Cum rezolv ecuația x³=-8 în ℂ?

Scrii suma de cuburi: x³+8=(x+2)(x²-2x+4)=0. Primul factor dă soluția reală -2. Trinomul are Δ=4-16=-12, deci dă x= 2±2i √3/2=1± i √3. Proba pentru 1+i √3: pătratul lui este -2+2i √3, iar cubul iese -2-6=-8.

Cât fac suma și produsul soluțiilor ecuației x³=64?

Scrisă x³+0· x²+0· x-64=0, ecuația dă prin relațiile lui Viète suma 0 și produsul 64. Cu soluțiile explicite, 4 și -2±2i √3, se verifică: părțile reale dau 4-2-2=0, produsul celor două conjugate este 4+12=16, iar 4·16=64.

De ce sunt conjugate soluțiile nereale ale lui x³=27?

Pentru că ecuația are coeficienți reali. Dacă z³=27, conjugând ambii membri obții z³=27, deci și z este soluție. Același lucru se vede din trinomul x²+3x+9: discriminantul negativ dă perechea (-3±3i √3)/2, cu aceeași parte reală, - 3/2.

Cum verific că (-3+3i √3)/2 este soluție a lui x³=27?

Ridici întâi la pătrat: ((-3+3i √3)/2)²= (9-18i √3-27)/4= (-9-9i √3)/2. Înmulțești apoi cu numărul inițial: ((-9-9i √3)(-3+3i √3))/4= (27+81)/4=27. Termenii cu i se reduc, iar i²=-1 face din ultimul produs +81. Aceeași probă, cu semnul lui i schimbat, merge și pentru conjugat.

Cum rezolv ecuația x³=5 în ℂ?

Notezi c= ∛5 și scrii x³-c³=(x-c)(x²+cx+c²)=0. Soluția reală este ∛5. Trinomul are Δ=c²-4c²=-3c², deci x= (-c± ic √3)/2= ∛5· (-1± i √3)/2. Metoda nu cere ca numărul din dreapta să fie cub perfect: orice număr real are exact o rădăcină cubică reală.

Cum rezolv x³ = 27 în numere complexe?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Binome și bipătrate

Descompui diferența de cuburi: $x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ . Primul factor dă soluția reală $3$ . Trinomul are $Δ = 9 - 36 = - 27$ , deci dă două soluții nereale conjugate, $x = \frac{- 3 \pm 3 i 3}{2}$ . Ecuația binomă de gradul al treilea are astfel exact trei soluții complexe, dintre care una reală. Metoda folosește doar forma algebrică, fără forma trigonometrică a numerelor complexe.

Ecuația binomă are doi termeni, $x^{n} = a$ cu $a$ nenul, și are, în mulțimea numerelor complexe, exact $n$ soluții; ecuația bipătrată are trei termeni și numai puteri pare, $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . Lecția le rezolvă pe amândouă în formă algebrică, cu uneltele claselor anterioare, fără nicio metodă nouă.

Când $a$ este pozitiv, din $x^{2} = a$ ies $\pm a$ ; când e negativ, se scoate $i$ în față și rămân $\pm i ∣ a ∣$ , două numere fără parte reală. La $x^{3} = a$ , cu $a$ cub perfect, se desface diferența sau suma de cuburi, iar trinomul rămas are discriminantul $- 3 c^{2}$ , negativ pentru orice $c$ nenul: rămâne o singură rădăcină în $R$ , însoțită de două numere nereale conjugate. Pentru $x^{4} = a$ cu $a$ pozitiv, ca și la orice bipătrată, se notează $t = x^{2}$ , se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, iar apoi fiecare dintre cele două valori se duce înapoi în relația de definiție.

Tocmai acolo se oprește rezolvarea prea devreme: cele două numere găsite sunt pătratele soluțiilor. O valoare negativă nu se înlătură, fiindcă ea aduce două soluții fără parte reală. Semnele celor două valori spun dinainte dacă vor ieși patru soluții reale, două sau niciuna, iar răspunsul se scrie mereu în perechi opuse.

De reținut

$x^{3} = c^{3}$ : $(x - c) (x^{2} + c x + c^{2}) = 0$ , o soluție reală și două conjugate
$x^{3} = - c^{3}$ : $(x + c) (x^{2} - c x + c^{2}) = 0$
soluțiile lui $x^{3} = a$ au suma $0$ și produsul $a$

Greșeala tipică

Se scrie doar $x = 327 = 3$ ; în $C$ ecuația de gradul al treilea are trei soluții, iar celelalte două vin din trinomul $x^{2} + 3 x + 9$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt soluțiile, în mulțimea numerelor complexe, ale ecuației $x^{2} = - 50$ ?
- a) $\pm 52$
- b) $\pm 25 i$
- c) $\pm 5 i 2$
- d) ecuația nu are soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\pm 5 i 2$

Scriem $- 50 = 50 i^{2}$ , deci $x = \pm i 50 = \pm 5 i 2$ . Varianta a) ignoră semnul minus; b) înjumătățește numărul în loc să-i extragă radicalul; d) e răspunsul corect numai în mulțimea numerelor reale, nu și în cea a numerelor complexe, unde orice ecuație de gradul al doilea are două soluții.
La rezolvarea ecuației $x^{3} = - 1331$ se scoate factorul $x + 11$ . Care este trinomul care rămâne?
- a) $x^{2} + 11 x + 121$
- b) $x^{2} - 11 x + 121$
- c) $x^{2} - 11 x - 121$
- d) $x^{2} - 22 x + 121$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} - 11 x + 121$

Cum $1331 = 1 1^{3}$ , ecuația se scrie $x^{3} + 1 1^{3} = 0$ și folosim descompunerea sumei de cuburi: $x^{3} + 1 1^{3} = (x + 11) (x^{2} - 11 x + 121)$ . Varianta a) e cofactorul diferenței de cuburi, potrivit pentru $x^{3} - 1331$ ; c) schimbă semnul ultimului termen, care este întotdeauna $c^{2}$ ; d) e pătratul lui $x - 11$ și nu reface produsul.
Câte soluții reale are ecuația $x^{4} + 3 x^{2} - 28 = 0$ ?
- a) $2$
- b) $4$
- c) $0$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Cu $t = x^{2}$ obținem $t^{2} + 3 t - 28 = 0$ , cu $Δ = 9 + 112 = 121$ și valorile $t_{1} = 4$ , $t_{2} = - 7$ . Semnele sunt contrare — se vedea și fără calcul, din produsul $\frac{- 28}{1} < 0$ —, deci valoarea pozitivă dă două soluții reale, iar cea negativă două fără parte reală. Varianta d) e imposibilă: soluțiile unei bipătrate vin în perechi opuse, deci numărul celor reale este par.

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația $x^{3} = - 8$ în $C$ ?

Scrii suma de cuburi: $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ . Primul factor dă soluția reală $- 2$ . Trinomul are $Δ = 4 - 16 = - 12$ , deci dă $x = \frac{2 \pm 2 i 3}{2} = 1 \pm i 3$ . Proba pentru $1 + i 3$ : pătratul lui este $- 2 + 2 i 3$ , iar cubul iese $- 2 - 6 = - 8$ .

Cât fac suma și produsul soluțiilor ecuației $x^{3} = 64$ ?

Scrisă $x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x - 64 = 0$ , ecuația dă prin relațiile lui Viète suma $0$ și produsul $64$ . Cu soluțiile explicite, $4$ și $- 2 \pm 2 i 3$ , se verifică: părțile reale dau $4 - 2 - 2 = 0$ , produsul celor două conjugate este $4 + 12 = 16$ , iar $4 \cdot 16 = 64$ .

De ce sunt conjugate soluțiile nereale ale lui $x^{3} = 27$ ?

Pentru că ecuația are coeficienți reali. Dacă $z^{3} = 27$ , conjugând ambii membri obții $\overset{z}{ˉ}^{3} = 27$ , deci și $\overset{z}{ˉ}$ este soluție. Același lucru se vede din trinomul $x^{2} + 3 x + 9$ : discriminantul negativ dă perechea $\frac{- 3 \pm 3 i 3}{2}$ , cu aceeași parte reală, $- \frac{3}{2}$ .

Cum verific că $\frac{- 3 + 3 i 3}{2}$ este soluție a lui $x^{3} = 27$ ?

Ridici întâi la pătrat: $(\frac{- 3 + 3 i 3}{2})^{2} = \frac{9 - 18 i 3 - 27}{4} = \frac{- 9 - 9 i 3}{2}$ . Înmulțești apoi cu numărul inițial: $\frac{( - 9 - 9 i 3 ) ( - 3 + 3 i 3 )}{4} = \frac{27 + 81}{4} = 27$ . Termenii cu $i$ se reduc, iar $i^{2} = - 1$ face din ultimul produs $+ 81$ . Aceeași probă, cu semnul lui $i$ schimbat, merge și pentru conjugat.

Cum rezolv ecuația $x^{3} = 5$ în $C$ ?

Notezi $c = 35$ și scrii $x^{3} - c^{3} = (x - c) (x^{2} + c x + c^{2}) = 0$ . Soluția reală este $35$ . Trinomul are $Δ = c^{2} - 4 c^{2} = - 3 c^{2}$ , deci $x = \frac{- c \pm i c 3}{2} = 35 \cdot \frac{- 1 \pm i 3}{2}$ . Metoda nu cere ca numărul din dreapta să fie cub perfect: orice număr real are exact o rădăcină cubică reală.

Oamenii mai întreabă și: soluțiile complexe ale ecuației x la a treia egal 27 · rădăcinile cubice complexe ale lui 27 · ecuația binomă de gradul 3 rezolvată algebric · diferența de cuburi la ecuații în numere complexe

Cum rezolv x³ = 27 în numere complexe?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația x3=−8 în C?

Cât fac suma și produsul soluțiilor ecuației x3=64?

De ce sunt conjugate soluțiile nereale ale lui x3=27?

Cum verific că 2−3+3i3​​ este soluție a lui x3=27?

Cum rezolv ecuația x3=5 în C?

Continuă cu

Cum rezolv ecuația $x^{3} = - 8$ în $C$ ?

Cât fac suma și produsul soluțiilor ecuației $x^{3} = 64$ ?

De ce sunt conjugate soluțiile nereale ale lui $x^{3} = 27$ ?

Cum verific că $\frac{- 3 + 3 i 3}{2}$ este soluție a lui $x^{3} = 27$ ?

Cum rezolv ecuația $x^{3} = 5$ în $C$ ?