O rădăcină vine mereu cu perechea ei: pe scurt

Dacă un polinom $f$ are coeficienți reali și $z=a+bi$ este rădăcină, atunci și conjugatul $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Demonstrația se sprijină pe identitatea $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$, valabilă pentru că un coeficient real coincide cu propriul conjugat. Perechea $a\pm bi$ dă un factor real de gradul al doilea, $x^2-2ax+(a^2+b^2)$, prin care poți împărți polinomul ca să cobori gradul. Consecință directă: rădăcinile nereale sunt în număr par, deci orice ecuație reală de grad impar are cel puțin o rădăcină reală — la grad par nu se garantează nimic ($X^4+1$ nu are nicio rădăcină reală).

O soră mai puțin cunoscută, dar la fel de utilă, se aplică la coeficienți raționali: dacă $\alpha =a+b\sqrt{d}$ (cu $\sqrt{d}$ irațional) este rădăcină, atunci și $\bar{\alpha }=a-b\sqrt{d}$ este rădăcină, perechea generând factorul rațional $x^2-2ax+(a^2-b^{2}d)$. Ipotezele nu se pot slăbi: prima teoremă cere neapărat $\mathbb{R}$ ($x-i=0$ e contraexemplul), a doua cere neapărat $\mathbb{Q}$ ($x-\sqrt{2}=0$ e contraexemplul). O rădăcină dată înseamnă, practic, două — deci un factor de gradul al doilea gata format, cu care se poate coborî direct gradul ecuației.

Exerciții din această mini-lecție

1. Știind că $2+i$ este rădăcină a ecuației $x^3-5x^2+9x-5=0$ cu coeficienți reali, care este factorul real de gradul al doilea corespunzător perechii conjugate?

   • a) $x^2-4x+5$
   • b) $x^2-4x+3$
   • c) $x^2+4x+5$
   • d) $x^2-2x+5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x^2-4x+5$

   Suma este $4$, produsul este $2^2+1^2=5$, deci factorul este $x^2-4x+5$. Împărțind, $f=(x^2-4x+5)(x-1)$, iar a treia rădăcină este $1$.

2. Rezolvați ecuația $x^3-8x^2+19x-14=0$, știind că $3+\sqrt{2}$ este o rădăcină.

   • a) $\{2,3+\sqrt{2},-3+\sqrt{2}\}$
   • b) $\{2,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}\}$
   • c) $\{-2,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}\}$
   • d) $\{2,3\pm \sqrt{3}\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\{2,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2}\}$

   Coeficienții sunt raționali, deci și $3-\sqrt{2}$ este rădăcină. Factorul lor este $x^2-6x+7$; împărțind, $f=(x^2-6x+7)(x-2)$, deci a treia rădăcină este $2$.

3. Care este ecuația monică de grad minim, cu coeficienți raționali, care are rădăcinile $\sqrt{7}$ și $-2$?

   • a) $x^3-2x^2-7x+14=0$
   • b) $x^2-7=0$
   • c) $x^3+2x^2-7x-14=0$
   • d) $x^3+2x^2+7x-14=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x^3+2x^2-7x-14=0$

   Coeficienții fiind raționali, apare obligatoriu și $-\sqrt{7}$. Ecuația de grad minim ($3$) este $(x^2-7)(x+2)=x^3+2x^2-7x-14=0$.