Care este forma corectă a descompunerii fracției $$\dfrac{7x-2}{(x-9)\left(x^{2}+13\right)}$$?

$$\dfrac{A}{x-9}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+13}$$

$$\dfrac{A}{x-9}+\dfrac{B}{x^{2}+13}$$

$$\dfrac{Ax+B}{x-9}+\dfrac{Cx+D}{x^{2}+13}$$

$$\dfrac{A}{x-9}+\dfrac{B}{x+\sqrt{13}}+\dfrac{C}{x-\sqrt{13}}$$

Pentru care dintre fracțiile de mai jos trebuie făcută întâi împărțirea, înainte de descompunerea în fracții simple?

$$\dfrac{2x-7}{(x-4)\left(x^{2}+3\right)}$$

Ce formă are descompunerea lui 1/(x(x²+4))?

Peste x se pune o constantă, iar peste x²+4, care nu are rădăcini reale, o expresie de gradul întâi: A/x+ (Bx+C)/(x²+4). Identificarea dă A= 1/4, B=- 1/4 și C=0, adică trei coeficienți, cât gradul numitorului.

Cum descompun (x²+1)/(x²-1)?

Gradele sunt egale, deci întâi împarți: (x²+1)/(x²-1)=1+ 2/(x²-1). Apoi descompui restul: 2/((x-1)(x+1))= 1/(x-1)- 1/(x+1). Rezultatul complet este 1+ 1/(x-1)- 1/(x+1). Împărțirea vine prima, fiindcă descompunerea are sens doar când numărătorul are gradul mai mic.

Care sunt coeficienții descompunerii lui (3x²+1)/(x(x-1)(x+1))?

Forma este A/x+ B/(x-1)+ C/(x+1). Punând x=0: 1=-A, deci A=-1; x=1: 4=2B, deci B=2; x=-1: 4=2C, deci C=2. Control: A+B+C=3, coeficientul lui x². Metoda cu valori ale lui x merge aici, fiindcă numitorul are trei rădăcini reale distincte.

Cum aflu coeficienții fracțiilor simple?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Fracții simple

Scrii forma descompunerii, aduci la același numitor și egalezi numărătorii, coeficient cu coeficient; apare un sistem liniar. Exemplu: $\frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ dă $A (x + 2) + B (x - 1) = 5 x + 1$ , adică $A + B = 5$ și $2 A - B = 1$ . Rezultă $A = 2$ , $B = 3$ . Proba în $x = 0$ : stânga dă $- \frac{1}{2}$ , dreapta $- 2 + \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$ . Numărul coeficienților, doi, este egal cu gradul numitorului.

Lecția desface o funcție rațională într-o sumă de bucăți care se pot integra apoi rând cu rând. La profilul științe ale naturii ele sunt de două feluri: peste un factor de gradul întâi se pune $\frac{A}{x - a}$ , iar peste un trinom fără rădăcini reale, $\frac{B x + C}{x ^{2} + c}$ cu $c > 0$ . Regula care le deosebește e una singură: numărătorul unei bucăți are gradul strict sub cel al numitorului ei, deci o constantă în primul caz și o expresie de gradul întâi în al doilea.

Prima privire nu cade pe rădăcini, ci pe grade. Când $x$ crește nemărginit, orice sumă de asemenea bucăți se apropie de zero, pe când o fracție al cărei numărător nu coboară în grad sub numitor se apropie de altceva; de aceea, în situația aceea se împarte întâi, iar câtul rămâne deoparte ca parte polinomială.

Numărul coeficienților de aflat este egal cu gradul numitorului, iar ei se determină prin identificare: aduci membrul drept la același numitor, egalezi cele două numărătoare coeficient cu coeficient și rezolvi sistemul liniar obținut. Proba se face în două feluri — aducând suma înapoi la același numitor, sau dând lui $x$ o valoare care nu anulează numitorul. Programa de examen oprește tema la un numitor de grad cel mult $4$ , fiindcă numai până acolo desfacerea în factori se face cu creionul.

De reținut

numărul coeficienților este egal cu gradul numitorului
peste $x - a$ se pune o constantă, peste $x^{2} + c$ o expresie $B x + C$
când gradul numărătorului nu e mai mic, se împarte întâi

Greșeala tipică

Peste factorul $x^{2} + 4$ se pune doar o constantă, $\frac{B}{x ^{2} + 4}$ ; numărătorul trebuie să fie de gradul întâi, $B x + C$ , altfel sistemul poate să nu aibă soluție.

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma corectă a descompunerii fracției $\frac{7 x - 2}{( x - 9 ) ( x ^{2} + 13 )}$ ?
- a) $\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x ^{2} + 13}$
- b) $\frac{A}{x - 9} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 13}$
- c) $\frac{A x + B}{x - 9} + \frac{C x + D}{x ^{2} + 13}$
- d) $\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x + 13} + \frac{C}{x - 13}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{A}{x - 9} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 13}$

Numitorul are gradul al treilea, deci sunt trei coeficienți: unul peste factorul de gradul întâi și doi peste trinom, al cărui numărător are gradul cel mult unu. Varianta a) pierde jumătate din necunoscutele trinomului; c) pune un numărător de gradul întâi peste un numitor de gradul întâi, ceea ce nu mai e o fracție simplă; d) desface $x^{2} + 13$ , care nu are rădăcini reale.
Determină coeficienții descompunerii $\frac{7 x + 33}{( x - 1 ) ( x + 7 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$ .
- a) $A = 2$ , $B = 5$
- b) $A = 7$ , $B = 0$
- c) $A = 5$ , $B = 2$
- d) $A = 4$ , $B = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A = 5$ , $B = 2$

Din $A (x + 7) + B (x - 1) = 7 x + 33$ obținem $A + B = 7$ și $7 A - B = 33$ ; adunându-le, $8 A = 40$ , deci $A = 5$ și $B = 2$ . Celelalte trei perechi au tot suma $7$ , dar dau la numărător $7 x + 9$ , $7 x + 49$ și, respectiv, $7 x + 25$ .
Pentru care dintre fracțiile de mai jos trebuie făcută întâi împărțirea, înainte de descompunerea în fracții simple?
- a) $\frac{5 x + 1}{x ^{3} - 4 x}$
- b) $\frac{2 x - 7}{( x - 4 ) ( x ^{2} + 3 )}$
- c) $\frac{8}{x ^{2} + x - 20}$
- d) $\frac{x ^{3} + 6}{x ^{2} - 9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{x ^{3} + 6}{x ^{2} - 9}$

Împărțirea se face atunci când gradul numărătorului nu este mai mic decât al numitorului. La d) gradele sunt $3$ și $2$ , deci fracția se scrie ca sumă dintre un polinom de gradul întâi și o fracție cu numărător mai mic. La celelalte trei gradele numărătorilor sunt $1$ , $1$ și $0$ , iar ale numitorilor $3$ , $3$ și $2$ .

Întrebări conexe

Ce formă are descompunerea lui $\frac{1}{x ( x ^{2} + 4 )}$ ?

Peste $x$ se pune o constantă, iar peste $x^{2} + 4$ , care nu are rădăcini reale, o expresie de gradul întâi: $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 4}$ . Identificarea dă $A = \frac{1}{4}$ , $B = - \frac{1}{4}$ și $C = 0$ , adică trei coeficienți, cât gradul numitorului.

Cum aflu repede un coeficient dând valori lui $x$ ?

În egalitatea $A (x + 2) + B (x - 1) = 5 x + 1$ pui $x = 1$ și dispare $B$ : $3 A = 6$ , deci $A = 2$ . Apoi pui $x = - 2$ și dispare $A$ : $- 3 B = - 9$ , deci $B = 3$ . Procedeul merge când numitorul are rădăcini reale distincte.

Cum descompun $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$ ?

Gradele sunt egale, deci întâi împarți: $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = 1 + \frac{2}{x ^{2} - 1}$ . Apoi descompui restul: $\frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ . Rezultatul complet este $1 + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ . Împărțirea vine prima, fiindcă descompunerea are sens doar când numărătorul are gradul mai mic.

Care sunt coeficienții descompunerii lui $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$ ?

Forma este $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$ . Punând $x = 0$ : $1 = - A$ , deci $A = - 1$ ; $x = 1$ : $4 = 2 B$ , deci $B = 2$ ; $x = - 1$ : $4 = 2 C$ , deci $C = 2$ . Control: $A + B + C = 3$ , coeficientul lui $x^{2}$ . Metoda cu valori ale lui $x$ merge aici, fiindcă numitorul are trei rădăcini reale distincte.

La ce folosește descompunerea în fracții simple?

La integrarea funcțiilor raționale: fiecare bucată are o primitivă din tabel. De exemplu, $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$ are primitivele $2 ln ∣ x - 1 ∣ + 3 ln ∣ x + 2 ∣ + C$ , pe un interval care nu conține $1$ sau $- 2$ .

Oamenii mai întreabă și: metoda identificării coeficienților · coeficienții A și B în fracții simple · cum aflu A și B la descompunere · sistemul pentru fracțiile simple

Cum aflu coeficienții fracțiilor simple?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce formă are descompunerea lui x(x2+4)1​?

Cum aflu repede un coeficient dând valori lui x?

Cum descompun x2−1x2+1​?

Care sunt coeficienții descompunerii lui x(x−1)(x+1)3x2+1​?

La ce folosește descompunerea în fracții simple?

Continuă cu

Ce formă are descompunerea lui $\frac{1}{x ( x ^{2} + 4 )}$ ?

Cum aflu repede un coeficient dând valori lui $x$ ?

Cum descompun $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$ ?

Care sunt coeficienții descompunerii lui $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$ ?