Divide X- 2 polinomul X³+ 1 în ℤ₃[X]?

Da. Valoarea în 2 este 8+1=9, care dă restul 0 la împărțirea cu 3. De altfel, X- 2=X+ 1, iar în ℤ₃[X] polinomul X³+ 1 este chiar (X+ 1)³.

Cum aflu m ca X − a să dividă un polinom?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Bézout și rădăcinile

Scrii condiția din teorema lui Bézout, $f (a) = 0$ , și o rezolvi în $m$ . Exemplu: $f = X^{3} - 2 X^{2} + m X + 6$ se divide cu $X - 3$ când $27 - 18 + 3 m + 6 = 0$ , adică $m = - 5$ . Apoi schema lui Horner la $3$ dă câtul $X^{2} + X - 2 = (X + 2) (X - 1)$ , deci $f = (X - 3) (X - 1) (X + 2)$ . Verificare: $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . Parametrul se află dintr-o ecuație de gradul întâi, fără nicio împărțire efectivă.

Divizibilitatea. Spunem că $g$ divide $f$ când se găsește un $h$ în $K [X]$ pentru care $f = g \cdot h$ ; tot aia înseamnă și că împărțirea lui $f$ la $g$ se încheie fără rest. Relația nu e simetrică: la două polinoame nenule, divizorul nu poate avea gradul mai mare decât cel împărțit, așa că gradele se pun față în față înaintea oricărui calcul.

Teorema lui Bézout. Factorul $X - a$ intră în $f$ exact atunci când $f (a) = 0$ , și numai atunci. Într-un sens obții un factor, pe care schema lui Horner îl scoate împreună cu câtul; în celălalt obții un verdict fără nicio împărțire, iar numărul calculat este chiar restul. La cerințele cu parametru scrii întâi condiția, apoi calculezi, apoi rezolvi — și verifici valoarea găsită.

Peste un corp finit căutarea se termină. Într-un $Z_{p}$ încerci toate cele $p$ clase, iar tabelul complet este un răspuns complet, inclusiv când spune că nu există nicio rădăcină. Clasa nulă e rădăcină exact când termenul liber e nul.

Marginea. Numărul rădăcinilor distincte ale unui polinom nenul nu trece de gradul lui, fiindcă fiecare dintre ele scoate câte o paranteză de gradul întâi, care taie o unitate din grad. „Cel mult” nu înseamnă „exact”: numărul lor poate fi și zero.

De reținut

$X - a$ divide $f$ exact când $f (a) = 0$
restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$
cerința cu parametru: condiția $f (a) = 0$ , apoi ecuația în parametru

Greșeala tipică

La divizorul $X + 2$ se evaluează în $2$ ; forma $X - a$ cere $a = - 2$ , deci condiția este $f (- 2) = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

În $Q [X]$ , polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} - 11 X + 30$ se divide cu:
- a) $X - 1$
- b) $X - 2$
- c) $X + 1$
- d) $X - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $X - 2$

Prin teorema lui Bézout verificăm valorile: $f (2) = 8 - 16 - 22 + 30 = 0$ , deci $X - 2$ divide polinomul. Celelalte dau resturi nenule: $f (1) = 1 - 4 - 11 + 30 = 16$ ; $f (- 1) = - 1 - 4 + 11 + 30 = 36$ ; $f (3) = 27 - 36 - 33 + 30 = - 12$ . Câtul împărțirii la $X - 2$ este $X^{2} - 2 X - 15$ .
În $Z_{3} [X]$ , rădăcinile polinomului $f = X^{4} + X^{3} + X$ sunt:
- a) numai $\hat{0}$
- b) $\hat{0}$ și $\hat{1}$
- c) $\hat{1}$ și $\hat{2}$
- d) toate cele trei clase
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\hat{0}$ și $\hat{1}$

Alcătuim tabelul complet. Termenul liber e nul, deci $f (\hat{0}) = \hat{0}$ . Apoi $f (\hat{1}) = \hat{1} + \hat{1} + \hat{1} = \hat{3} = \hat{0}$ . În fine, cu $\hat{2}^{4} = \hat{1}$ și $\hat{2}^{3} = \hat{2}$ , avem $f (\hat{2}) = \hat{1} + \hat{2} + \hat{2} = \hat{5} = \hat{2}$ , nenul. Tabelul epuizează corpul, deci răspunsul este complet: rădăcinile sunt $\hat{0}$ și $\hat{1}$ .
Determină numărul real $m$ pentru care $X - 2$ divide polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 7 X + 2$ din $Q [X]$ .
- a) $m = - 1$
- b) $m = 1$
- c) $m = 2$
- d) $m = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m = 1$

Condiția de divizibilitate se scrie de la prima linie ca $f (2) = 0$ . Calculăm: $8 + 4 m - 14 + 2 = 4 m - 4$ , iar $4 m - 4 = 0$ dă $m = 1$ . Verificare: pentru $m = 1$ avem $f = X^{3} + X^{2} - 7 X + 2$ și $f (2) = 8 + 4 - 14 + 2 = 0$ .

Întrebări conexe

De ce suma coeficienților arată dacă $X - 1$ divide un polinom?

Calculezi $f (1)$ , care este suma coeficienților. Pentru $X^{5} - 3 X^{2} + 2$ , suma este $1 - 3 + 2 = 0$ , deci, după teorema lui Bézout, $X - 1$ divide polinomul. Împărțirea nu mai e necesară pentru verdict.

Când divide $X + 1$ un polinom?

Când $f (- 1) = 0$ , adică suma coeficienților puterilor pare minus suma coeficienților puterilor impare este zero. Pentru $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 2$ : $- 1 + 2 - 3 + 2 = 0$ , deci $X + 1$ este un factor. Același calcul, cu semne alternante, se face pentru orice grad.

Cum aflu doi parametri dacă știu două rădăcini?

Scrii câte o condiție pentru fiecare rădăcină. Pentru $X^{3} + a X + b$ , cu rădăcinile $1$ și $2$ : $1 + a + b = 0$ și $8 + 2 a + b = 0$ . Scăzând, $a = - 7$ , apoi $b = 6$ , iar polinomul este $(X - 1) (X - 2) (X + 3)$ .

Ce rest dă un polinom la $X - a$ dacă nu se divide?

Restul este chiar $f (a)$ , un număr nenul. Pentru $X^{3} + 1$ și $X - 2$ , restul este $8 + 1 = 9$ . Teorema lui Bézout este cazul particular în care acest rest iese zero.

Divide $X - \hat{2}$ polinomul $X^{3} + \hat{1}$ în $Z_{3} [X]$ ?

Da. Valoarea în $\hat{2}$ este $8 + 1 = 9$ , care dă restul $0$ la împărțirea cu $3$ . De altfel, $X - \hat{2} = X + \hat{1}$ , iar în $Z_{3} [X]$ polinomul $X^{3} + \hat{1}$ este chiar $(X + \hat{1})^{3}$ .

Oamenii mai întreabă și: parametrul pentru care X minus a divide polinomul · teorema lui Bézout cu parametru · aflați m astfel încât polinomul să se dividă cu X minus a · condiția de divizibilitate cu X minus a

Cum aflu m ca X − a să dividă un polinom?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce suma coeficienților arată dacă X−1 divide un polinom?

Când divide X+1 un polinom?

Cum aflu doi parametri dacă știu două rădăcini?

Ce rest dă un polinom la X−a dacă nu se divide?

Divide X−2^ polinomul X3+1^ în Z3​[X]?

Continuă cu

De ce suma coeficienților arată dacă $X - 1$ divide un polinom?

Când divide $X + 1$ un polinom?

Ce rest dă un polinom la $X - a$ dacă nu se divide?

Divide $X - \hat{2}$ polinomul $X^{3} + \hat{1}$ în $Z_{3} [X]$ ?