Descompunerea în fracții simple (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Ești la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), iar tema de față se dă la bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, la Subiectul al III-lea. De la fizică știi deja o formulă care arată exact ca problema din lecție, numai că scrisă de la dreapta la stânga. Două rezistoare legate în paralel se comportă ca unul singur, iar valoarea lui se obține din $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ . Dacă aduni cele două fracții din dreapta, obții $\frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}$ — o fracție complicată, cu produs la numitor. Lecția aceasta merge în sens invers: pornește de la fracția complicată și o sparge înapoi în bucăți simple. Drumul înapoi e mai greu decât cel înainte, dar are o rețetă, iar rețeta funcționează de fiecare dată.

Tema face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen, cea din 2014, cere la elementele de analiză matematică „calculul integralelor de forma $\int_{a}^{b} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x$ , grad $Q \leq 4$ , prin metoda descompunerii în fracții simple", deși programa nouă a clasei a XII-a de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are funcțiile raționale în capitolul de primitive. Lecția de față se ocupă numai de partea algebrică — desfacerea fracției. Integrarea bucăților obținute o faci la integrale de funcții raționale, lecția următoare.

Ce vei învăța

Vei ști ce este o funcție rațională și pe ce interval are sens să lucrezi cu ea.
Vei ști câte fracții simple aduce fiecare factor al numitorului și ce formă are numărătorul fiecăreia.
Vei ști să determini coeficienții prin identificare, adică rezolvând un sistem liniar de tipul celor din prima unitate a anului.
Vei ști să faci proba unei descompuneri în două feluri, fără să reiei calculul.
Vei ști care sunt cazurile pe care programa de examen le cere la profilul tău și unde se oprește ea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o fracție simplă?

O funcție rațională este câtul a două funcții polinomiale cu coeficienți reali, $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , în care numitorul $Q$ nu e polinomul nul; ea are valoare în fiecare număr real care nu anulează pe $Q$ , iar „a lucra cu ea" înseamnă, de fiecare dată, a alege mai întâi un interval în care numitorul rămâne nenul.

Numim fracții simple fracțiile de forma $\frac{A}{x - a}$ , cu $A$ și $a$ numere reale, și $\frac{B x + C}{x ^{2} + c}$ , cu $c > 0$ . Ele sunt „cărămizile": pe primele le recunoști în tabelul primitivelor, iar pe celelalte în completarea lui cu arctangenta. O fracție oarecare, cum e $\frac{4 x + 3}{x ^{2} - 3 x - 18}$ , nu seamănă cu niciun rând de acolo — dar, cum vom vedea, ea este o sumă de două cărămizi.

Condiția $c > 0$ nu e decorativă: ea spune că trinomul $x^{2} + c$ nu are rădăcini reale, deci nu se mai poate desface. Dacă ar avea, l-am desface și am ajunge tot la fracții de primul fel.

2. Prima întrebare: care grad e mai mare?

Înainte de orice, compari gradul numărătorului cu gradul numitorului. Motivul e ușor de văzut: o sumă de fracții simple se apropie de $0$ când $x$ crește nemărginit, fiindcă fiecare termen are numitorul de grad mai mare decât numărătorul. Or, $\frac{x ^{2} - 12}{x ^{2} - 4 x - 12}$ se apropie de $1$ . Nicio sumă de fracții simple nu poate da acel $1$ , deci fracția aceasta nu se descompune așa cum e.

Ce facem? Ce faci și cu numerele: împarți. Scazi din numărător numitorul de atâtea ori cât se poate: $\frac{x ^{2} - 12}{x ^{2} - 4 x - 12} = \frac{( x ^{2} - 4 x - 12 ) + 4 x}{x ^{2} - 4 x - 12} = 1 + \frac{4 x}{x ^{2} - 4 x - 12} .$ Partea $1$ e polinomială și n-are nevoie de nicio descompunere. Bucata rămasă, $\frac{4 x}{x ^{2} - 4 x - 12}$ , are acum numărătorul de grad mai mic decât numitorul — abia ea intră în rețeta care urmează. Reține regula sub forma: descompunerea are sens numai când $grad P < grad Q$ ; altfel, întâi împărțirea.

3. Câte fracții simple și de ce formă?

Regula se citește direct din factorii numitorului, fără niciun calcul:

Ce factor are $Q$	Ce fracție simplă îi corespunde	Câți coeficienți aduce
$x - a$ , factor de gradul întâi	$\frac{A}{x - a}$	unul: $A$
$x^{2} + c$ , cu $c > 0$	$\frac{B x + C}{x ^{2} + c}$	doi: $B$ și $C$

De unde vine deosebirea? Din numărătoare. Peste un numitor de gradul întâi, numărătorul poate avea cel mult gradul zero, deci e o constantă. Peste un numitor de gradul al doilea, numărătorul poate avea cel mult gradul întâi, deci e de forma $B x + C$ . Un factor de gradul al doilea aduce, așadar, de două ori mai multe necunoscute decât unul de gradul întâi — și de două ori mai multe ecuații, cum vom vedea îndată.

Numărul total de necunoscute e egal, de fiecare dată, cu gradul numitorului. La un numitor de gradul al treilea ai trei coeficienți de aflat, la unul de gradul al patrulea, patru. Numără-i înainte de a începe: dacă la final îți ies mai mulți sau mai puțini, ai greșit forma.

4. Cum afli coeficienții: metoda identificării

Ai scris forma cu litere. Acum aduci membrul drept la același numitor și pui condiția ca cele două numărătoare să fie egale — de aici numele metoda identificării. Iat-o pe un caz concret, $\frac{7}{( x - 5 ) ( x + 2 )}$ , pe intervalul $(5, + \infty)$ .

Scriem $\frac{7}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$ și aducem dreapta la numitorul comun: $\frac{A ( x + 2 ) + B ( x - 5 )}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{( A + B ) x + ( 2 A - 5 B )}{( x - 5 ) ( x + 2 )} .$ Două fracții cu același numitor sunt egale exact când au numărătoarele egale, deci $(A + B) x + (2 A - 5 B) = 7$ pentru orice $x$ din interval. Două funcții polinomiale egale au aceiași coeficienți, așa că obținem sistemul $A + B = 0$ și $2 A - 5 B = 7$ — un sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute, exact tipul de la care a pornit anul acesta, la sisteme de ecuații liniare. Din prima ecuație $A = - B$ ; înlocuind în a doua, $- 2 B - 5 B = 7$ , deci $B = - 1$ și $A = 1$ . Prin urmare $\frac{7}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2} .$

Metoda are un avantaj pe care îl vei simți la numitorii cu factor de gradul al doilea: ea funcționează la fel, indiferent de ce fel sunt factorii. Nu trebuie să știi dinainte nimic despre rădăcini.

5. Proba: două controale care durează zece secunde

Un răspuns de descompunere se verifică singur, iar verificarea e mai scurtă decât rezolvarea. Ai două controale, unul complet și unul rapid.

Aduci înapoi la același numitor. $\frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) - ( x - 5 )}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{7}{( x - 5 ) ( x + 2 )}$ , adică fracția de la care ai plecat. Acesta e controlul complet: dacă iese, descompunerea e corectă, fără dubiu.

Dai lui $x$ o valoare convenabilă. Alegi un număr simplu la calcule și îl pui în amândoi membrii. El nu trebuie să fie neapărat din intervalul de lucru: egalitatea dintre cele două scrieri este o identitate între funcții raționale, deci se verifică oriunde amândouă au sens. La $x = 0$ fracția de plecare dă $\frac{7}{( - 5 ) \cdot 2} = - \frac{7}{10}$ , iar suma dă $- \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{7}{10}$ . Controlul acesta e mai rapid, dar e parțial: el poate să treacă și cu coeficienți greșiți, dacă ai avut ghinion la valoarea aleasă. Folosește-l când te grăbești și pe celălalt când vrei siguranță.

⚠️ Valoarea aleasă nu trebuie să fie o rădăcină a numitorului: acolo niciuna dintre cele două scrieri nu are sens, fiindcă se împarte la zero.

6. Ce se schimbă la un factor de gradul al doilea?

Nimic în mecanism, doar în numărul de necunoscute. Pentru un numitor de forma $(x - a) (x^{2} + c)$ scrii $\frac{P ( x )}{( x - a ) ( x ^{2} + c )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B x + C}{x ^{2} + c},$ aduci la același numitor și identifici coeficienții. Numitorul are gradul al treilea, deci ai trei necunoscute, iar numărătorul de după aducere are gradul cel mult doi, deci îți dă trei ecuații: coeficientul lui $x^{2}$ , coeficientul lui $x$ și termenul liber. Trei ecuații, trei necunoscute — sistemul e determinat, la fel ca la doi factori de gradul întâi.

Un semn practic, care îți spune dinainte ce fel de bucăți vei obține: dacă în descompunere iese $B = 0$ , bucata a doua rămâne $\frac{C}{x ^{2} + c}$ și seamănă cu rândul arctangentei; dacă iese $C = 0$ , rămâne $\frac{B x}{x ^{2} + c}$ , iar numărătorul e proporțional cu derivata numitorului. Care dintre ele duce la ce primitivă vei vedea în lecția următoare — aici ne oprim la coeficienți.

7. Unde se oprește rețeta: rădăcina dublă

Toată regula din subsecțiunea $3$ s-a sprijinit pe o ipoteză tăcută: fiecare factor de gradul întâi apare o singură dată. Ce se întâmplă la un numitor ca $(x - 5)^{2} (x + 1)$ ?

Numitorul are gradul al treilea, deci ai nevoie de trei necunoscute. Dar scrierea $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1}$ are doar două, așa că, în general, sistemul iese fără soluție. Forma corectă are un termen în plus, cu pătratul la numitor: $\frac{P ( x )}{( x - 5 ) ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{( x - 5 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 1} .$ Numără: trei necunoscute, cât gradul numitorului — regula „numărul de coeficienți = gradul numitorului" rămâne adevărată, se schimbă doar forma termenilor.

La profilul tău ne oprim aici, și spunem cinstit de ce. Cazurile pe care le acoperă lecția — și pe care le vei întâlni la Bacalaureatul M2 — sunt cele cu rădăcini reale distincte și cele cu un factor de gradul al doilea. Rădăcina dublă ți-a fost arătată ca să recunoști forma dacă o vezi într-o culegere și ca să nu încerci o scriere cu prea puțini coeficienți; nu vom calcula niciun coeficient pentru ea. La mate-info (M1) cazul are lecție proprie.

8. Ce cere efectiv programa de examen

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la elementele de analiză matematică, rândul „Calculul integralelor de forma $\int_{a}^{b} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x$ , grad $Q \leq 4$ prin metoda descompunerii în fracții simple". Descompunerea din lecția de față este exact primul pas al acelui rând.

Rândul își scrie singur limita: gradul numitorului cel mult $4$ . Limita nu e capriciu. Rețeta începe cu factorizarea numitorului, iar factorizarea o poți face cu creionul numai până la gradul al patrulea: la gradul al doilea cu discriminantul, la gradele al treilea și al patrulea căutând o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber și coborând gradul cu schema lui Horner, învățată la clasa a IX-a. Peste gradul al patrulea nu mai există procedeu general, deci nu mai există nici rețetă.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, la specializarea științe ale naturii. Acolo scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte, iar Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe, a doua fiind despre integrale. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul de programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numitor cu doi factori de gradul întâi

Descompune $\frac{5 x}{( x - 4 ) ( x + 1 )}$ pe intervalul $(4, + \infty)$ .

Rezolvare. Gradul numărătorului este $1$ , al numitorului $2$ , deci nu împărțim. Scriem $\frac{5 x}{( x - 4 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}$ și aducem dreapta la același numitor: numărătorul devine $A (x + 1) + B (x - 4) = (A + B) x + (A - 4 B)$ . Identificăm cu $5 x$ , adică $A + B = 5$ și $A - 4 B = 0$ . Din a doua, $A = 4 B$ , deci $5 B = 5$ , de unde $B = 1$ și $A = 4$ : $\frac{5 x}{( x - 4 ) ( x + 1 )} = \frac{4}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} .$

Proba. $\frac{4}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} = \frac{4 ( x + 1 ) + ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 1 )} = \frac{5 x}{( x - 4 ) ( x + 1 )}$ . ✓ Observă deosebirea față de descoperirea din subsecțiunea $4$ : acolo numărătorul era o constantă, iar coeficienții au ieșit opuși; aici numărătorul are gradul întâi, iar suma lor nu mai este $0$ .

Exemplul 2 — Numărător de același grad cu numitorul

Descompune $\frac{x ^{2} - 2 x - 17}{x ^{2} - 5 x - 14}$ pe $(7, + \infty)$ .

Rezolvare. Gradele sunt egale, deci întâi împărțim. Scădem numitorul din numărător: $(x^{2} - 2 x - 17) - (x^{2} - 5 x - 14) = 3 x - 3$ , așadar $\frac{x ^{2} - 2 x - 17}{x ^{2} - 5 x - 14} = 1 + \frac{3 x - 3}{x ^{2} - 5 x - 14} .$ Numitorul are $Δ = 25 + 56 = 81$ , cu rădăcinile $7$ și $- 2$ , deci $x^{2} - 5 x - 14 = (x - 7) (x + 2)$ . Din $A (x + 2) + B (x - 7) = 3 x - 3$ obținem $A + B = 3$ și $2 A - 7 B = - 3$ . Înlocuind $A = 3 - B$ : $6 - 9 B = - 3$ , deci $B = 1$ și $A = 2$ . Rezultatul complet este $\frac{x ^{2} - 2 x - 17}{x ^{2} - 5 x - 14} = 1 + \frac{2}{x - 7} + \frac{1}{x + 2} .$ Dacă ai fi sărit împărțirea, sistemul de două ecuații ar fi ieșit fără soluție — semnalul că lipsește partea polinomială.

Exemplul 3 — Numitor scris desfășurat, cu rădăcini de aflat

Descompune $\frac{4 x + 3}{x ^{2} - 3 x - 18}$ pe $(6, + \infty)$ .

Rezolvare. Numitorul nu e dat factorizat, deci îl desfacem: $Δ = 9 + 72 = 81$ , rădăcinile sunt $\frac{3 \pm 9}{2}$ , adică $6$ și $- 3$ , deci $x^{2} - 3 x - 18 = (x - 6) (x + 3)$ . Scriem $\frac{4 x + 3}{( x - 6 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x - 6} + \frac{B}{x + 3}$ ; numărătorul din dreapta este $A (x + 3) + B (x - 6) = (A + B) x + (3 A - 6 B)$ . Identificarea dă $A + B = 4$ și $3 A - 6 B = 3$ . A doua se simplifică prin $3$ : $A - 2 B = 1$ . Scăzând-o din prima, $3 B = 3$ , deci $B = 1$ și $A = 3$ : $\frac{4 x + 3}{x ^{2} - 3 x - 18} = \frac{3}{x - 6} + \frac{1}{x + 3} .$

Proba la $x = 0$ : stânga dă $\frac{3}{- 18} = - \frac{1}{6}$ , dreapta dă $- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6}$ . ✓

Exemplul 4 — Când trinomul nu se mai poate desface

Descompune $\frac{x ^{2} + x + 3}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 5 )}$ pe $(2, + \infty)$ .

Rezolvare. Trinomul $x^{2} + 5$ nu are rădăcini reale, fiind mereu mai mare decât $5$ , deci rămâne întreg. Scriem $\frac{x ^{2} + x + 3}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 5 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 5}$ și aducem la același numitor: $A (x^{2} + 5) + (B x + C) (x - 2) = (A + B) x^{2} + (C - 2 B) x + (5 A - 2 C) .$ Identificăm cu $x^{2} + x + 3$ : din coeficientul lui $x^{2}$ , $A + B = 1$ ; din coeficientul lui $x$ , $C - 2 B = 1$ ; din termenul liber, $5 A - 2 C = 3$ . Din prima, $A = 1 - B$ ; înlocuind în a treia, $5 - 5 B - 2 C = 3$ , iar cu $C = 1 + 2 B$ din a doua obținem $5 - 5 B - 2 - 4 B = 3$ , deci $B = 0$ , apoi $C = 1$ și $A = 1$ : $\frac{x ^{2} + x + 3}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 5 )} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x ^{2} + 5} .$ Coeficientul $B$ a ieșit nul, deci bucata a doua are numărător constant — exact forma care duce la arctangentă.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie $\frac{2 x - 1}{x ^{2} - x - 12} = \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 3}$ . Arată că răspunsul e greșit și repară-l.

Rezolvare. Facem proba cu o valoare convenabilă, $x = 0$ : stânga dă $\frac{- 1}{- 12} = \frac{1}{12}$ , iar dreapta $- \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{7}{12}$ . Nu coincid, deci descompunerea e greșită.

Refacem calculul. Numitorul are $Δ = 1 + 48 = 49$ , rădăcinile $4$ și $- 3$ , deci $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ . Din $A (x + 3) + B (x - 4) = 2 x - 1$ obținem $A + B = 2$ și $3 A - 4 B = - 1$ . Înlocuind $A = 2 - B$ : $6 - 7 B = - 1$ , deci $B = 1$ și $A = 1$ . Descompunerea corectă este $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3}$ ; greșeala era un semn. Proba: $\frac{( x + 3 ) + ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x - 12}$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (5, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 13}{x ^{3} - 6 x ^{2} + 3 x + 10}$ . a) Arată că $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = (x + 1) (x - 2) (x - 5)$ . b) Determină numerele reale $A$ , $B$ , $C$ pentru care $f (x) = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 5}$ , oricare ar fi $x > 5$ . c) Verifică descompunerea obținută, calculând ambii membri pentru $x = 0$ .

Rezolvare. a) Rădăcinile întregi se caută printre divizorii termenului liber $10$ . Pentru $x = - 1$ obținem $- 1 - 6 - 3 + 10 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină. Cu schema lui Horner pe coeficienții $1, - 6, 3, 10$ și $a = - 1$ rezultă rândul $1, - 7, 10, 0$ , adică $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = (x + 1) (x^{2} - 7 x + 10)$ . Trinomul are $Δ = 49 - 40 = 9$ , cu rădăcinile $5$ și $2$ , deci se desface în $(x - 2) (x - 5)$ .

b) Aducem la același numitor: $A (x - 2) (x - 5) + B (x + 1) (x - 5) + C (x + 1) (x - 2)$ , adică $A (x^{2} - 7 x + 10) + B (x^{2} - 4 x - 5) + C (x^{2} - x - 2)$ . Identificând cu $x^{2} - 4 x + 13$ obținem $A + B + C = 1$ , $- 7 A - 4 B - C = - 4$ și $10 A - 5 B - 2 C = 13$ . Adunăm prima cu a doua: $- 6 A - 3 B = - 3$ , deci $2 A + B = 1$ . Din prima, $C = 1 - A - B$ ; înlocuind în a treia, $10 A - 5 B - 2 + 2 A + 2 B = 13$ , adică $12 A - 3 B = 15$ , deci $4 A - B = 5$ . Adunând-o cu $2 A + B = 1$ rezultă $6 A = 6$ , deci $A = 1$ , apoi $B = - 1$ și $C = 1$ : $f (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5} .$

c) La $x = 0$ stânga dă $\frac{13}{10}$ , iar dreapta $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{13}{10}$ . ✓ Valoarea $0$ nu e în intervalul pe care lucrăm, dar identitatea dintre cele două scrieri e o identitate între funcții raționale, deci ea se verifică în orice punct în care ambele au sens.

Să exersăm

La fiecare exercițiu compară întâi gradele, apoi numără coeficienții și încheie cu o probă. Intervalul de lucru este, de fiecare dată, unul pe care fracția e definită.

1. Descompune $\frac{9}{( x - 4 ) ( x + 5 )}$ pe $(4, + \infty)$ .

2. Descompune $\frac{4 x + 11}{x ^{2} + 3 x - 4}$ pe $(1, + \infty)$ .

3. Descompune $\frac{x + 16}{x ^{2} - x - 30}$ pe $(6, + \infty)$ .

4. Descompune $\frac{2 x ^{2} - 9 x + 6}{x ^{2} - 6 x + 8}$ pe $(4, + \infty)$ .

5. Descompune $\frac{x ^{2} + 2 x + 7}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 5 )}$ pe $(- 1, + \infty)$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Descompune $\frac{2 x ^{2} - 3 x + 7}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 7 )}$ pe $(3, + \infty)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Oricare ar fi numerele reale distincte și nenule $p$ și $q$ , cei doi coeficienți din descompunerea lui $\frac{x}{( x - p ) ( x - q )}$ sunt numere opuse."

8. Scrie ca o singură fracție suma $\frac{2}{x - 5} + \frac{3}{x + 4}$ și spune ce numitor avea fracția de la care s-a pornit.

9. Descompune $\frac{3 x ^{2} + x + 11}{( x - 4 ) ( x ^{2} + 5 )}$ pe $(4, + \infty)$ .

10. Descompune $\frac{3 x ^{2} - 2 x - 12}{x ^{3} - x ^{2} - 12 x}$ pe $(4, + \infty)$ .

11. (Problemă aplicată.) Într-un vas cu apă se dizolvă o sare, iar viteza de dizolvare, în grame pe minut, este $v (t) = \frac{60}{( t + 4 ) ( t + 10 )}$ , unde $t \geq 0$ este timpul, în minute. Descompune expresia lui $v$ în fracții simple și verifică, pe forma obținută, că viteza rămâne pozitivă pentru orice $t \geq 0$ .

12. Descompune $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 12 x + 1}{x ^{2} - 2 x - 15}$ pe $(5, + \infty)$ .

13. Explică, în două-trei fraze, de ce peste un factor $x - a$ se pune un numărător constant, iar peste un factor $x^{2} + c$ unul de gradul întâi. Spune apoi, fără niciun calcul, câți termeni are descompunerea unei fracții cu numitorul $x (x - 6) (x^{2} + 5)$ și ce formă au ei.

14. Descompune $\frac{x - 16}{x ^{2} - 2 x - 24}$ pe $(6, + \infty)$ .

15. Descompune $\frac{3}{x ^{2} + 9 x + 20}$ pe $(- 4, + \infty)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $g : (1, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{2 x ^{2} + x + 13}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 7 )}$ . a) Câți coeficienți are descompunerea lui $g$ și de ce? b) Determină-i. c) Fă proba la $x = 2$ .

17. Găsește o fracție a cărei descompunere în fracții simple să fie $\frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x + 7}$ și scrie-i numitorul desfăcut.

18. (Provocare.) (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Descompune $\frac{16 x ^{2} + 20}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) ( x + 5 )}$ pe $(5, + \infty)$ și verifică, la final, că suma celor patru coeficienți este $0$ .

Răspunsuri și explicații

1. Din $A (x + 5) + B (x - 4) = 9$ rezultă $A + B = 0$ și $5 A - 4 B = 9$ ; cu $A = - B$ obținem $9 A = 9$ , deci $A = 1$ și $B = - 1$ . Descompunerea este $\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 5}$ .

2. $x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)$ , fiindcă $Δ = 25$ dă rădăcinile $1$ și $- 4$ . Din $A (x + 4) + B (x - 1) = 4 x + 11$ rezultă $A + B = 4$ și $4 A - B = 11$ ; adunându-le, $5 A = 15$ , deci $A = 3$ și $B = 1$ . Descompunerea este $\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x + 4}$ .

3. $x^{2} - x - 30 = (x - 6) (x + 5)$ . Din $A (x + 5) + B (x - 6) = x + 16$ rezultă $A + B = 1$ și $5 A - 6 B = 16$ ; cu $A = 1 - B$ obținem $5 - 11 B = 16$ , deci $B = - 1$ și $A = 2$ . Descompunerea este $\frac{2}{x - 6} - \frac{1}{x + 5}$ .

4. Gradele sunt egale, deci întâi împărțim: $(2 x^{2} - 9 x + 6) - 2 (x^{2} - 6 x + 8) = 3 x - 10$ , deci fracția este $2 + \frac{3 x - 10}{x ^{2} - 6 x + 8}$ . Cu $x^{2} - 6 x + 8 = (x - 4) (x - 2)$ și $A (x - 2) + B (x - 4) = 3 x - 10$ obținem $A + B = 3$ și $- 2 A - 4 B = - 10$ , adică $A + 2 B = 5$ ; scăzând, $B = 2$ și $A = 1$ . Rezultatul este $2 + \frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2}$ .

5. Din $A (x^{2} + 5) + (B x + C) (x + 1) = x^{2} + 2 x + 7$ rezultă $A + B = 1$ , $B + C = 2$ și $5 A + C = 7$ . Din prima $A = 1 - B$ , iar din a doua $C = 2 - B$ ; a treia devine $5 - 5 B + 2 - B = 7$ , deci $B = 0$ , $C = 2$ și $A = 1$ . Descompunerea este $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x ^{2} + 5}$ .

6. Din $A (x^{2} + 7) + (B x + C) (x - 3) = 2 x^{2} - 3 x + 7$ rezultă $A + B = 2$ , $C - 3 B = - 3$ și $7 A - 3 C = 7$ . Cu $A = 2 - B$ și $C = 3 B - 3$ , a treia devine $14 - 7 B - 9 B + 9 = 7$ , deci $B = 1$ , apoi $C = 0$ și $A = 1$ . Descompunerea este $\frac{1}{x - 3} + \frac{x}{x ^{2} + 7}$ : aici numărătorul celei de-a doua bucăți e proporțional cu derivata numitorului ei.

7. Fals. Aducând $\frac{A}{x - p} + \frac{B}{x - q}$ la același numitor, numărătorul devine $(A + B) x - (A q + B p)$ . Aici el trebuie să fie egal cu $x$ , deci coeficientul lui $x$ dă $A + B = 1$ , nu $A + B = 0$ : coeficienții nu sunt opuși, ci au suma $1$ . Opuși ies numai când numărătorul este o constantă. Concret, pentru $p = 3$ și $q = - 1$ obținem $A + B = 1$ și $- (- A + 3 B) = 0$ , deci $A = 3 B$ , adică $B = \frac{1}{4}$ și $A = \frac{3}{4}$ .

8. $\frac{2}{x - 5} + \frac{3}{x + 4} = \frac{2 ( x + 4 ) + 3 ( x - 5 )}{( x - 5 ) ( x + 4 )} = \frac{5 x - 7}{x ^{2} - x - 20}$ . Numitorul de plecare era $x^{2} - x - 20$ .

9. Din $A (x^{2} + 5) + (B x + C) (x - 4) = 3 x^{2} + x + 11$ rezultă $A + B = 3$ , $C - 4 B = 1$ și $5 A - 4 C = 11$ . Cu $A = 3 - B$ și $C = 1 + 4 B$ , a treia devine $15 - 5 B - 4 - 16 B = 11$ , deci $B = 0$ , $C = 1$ și $A = 3$ . Descompunerea este $\frac{3}{x - 4} + \frac{1}{x ^{2} + 5}$ .

10. Scoatem factorul comun: $x^{3} - x^{2} - 12 x = x (x^{2} - x - 12) = x (x - 4) (x + 3)$ . Numitorul are gradul al treilea, deci trei coeficienți. Din $A (x - 4) (x + 3) + B x (x + 3) + C x (x - 4) = 3 x^{2} - 2 x - 12$ , adică $A (x^{2} - x - 12) + B (x^{2} + 3 x) + C (x^{2} - 4 x)$ , obținem $A + B + C = 3$ , $- A + 3 B - 4 C = - 2$ și $- 12 A = - 12$ . Ultima dă $A = 1$ , apoi $B + C = 2$ și $3 B - 4 C = - 1$ ; înlocuind $B = 2 - C$ rezultă $6 - 7 C = - 1$ , deci $C = 1$ și $B = 1$ . Descompunerea este $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3}$ .

11. Din $A (t + 10) + B (t + 4) = 60$ rezultă $A + B = 0$ și $10 A + 4 B = 60$ ; cu $B = - A$ obținem $6 A = 60$ , deci $A = 10$ și $B = - 10$ , adică $v (t) = \frac{10}{t + 4} - \frac{10}{t + 10}$ grame pe minut. Pentru $t \geq 0$ avem $0 < t + 4 < t + 10$ , deci $\frac{10}{t + 4} > \frac{10}{t + 10}$ și diferența este pozitivă — cum și trebuie să fie o viteză de dizolvare.

12. Numărătorul are gradul al treilea, numitorul al doilea, deci împărțim: $(x^{3} - 2 x^{2} - 12 x + 1) - x (x^{2} - 2 x - 15) = 3 x + 1$ , deci fracția este $x + \frac{3 x + 1}{x ^{2} - 2 x - 15}$ . Cu $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)$ și $A (x + 3) + B (x - 5) = 3 x + 1$ obținem $A + B = 3$ și $3 A - 5 B = 1$ ; înlocuind $A = 3 - B$ rezultă $9 - 8 B = 1$ , deci $B = 1$ și $A = 2$ . Rezultatul este $x + \frac{2}{x - 5} + \frac{1}{x + 3}$ . Aici câtul este de gradul întâi, nu o constantă.

13. Pentru că numărătorul unei fracții simple trebuie să aibă gradul strict mai mic decât numitorul ei — altfel bucata s-ar putea împărți la rândul ei și nu ar mai fi „simplă". Peste $x - a$ , gradul strict mai mic decât $1$ înseamnă gradul zero, adică o constantă; peste $x^{2} + c$ , gradul strict mai mic decât $2$ înseamnă cel mult $1$ , adică $B x + C$ . Pentru numitorul $x (x - 6) (x^{2} + 5)$ , care are gradul al patrulea, descompunerea are patru termeni: $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 6} + \frac{C x + D}{x ^{2} + 5}$ — doi numărători constanți, peste cei doi factori de gradul întâi, și unul de gradul întâi, peste trinomul fără rădăcini reale.

14. $x^{2} - 2 x - 24 = (x - 6) (x + 4)$ . Din $A (x + 4) + B (x - 6) = x - 16$ rezultă $A + B = 1$ și $4 A - 6 B = - 16$ , adică $2 A - 3 B = - 8$ ; cu $A = 1 - B$ obținem $2 - 5 B = - 8$ , deci $B = 2$ și $A = - 1$ . Descompunerea este $- \frac{1}{x - 6} + \frac{2}{x + 4}$ : un coeficient negativ nu e o greșeală.

15. $x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ . Din $A (x + 5) + B (x + 4) = 3$ rezultă $A + B = 0$ și $5 A + 4 B = 3$ ; cu $B = - A$ obținem $A = 3$ și $B = - 3$ . Descompunerea este $\frac{3}{x + 4} - \frac{3}{x + 5}$ .

16. a) Numitorul are gradul al treilea, deci trei coeficienți: unul peste $x - 1$ și doi peste $x^{2} + 7$ . b) Din $A (x^{2} + 7) + (B x + C) (x - 1) = 2 x^{2} + x + 13$ rezultă $A + B = 2$ , $C - B = 1$ și $7 A - C = 13$ . Cu $A = 2 - B$ și $C = 1 + B$ , a treia devine $14 - 7 B - 1 - B = 13$ , deci $B = 0$ , $C = 1$ și $A = 2$ ; descompunerea este $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x ^{2} + 7}$ . c) La $x = 2$ stânga dă $\frac{8 + 2 + 13}{1 \cdot 11} = \frac{23}{11}$ , iar dreapta $2 + \frac{1}{11} = \frac{23}{11}$ . ✓

17. Aducem suma la același numitor: $\frac{( x + 7 ) - ( x - 7 )}{( x - 7 ) ( x + 7 )} = \frac{14}{x ^{2} - 49}$ . Fracția căutată este $\frac{14}{x ^{2} - 49}$ , cu numitorul desfăcut $(x - 7) (x + 7)$ .

18. Numitorul are gradul al patrulea și patru rădăcini reale distincte, deci patru coeficienți. Din $A (x + 2) (x - 5) (x + 5) + B (x - 2) (x - 5) (x + 5) + C (x - 2) (x + 2) (x + 5) + D (x - 2) (x + 2) (x - 5) = 16 x^{2} + 20$ , identificarea coeficienților lui $x^{3}$ , $x^{2}$ , $x$ și a termenului liber dă sistemul $A + B + C + D = 0$ , $2 A - 2 B + 5 C - 5 D = 16$ , $- 25 A - 25 B - 4 C - 4 D = 0$ și $- 50 A + 50 B - 20 C + 20 D = 20$ . Din prima și a treia rezultă $A + B = 0$ și $C + D = 0$ ; cu ele, a doua devine $4 A + 10 C = 16$ , adică $2 A + 5 C = 8$ , iar a patra devine $- 100 A - 40 C = 20$ , adică $- 5 A - 2 C = 1$ . Rezolvând sistemul acestor două ecuații, $A = - 1$ și $C = 2$ , deci $B = 1$ și $D = - 2$ . Descompunerea este $- \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 5} - \frac{2}{x + 5}$ , iar suma coeficienților este $- 1 + 1 + 2 - 2 = 0$ . Nu e o întâmplare: coeficientul lui $x^{3}$ din numărătorul adus la același numitor este chiar $A + B + C + D$ , iar numărătorul dat are gradul $2$ .

De reținut

Fracțiile simple sunt de două feluri la acest profil: $\frac{A}{x - a}$ , peste un factor de gradul întâi, și $\frac{B x + C}{x ^{2} + c}$ , peste un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale.
Numărul coeficienților este egal cu gradul numitorului. Numără-i înainte de a scrie forma și verifică la final că ți-au ieșit exact atâția.
Descompunerea are sens numai când $grad P < grad Q$ . Dacă nu e așa, întâi se împarte, iar câtul rămâne deoparte, ca parte polinomială.
Coeficienții se află prin identificare: aduci totul la același numitor, egalezi coeficienții celor două numărătoare și rezolvi sistemul liniar obținut.
Programa de examen cere gradul numitorului cel mult $4$ , pentru că numai până acolo numitorul se poate desface în factori cu creionul.

Greșeli frecvente

Se sare peste compararea gradelor. Cu un numărător cel puțin la fel de greu ca numitorul, forma cu litere nu are cum să fie adevărată, iar sistemul de coeficienți rămâne fără soluție. Corect: prima privire e pe cele două grade, nu pe rădăcini.
Se pune un numărător de gradul întâi peste un factor de gradul întâi. Scrierea $\frac{A x + B}{x - a}$ nici nu e fracție simplă: numărătorul unei fracții simple are gradul strict mai mic decât numitorul ei. Dacă o folosești la amândoi factorii, ajungi cu patru necunoscute și numai trei ecuații, deci cu o infinitate de seturi de coeficienți, dintre care unul singur e cel căutat. Corect: peste $x - a$ numărătorul e o constantă.
Se uită jumătate din necunoscutele unui trinom. La $(x - a) (x^{2} + c)$ mulți scriu $\frac{A}{x - a} + \frac{C}{x ^{2} + c}$ , cu numitor de gradul al treilea și doar două necunoscute. Corect: trinomul aduce $B x + C$ , adică doi coeficienți.
Se factorizează greșit numitorul și nu se verifică. Un $Δ$ calculat în grabă strică tot ce urmează. Corect: după ce ai scris $Q = (x - p) (x - q)$ , desfă produsul în minte și compară-l cu forma inițială.
Se dă lui $x$ o rădăcină a numitorului ca „probă". În acel punct nicio scriere nu are sens. Corect: proba se face cu o valoare care nu anulează numitorul, sau prin aducerea sumei înapoi la același numitor.

Aplică acasă

Fabrica pe dos. Alege două numere întregi distincte $p$ și $q$ și doi coeficienți $A$ și $B$ , apoi adună $\frac{A}{x - p} + \frac{B}{x - q}$ . Ai obținut o fracție al cărei răspuns îl știi. Dă-i-o unui coleg fără să-i spui coeficienții și compară cât v-a luat: lui să descompună, ție să aduni.
Numărătoarea oarbă. Ia cinci fracții raționale din orice culegere, fără să le rezolvi. Pentru fiecare, scrie într-un minut: gradul numărătorului, gradul numitorului, dacă e nevoie de împărțire și câți coeficienți va avea descompunerea. Apoi verifică-ți cele cinci predicții rezolvând una singură, la alegere.
Proba din fizică. Pornește de la $\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , adu la același numitor și compară rezultatul cu formula rezistenței echivalente la legarea în paralel. Apoi pune $R_{1} = x - 4$ și $R_{2} = x + 6$ și scrie ce fracție obții.

Pentru părinți și profesori

Lecția predă un singur algoritm, dar unul complet: orice fracție rațională dintre cele cerute de programa de examen se desface după aceiași pași. De aceea ea arată foarte repede dacă elevul stăpânește materia de dinainte — descompunerea unui trinom cu discriminantul, schema lui Horner de la clasa a IX-a și rezolvarea unui sistem liniar mic. Un elev care nu poate desface $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$ se oprește la al doilea pas, deși partea nouă a lecției nu are nicio dificultate.

De verificat în caiet, în ordine: (1) dacă a comparat gradele înainte de orice; (2) dacă numărul coeficienților scriși este egal cu gradul numitorului; (3) dacă peste trinomul fără rădăcini reale a pus $B x + C$ , nu doar o constantă; (4) dacă a făcut proba. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Când împarți întâi?"; „Câți coeficienți are descompunerea și de unde știi?"; „Ce formă are numărătorul peste $x^{2} + c$ ?"; „Cum verifici fără să reiei calculul?". Semn că a înțeles: scrie forma cu litere fără ezitare și își face singur proba, înainte de a fi întrebat.

Programa și examenul. Tema face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Ea este în programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), la clasa a XII-a, prin rândul „Calculul integralelor de forma $\int_{a}^{b} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x$ , grad $Q \leq 4$ prin metoda descompunerii în fracții simple", și lipsește din programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde capitolul de primitive se oprește la tabelul primitivelor uzuale și la liniaritate; primitivele funcțiilor raționale sunt trecute acolo la ce studiază profilul matematică-informatică. Elevii care susțin examenul în 2027, 2028 sau 2029 sunt pe programa veche și au tema în listă; pentru cei care vor da proba MAT_P2 din 2030, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă descompunerea în fracții simple? Este operația prin care spargi o fracție rațională în bucăți mai mici — câte una pentru fiecare factor al numitorului — astfel încât, adunându-le la loc, să obții exact fracția de plecare. Rostul ei este practic: fiecare bucată se integrează dintr-un singur rând al tabelului, pe când fracția întreagă nu se potrivește la niciun rând.

Cum știu de la început câți coeficienți voi avea? Numeri gradul numitorului. Un numitor de gradul al doilea aduce doi coeficienți, unul de gradul al treilea trei, unul de gradul al patrulea patru. Un factor de gradul întâi aduce un singur coeficient, iar un trinom fără rădăcini reale aduce doi, fiindcă numărătorul lui este de forma $B x + C$ .

De ce trebuie făcută întâi împărțirea? Pentru că o sumă de fracții simple se apropie de zero când $x$ crește nemărginit, deci nu poate reproduce o fracție care se apropie de o constantă nenulă sau care crește. Împărțirea scoate exact partea care lipsește: câtul, adică partea polinomială, iar restul peste numitor intră în descompunere.

Ce fac dacă numitorul nu are rădăcini reale deloc? Atunci nu ai ce descompune: fracția este deja simplă, de forma $\frac{B x + C}{x ^{2} + c}$ , și se integrează ca atare. Verifici asta calculând discriminantul trinomului de la numitor: dacă iese negativ, trinomul rămâne întreg, iar orice încercare de a-l desface în factori de gradul întâi te duce la rădăcini care nu există. Grija ta se mută atunci pe numărător, care trebuie să aibă gradul cel mult unu.

Cu ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)? La primitivele funcțiilor raționale, la mate-info (M1), descompunerea se face în aceeași lecție cu integrarea și se sprijină pe înlocuirea lui $x$ cu rădăcinile numitorului. Aici desfacerea are lecție proprie, drumul principal este identificarea coeficienților, iar cazul rădăcinii duble — arătat o singură dată, în subsecțiunea $7$ , numai ca formă — rămâne în afara programei tale de examen.

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2? Cerințele de analiză matematică stau la Subiectul al III-lea, singurul care conține materie de acest fel. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe legate, a doua fiind despre integrale; descompunerea apare acolo ca pas de lucru, nu ca cerință separată.

Trebuie să învăț pe de rost vreo formulă? Nu. Singurul lucru de reținut este forma pe care o scrii la început — un termen pentru fiecare factor, cu numărător constant sau de gradul întâi — și obiceiul de a compara gradele înainte de orice. Restul este un sistem liniar mic, rezolvat cu metodele pe care le ai din prima unitate a clasei a XII-a.