Teorema lui Bézout și rădăcinile polinomului (M2, științe ale naturii)

Într-un model de laborator, momentul în care o mărime se anulează e aproape întotdeauna momentul interesant: reacția s-a consumat, mobilul s-a oprit, concentrația a ajuns la zero. Dacă mărimea e descrisă de un polinom, acel moment are un nume — rădăcină — iar el poartă cu sine mai mult decât o valoare: poartă un factor al polinomului. Legătura dintre cele două este teorema lui Bézout, iar puterea ei vine din faptul că funcționează în ambele sensuri. Lecția de față e din suplimentul de clasa a XII-a pentru profilul științe ale naturii (M2); tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), pe când programa nouă a clasei a XII-a nu le mai cuprinde. Din clasa a IX-a ai deja divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout cu coeficienți reali, iar din lecția precedentă, teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, ai unealta care scoate efectiv factorul. Aici mutăm rezultatul într-un corp oarecare și, mai ales, îl folosim în ambele direcții — de la rădăcină spre factor și de la factor spre rădăcină.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă că un polinom divide alt polinom peste un corp $K$ și cum se scrie relația.
• Vei ști ce este o rădăcină a unui polinom într-un corp și de ce căutarea ei are un capăt când corpul e finit.
• Vei ști să enunți și să justifici teorema lui Bézout, cu amândouă implicațiile ei.
• Vei ști să folosești sensul „de la rădăcină la factor": să scoți factorul $X-a$ și să scrii câtul.
• Vei ști să folosești sensul „de la factor la rădăcină": să dai un verdict de divizibilitate fără nicio împărțire și să determini un parametru.
• Vei ști să găsești toate rădăcinile unui polinom din ${\mathbb{Z}}_p[X]$, verificând cele $p$ clase, și să spui câte pot fi cel mult.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un polinom divide alt polinom?

Definiția e cea de la numere, mutată cuvânt cu cuvânt.

Divizibilitatea în $K[X]$: fie $K$ un corp comutativ și fie $f$, $g$ două polinoame din $K[X]$, cu $g$ nenul. Spunem că $g$ divide $f$ dacă există un polinom $h$ din $K[X]$ pentru care $f=g\cdot h$; se scrie $g\mid f$. Despre $g$ spunem că este un divizor al lui $f$, iar despre $f$, că este un multiplu al lui $g$.

Din lecția precedentă ai și criteriul care traduce definiția într-un calcul: fiindcă împărțirea cu rest are cât și rest unice, relația $g\mid f$ are loc exact atunci când restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul.

Două observații. Prima: relația nu este simetrică — dacă $g$ divide $f$ și amândouă sunt nenule, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$, pentru că la produs gradele se adună. Deci compară gradele înainte de orice calcul. A doua: dacă $g\mid f$ și $c$ este un element nenul al corpului, atunci și $cg\mid f$, fiindcă din $f=gh$ scoatem $f=(cg)(c^{-1}h)$ — doi divizori care diferă printr-un factor numeric nenul au exact aceiași multipli.

2. Ce este o rădăcină, și de ce e altfel într-un corp finit?

Un element $a$ al corpului $K$ se numește rădăcină a polinomului $f$ din $K[X]$ dacă $f(a)=0$, adică dacă valoarea polinomului, calculată înlocuind nedeterminata cu acel element, este elementul nul al corpului.

Peste $\mathbb{R}$ mulțimea în care cauți e infinită, deci nu poți încerca toate valorile: te bazezi pe semne, pe grafic, pe descompuneri. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ lucrurile se răstoarnă: corpul are doar $p$ elemente, deci le încerci pe toate și metoda nu poate rata nimic.

Ia $f=X^3+X^2+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și scrie tabelul complet al valorilor, reducând la fiecare pas:

Verifică o celulă: $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{4}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$. Niciuna dintre cele trei valori nu este $\hat{0}$, deci acest polinom nu are nicio rădăcină în ${\mathbb{Z}}_3$ — și asta e o concluzie completă, nu o bănuială, fiindcă tabelul epuizează corpul. Peste $\mathbb{R}$ n-ai fi putut spune niciodată așa ceva dintr-un tabel cu trei rânduri.

3. Ce spune teorema lui Bézout?

Teorema lui Bézout. Fie $K$ un corp comutativ, $f$ un polinom din $K[X]$ și $a$ un element al lui $K$. Atunci $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$.

Justificare. Din teorema restului, demonstrată în lecția precedentă, restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este chiar constanta $f(a)$, deci putem scrie, oricare ar fi $f$ și $a$,

$$f=(X-a)\cdot q+f(a).$$

Sensul „de la factor la rădăcină". Dacă $X-a$ divide $f$, restul împărțirii este nul, adică $f(a)=0$.

Sensul „de la rădăcină la factor". Dacă $f(a)=0$, egalitatea de mai sus devine $f=(X-a)\cdot q$, ceea ce înseamnă tocmai că $X-a$ divide $f$.

Cele două implicații epuizează echivalența, iar amândouă se sprijină pe același rând de calcul. Merită observat cât de puțin cere justificarea de la corp: nimic peste regulile obișnuite de calcul. De aceea teorema merge la fel peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$.

Reține formularea teoremei: rădăcinile lui $f$ din $K$ sunt exact acele elemente $a$ pentru care $X-a$ este factor al lui $f$.

4. Primul sens la lucru: de la rădăcină la factor

Aici teorema îți dă ceva concret: un factor. Restul muncii îl face schema lui Horner, care livrează câtul.

Fie $f=X^3+9X^2+11X-21$ din $\mathbb{Q}[X]$. Încercăm valoarea $1$: $f(1)=1+9+11-21=0$, deci, prin teorema lui Bézout, $X-1$ divide $f$. Trecem coeficienții $1,9,11,-21$ prin tabelul lui Horner, cu $a=1$: prima celulă repetă $1$; a doua dă $9+1=10$; a treia, $11+10=21$; a patra, $-21+21=0$ — restul nul, cum era de așteptat. Câtul este $X^2+10X+21$, așadar

$$X^3+9X^2+11X-21=(X-1)(X^2+10X+21).$$

Observă ordinea gesturilor, care e și ordinea de redactare: întâi verdictul prin evaluare, apoi factorul prin tabel. Evaluarea ține zece secunde și îți spune dacă merită să începi; cine pornește invers face de două ori mai mult lucru pentru același rezultat.

5. Al doilea sens la lucru: verdict fără împărțire, și parametri

Sensul celălalt e cel care scurtează calculul, pentru că transformă o întrebare de divizibilitate într-o simplă înlocuire.

Prima formă, verdictul: întrebarea „se divide $f$ cu $X-a$?" nu cere nicio împărțire. Calculezi $f(a)$; dacă iese zero, răspunsul e da, dacă nu, e nu — și, pe deasupra, numărul obținut este chiar restul, deci ai aflat două lucruri dintr-un singur calcul.

A doua formă, cea cu parametru, e cerința-tip a subiectului de examen. Rețeta are trei rânduri și se scrie în ordinea aceasta: scrii condiția de divizibilitate sub forma $f(a)=0$, calculezi $f(a)$ în funcție de parametru, rezolvi ecuația obținută. Dacă, de pildă, se cere valoarea lui $m$ din ${\mathbb{Z}}_3$ pentru care $X-\hat{1}$ divide un polinom care îl conține pe $m$, condiția se scrie de la prima linie ca $f(\hat{1})=\hat{0}$, iar restul e o ecuație de gradul întâi în $m$, rezolvată prin înmulțire cu inversul coeficientului. Ce contează în redactare: condiția se scrie înainte de calcul, nu se deduce la sfârșit, iar valoarea găsită se verifică înlocuind-o înapoi.

Atenție la citirea lui $a$ din divizor: la $X+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se evaluează în $-\hat{2}=\hat{1}$, iar la $X+\hat{1}$ în $-\hat{1}=\hat{2}$. Opusul se calculează în corp, nu se scrie cu minus în față.

6. Un caz de margine: rădăcina $\hat{0}$

Merită văzut un caz în care răspunsul se citește fără niciun calcul. Polinomul $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ are termenul liber nul, deci $f(\hat{0})=\hat{0}$: clasa $\hat{0}$ este rădăcină, iar factorul pe care îl scoate teorema lui Bézout este $X-\hat{0}$, adică $X$ însuși.

Regula generală, valabilă peste orice corp: $\hat{0}$ este rădăcină exact atunci când termenul liber este nul, fiindcă valoarea în $\hat{0}$ a unui polinom este chiar termenul lui liber. E prima verificare pe care o faci, înainte de orice tabel, și te costă o privire.

Celelalte două clase nu sunt rădăcini pentru acest polinom: $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$ și $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{8}+\hat{4}=\hat{2}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{5}=\hat{2}$.

7. Câte rădăcini poate avea un polinom?

Răspunsul e o margine simplă și foarte folositoare: un polinom nenul de grad $n$ din $K[X]$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $K$.

Motivul se vede numărând grade. Fiecare rădăcină dă un factor de gradul întâi, iar scoaterea lui coboară cu o unitate gradul a ceea ce rămâne, fiindcă la produs gradele se adună. Cum gradul nu scade sub zero, numărul de rădăcini distincte nu depășește $n$.

Marginea aceasta îți spune când să te oprești din căutat. Invers, un tabel în care nicio valoare nu e nulă e un răspuns complet: polinomul nu se divide cu niciun polinom de gradul întâi din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, oricât ai căuta.

Ce se întâmplă cu ce rămâne după ce ai scos un factor — cum se caută un divizor comun a două polinoame și cum se desface un polinom în factori până la capăt — este subiectul lecției următoare, c.m.m.d.c. și descompunerea în factori. Aici ne oprim după primul factor scos.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout" și, separat, rândul „Rădăcini ale polinoamelor". Lecția de față acoperă legătura dintre cele două; relațiile lui Viète, care stau tot pe rândul despre rădăcini, se tratează la relațiile lui Viète.

Despre locul din probă, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii: Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe, iar a doua este despre un polinom; structurile algebrice, cerute de programa din 2014, nu apar în acel model. În acel model, cerința despre polinoame pornește de la un polinom cu un parametru, iar ipoteza de divizibilitate cu un factor de gradul întâi apare abia la al treilea punct, unde se cere restul unei împărțiri — sensul din secțiunea 5 al teoremei, folosit ca punct de plecare, nu ca întrebare. Cerințele din lecție sunt construite pe rândurile de programă de mai sus, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Pentru generația care intră pe programa nouă, divizibilitatea și teorema lui Bézout se studiază la clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele sunt în domeniul Algebră.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate rădăcinile dintr-un corp finit

Determină rădăcinile polinomului $f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.

Rezolvare. Corpul are trei elemente, deci alcătuim tabelul complet, reducând la fiecare pas.

Pentru $\hat{0}$: termenul liber este $\hat{2}$, deci $f(\hat{0})=\hat{2}$. Pentru $\hat{1}$: $f(\hat{1})=\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$. Pentru $\hat{2}$: ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$ și ${\hat{2}}^2=\hat{4}=\hat{1}$, deci $f(\hat{2})=\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$.

Singura rădăcină este $\hat{1}$. Tabelul fiind complet, răspunsul este complet: nu mai există alta.

Exemplul 2 — De la rădăcină la factor, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$

Pentru polinomul $f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$ din exemplul precedent, arată că $X-\hat{1}$ divide $f$ și scrie câtul.

Rezolvare. Am obținut $f(\hat{1})=\hat{0}$, deci, prin teorema lui Bézout, $(X-\hat{1})\mid f$. Pentru cât aplicăm schema lui Horner, pe coeficienții $\hat{2},\hat{2},\hat{0},\hat{2}$, cu $a=\hat{1}$:

Celulele, în ordine: $\hat{2}$ coborât; $\hat{2}+\hat{1}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$; $\hat{0}+\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$ — restul nul, cum era de așteptat. Câtul este $q=\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}$, deci

$$\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}=(X-\hat{1})(\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}).$$

Proba, înmulțind înapoi: $(X-\hat{1})(\hat{2}{X}^2+X+\hat{1})=\hat{2}{X}^3+X^2+X-\hat{2}{X}^2-X-\hat{1}$; grupăm și reducem, folosind $-\hat{2}=\hat{1}$ și $-\hat{1}=\hat{2}$: $\hat{2}{X}^3+(\hat{1}+\hat{1})X^2+(\hat{1}-\hat{1})X+\hat{2}=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$ ✓.

Exemplul 3 — Un polinom fără nicio rădăcină

Arată că polinomul $g=X^3+X^2+X+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ nu se divide cu niciun polinom de forma $X-a$, cu $a$ din ${\mathbb{Z}}_3$.

Rezolvare. Calculăm valorile în cele trei clase: $g(\hat{0})=\hat{2}$, apoi $g(\hat{1})=\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$, apoi $g(\hat{2})=\hat{8}+\hat{4}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{7}=\hat{1}$.

Niciuna nu este $\hat{0}$, deci $g$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_3$. Prin teorema lui Bézout, citită în sensul „de la factor la rădăcină", un divizor $X-a$ ar obliga la $g(a)=\hat{0}$; cum nicio clasă nu îndeplinește condiția, un astfel de divizor nu există.

Observă că argumentul e complet tocmai pentru că am epuizat corpul. Aceeași concluzie peste $\mathbb{R}$ ar fi cerut cu totul alt drum.

Exemplul 4 — Parametru determinat din divizibilitate

Determină $m$ din ${\mathbb{Z}}_3$ astfel încât polinomul $f=X^3+m{X}^2+\hat{2}X+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ să se dividă cu $X+\hat{1}$.

Rezolvare. Întâi citim corect divizorul: $X+\hat{1}=X-\hat{2}$, pentru că $-\hat{1}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Condiția de divizibilitate se scrie deci $f(\hat{2})=\hat{0}$.

Calculăm, reducând pe parcurs: ${\hat{2}}^3=\hat{2}$ și ${\hat{2}}^2=\hat{1}$, deci

$$f(\hat{2})=\hat{2}+m\cdot \hat{1}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}=\hat{2}+m+\hat{1}+\hat{2}=m+\hat{5}=m+\hat{2}.$$

Condiția $m+\hat{2}=\hat{0}$ dă $m=\hat{1}$. Verificare: pentru $m=\hat{1}$ avem $f=X^3+X^2+\hat{2}X+\hat{2}$, iar $f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{1}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$ ✓.

Exemplul 5 — Un model din laborator

Masa de precipitat, în grame, obținută într-un experiment este aproximată de $M(t)=-3t^3+11t^2+2t+8$, unde $t$ este timpul în minute, $t\in [0,4]$. Arată că $M$ se divide cu $t-4$ și scrie cealaltă parte a produsului. Ce înseamnă rezultatul pentru experiment?

Rezolvare. Evaluăm în $4$: $M(4)=-192+176+8+8=0$, deci, prin teorema lui Bézout, $t-4$ este factor.

Trecem coeficienții $-3,11,2,8$ prin tabel, cu $a=4$: prima celulă repetă $-3$; urmează $11-12=-1$, apoi $2-4=-2$, apoi $8-8=0$. Câtul este $-3t^2-t-2$, deci

$$M(t)=(t-4)(-3t^2-t-2).$$

Interpretarea: masa crește la început, apoi scade, iar la $t=4$ minute modelul dă $0$ grame — precipitatul s-a consumat exact la capătul intervalului pe care formula e valabilă. Până acolo masa rămâne pozitivă: amândoi factorii sunt negativi. Un divizor semnalează un zero al mărimii, nu un maxim și nici un minim; dincolo de $t=4$ factorii au semne contrare, deci formula ar da valori negative, imposibile pentru o masă — de aceea intervalul de valabilitate se declară și se respectă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$.

a) Calculează $f(\hat{0})$, $f(\hat{1})$ și $f(\hat{2})$.

b) Arată că $f$ nu se divide cu $X-\hat{1}$.

c) Determină $n$ din ${\mathbb{Z}}_3$ pentru care polinomul $g=X^3+\hat{2}{X}^2+nX+\hat{2}$ se divide cu $X-\hat{1}$.

Rezolvare. a) $f(\hat{0})$ este termenul liber, adică $\hat{2}$. Apoi $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{7}=\hat{1}$. Pentru $\hat{2}$ folosim ${\hat{2}}^3=\hat{2}$ și ${\hat{2}}^2=\hat{1}$: $f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{7}=\hat{1}$.

b) Prin teorema lui Bézout, $X-\hat{1}$ ar divide $f$ exact dacă $f(\hat{1})=\hat{0}$. Dar $f(\hat{1})=\hat{1}\ne \hat{0}$, deci nu divide. În plus, numărul obținut este chiar restul acelei împărțiri, adică $\hat{1}$.

c) Condiția este $g(\hat{1})=\hat{0}$, adică $\hat{1}+\hat{2}+n+\hat{2}=\hat{0}$. Cum $\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$, condiția devine $n+\hat{2}=\hat{0}$, deci $n=\hat{1}$. Verificare: pentru $n=\hat{1}$ avem $g(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$ ✓.

Să exersăm

Regula de pornire: la un divizor de gradul întâi evaluezi, nu împarți; citește numărul $a$ din forma $X-a$, cu opusul calculat în corp; iar când ți se cere și câtul, el vine din schema lui Horner.

1. Reducând modulo $3$ coeficienții lui $8X^3+5X^2+7X$ se obține un polinom din ${\mathbb{Z}}_3[X]$. Scrie-l, alcătuiește-i tabelul de valori și precizează rădăcinile lui.

2. În $\mathbb{Q}[X]$, arată că $X^3-2X^2-31X-28$ se divide cu $X-7$ și scrie câtul.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $\mathbb{Q}[X]$, stabilește dacă $X^3+5X^2-17X-21$ se divide cu $X-3$ și, în caz afirmativ, scrie câtul.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, dacă $f$ are coeficientul dominant $\hat{2}$ și se divide cu $X-\hat{1}$, atunci și câtul are coeficientul dominant $\hat{2}$."

5. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=\hat{2}{X}^3+m{X}^2+\hat{2}X+\hat{1}$, ai cărui coeficienți nenuli cunoscuți provin din numerele $8$, $5$ și $7$, reduse modulo $3$. Determină $m$ astfel încât $f$ să se dividă cu $X-\hat{1}$.

6. Explică, în două-trei fraze, de ce un polinom de gradul al doilea nu poate avea un divizor de gradul al treilea.

7. În $\mathbb{Q}[X]$, arată că $X^3-7X^2+36$ se divide cu $X-6$ și precizează gradul câtului.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $\mathbb{Q}[X]$, arată că $2X^3+5X^2-28X-15$ se divide cu $X-3$ și scrie câtul.

9. În ${\mathbb{Z}}_2[X]$, determină $m$ astfel încât $X^3+m{X}^2+\hat{1}$ să se dividă cu $X+\hat{1}$.

10. (Problemă aplicată.) Diferența dintre temperatura unei probe și temperatura camerei, în grade Celsius, este aproximată de $D(t)=t^3+6t^2+15t-22$, cu $t$ timpul în minute, $t\in [0,1]$. Arată că $D$ se anulează la $t=1$ și explică ce înseamnă asta pentru probă.

11. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, ceilalți coeficienți ai polinomului $\hat{2}{X}^3+X^2+\hat{2}X+c$ s-au obținut reducând modulo $3$ numerele $5$, $7$ și $8$. Determină termenul liber $c$ pentru care $\hat{0}$ este rădăcină a polinomului.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, dacă $f$ se divide cu $X-\hat{1}$, iar $g$ se divide cu $X-\hat{2}$, atunci $f+g$ se divide cu cel puțin unul dintre acești doi divizori."

13. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, determină toate valorile lui $n$ pentru care $\hat{2}{X}^3+nX+\hat{1}$ se divide cu $X-\hat{1}$.

14. În $\mathbb{Q}[X]$, arată că $X^3-2X^2-31X-28$ (același polinom ca la exercițiul 2) nu se divide cu $X-1$ și precizează restul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}X+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$. a) Calculează $f(\hat{2})$. b) Arată că $X-\hat{2}$ divide $f$. c) Determină câtul împărțirii lui $f$ la $X-\hat{2}$.

16. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, un polinom de gradul al treilea are rădăcinile $\hat{1}$ și $\hat{2}$. Câte rădăcini mai poate avea, cel mult? Justifică.

17. Un enunț cere divizibilitatea unui polinom $f$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ cu $\hat{2}X-\hat{1}$. Explică de ce condiția se scrie $f(\hat{2})=\hat{0}$ și verific-o pentru polinomul obținut reducând modulo $3$ coeficienții lui $10X^3+8X^2+4X$.

18. (Provocare.) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, determină $m$ și $n$ astfel încât polinomul $f=X^3+m{X}^2+nX+\hat{1}$ să se dividă atât cu $X-\hat{1}$, cât și cu $X-\hat{2}$, apoi scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X-\hat{1}$.

Răspunsuri și explicații

1. Reducerea dă $\hat{8}=\hat{2}$, $\hat{5}=\hat{2}$ și $\hat{7}=\hat{1}$, deci polinomul este $\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+X$. Valorile: $f(\hat{0})=\hat{0}$ (termenul liber este nul); $f(\hat{1})=\hat{2}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{5}=\hat{2}$; $f(\hat{2})=\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{5}=\hat{2}$. Singura rădăcină este $\hat{0}$.

2. $7^3-2\cdot 49-217-28=343-98-245=0$, deci $(X-7)$ divide polinomul. Schema lui Horner cu $a=7$ pe $1,-2,-31,-28$: $1$; $-2+7=5$; $-31+35=4$; $-28+28=0$. Câtul este $X^2+5X+4$.

3. Evaluăm în $3$: $27+45-51-21=0$, deci $X-3$ divide polinomul. Schema lui Horner cu $a=3$ pe coeficienții $1,5,-17,-21$: $1$; $5+3=8$; $-17+24=7$; $-21+21=0$. Câtul este $X^2+8X+7$.

4. Adevărat. Din $(X-\hat{1})\mid f$ scriem $f=(X-\hat{1})q$. Termenul de grad maxim al unui produs vine numai din înmulțirea celor doi coeficienți dominanți, iar cel al lui $X-\hat{1}$ este $\hat{1}$; așadar dominantul lui $f$ este chiar dominantul lui $q$, adică $\hat{2}$ — fără nicio împărțire.

5. Condiția este $f(\hat{1})=\hat{0}$. Calculăm: $\hat{2}+m+\hat{2}+\hat{1}=m+\hat{5}=m+\hat{2}$. Condiția $m+\hat{2}=\hat{0}$ dă $m=\hat{1}$. Verificare: pentru $m=\hat{1}$ valoarea în $\hat{1}$ este $\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{6}=\hat{0}$ ✓.

6. Pentru că, dacă $g$ divide $f$ și amândouă sunt nenule, atunci $f=g\cdot h$, iar gradul unui produs este suma gradelor: $\mathrm{grad}f=\mathrm{grad}g+\mathrm{grad}h\ge \mathrm{grad}g$. Un polinom de gradul al doilea nu poate avea deci divizori de grad mai mare decât $2$. Compararea gradelor se face înainte de orice calcul.

7. $216-7\cdot 36+36=216-252+36=0$, deci $(X-6)$ divide polinomul. Câtul are gradul $2$, pentru că gradul deîmpărțitului este $3$, iar factorul scos are gradul $1$, iar gradele se adună la produs.

8. Evaluăm în $3$: $54+45-84-15=0$, deci $X-3$ divide polinomul, prin teorema lui Bézout. Schema lui Horner cu $a=3$ pe coeficienții $2,5,-28,-15$: $2$; $5+6=11$; $-28+33=5$; $-15+15=0$. Câtul este $2X^2+11X+5$.

9. În ${\mathbb{Z}}_2$ avem $-\hat{1}=\hat{1}$, deci $X+\hat{1}=X-\hat{1}$ și condiția este $f(\hat{1})=\hat{0}$, adică $\hat{1}+m+\hat{1}=\hat{0}$. Cum $\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$, rămâne $m=\hat{0}$.

10. $D(1)=1+6+15-22=0$, deci $t-1$ este factor, prin teorema lui Bézout. Înseamnă că la $t=1$ minut diferența de temperatură este de $0$ grade Celsius, adică proba a ajuns la temperatura camerei. Nu e nici un maxim, nici un minim al diferenței, ci momentul în care ea se anulează; dincolo de acel moment modelul nu mai e declarat valabil.

11. Valoarea unui polinom în $\hat{0}$ este chiar termenul lui liber, deci condiția „$\hat{0}$ este rădăcină" se scrie direct $c=\hat{0}$. Pentru această valoare, factorul dat de teorema lui Bézout este $X-\hat{0}$, adică $X$.

12. Fals. Contraexemplu în ${\mathbb{Z}}_3[X]$: $f=X-\hat{1}$ și $g=X-\hat{2}$ îndeplinesc ipoteza, iar suma lor este $h=f+g=\hat{2}X-\hat{3}=\hat{2}X$. Pentru ea, $h(\hat{1})=\hat{2}$ și $h(\hat{2})=\hat{4}=\hat{1}$, amândouă nenule, deci, prin teorema lui Bézout, niciunul dintre cei doi divizori nu o divide. Divizibilitatea trece la sumă numai când divizorul este același la amândouă.

13. Condiția este $f(\hat{1})=\hat{0}$, adică $\hat{2}+n+\hat{1}=\hat{0}$. Cum $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$, rămâne $n=\hat{0}$. Există deci o singură valoare, $n=\hat{0}$, iar polinomul devine $\hat{2}{X}^3+\hat{1}$; verificare: $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$ ✓.

14. $1-2-31-28=-60\ne 0$, deci $X-1$ nu divide polinomul. Numărul obținut este chiar restul, adică $-60$.

15. a) $f(\hat{2})=\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{1}=\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$. b) Din $f(\hat{2})=\hat{0}$ și teorema lui Bézout rezultă $(X-\hat{2})\mid f$. c) Horner cu $a=\hat{2}$ pe coeficienții $\hat{2},\hat{0},\hat{2},\hat{1}$: $\hat{2}$; $\hat{0}+\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{4}=\hat{1}$; $\hat{1}+\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$. Câtul este $\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}$, iar restul $\hat{0}$ confirmă punctul b).

16. Cel mult una. Un polinom nenul de gradul al treilea are cel mult trei rădăcini distincte, iar două sunt deja găsite; a treia clasă, $\hat{0}$, poate fi sau nu rădăcină. Cum ${\mathbb{Z}}_3$ are numai trei elemente, altă posibilitate nici nu există.

17. Pentru că $\hat{2}X-\hat{1}=\hat{2}(X-\hat{2})$: înmulțind cu $\hat{2}$ obținem $\hat{4}X-\hat{2}=X-\hat{2}$, iar $\hat{2}$ este element nenul al corpului. Un divizor înmulțit cu un element nenul are exact aceiași multipli, deci divizibilitatea cu $\hat{2}X-\hat{1}$ este același lucru cu divizibilitatea cu $X-\hat{2}$, adică $f(\hat{2})=\hat{0}$. Verificarea cerută: reducerea dă $f=X^3+\hat{2}{X}^2+X$, iar $f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{1}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, deci polinomul chiar se divide.

18. Cele două condiții sunt $f(\hat{1})=\hat{0}$ și $f(\hat{2})=\hat{0}$. Prima: $\hat{1}+m+n+\hat{1}=m+n+\hat{2}=\hat{0}$, deci $m+n=\hat{1}$. A doua, cu ${\hat{2}}^3=\hat{2}$ și ${\hat{2}}^2=\hat{1}$: $\hat{2}+m+\hat{2}n+\hat{1}=m+\hat{2}n=\hat{0}$. Scăzând prima relație din a doua obținem $n=-\hat{1}=\hat{2}$, apoi $m=\hat{1}-\hat{2}=\hat{2}$. Deci $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{1}$. Horner cu $a=\hat{1}$ pe $\hat{1},\hat{2},\hat{2},\hat{1}$: $\hat{1}$; $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$; $\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}$; $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Câtul este $X^2+\hat{2}$, iar restul $\hat{0}$ ✓; verificarea celei de-a doua condiții: $f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{6}=\hat{0}$ ✓.

De reținut

• $g$ divide $f$ înseamnă că există $h$ cu $f=g\cdot h$; echivalent, restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Înainte de orice calcul, compară gradele.
• Teorema lui Bézout: $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$. Într-un sens obții un factor, în celălalt un verdict fără nicio împărțire.
• Peste ${\mathbb{Z}}_p$, căutarea rădăcinilor se termină: se calculează valorile în toate cele $p$ clase, iar tabelul complet e un răspuns complet, inclusiv când el spune „nicio rădăcină".
• Numărul $a$ se citește din forma $X-a$, cu opusul calculat în corp: la $X+\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se evaluează în $\hat{2}$, nu în $\hat{1}$.
• Un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în corpul coeficienților, pentru că fiecare rădăcină scoate un factor de gradul întâi, iar gradul scade cu o unitate de fiecare dată.

Greșeli frecvente

• Evaluarea în termenul liber al divizorului. La $X+\hat{2}$ nu se calculează $f(\hat{2})$, ci $f(\hat{1})$, pentru că $-\hat{2}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Rescrie divizorul sub forma $X-a$, cu $a$ redus, înainte de a scrie condiția.
• Relația citită în sens invers. „$X-\hat{1}$ divide $f$" înseamnă că $f$ este cel care se desface în factori, nu invers. Dacă ai ajuns să scrii că un polinom de gradul întâi se divide cu unul de gradul al treilea, ai încurcat rolurile — gradele nu permit.
• „Restul este $\hat{2}$" confundat cu „se divide". Cerința „restul împărțirii la $X-\hat{1}$ este $\hat{2}$" dă ecuația $f(\hat{1})=\hat{2}$, iar cerința „se divide cu $X-\hat{1}$" dă $f(\hat{1})=\hat{0}$. Sunt două ecuații diferite, cu soluții diferite; citește enunțul până la capăt.
• Căutarea oprită la prima valoare nenulă. Tabelul se completează până la ultima clasă. Un polinom poate să nu se anuleze în $\hat{0}$ și în $\hat{1}$, dar să se anuleze în $\hat{2}$ — iar cine se oprește devreme ratează singura rădăcină.
• Marginea „cel mult $n$" citită ca „exact $n$". Ea spune doar că nu pot fi mai multe. În ${\mathbb{Z}}_3$, o cubică poate avea de la zero până la trei rădăcini, iar varianta „niciuna" nu e semnul unei greșeli de calcul, ci un răspuns.

Aplică acasă

1. Tabelul celor trei clase, de nouă ori. Scrie trei polinoame de gradul al treilea din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, alese de tine, și alcătuiește pentru fiecare tabelul complet de valori. Notează, pentru fiecare, câte rădăcini are. Compară numerele obținute cu marginea din secțiunea 7 și spune dacă ai găsit vreun polinom care o atinge.

2. Zeroul unui model din laborator. Caută în manualul de fizică, de chimie sau de biologie o mărime descrisă printr-o formulă polinomială de gradul al treilea și încearcă valorile mici, $1$, $2$, $3$, până găsești una în care mărimea se anulează. Scrie apoi modelul ca produs, cu factorul găsit în față, și spune în ce unitate de măsură se exprimă mărimea și ce înseamnă acel moment în experiment.

3. Divizorul înmulțit cu o constantă. Ia un polinom din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ despre care știi că se divide cu $X-\hat{2}$ și verifică, prin calcul, că se divide și cu $\hat{2}X-\hat{1}$. Scrie în două rânduri de ce cei doi divizori au aceiași multipli și ce condiție pui, în fiecare caz, ca să decizi divizibilitatea.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două lumi care până acum stăteau separat: calculul valorilor unui polinom și descompunerea lui. Pentru un elev de la științe ale naturii, partea cea mai valoroasă nu e enunțul teoremei, ci economia pe care o aduce: o întrebare care părea să ceară o pagină de calcule se rezolvă cu o înlocuire. A doua valoare, mai subtilă, e că peste un corp finit căutarea rădăcinilor se termină — trei valori calculate înseamnă răspuns complet, ceea ce peste numerele reale nu se întâmplă niciodată.

De urmărit în caiet: (1) condiția de divizibilitate e scrisă înainte de calcul, nu dedusă la sfârșit; (2) numărul în care se evaluează a fost citit din forma $X-a$, cu opusul calculat în corp; (3) tabelul de valori e completat până la ultima clasă, nu până la prima rădăcină; (4) după aflarea parametrului există o verificare. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $X-\hat{2}$ divide polinomul?"; „De ce la $X+\hat{1}$ se evaluează în $\hat{2}$?"; „Câte rădăcini poate avea cel mult un polinom de gradul al treilea?"; „Ce afli dintr-un tabel în care nicio valoare nu e nulă?". Semn că elevul a înțeles: nu mai începe nicio împărțire înainte de a se uita la gradul divizorului și nu confundă „cel mult trei" cu „exact trei".

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la rândurile „Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout" și „Rădăcini ale polinoamelor", pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu le mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea. Pentru generația care intră pe programa nouă, divizibilitatea și teorema lui Bézout se studiază la clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele sunt în domeniul Algebră. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Bézout?

Spune că, pentru $f$ din $K[X]$ și $a$ din corpul $K$, polinomul $X-a$ divide $f$ exact atunci când $f(a)=0$. Fiind o echivalență, se folosește în ambele sensuri: dintr-o valoare nulă obții un factor, iar dintr-un factor obții o valoare nulă. Justificarea pornește de la teorema restului și ține un rând.

Ce înseamnă că un polinom divide alt polinom?

Înseamnă că al doilea se scrie ca produs dintre primul și un alt polinom cu coeficienți în același corp: $g$ divide $f$ dacă există $h$ cu $f=g\cdot h$. Echivalent, restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Relația nu este simetrică, iar gradul divizorului nu poate depăși gradul deîmpărțitului nenul.

Cum aflu rădăcinile unui polinom scris cu clase de resturi?

Îi calculezi pe rând valorile în cele $p$ clase și le reții pe cele care dau $\hat{0}$. Cum mulțimea de căutat e finită, procedeul nu poate rata nimic — iar un tabel fără nicio celulă nulă este, la rândul lui, un răspuns încheiat: acolo nu există rădăcini.

De ce se evaluează în $\hat{2}$ când divizorul este $X+\hat{1}$, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$?

Pentru că teorema vorbește despre divizori scriși sub forma $X-a$, iar $X+\hat{1}$ se scrie $X-(-\hat{1})$. Opusul se calculează însă în corp: $-\hat{1}=\hat{2}$, fiindcă $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Regula practică: rescrie întâi divizorul ca $X-a$, cu $a$ deja redus, și abia apoi scrie condiția.

Câte rădăcini poate avea un polinom peste un corp?

Un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în corpul coeficienților, fiindcă fiecare dintre ele scoate un factor de gradul întâi și coboară gradul cu o unitate. Marginea nu garantează însă existența — în ${\mathbb{Z}}_3$ se întâlnesc cubice fără nicio valoare nulă în tabel.

Se dă teorema lui Bézout și la mate-info (M1)? Ce diferă?

Da, la ambele profiluri, în suplimentul de programă pentru sesiunile 2027–2029, dar cu adâncime diferită. La mate-info se adaugă studiul funcției polinomiale peste clase de resturi și deosebirea dintre polinom și funcția lui, iar căutarea rădăcinilor merge mai departe, spre descompunerea completă. La științe ale naturii programa cere definiția divizibilității, teorema lui Bézout și noțiunea de rădăcină. Versiunea pentru mate-info (M1) a părții despre rădăcini și funcția polinomială.

La ce subiect apare teorema lui Bézout la bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, unde programa din 2014 pune și polinoamele, și structurile algebrice. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerința despre polinoame pornește de la un polinom dat și cere, la ultimul punct, restul unei împărțiri; ipoteza de divizibilitate cu un factor de gradul întâi apare chiar acolo. Continuarea firească a lecției este c.m.m.d.c. și descompunerea în factori.