Ecuații algebrice cu coeficienți reali și raționali: rădăcini conjugate

Un examen îți dă o ecuație de gradul al patrulea și o singură informație: „$1+2i$ este rădăcină". Pare puțin. În realitate, ai primit două rădăcini deodată — pentru că, atunci când coeficienții sunt numere reale, rădăcinile complexe nu apar niciodată singure, ci mereu în perechi: $1+2i$ vine obligatoriu cu $1-2i$. Din două rădăcini cunoscute obții un factor de gradul al doilea, împarți, și rămâi cu o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvi cu formula obișnuită.

Aceeași idee are o soră mai puțin cunoscută, dar la fel de utilă: dacă o ecuație are coeficienți raționali și una dintre rădăcini este $2+\sqrt{3}$, atunci și $2-\sqrt{3}$ este rădăcină. Radicalul „nu poate rămâne singur", exact cum nu poate rămâne singură partea imaginară. Cele două teoreme — a rădăcinilor complexe conjugate și a rădăcinilor pătratice conjugate — sunt cerute explicit de programa de matematică-informatică și apar constant în subiectele de examen. Le studiem aici împreună, pentru că demonstrațiile lor seamănă izbitor.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema rădăcinilor complexe conjugate, pentru coeficienți reali.
• Vei ști că ordinul de multiplicitate al lui $z$ și al lui $\bar{z}$ este același.
• Vei ști să deduci că un polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.
• Vei ști să folosești perechea conjugată pentru a obține factorul de gradul al doilea care divide polinomul.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema rădăcinilor de forma $a+b\sqrt{d}$, pentru coeficienți raționali.
• Vei ști să construiești ecuația cu coeficienți reali (sau raționali) când ți se dau unele dintre rădăcini.
• Vei ști de ce prima teoremă cere coeficienți reali, iar a doua cere coeficienți raționali — și ce se strică dacă slăbești ipoteza.

Hai să descoperim împreună

1. Prima teoremă: rădăcinile complexe conjugate

Teoremă. Fie $f$ un polinom cu coeficienți reali și $z=a+bi$ o rădăcină a lui $f$. Atunci și $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină a lui $f$.

Demonstrație. Scriem $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$, cu toți $a_k\in \mathbb{R}$. Conjugarea numerelor complexe este compatibilă cu adunarea și înmulțirea — proprietăți stabilite la Conjugatul unui număr complex:

$$\overline{u+v}=\bar{u}+\bar{v},\overline{uv}=\bar{u}\cdot \bar{v},\text{deci}\overline{z^k}={\bar{z}}^k.$$

În plus, un număr real coincide cu propriul conjugat: $\overline{a_k}=a_k$. Atunci:

$$\overline{f(z)}=\overline{\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k}=\sum _{k=0}^n\overline{a_k{z}^k}=\sum _{k=0}^n\overline{a_k}\cdot \overline{z^k}=\sum _{k=0}^n{a}_k{\bar{z}}^k=f(\bar{z}).$$

Am obținut identitatea $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$. Dacă $z$ este rădăcină, adică $f(z)=0$, atunci

$$f(\bar{z})=\overline{f(z)}=\bar{0}=0,$$

deci $\bar{z}$ este și el rădăcină. $■$

Observă unde s-a folosit ipoteza: exact la pasul $\overline{a_k}=a_k$. Dacă un coeficient ar fi complex nereal, egalitatea cade și teorema nu mai este valabilă.

2. Multiplicitatea se păstrează

Teorema spune mai mult decât pare: $z$ și $\bar{z}$ apar de același număr de ori în descompunerea canonică.

Completare. Dacă $z=a+bi$ (cu $b\ne 0$) este rădăcină de ordinul $k$ a unui polinom real $f$, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină de ordinul $k$.

Justificare. Fie $g=(X-z)(X-\bar{z})=X^2-2aX+(a^2+b^2)$, un polinom cu coeficienți reali. Din teorema de mai sus, $f$ se divide cu $g$; scriem $f=g\cdot f_1$, unde $f_1$ are tot coeficienți reali (câtul împărțirii a două polinoame reale este real). Dacă $z$ mai este rădăcină a lui $f_1$, repetăm raționamentul; și tot așa. La fiecare pas, $z$ și $\bar{z}$ „ies" împreună, deci se epuizează simultan — de unde egalitatea ordinelor.

Consecința practică: dacă $2+i$ este rădăcină dublă a unui polinom real, atunci și $2-i$ este dublă, iar polinomul se divide cu ${\left(X^2-4X+5\right)}^2$.

3. Două consecințe care se cer la examen

a) Numărul rădăcinilor nereale este par. Ele se grupează în perechi $\{z,\bar{z}\}$, iar o pereche are exact două elemente distincte (pentru $b\ne 0$, $z\ne \bar{z}$).

b) Orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Numărul total de rădăcini (cu multiplicitate) este egal cu gradul, care e impar; cele nereale sunt în număr par, deci cel puțin una rămâne reală.

Atenție la reciprocă: la grad par nu se garantează nimic. Polinomul $X^4+1$ are coeficienți reali și nicio rădăcină reală — toate cele patru rădăcini sunt complexe nereale, grupate în două perechi conjugate.

4. Cum folosești teorema în practică

Ți se dă o rădăcină complexă $z=a+bi$ a unei ecuații cu coeficienți reali. Procedezi în trei mișcări:

1. Scrii a doua rădăcină: $\bar{z}=a-bi$.
2. Formezi factorul real de gradul al doilea: $$(x-z)(x-\bar{z})=x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right).$$
3. Împarți ecuația la acest trinom (sau aplici de două ori schema lui Horner, cu $z$ apoi cu $\bar{z}$) și rezolvi câtul.

Pentru $z=1+2i$: $2a=2$ și $a^2+b^2=1+4=5$, deci factorul este $x^2-2x+5$. Nu e nevoie să memorezi formula — o poți reface în trei secunde din sumă și produs, adică din Relațiile lui Viète pentru polinoame de grad n.

5. A doua teoremă: rădăcinile pătratice conjugate

Trecem acum la coeficienți raționali și la radicali.

Teoremă. Fie $f$ un polinom cu coeficienți raționali și fie $\alpha =a+b\sqrt{d}$, unde $a,b\in \mathbb{Q}$, $b\ne 0$, iar $d$ este un număr rațional pozitiv care nu este pătrat perfect (deci $\sqrt{d}$ este irațional). Dacă $\alpha$ este rădăcină a lui $f$, atunci și $\bar{\alpha }=a-b\sqrt{d}$ este rădăcină a lui $f$.

Demonstrație. Pasul-cheie: numerele de forma $A+B\sqrt{d}$, cu $A,B\in \mathbb{Q}$, se înmulțesc între ele rămânând de aceeași formă:

$$\left(A+B\sqrt{d}\right)\left(A^{\prime }+B^{\prime }\sqrt{d}\right)=\left(A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }d\right)+\left(A{B}^{\prime }+A^{\prime }B\right)\sqrt{d}.$$

Prin urmare orice putere ${\alpha }^k$ se scrie $A_k+B_k\sqrt{d}$ cu $A_k,B_k\in \mathbb{Q}$, iar, adunând cu coeficienți raționali, obținem

$$f(\alpha )=A+B\sqrt{d},A,B\in \mathbb{Q}.$$

Mai mult, dacă în același calcul înlocuim peste tot $\sqrt{d}$ cu $-\sqrt{d}$, toate egalitățile rămân valabile (semnul apare doar la puteri impare ale radicalului), deci

$$f\left(\bar{\alpha }\right)=A-B\sqrt{d}.$$

Acum folosim ipoteza $f(\alpha )=0$, adică $A+B\sqrt{d}=0$. Dacă am avea $B\ne 0$, ar rezulta $\sqrt{d}=-\frac{A}{B}\in \mathbb{Q}$, contrazicând iraționalitatea lui $\sqrt{d}$. Deci $B=0$ și, imediat, $A=0$. Atunci

$$f\left(\bar{\alpha }\right)=A-B\sqrt{d}=0-0=0.■$$

Perechea $\alpha ,\bar{\alpha }$ dă și ea un factor, de data aceasta cu coeficienți raționali:

$$(x-\alpha )(x-\bar{\alpha })=x^2-2ax+\left(a^2-b^{2}d\right).$$

Pentru $\alpha =2+\sqrt{3}$: suma este $4$, produsul este $4-3=1$, deci factorul este $x^2-4x+1$.

6. De ce ipotezele nu se pot slăbi

Aici stă capcana pe care baremele o urmăresc.

• Prima teoremă cere coeficienți reali. Ecuația $x-i=0$ are coeficienți complecși și rădăcina $i$, dar $-i$ nu este rădăcină. Fără coeficienți reali, conjugarea nu mai „trece" prin polinom.
• A doua teoremă cere coeficienți raționali. Ecuația $x-\sqrt{2}=0$ are coeficienți reali și rădăcina $\sqrt{2}$, dar $-\sqrt{2}$ nu este rădăcină. Ipoteza „coeficienți raționali" este esențială, pentru că demonstrația se sprijină pe iraționalitatea lui $\sqrt{d}$ raportată la $\mathbb{Q}$.

Reține perechea de reguli în forma scurtă: conjugata complexă cere $\mathbb{R}$, conjugata cu radical cere $\mathbb{Q}$.

7. Problema inversă: construiește ecuația

Dacă ți se cere o ecuație de grad minim cu coeficienți reali (sau raționali) având anumite rădăcini, adaugi obligatoriu conjugatele și înmulțești factorii.

Exemplu. Ecuație monică de grad minim, cu coeficienți raționali, având rădăcinile $1+\sqrt{2}$ și $3$. Adăugăm conjugata $1-\sqrt{2}$ și obținem trei rădăcini:

$$\left(x^2-2x-1\right)(x-3)=x^3-5x^2+5x+3.$$

(Trinomul are suma $2$ și produsul $1-2=-1$.) Gradul minim este $3$: cu doar două rădăcini nu am fi avut coeficienți raționali.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O rădăcină complexă dată

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-5x^2+17x-13=0$, știind că $2+3i$ este o rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții sunt reali, deci și $2-3i$ este rădăcină. Formăm factorul de gradul al doilea: suma rădăcinilor este $4$, produsul este $2^2+3^2=13$, deci trinomul este $x^2-4x+13$.

Împărțim: $x^3-5x^2+17x-13=\left(x^2-4x+13\right)(x-1)$. (Verificare rapidă: termenul liber $13\cdot (-1)=-13$ ✓, coeficientul dominant $1$ ✓.)

A treia rădăcină este $x=1$. Soluțiile sunt $x\in \{1,2+3i,2-3i\}$.

Verificare prin Viète: suma rădăcinilor este $1+(2+3i)+(2-3i)=5=-\frac{-5}{1}$ ✓.

Exemplul 2 — Rădăcină pur imaginară, grad 4

Rezolvați ecuația $x^4-4x^3+14x^2-36x+45=0$, știind că $3i$ este rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții fiind reali, și $-3i$ este rădăcină. Aici $a=0$, $b=3$, deci factorul este

$$x^2-2\cdot 0\cdot x+\left(0^2+3^2\right)=x^2+9.$$

Împărțim și obținem câtul $x^2-4x+5$. Verificare: $\left(x^2+9\right)\left(x^2-4x+5\right)=x^4-4x^3+5x^2+9x^2-36x+45=x^4-4x^3+14x^2-36x+45$ ✓

Rezolvăm $x^2-4x+5=0$: $\Delta =16-20=-4$, deci $x=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i$.

Soluțiile sunt $x\in \{3i,-3i,2+i,2-i\}$ — două perechi conjugate, nicio rădăcină reală (posibil, pentru că gradul este par).

Exemplul 3 — Rădăcină cu radical

Rezolvați ecuația $x^3-5x^2+5x-1=0$, știind că $2+\sqrt{3}$ este o rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții sunt raționali (chiar întregi), deci se aplică a doua teoremă: și $2-\sqrt{3}$ este rădăcină.

Factorul corespunzător: suma este $4$, produsul este $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$, deci trinomul este $x^2-4x+1$.

Împărțim: $x^3-5x^2+5x-1=\left(x^2-4x+1\right)(x-1)$. Verificare prin desfacere: $x^3-4x^2+x-x^2+4x-1=x^3-5x^2+5x-1$ ✓

Soluțiile sunt $x\in \left\{1,2+\sqrt{3},2-\sqrt{3}\right\}$.

Exemplul 4 — Construirea ecuației din rădăcini

Determinați ecuația de grad minim, monică, cu coeficienți raționali, care are rădăcinile $1+\sqrt{2}$ și $3$.

Rezolvare. Coeficienții trebuie să fie raționali, deci $1-\sqrt{2}$ este obligatoriu și ea rădăcină. Avem deci cel puțin trei rădăcini, iar gradul minim este $3$.

Perechea cu radical dă trinomul cu suma $2$ și produsul $1-2=-1$, adică $x^2-2x-1$. Înmulțim cu $(x-3)$:

$$\left(x^2-2x-1\right)(x-3)=x^3-3x^2-2x^2+6x-x+3=x^3-5x^2+5x+3.$$

Ecuația cerută este $x^3-5x^2+5x+3=0$. Verificare: toți coeficienții sunt raționali ✓, iar $f(3)=27-45+15+3=0$ ✓.

Exemplul 5 — Unde se rupe teorema

Arătați că ecuația $x^2-(1+i)x+i=0$ are rădăcina $i$, dar nu are rădăcina $-i$. Ce ipoteză lipsește?

Rezolvare. Verificăm: $i^2-(1+i)\cdot i+i=-1-i-i^2+i=-1-i+1+i=0$ ✓, deci $i$ este rădăcină.

Pentru $-i$: $(-i{)}^2-(1+i)(-i)+i=-1+i+i^2+i=-1+i-1+i=-2+2i\ne 0$, deci $-i$ nu este rădăcină.

Nu e nicio contradicție: teorema rădăcinilor complexe conjugate cere coeficienți reali, iar aici coeficientul lui $x$ este $-(1+i)$, care nu e real. (De altfel, cealaltă rădăcină se află imediat din Viète: produsul rădăcinilor este $i$, deci a doua rădăcină este $\frac{i}{i}=1$.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie ecuația $x^4-6x^3+18x^2-30x+25=0$. a) Arătați că $1+2i$ este rădăcină. b) Rezolvați ecuația în $\mathbb{C}$.

Rezolvare. a) Calculăm puterile: $(1+2i{)}^2=1+4i+4i^2=-3+4i$; $(1+2i{)}^3=(-3+4i)(1+2i)=-3-6i+4i+8i^2=-11-2i$; $(1+2i{)}^4=(-3+4i{)}^2=9-24i+16i^2=-7-24i$. Înlocuim:

$$(-7-24i)-6(-11-2i)+18(-3+4i)-30(1+2i)+25=(-7+66-54-30+25)+(-24+12+72-60)i=0+0i.$$

Deci $1+2i$ este rădăcină ✓

b) Coeficienții sunt reali, deci și $1-2i$ este rădăcină. Factorul lor: suma $2$, produsul $1+4=5$, adică $x^2-2x+5$. Împărțind, obținem câtul $x^2-4x+5$:

$$\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2-4x+5\right)=x^4-6x^3+18x^2-30x+25✓$$

Din $x^2-4x+5=0$ cu $\Delta =-4$ obținem $x=2\pm i$.

Soluțiile sunt $x\in \{1+2i,1-2i,2+i,2-i\}$ — patru rădăcini nereale, în două perechi conjugate.

Să exersăm

Verifică de fiecare dată ce fel de coeficienți are ecuația (reali sau raționali) înainte de a aplica teorema potrivită. La final, numără rădăcinile: trebuie să fie atâtea cât gradul.

1. O ecuație cu coeficienți reali are rădăcina $3-2i$. Scrie o altă rădăcină a ei și justifică.

2. Formează trinomul cu coeficienți reali care are rădăcinile $1+i$ și $1-i$.

3. Formează trinomul cu coeficienți reali care are rădăcinile $2\pm 3i$.

4. Scrie ecuația monică de gradul al treilea, cu coeficienți reali, care are rădăcinile $2$ și $2i$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice ecuație de gradul al patrulea cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o ecuație are rădăcina $i$, atunci are obligatoriu și rădăcina $-i$."

7. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-3x^2+4x-2=0$, știind că $x=1$ este rădăcină.

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-2x^2+4x-8=0$, știind că $2i$ este rădăcină.

9. Rezolvă ecuația $x^4-6x^3+9x^2+6x-10=0$, știind că $3-i$ este rădăcină.

10. Determină ecuația monică de gradul al treilea, cu coeficienți reali, care are rădăcinile $2+i$ și $-1$.

11. Determină ecuația monică de grad minim, cu coeficienți raționali, care are rădăcinile $\sqrt{5}$ și $2$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $x-\sqrt{2}=0$ are coeficienți reali și rădăcina $\sqrt{2}$, deci are și rădăcina $-\sqrt{2}$."

13. Determină ecuația monică de gradul al patrulea, cu coeficienți raționali, care are rădăcinile $1+\sqrt{3}$ și $i$.

14. (Problemă aplicată.) Un inginer modelează oscilația unui pod printr-o ecuație de gradul al patrulea cu coeficienți reali și constată, la simulare, rădăcinile $-0,5+3i$ și $-1,2+5i$. Câte rădăcini are, în total, ecuația și care sunt celelalte? Poate ecuația să aibă și o rădăcină reală?

15. Rezolvă ecuația $x^4-8x^3+23x^2-26x+10=0$, știind că $3+i$ este rădăcină și că $x=1$ este rădăcină dublă.

16. Explică, în două rânduri, de ce o ecuație de gradul al cincilea cu coeficienți reali are întotdeauna cel puțin o soluție reală.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f=X^3-4X^2+6X-4$. a) Arătați că $1+i$ este rădăcină a lui $f$. b) Determinați celelalte rădăcini ale lui $f$. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Fie $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Arată, prin ridicări succesive la pătrat, că $\alpha$ verifică ecuația $x^4-10x^2+1=0$, apoi verifică faptul că toate cele patru rădăcini ale ei sunt $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. Rădăcina $3+2i$. Coeficienții fiind reali, avem $f(\bar{z})=\overline{f(z)}=\bar{0}=0$, deci conjugatul oricărei rădăcini este tot rădăcină.

2. Suma este $2$, produsul este $1^2+1^2=2$, deci trinomul este $x^2-2x+2$ (cu $\Delta =4-8=-4<0$, cum era de așteptat).

3. Suma este $4$, produsul este $2^2+3^2=13$, deci trinomul este $x^2-4x+13$.

4. Coeficienții fiind reali, apare obligatoriu și $-2i$. Ecuația este $(x-2)\left(x^2+4\right)=0$, adică $x^3-2x^2+4x-8=0$.

5. Fals. Contraexemplu: $x^4+1=0$ are toate cele patru rădăcini nereale (în două perechi conjugate). Garanția există doar la grad impar.

6. Fals dacă nu se precizează nimic despre coeficienți: ecuația $x-i=0$ are rădăcina $i$ și nu are rădăcina $-i$. Afirmația devine adevărată dacă adăugăm ipoteza „ecuația are coeficienți reali".

7. Împărțim cu $x-1$ și obținem $x^2-2x+2$, cu $\Delta =-4$, deci $x=1\pm i$. Soluții: $x\in \{1,1+i,1-i\}$ — o rădăcină reală și o pereche conjugată, cum trebuie la grad impar.

8. Coeficienții sunt reali, deci și $-2i$ este rădăcină; factorul lor este $x^2+4$. Împărțind, câtul este $x-2$. Soluții: $x\in \{2,2i,-2i\}$.

9. Și $3+i$ este rădăcină; factorul lor: suma $6$, produsul $9+1=10$, deci $x^2-6x+10$. Împărțind, câtul este $x^2-1$, cu rădăcinile $1$ și $-1$. Soluții: $x\in \{3+i,3-i,1,-1\}$.

10. Apare obligatoriu și $2-i$; trinomul lor este $x^2-4x+5$. Ecuația: $\left(x^2-4x+5\right)(x+1)=0$, adică $x^3-3x^2+x+5=0$.

11. Coeficienții fiind raționali, apare și $-\sqrt{5}$; perechea dă $x^2-5$. Ecuația de grad minim ($3$): $\left(x^2-5\right)(x-2)=0$, adică $x^3-2x^2-5x+10=0$.

12. Fals. Teorema rădăcinilor pătratice conjugate cere coeficienți raționali, nu doar reali. Aici coeficientul liber este $-\sqrt{2}$, irațional, iar singura rădăcină a ecuației este $\sqrt{2}$.

13. Trebuie adăugate ambele conjugate: $1-\sqrt{3}$ (pentru coeficienți raționali) și $-i$ (pentru coeficienți reali, condiție implicată de „raționali"). Perechile dau $x^2-2x-2$ și $x^2+1$, deci ecuația este

$$\left(x^2-2x-2\right)\left(x^2+1\right)=x^4-2x^3-x^2-2x-2=0.$$

14. Coeficienții fiind reali, apar obligatoriu și conjugatele $-0,5-3i$ și $-1,2-5i$. Ecuația de gradul al patrulea are deci exact aceste patru rădăcini și nu poate avea nicio rădăcină reală — locurile sunt deja ocupate.

15. $3+i$ vine cu $3-i$; factorul lor este $x^2-6x+10$. Cu $x=1$ rădăcină dublă, mai avem factorul $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$. Verificare: $\left(x^2-6x+10\right)\left(x^2-2x+1\right)=x^4-8x^3+23x^2-26x+10$ ✓ Soluții: $x=1$ (dublă), $3+i$, $3-i$.

16. O ecuație de gradul al cincilea are cinci rădăcini (cu multiplicitate). Rădăcinile nereale se grupează în perechi conjugate, deci sunt în număr par (0, 2 sau 4); cum $5$ este impar, rămâne cel puțin o rădăcină reală.

17. a) $(1+i{)}^2=2i$, $(1+i{)}^3=2i(1+i)=-2+2i$. Atunci $f(1+i)=(-2+2i)-4\cdot 2i+6(1+i)-4=(-2+6-4)+(2-8+6)i=0$ ✓ b) Coeficienții fiind reali, și $1-i$ este rădăcină; factorul lor este $x^2-2x+2$, iar câtul împărțirii este $x-2$, deci a treia rădăcină este $2$. c) $f=(X-2)\left(X^2-2X+2\right)$, iar trinomul are $\Delta =-4<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$ — vezi Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R.

18. Din $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ obținem ${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$, deci ${\alpha }^2-5=2\sqrt{6}$. Ridicăm din nou la pătrat: ${\left({\alpha }^2-5\right)}^2=24$, adică ${\alpha }^4-10{\alpha }^2+25=24$, deci ${\alpha }^4-10{\alpha }^2+1=0$ ✓ Ecuația este bipătrată: cu $y=x^2$ avem $y^2-10y+1=0$, cu $y=5\pm 2\sqrt{6}$; cum $5+2\sqrt{6}={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$ și $5-2\sqrt{6}={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2$, cele patru rădăcini sunt $\pm \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$ și $\pm \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$, adică toate combinațiile $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$.

De reținut

• Teorema rădăcinilor complexe conjugate: dacă $f$ are coeficienți reali și $z$ este rădăcină, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Demonstrația se sprijină pe identitatea $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$.
• Perechea $a\pm bi$ dă factorul real $x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)$; pe el împarți ca să cobori gradul.
• Consecință: rădăcinile nereale sunt în număr par, deci orice ecuație reală de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. La grad par nu se garantează nimic.
• Teorema rădăcinilor pătratice conjugate: dacă $f$ are coeficienți raționali și $a+b\sqrt{d}$ este rădăcină (cu $\sqrt{d}$ irațional), atunci și $a-b\sqrt{d}$ este rădăcină. Perechea dă factorul $x^2-2ax+\left(a^2-b^{2}d\right)$.
• Ipotezele nu se pot slăbi: prima teoremă cere $\mathbb{R}$ ($x-i=0$ e contraexemplul), a doua cere $\mathbb{Q}$ ($x-\sqrt{2}=0$ e contraexemplul).

Greșeli frecvente

• Aplicarea teoremei la coeficienți complecși. Dacă printre coeficienți apare $i$, conjugata unei rădăcini nu mai este obligatoriu rădăcină.
• Confuzia dintre „reali" și „raționali" la a doua teoremă. Pentru rădăcinile cu radical, ipoteza corectă este „coeficienți raționali"; „reali" nu ajunge.
• Semnul greșit în factorul conjugat. La complexe, produsul este $a^2+b^2$; la radicali, produsul este $a^2-b^{2}d$. Se confundă des — refă-le mereu din sumă și produs.
• Uitarea multiplicității. Dacă $z$ este rădăcină dublă, și $\bar{z}$ este dublă, deci polinomul se divide cu pătratul trinomului.
• „Grad par, deci nicio rădăcină reală." Fals în ambele sensuri: gradul par nu interzice rădăcini reale ($x^4-1$ are două), ci doar nu le garantează.

Aplică acasă

1. Verifică identitatea $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$. Ia polinomul $f=X^3-2X+5$ și numărul $z=1+i$. Calculează $f(z)$, apoi conjugă rezultatul; separat, calculează $f(\bar{z})$. Cele două numere trebuie să coincidă — este demonstrația din secțiunea 1, făcută cu mâna ta.

2. Fabrica de ecuații cu coeficienți reali. Alege o pereche conjugată (de exemplu $-1\pm 3i$) și o rădăcină reală la alegere. Formează polinomul, desfă parantezele și convinge-te că toți coeficienții ies reali. Repetă cu o pereche cu radical ($2\pm \sqrt{5}$) și verifică faptul că, de data aceasta, coeficienții ies raționali.

3. Vânătoarea de contraexemple. Scrie trei ecuații care arată de ce ipotezele sunt necesare: una cu coeficienți complecși în care conjugata unei rădăcini nu e rădăcină, una cu coeficienți reali dar iraționali în care conjugata cu radical nu e rădăcină, și una de gradul al patrulea, cu coeficienți reali, fără nicio rădăcină reală.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează cele două teoreme de „împerechere" a rădăcinilor, cerute explicit de programa de matematică-informatică prin sintagma „ecuații algebrice cu coeficienți reali, raționali, întregi". Miza pedagogică este dublă: pe de o parte tehnica (o rădăcină dată înseamnă, practic, două, deci un factor de gradul al doilea), pe de altă parte rigoarea ipotezelor — de ce prima teoremă cere $\mathbb{R}$ și a doua cere $\mathbb{Q}$.

Ce verifică lecția: demonstrația prin $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$, formarea corectă a trinomului asociat perechii (cu produsul $a^2+b^2$, respectiv $a^2-b^{2}d$), consecința despre gradul impar și construirea ecuației de grad minim. Întrebări bune de control: „De ce nu se poate aplica teorema la $x-i=0$?", „Câte rădăcini nereale poate avea o ecuație reală de gradul al cincilea?", „Ce factor obții dacă $3-\sqrt{2}$ este rădăcină a unei ecuații cu coeficienți raționali?".

Semne că elevul a înțeles: adaugă conjugata reflex, dar poate justifica de ce are dreptul să o facă; distinge coeficienții reali de cei raționali în enunț; nu confundă „nu are rădăcini reale" cu „nu are soluții". La Bacalaureat M1, structura clasică a cerinței este: (a) verificarea faptului că un număr complex dat e rădăcină, (b) determinarea celorlalte rădăcini, (c) descompunerea polinomului în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema rădăcinilor complexe conjugate? Că, dacă un polinom are coeficienți reali și $z=a+bi$ este rădăcină, atunci și conjugatul $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Demonstrația folosește identitatea $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$.

De ce este obligatoriu ca toți coeficienții să fie reali? Pentru că în demonstrație se folosește $\overline{a_k}=a_k$, valabil doar pentru numere reale. Contraexemplu: $x-i=0$ are rădăcina $i$, dar nu și $-i$, tocmai pentru că un coeficient nu este real.

Ce factor obțin dintr-o pereche de rădăcini complexe conjugate? Trinomul $x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)$, adică „$x^2-$ (suma) $\cdot x+$ (produsul)". Discriminantul lui este $-4b^2<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$.

Este adevărat că dacă $2+\sqrt{3}$ e rădăcină, atunci și $2-\sqrt{3}$ e rădăcină? Da, dacă ecuația are coeficienți raționali. Perechea dă factorul $x^2-4x+1$. Dacă coeficienții sunt doar reali, afirmația poate fi falsă: $x-\sqrt{3}=0$ are o singură rădăcină.

De ce o ecuație de grad impar cu coeficienți reali are mereu o soluție reală? Pentru că rădăcinile nereale se grupează în perechi conjugate, deci sunt în număr par. Numărul total de rădăcini fiind impar, cel puțin una nu are pereche, adică este reală.

Poate o ecuație de gradul al patrulea cu coeficienți reali să nu aibă nicio rădăcină reală? Da. Exemplu: $x^4+1=0$, ale cărei patru rădăcini formează două perechi conjugate. La grad par, existența unei rădăcini reale nu este garantată.

Cum construiesc ecuația de grad minim cu coeficienți raționali dintr-o rădăcină dată? Adaugi conjugatele impuse de ipoteză (conjugata complexă și, dacă apare un radical, conjugata pătratică), formezi trinoamele corespunzătoare și le înmulțești. Gradul minim este numărul total de rădăcini obținute astfel.

Cum apare acest subiect la Bacalaureat M1? Ca problemă în trei subpuncte: se verifică o rădăcină complexă dată, se determină celelalte rădăcini folosind conjugata și împărțirea, apoi se cere descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ sau peste $\mathbb{C}$.