Cum rezolv o ecuație știind rădăcina 2 + √3?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Rădăcini conjugate

O rădăcină dată cu radical sau cu parte imaginară nu apare niciodată singură. Lecția fixează două teoreme cu ipoteze diferite. La coeficienți raționali, dacă $a+b\sqrt{c}$ anulează ecuația, cu $a$, $b$ raționale, $b$ nenul și $c$ pozitiv care nu este pătratul unui rațional, atunci și $a-b\sqrt{c}$ o anulează. La coeficienți reali, dacă numărul nereal $a+bi$ este rădăcină, atunci și $a-bi$ este. Se schimbă un singur semn — cel dinaintea radicalului, respectiv al părții imaginare —, nu semnul întregului număr.

Cele două numere se iau împreună, ca un bloc. Din suma $2a$ și din produsul $a^2-b^{2}c$, respectiv $a^2+b^2$, se scrie de-a dreptul trinomul $x^2-Sx+P$, fără nicio desfacere de paranteze; el are coeficienți în același câmp ca ecuația, deci o divide și coboară gradul cu doi dintr-o mișcare. Semnul discriminantului rămâne proba rapidă: pozitiv la perechea cu radical, negativ la cea complexă.

Două urmări se folosesc des. Numărul rădăcinilor care nu sunt reale este par, fiindcă ele vin grupate câte două; prin urmare, la grad impar cel puțin un loc rămâne unei rădăcini reale. Ipoteza se citește însă înainte: dacă printre coeficienți se ascunde un irațional, perechea nu mai e garantată.

De reținut

• coeficienți raționali: $a+b\sqrt{c}$ vine cu $a-b\sqrt{c}$
• coeficienți reali: $a+bi$ vine cu $a-bi$
• perechea dă trinomul $x^2-Sx+P$, care divide ecuația

Greșeala tipică

Se ia drept pereche a lui $2+\sqrt{3}$ numărul $-2-\sqrt{3}$, schimbând semnul întregului număr; se schimbă doar semnul radicalului, deci perechea este $2-\sqrt{3}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. O ecuație cu coeficienți raționali are rădăcina $4-3\sqrt{7}$. Care dintre numerele de mai jos este, obligatoriu, tot rădăcină a ei?

   • a) $-4+3\sqrt{7}$
   • b) $4+3\sqrt{7}$
   • c) $-4-3\sqrt{7}$
   • d) $3-4\sqrt{7}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4+3\sqrt{7}$

   Se schimbă doar semnul dinaintea radicalului, deci perechea este $4+3\sqrt{7}$. Varianta a) schimbă semnul întregului număr, adică ia opusul; c) schimbă semnul părții raționale; d) schimbă între ele cele două numere raționale din scriere.

2. Care este trinomul monic cu coeficienți reali ale cărui rădăcini sunt $9+4i$ și $9-4i$?

   • a) $x^2-18x+65$
   • b) $x^2+18x+97$
   • c) $x^2-18x+97$
   • d) $x^2-18x+81$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x^2-18x+97$

   Suma perechii este $18$, iar produsul este $9^2+4^2=97$, deci trinomul este $x^2-18x+97$; discriminantul $324-388=-64$ este negativ, cum trebuie la o pereche complexă. Varianta a) folosește $a^2-b^2$, formula perechii cu radical; b) greșește semnul sumei; d) uită pătratul părții imaginare.

3. Care este gradul minim al unei ecuații monice cu coeficienți raționali care are printre rădăcini numerele $\sqrt{11}$, $-3$ și $2-i$?

   • a) $3$
   • b) $4$
   • c) $6$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $5$

   Coeficienții fiind raționali, ei sunt în particular reali, deci se aplică amândouă teoremele: apar obligatoriu și $-\sqrt{11}$, și $2+i$. Numărăm: două de la prima pereche, una rațională și două de la a doua, în total cinci rădăcini, deci gradul minim este $5$. Varianta a) numără doar rădăcinile din enunț; b) uită una dintre perechi; c) adaugă o pereche pentru $-3$, care este rațional și nu are conjugat distinct.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: rădăcină cu radical la o ecuație cu coeficienți raționali · dacă 2 plus radical din 3 este rădăcină · rădăcini conjugate cu radical · cum folosesc rădăcina conjugată