Ecuații binome: pe scurt

O ecuație binomă are forma $z^n=a$, cu $a\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ și $n\ge 2$. Spre deosebire de $\mathbb{R}$ (unde numărul soluțiilor depinde de semnul lui $a$ și de paritatea lui $n$), în $\mathbb{C}$ ea are întotdeauna exact $n$ soluții distincte:

$$z_k=\sqrt[n]{\rho }\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right),k=0,\dots ,n-1,$$

unde $a=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$. Toate soluțiile au același modul $\sqrt[n]{\rho }$ și imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de rază $\sqrt[n]{|a|}$.

Dacă ai găsit o soluție $z_0$, restul se obțin înmulțind-o cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității: $z_k=z_0{\epsilon }_k$. Suma tuturor soluțiilor este $0$ (pentru $n\ge 2$), iar produsul lor este $(-1{)}^{n+1}a$.

Ecuațiile care nu arată binom pot deveni binome după o substituție (de exemplu $(z+1{)}^3=8$, cu $w=z+1$), dar o ecuație cu trei termeni, precum cea bipătrată, nu este binomă — ea se rezolvă separat, cu $t=z^2$, obținând apoi câte o ecuație binomă pentru fiecare valoare a lui $t$.

Algoritmul complet: aduci $a$ la forma trigonometrică cu argumentul redus în $[0,2\pi )$, extragi radicalul real din modul, împarți argumentul la $n$ pentru primul termen, apoi aduni succesiv rația $\frac{2\pi }{n}$. Cel mai frecvent la examen apar $n\in \{2,3,4,6\}$, cu $a$ ales astfel încât argumentele rezultate să fie remarcabile.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte soluții are, în $\mathbb{C}$, ecuația $z^5=-32$?

   • a) $5$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   O ecuație binomă $z^n=a$ are, în $\mathbb{C}$, întotdeauna exact $n$ soluții, indiferent de semnul lui $a$.

2. Care este modulul comun al soluțiilor ecuației $z^3=-125$?

   • a) $125$
   • b) $5$
   • c) $-5$
   • d) $\approx 15,625$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   Modulul comun este $\sqrt[3]{|-125|}=\sqrt[3]{125}=5$.

3. Rezolvați $z^2=-49$. Care este una dintre soluții?

   • a) $-7$
   • b) $7$
   • c) $7i$
   • d) $49i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $7i$

   $(7i{)}^2=49i^2=-49$, deci $7i$ este soluție (cealaltă e $-7i$).