbă spre $A$ și urmărești secantele $AM$, care se rotesc. Poziția către care se îndreaptă ele, dacă există, se numește tangentă la graficul funcției în $A$.

Coloana din tabel spune atunci mai mult decât părea: pantele $6$; $5$; $4,2$; $4,02$ sunt pantele unor secante care se rotesc, iar numărul $4$ este panta poziției-limită. Tangenta la graficul funcției $f(x)=2x^2$ în punctul $A(1,2)$ are panta $4$ — un număr pe care geometria elementară nu îl putea produce, pentru că nu avea cum să „atingă" o curbă cu rigla.

Ce câștigi din această definiție se vede imediat în practică: tangenta este dreapta care se confundă cel mai bine cu graficul în jurul punctului. Dacă privești curba cu lupa, pe o porțiune tot mai mică din jurul lui $A$, ea devine tot mai greu de deosebit de tangenta ei. De aceea, în orice aplicație — un grafic de laborator, o curbă de creștere, o traiectorie — tangenta răspunde la întrebarea „ce s-ar întâmpla dacă, din acest moment, mărimea ar continua să se schimbe în același ritm?".

4. Definiția derivatei într-un punct

Cele două drumuri — rata instantanee și panta tangentei — duc la aceeași limită, așa că ea primește un singur nume.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție și $x_0$ un punct interior al domeniului, adică un punct aflat într-un interval deschis conținut în $D$. Dacă limita

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

există și este finită, spunem că $f$ este derivabilă în $x_0$, iar valoarea ei se numește derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ și se notează $f^{\prime }(x_0)$.

Trei lucruri de fixat din prima zi. Derivata $f^{\prime }(x_0)$ este un număr, nu o funcție: ca să aibă sens, ai nevoie de două date deodată — formula lui $f$ și punctul $x_0$ —, la fel ca atunci când scrii valoarea $f(x_0)$. Semnul ei are înțeles: pozitiv înseamnă că, trecând prin punct, graficul urcă — imediat la dreapta lui $x_0$ valorile sunt mai mari decât $f(x_0)$, imediat la stânga mai mici —, negativ înseamnă că graficul coboară, iar zero înseamnă tangentă orizontală. (Monotonia pe un interval se citește din semnul derivatei pe tot intervalul; asta e tema lecției despre monotonie.) Și, cel mai important, $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$ — ecuația propriu-zisă a acestei tangente se scrie în lecția ecuația tangentei la graficul unei funcții.

Notația $f^{\prime }(x_0)$ se citește „f prim de x zero" și îi aparține lui Lagrange; ea nu înseamnă nimic altceva decât numărul obținut din limita de mai sus. Când funcția descrie o mărime fizică, derivata poartă și o unitate de măsură, cea a ratei: dacă $s$ se măsoară în metri și $t$ în secunde, $s^{\prime }(t_0)$ se exprimă în metri pe secundă.

Aceeași limită se mai scrie, notând $x=x_0+h$, sub forma $f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Noi vom folosi prima formă, pentru că exact așa apare cerința în subiectele de examen.

5. Cum calculezi derivata cu definiția?

Indiferent de funcție, calculul urmează același traseu, iar ordinea nu se schimbă:

1. valoarea: calculezi $f(x_0)$ și scrii raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$;
2. prelucrarea: transformi raportul până când nedeterminarea $\frac{0}{0}$ dispare, folosind unealta potrivită formei funcției (o alegi după tiparul de mai jos);
3. limita: calculezi limita expresiei rămase; dacă este finită, acela este $f^{\prime }(x_0)$.

Cele trei prelucrări se recunosc după forma funcției, iar tiparul lor merită fixat acum, pentru că se repetă în toată unitatea. La o funcție polinomială, numărătorul se anulează în $x_0$, deci se descompune obligatoriu într-un produs care conține factorul $x-x_0$; îl scoți prin grupare sau prin formule de calcul prescurtat. La o funcție rațională, aduci întâi cele două fracții de la numărător la același numitor, iar factorul $x-x_0$ apare acolo după reducerea termenilor asemenea. La o funcție cu radical, amplifici fracția cu expresia conjugată a numărătorului, pentru că produsul dintre o diferență și conjugata ei scapă de radical și lasă un numărător polinomial.

De ce apare de fiecare dată aceeași nedeterminare? Pentru că la o funcție continuă ambii termeni ai fracției se apropie de zero odată: numitorul, pentru că așa e construit, iar numărătorul, pentru că valorile $f(x)$ se apropie de $f(x_0)$ — exact proprietatea cu care ai lucrat la operațiile cu funcții continue și semnul unei funcții continue. Nedeterminarea $\frac{0}{0}$ nu e deci un accident de calcul, ci semnătura raportului de variație; ea se ridică numai scoțând la iveală factorul $x-x_0$, iar existența acestui factor este chiar motivul pentru care limita se poate calcula.

6. Ce înseamnă derivata în fizică, chimie și biologie?

Un corp se deplasează rectiliniu, iar spațiul parcurs este $s(t)=3t^2$ (metri, după $t$ secunde). Viteza medie între momentul $2$ și un moment $t$ este $\frac{3t^2-12}{t-2}=3(t+2)$, iar pentru $t\to 2$ ea tinde la $12$. Viteza instantanee la momentul $t_0=2$ este deci $s^{\prime }(2)=12$ m/s. Deosebirea dintre cele două e practică, nu filozofică: viteza medie se scoate dintr-un cronometru și o riglă, în timp ce pe cea instantanee niciun instrument nu o măsoară direct — nici vitezometrul, care o estimează pe intervale foarte scurte. Matematic, ea se obține numai prin trecerea la limită.

Același tipar se repetă în toate disciplinele de la profilul științe ale naturii. Pentru concentrația din §1 calculul se face la fel: $\frac{60-24t+4t^2-40}{t-1}=\frac{4(t-1)(t-5)}{t-1}=4(t-5)\to -16$, deci $c^{\prime }(1)=-16$ mg/L pe oră este viteza cu care se schimbă concentrația în clipa $t=1$. Atenție la cuvinte: în chimie viteza de reacție este, prin convenție, un număr pozitiv — aici $16$ mg/L pe oră —, iar semnul minus al derivatei arată doar că reactantul se consumă. La o cultură de bacterii, derivata numărului de indivizi este ritmul de înmulțire; la un medicament, derivata concentrației din sânge arată dacă doza încă urcă sau a început să scadă. De fiecare dată: derivata este rata instantanee de variație.

Compară cele două numere obținute pentru aceeași concentrație: rata medie pe prima oră a fost $-20$ mg/L pe oră, iar rata instantanee la $t=1$ este $-16$. Nu se contrazic: prima descrie tot intervalul $[0,1]$, a doua descrie exact momentul $t=1$, când reacția merge deja mai încet decât la început. Semnul negativ, comun amândurora, spune pur și simplu că mărimea scade; un elev de la științe ale naturii citește mai întâi semnul derivatei, apoi valoarea ei, pentru că semnul răspunde la „crește sau scade?", iar valoarea la „cu cât pe unitatea de timp?".

O precizare de traseu, ca să știi ce citești și ce nu: la profilul mate-info (M1) se studiază în plus derivatele laterale și punctele în care graficul are colț, teme care nu intră în programa de științe ale naturii. La M2, derivata se cere într-un punct în care funcția este derivabilă, iar accentul cade pe calcul, pe tangentă și pe interpretarea aplicativă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rata citită dintr-un tabel de măsurători

La un experiment de laborator se măsoară volumul de gaz degajat de o reacție. Aparatul înregistrează din cinci în cinci secunde, iar datele se potrivesc cu legea $V(t)=60t-t^2$ (mililitri, $t$ în secunde, $t\in [0,20]$):

a) Calculați rata medie de degajare pe fiecare dintre cele patru intervale. b) Determinați rata de degajare chiar la momentul $t_0=10$ s.

Rezolvare. a) Se împarte creșterea volumului la durata intervalului: $\frac{275-0}{5}=55$; $\frac{500-275}{5}=45$; $\frac{675-500}{5}=35$; $\frac{800-675}{5}=25$ mL/s. Reacția încetinește vizibil.

b) Tabelul singur nu poate da valoarea dintr-o clipă, dar legea poate. Cu $V(10)=500$,

$$\frac{60t-t^2-500}{t-10}=\frac{-(t-10)(t-50)}{t-10}=50-t⟶40.$$

Rata de degajare la momentul $t_0=10$ s este de $40$ mL/s. Se potrivește cu tabelul: valoarea stă între rata de pe $[5,10]$, care e $45$, și cea de pe $[10,15]$, care e $35$. Cu intervale mai scurte, apropierea se vede direct — pe $[10;10,1]$ rata medie este $39,9$ mL/s, iar pe $[10;10,01]$ este $39,99$ mL/s.

Exemplul 2 — O funcție de gradul al doilea

Calculați, din definiție, $f^{\prime }(2)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x$.

Rezolvare. Valoarea: $f(2)=4+6=10$.

Raportul: $\frac{x^2+3x-10}{x-2}=\frac{(x-2)(x+5)}{x-2}=x+5$, pentru $x\ne 2$.

Limita: $\underset{x\to 2}{\lim }(x+5)=7$. Rezultatul e un număr finit, adică exact ce cere definiția, așa că $f^{\prime }(2)=7$; tangenta dusă la grafic în punctul $(2,10)$ are panta $7$.

Control numeric. Pentru $x=2,001$ raportul valorează $7,001$, iar pentru $x=1,999$ valorează $6,999$: pantele secantelor se strâng spre $7$ din ambele părți, ceea ce confirmă rezultatul. Un asemenea control se face în câteva secunde și prinde greșelile de factorizare.

Exemplul 3 — O funcție cu fracție

Calculați, din definiție, $f^{\prime }(1)$ pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}$.

Rezolvare. $f(1)=2$, iar cele două fracții de la numărător se scriu cu numitor comun:

$$\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\frac{2-2x}{x(x-1)}=\frac{-2(x-1)}{x(x-1)}=-\frac{2}{x}.$$

Prin urmare $f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(-\frac{2}{x}\right)=-2$. Rezultatul negativ se potrivește cu forma graficului: funcția $\frac{2}{x}$ este descrescătoare pe $(0,+\infty )$, deci tangenta trebuie să coboare.

Exemplul 4 — O funcție cu radical

Determinați $f^{\prime }(4)$ pentru funcția $f:\left[-\frac{4}{3},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x+4}$, și precizați panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $4$.

Rezolvare. $f(4)=\sqrt{16}=4$. Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu expresia conjugată $\sqrt{3x+4}+4$:

$$\frac{\sqrt{3x+4}-4}{x-4}=\frac{(3x+4)-16}{(x-4)(\sqrt{3x+4}+4)}=\frac{3(x-4)}{(x-4)(\sqrt{3x+4}+4)}=\frac{3}{\sqrt{3x+4}+4}.$$

Limita pentru $x\to 4$ este $\frac{3}{4+4}=\frac{3}{8}$, finită, deci $f$ este derivabilă în $4$ și $f^{\prime }(4)=\frac{3}{8}$.

Reține mecanismul: înmulțirea cu conjugata a transformat diferența de radicali în $(3x+4)-16$, adică într-un polinom care se anulează în $4$ și se factorizează imediat. Radicalul a rămas la numitor, unde nu mai supără, pentru că acolo se poate înlocui direct $x=4$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $f^{\prime }(3)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x$, și scrie: „Raportul este $\frac{x^2-5x-6}{x-3}=\frac{(x-6)(x+1)}{x-3}$; pentru $x\to 3$ numărătorul tinde la $-12$, iar numitorul la $0$, deci limita nu există." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Greșeala este chiar la primul pas, la valoarea funcției în punct. Avem $f(3)=9-15=-6$, deci numărătorul raportului este $f(x)-f(3)=x^2-5x-(-6)=x^2-5x+6$, nu $x^2-5x-6$: scăderea unui număr negativ adună. Factorizarea elevului este corectă — dar a factorizat altă expresie.

Cu semnul pus cum trebuie, numărătorul se anulează în $3$, cum era de așteptat:

$$\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2⟶1,$$

deci $f^{\prime }(3)=1$. Reține și proba, valabilă la orice funcție continuă: numărătorul raportului trebuie să se anuleze în $x_0$. Dacă nu se anulează, valoarea $f(x_0)$ e calculată greșit, iar concluzia „limita nu există" e semnalul clasic al acestei greșeli, nu un răspuns.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-3x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x-3$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$. c) Arătați că $f^{\prime }(x)\ge -3$, pentru orice $x\ge 0$.

Rezolvare.

a) Facem calculul într-un punct oarecare $x_0$: $$\frac{2x^2-3x-(2x_0^2-3x_0)}{x-x_0}=\frac{2(x-x_0)(x+x_0)-3(x-x_0)}{x-x_0}=2(x+x_0)-3⟶4x_0-3.$$ Cum $x_0$ a fost ales arbitrar, $f^{\prime }(x)=4x-3$ pentru orice număr real $x$.

b) $f(1)=2-3=-1$, deci $\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\frac{(x-1)(2x-1)}{x-1}=2x-1$, iar limita cerută este $\underset{x\to 1}{\lim }(2x-1)=1$. Era de așteptat: limita aceasta este chiar $f^{\prime }(1)$, iar formula de la a) dă $4\cdot 1-3=1$.

c) Diferența se calculează direct: $f^{\prime }(x)-(-3)=4x-3+3=4x$. Pentru $x\ge 0$ avem $4x\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge -3$, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică o formulă a derivatei, la b) se calculează o limită, la c) se demonstrează o inegalitate. La examen punctul a) se rezolvă cu regulile de derivare, pe care le înveți în lecțiile următoare; aici l-am făcut din definiție, ca să vezi de unde vine formula. Când demonstrezi o formulă din definiție, spune explicit că $x_0$ a fost ales arbitrar.

Să exersăm

Ordinea de redactare: valoarea funcției în punct, raportul de variație, simplificarea, limita.

1. Pe graficul funcției $f(x)=x^2-x$ se iau punctele de abscise $2$ și $5$. Cât valorează panta secantei care le unește?

2. Află panta tangentei la graficul funcției $f(x)=3x^2$ în punctul de abscisă $2$, pornind de la raportul de variație.

3. Arată, folosind definiția, că funcția $f(x)=5x+2$ are $f^{\prime }(1)=5$, și explică de ce rezultatul era previzibil.

4. Determină $f^{\prime }(3)$ pentru $f(x)=x^2+x$, scriind toți cei trei pași ai calculului.

5. Pornind de la definiție, află derivata funcției $f(x)=x^3$ în punctul $x_0=-2$.

6. Pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x}$, calculează $f^{\prime }(4)$ aducând mai întâi numărătorul raportului la același numitor.

7. Folosind expresia conjugată, calculează derivata funcției $f:[-8,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+8}$, în punctul $x_0=1$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct este egală cu valoarea funcției în acel punct."

9. Pentru $f(x)=x^2-6x$, calculează rata medie de variație pe intervalul $[1,4]$, apoi $f^{\prime }(1)$, și compară cele două numere.

10. Un mobil se deplasează rectiliniu după legea $s(t)=t^2+2t$ (metri, secunde). Determină viteza instantanee la momentul $t_0=1$.

11. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge, în mg/L, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=12t-2t^2$, $t\in [0,6]$. Calculează $C^{\prime }(2)$ și interpretează rezultatul.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x$. Calculează $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$. Arată, folosind definiția, că $f^{\prime }(1)=2$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$. Calculează $f^{\prime }(1)$.

15. Determină panta tangentei la graficul funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x}$, în punctul de abscisă $2$.

16. Arată, din definiție, că funcția $f(x)=x^2-2x$ are $f^{\prime }(1)=0$ și scrie ce înseamnă geometric acest rezultat.

17. Se știe că, pentru $f(x)=x^2$, derivata într-un punct oarecare este $f^{\prime }(x_0)=2x_0$. Determină punctul graficului în care tangenta are panta $6$.

18. (Provocare.) Un corp aruncat vertical în sus are înălțimea $h(t)=20t-5t^2$ (metri, secunde). Arată că $h^{\prime }(t_0)=20-10t_0$, apoi determină momentul în care viteza se anulează și înălțimea atinsă atunci.

Răspunsuri și explicații

1. $f(2)=2$ și $f(5)=20$, deci panta este $\frac{20-2}{5-2}=6$.

2. $f(2)=12$; raportul $\frac{3x^2-12}{x-2}=\frac{3(x-2)(x+2)}{x-2}=3(x+2)\to 12$. Deci $f^{\prime }(2)=12$, adică panta tangentei în punctul $(2,12)$ este $12$.

3. $f(1)=7$; raportul $\frac{5x+2-7}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x-1}=5$, constant. Deci $f^{\prime }(1)=5$: graficul este o dreaptă, tangenta se confundă cu ea, iar panta ei este chiar $5$.

4. $f(3)=12$; raportul $\frac{x^2+x-12}{x-3}=\frac{(x-3)(x+4)}{x-3}=x+4\to 7$. Deci $f^{\prime }(3)=7$.

5. $f(-2)=-8$; raportul $\frac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4\to 4+4+4=12$. Deci $f^{\prime }(-2)=12$.

6. $f(4)=\frac{3}{4}$; raportul $\frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{4}}{x-4}=\frac{12-3x}{4x(x-4)}=-\frac{3}{4x}\to -\frac{3}{16}$. Deci $f^{\prime }(4)=-\frac{3}{16}$.

7. $f(1)=3$; amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+8}+3}\to \frac{1}{6}$. Deci $f^{\prime }(1)=\frac{1}{6}$.

8. Fals. Cele două numere răspund la întrebări diferite: $f(x_0)$ spune unde se află punctul, $f^{\prime }(x_0)$ spune cât de înclinat este graficul acolo. Contraexemplu: pentru $f(x)=2x^2$ în $x_0=1$ avem $f(1)=2$, dar panta tangentei este $f^{\prime }(1)=4$.

9. $f(1)=-5$ și $f(4)=-8$, deci rata medie este $\frac{-8+5}{3}=-1$. Pentru derivată: $\frac{x^2-6x+5}{x-1}=\frac{(x-1)(x-5)}{x-1}=x-5\to -4$, adică $f^{\prime }(1)=-4$. Funcția scade de patru ori mai repede în punctul de abscisă $1$ decât în medie pe tot intervalul $[1,4]$: rata medie netezește, derivata prinde momentul.

10. $s(1)=3$; raportul $\frac{t^2+2t-3}{t-1}=\frac{(t-1)(t+3)}{t-1}=t+3\to 4$. Viteza instantanee este $4$ m/s.

11. $C(2)=24-8=16$; raportul $\frac{12t-2t^2-16}{t-2}=\frac{-2(t-2)(t-4)}{t-2}=-2(t-4)\to 4$. Deci $C^{\prime }(2)=4$ mg/L pe oră: la două ore de la administrare concentrația încă crește, cu aproximativ $4$ mg/L pe fiecare oră.

12. $f(-1)=1-4=-3$; raportul $\frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3\to 2$. Limita cerută este $2$, adică $f^{\prime }(-1)=2$.

13. $f(1)=0$; raportul $\frac{x^3-x}{x-1}=\frac{x(x-1)(x+1)}{x-1}=x(x+1)\to 2$. Limita este finită, deci $f$ este derivabilă în $1$ și $f^{\prime }(1)=2$.

14. $f(1)=0$; raportul $\frac{\frac{x-1}{x+1}}{x-1}=\frac{1}{x+1}\to \frac{1}{2}$. Deci $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$.

15. $f(2)=2$; amplificând cu conjugata, $\frac{\sqrt{2x}-2}{x-2}=\frac{2x-4}{(x-2)(\sqrt{2x}+2)}=\frac{2}{\sqrt{2x}+2}\to \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Panta tangentei este $\frac{1}{2}$.

16. $f(1)=-1$; raportul $\frac{x^2-2x+1}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2}{x-1}=x-1\to 0$. Deci $f^{\prime }(1)=0$: tangenta în punctul $(1,-1)$ este orizontală, iar graficul își schimbă acolo sensul de variație.

17. Condiția este $2x_0=6$, deci $x_0=3$; cum $f(3)=9$, punctul căutat este $(3,9)$.

18. Raportul de variație: $\frac{20t-5t^2-(20t_0-5t_0^2)}{t-t_0}=\frac{(t-t_0)(20-5(t+t_0))}{t-t_0}=20-5(t+t_0)$, iar pentru $t\to t_0$ obținem $h^{\prime }(t_0)=20-10t_0$. Viteza se anulează când $20-10t_0=0$, adică la $t_0=2$ secunde; atunci $h(2)=40-20=20$ de metri. Este chiar înălțimea maximă: până la $t=2$ derivata este pozitivă (corpul urcă), după $t=2$ devine negativă (corpul coboară).

De reținut

• Derivata $f^{\prime }(x_0)$ este limita raportului $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ când $x\to x_0$, cu condiția ca limita să existe și să fie finită; același raport este panta secantei și rata medie de variație, iar limita lui este panta tangentei și rata instantanee.
• Redactarea completă are trei pași scriși pe hârtie, în ordine: valoarea $f(x_0)$, raportul de variație simplificat, limita cu rezultat numeric — se scriu toți trei, nu doar răspunsul final.
• Capcana numărul unu la calculul din definiție este semnul: când $f(x_0)$ este negativ, scăderea lui adună. Proba e simplă — numărătorul trebuie să se anuleze în $x_0$.
• Rata medie și rata instantanee nu se confundă niciodată: prima se calculează pe un interval și e panta unei secante, a doua se calculează într-un punct și cere trecerea la limită.
• La un rezultat aplicativ se scrie și unitatea de măsură — unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei (m/s, mg/L pe oră, mL/s) —, iar semnul se citește înaintea valorii: arată dacă graficul urcă sau coboară trecând prin punct.

Greșeli frecvente

• Simplifici raportul „pe bucăți". În $\frac{x^2+3x-10}{x-2}$ nu se poate tăia $x$ din numărător cu $x$ din numitor; se factorizează întâi numărătorul, $(x-2)(x+5)$, și abia apoi se simplifică prin paranteza întreagă.
• Confunzi rata medie cu rata instantanee. Un calcul făcut între două momente dă panta unei secante, nu a tangentei. Dacă enunțul cere valoarea „în clipa $t_0$", răspunsul este o limită, nu un raport pe interval.
• Greșești semnul la scăderea $f(x)-f(x_0)$ când $f(x_0)$ este negativ. Pentru $f(x)=x^2-6x$ și $x_0=1$ avem $f(1)=-5$, deci numărătorul este $x^2-6x+5$, nu $x^2-6x-5$. O singură greșeală de semn schimbă complet rezultatul.
• Crezi că panta tangentei este valoarea funcției în punct. Sunt două numere independente: $f(x_0)$ dă înălțimea punctului, $f^{\prime }(x_0)$ dă înclinarea graficului acolo.
• Dai rezultatul aplicativ fără unitate de măsură. Într-un model cinematic, „$s^{\prime }(2)=12$" nu este un răspuns întreg; răspunsul este „$12$ m/s", iar la o concentrație măsurată în mg/L, „$12$ mg/L pe oră". Unitatea se citește din enunț: unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei.

Aplică acasă

1. Temperatura orașului tău. Notează temperatura din trei în trei ore, pe parcursul unei zile, dintr-o aplicație de vreme. Calculează rata medie de variație pe fiecare interval de trei ore și spune în ce moment al zilei s-a încălzit cel mai repede. Ai obținut, cu numere reale, coloana de pante de secantă din §2.

2. Sticla care se golește. Ia o sticlă de plastic de doi litri, fă o gaură mică în peretele ei, aproape de fund, astup-o cu degetul cât o umpli, apoi las-o să curgă și măsoară din zece în zece secunde înălțimea apei rămase. Calculează ratele medii de scădere și observă că ele se micșorează în valoare absolută: apa iese tot mai încet, pentru că presiunea coloanei de deasupra găurii scade. Scrie în ce moment viteza de golire a fost cea mai mare.

3. Paharul de la robinet. Umple un pahar ținând robinetul la debit constant și măsoară înălțimea apei din cinci în cinci secunde. Verifică dacă ratele medii sunt egale între ele și explică, folosind exercițiul 3, de ce o rată constantă înseamnă un grafic-dreaptă și o derivată care nu depinde de moment.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „tangenta la o curbă și derivata unei funcții într-un punct". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare tot la Subiectul al III-lea, la prima problemă, care în modelul oficial publicat pornește de la derivata funcției date („Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$"). Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei M_șt-nat, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Scopul lecției este să așeze noțiunea, nu să antreneze un algoritm: tabelul derivatelor și regulile de derivare vin în lecțiile următoare. Elevii care sar peste etapa aceasta calculează corect derivate de rutină, dar nu pot interpreta rezultatul și rămân blocați la cerințele aplicative — tocmai cele pe care profilul științe ale naturii le dă la examen, cu viteze, concentrații și ritmuri de creștere.

Lecția verifică patru lucruri: (1) scrierea raportului de variație, cu $f(x_0)$ calculat separat, înaintea oricărei simplificări; (2) alegerea prelucrării potrivite tipului de funcție; (3) citirea semnului derivatei; (4) recunoașterea raportului de variație atunci când enunțul nu rostește deloc cuvântul „derivată". Patru cerințe de control, de pus oral: „Arată-mi pe grafic ce măsoară raportul din definiție"; „Spune-mi diferența dintre viteza medie și cea instantanee, cu un exemplu al tău"; „Dacă derivata iese negativă, ce s-a întâmplat cu mărimea?"; „În limita din definiție, care literă se mișcă și care stă pe loc?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea cu valoarea funcției în punct, spune „nedeterminare $\frac{0}{0}$" înainte de a simplifica și explică rezultatul în unitatea de măsură a problemei (m/s, mg/L pe oră). Continuarea firească este lecția funcție derivabilă și funcția derivată.

Întrebări frecvente

Derivata se dă la fel la M1 și la M2? Definiția și calculul din definiție sunt identice, dar programa profilului științe ale naturii se oprește mai devreme. La Bacalaureatul M1 se studiază în plus derivatele laterale, punctele unghiulare și de întoarcere și legătura dintre derivabilitate și continuitate. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: problema tangentei și definiția derivatei tratează aceste teme suplimentare.

La ce subiect apare derivata la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, care are două probleme de analiză matematică a câte trei subpuncte de câte cinci puncte. În modelul oficial al probei, publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă pornește de la derivata funcției date: primul subpunct cere verificarea unei formule de tipul „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$", iar celelalte două se sprijină pe ea. Limita scrisă ca în definiție se recunoaște după același raport.

Ce este panta tangentei la graficul unei funcții? Este numărul care arată cât de înclinată este curba într-un punct, adică panta poziției-limită a secantelor duse prin acel punct. Se calculează cu derivata: panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$. O pantă pozitivă înseamnă grafic care urcă, una negativă grafic care coboară, iar zero înseamnă tangentă orizontală.

Ce unitate de măsură are derivata? Unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei. Dacă spațiul e în metri și timpul în secunde, $s^{\prime }(t_0)$ iese în metri pe secundă; dacă o concentrație e în mg/L și timpul în ore, derivata e în mg/L pe oră; la un volum de gaz măsurat în mililitri, în mL pe secundă. La problemele aplicate, răspunsul fără unitate e incomplet.

Cum îmi dau seama că un enunț cere o derivată, dacă nu scrie nicăieri „derivată"? După cuvintele care arată momentul. „În clipa $t_0$", „chiar atunci", „instantanee" cer limita raportului de variație, adică panta tangentei. „Pe intervalul", „în medie", „de la … la …" cer doar raportul pe interval, adică panta unei secante. Același raport, două sarcini diferite: prima se încheie cu o limită, a doua cu o împărțire.

Se cer derivate laterale la profilul științe ale naturii? Nu. Programa de științe ale naturii cere tangenta la o curbă, derivata într-un punct, noțiunea de funcție derivabilă, regulile de derivare, derivatele de ordinul I și al II-lea și normala la grafic — aceasta din urmă fiind o temă pe care mate-info nu o are. Derivatele laterale, punctele unghiulare și punctele de întoarcere aparțin traseului de matematică-informatică și nu apar în subiectele de examen ale acestui profil.

Ce trebuie scris în rezolvare ca să iau punctajul întreg? Trei lucruri, în ordine: valoarea funcției în punct, raportul de variație scris explicit și simplificarea lui, apoi limita cu rezultatul numeric. Toți pașii se scriu, nu doar răspunsul final, iar la cerințele de tip „arătați că" trebuie spus limpede că punctul ales este arbitrar, ca formula să fie valabilă peste tot.