Ecuații binome

Curentul din priza de acasă vine dintr-o rețea trifazată: centrala nu produce o singură tensiune, ci trei, identice ca mărime, dar decalate una față de alta cu exact o treime de tură. Inginerii le desenează ca trei săgeți de aceeași lungime care pleacă din același punct și împart cercul în trei părți egale. Dacă notezi prima săgeată cu $z$, celelalte două se obțin rotind-o cu $120^{\circ }$, respectiv cu $240^{\circ }$ — iar cele trei numere sunt, toate, soluții ale aceleiași ecuații: $z^3=a$. Un montaj cu șase pale de elice, un motor cu opt pistoane sau o roată dințată cu douăsprezece dinți duc la aceeași întrebare, cu alt exponent.

Ecuațiile de acest tip se numesc binome, pentru că se pot scrie cu doi termeni: $z^n-a=0$. În mulțimea numerelor reale ele sunt frustrante — $x^3=8$ are o singură soluție, $x^4=-16$ nu are niciuna. În $\mathbb{C}$, în schimb, răspunsul este mereu același și e de o eleganță rară: exact $n$ soluții, distincte, așezate pe un cerc, în vârfurile unui poligon regulat. Lecția de față transformă acest fapt într-un algoritm pe care îl vei putea aplica pe orice ecuație binomă, fără să mai fie nevoie să „ghicești" nimic.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație binomă și să spui, înainte de orice calcul, câte soluții are.
• Vei ști să aplici algoritmul complet de rezolvare: aduci $a$ la forma trigonometrică, extragi modulul cu radical real și împarți argumentul.
• Vei ști să scrii soluțiile atât în formă trigonometrică, cât și în formă algebrică, atunci când argumentele sunt remarcabile.
• Vei ști să obții toate soluțiile dintr-una singură, înmulțind-o cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității.
• Vei ști să reprezinți geometric mulțimea soluțiilor și să recunoști poligonul regulat pe care îl formează.
• Vei ști să calculezi rapid suma și produsul soluțiilor și să rezolvi ecuații care devin binome după o substituție.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație binomă

Definiție. O ecuație binomă este o ecuație de forma

$$z^n=a,a\in {\mathbb{C}}^{\ast },n\in \mathbb{N},n\ge 2,$$

unde necunoscuta $z$ ia valori în $\mathbb{C}$.

Numele vine de la scrierea echivalentă $z^n-a=0$: membrul stâng are doi termeni, adică este un binom. Condiția $a\ne 0$ nu e o toană: ecuația $z^n=0$ are soluția unică $z=0$ și nu prezintă niciun interes.

Înainte de a rezolva ceva, merită observat cât de diferit se comportă aceeași ecuație în mulțimi diferite de numere:

În $\mathbb{R}$ numărul soluțiilor depinde de semnul lui $a$ și de paritatea lui $n$; în $\mathbb{C}$ el este întotdeauna $n$. Aceasta este una dintre marile recompense ale extinderii de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{C}$, anunțată încă din lecția De ce avem nevoie de numere complexe.

2. Algoritmul de rezolvare

Rezolvarea ecuației binome este exact problema rădăcinilor de ordinul $n$: o soluție a ecuației $z^n=a$ este, prin definiție, o rădăcină de ordinul $n$ a lui $a$. Teorema pe care ne sprijinim a fost demonstrată în lecția Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex; o reluăm aici în forma de care avem nevoie.

Teoremă. Fie $a=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, cu $\rho =|a|>0$ și $\theta \in [0,2\pi )$ argumentul redus al lui $a$. Ecuația $z^n=a$ are exact $n$ soluții distincte, date de

$$z_k=\sqrt[n]{\rho }\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1.$$

Aici $\sqrt[n]{\rho }$ este radicalul real de ordinul $n$ din numărul pozitiv $\rho$ — un singur număr, fără ambiguitate.

De reținut structura: modulul este același pentru toate soluțiile, iar argumentele sunt în progresie aritmetică, cu primul termen $\frac{\theta }{n}$ și rația $\frac{2\pi }{n}$.

De aici, rețeta în cinci pași, aceeași de fiecare dată:

1. Calculezi $\rho =|a|$ și argumentul redus $\theta \in [0,2\pi )$ al lui $a$.
2. Calculezi modulul comun al soluțiilor: $r=\sqrt[n]{\rho }$.
3. Calculezi primul argument: ${\phi }_0=\frac{\theta }{n}$.
4. Adaugi succesiv rația $\frac{2\pi }{n}$ și obții ${\phi }_0,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n-1}$.
5. Scrii cele $n$ soluții și, dacă argumentele sunt remarcabile, le treci în formă algebrică.

Pasul 1 se face cu algoritmul din lecția Trecerea de la forma algebrică la cea trigonometrică — cu grija de a citi corect cadranul, nu de a te încrede în tangentă.

De ce sunt exact $n$ și nu mai multe? Pentru $k=n$ am obține argumentul $\frac{\theta +2n\pi }{n}=\frac{\theta }{n}+2\pi$, adică același punct ca pentru $k=0$. De la $k=n$ încolo soluțiile se repetă ciclic, iar pentru $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ argumentele sunt distincte, pentru că diferența dintre oricare două dintre ele este mai mică decât $2\pi$.

3. Prima aplicare completă: $z^3=8$

Aici $a=8$, deci $\rho =8$ și $\theta =0$ (numărul $8$ este pe semiaxa reală pozitivă). Atunci $r=\sqrt[3]{8}=2$, primul argument este ${\phi }_0=0$, iar rația este $\frac{2\pi }{3}$. Argumentele sunt așadar $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$, adică $0^{\circ }$, $120^{\circ }$, $240^{\circ }$ — chiar decalajele din rețeaua trifazată din deschidere. Soluțiile:

$$z_0=2(\cos 0+i\sin 0)=2,$$

$$z_1=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3},$$

$$z_2=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}.$$

Verificarea „dus-întors" este obligatorie și se face ridicând la putere în forma algebrică. Pentru $z_1=-1+i\sqrt{3}$:

$$z_1^2=1-2i\sqrt{3}+3i^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3},$$

$$z_1^3=z_1^2\cdot z_1=(-2-2i\sqrt{3})(-1+i\sqrt{3})=2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}-2\cdot 3i^2=2+6=8✓$$

Observă că soluția $z_2$ este conjugata lui $z_1$. Nu e o coincidență: când $a$ este un număr real, soluțiile nereale ale ecuației binome apar în perechi de numere conjugate, pentru că ele sunt simetrice față de axa reală.

4. Când $a$ nu este real: $z^3=-27i$

Modulul este $\rho =|-27i|=27$, iar punctul $(0,-27)$ se află pe semiaxa imaginară negativă, deci argumentul redus este $\theta =\frac{3\pi }{2}$. Atunci $r=\sqrt[3]{27}=3$, iar primul argument este

$${\phi }_0=\frac{3\pi }{2}:3=\frac{\pi }{2}.$$

Rația este $\frac{2\pi }{3}$, deci argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{7\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}$ — adică $90^{\circ }$, $210^{\circ }$, $330^{\circ }$. Soluțiile:

$$z_0=3\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=3i,$$

$$z_1=3\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)=3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i,$$

$$z_2=3\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Verificare pentru soluția cea mai simplă: $(3i{)}^3=27i^3=27\cdot (-i)=-27i✓$. Aici $a$ nu mai este real, deci soluțiile nu mai sunt conjugate două câte două — verifică pe listă: conjugata lui $3i$ ar fi $-3i$, care nu apare.

5. Toate soluțiile dintr-una singură

Există o scurtătură foarte utilă la examen. Presupunem că ai găsit, prin orice mijloc (chiar și prin ghicire inspirată), o soluție $z_0$ a ecuației $z^n=a$.

Propoziție. Dacă $z_0^n=a$ și ${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{n-1}$ sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unității, atunci soluțiile ecuației $z^n=a$ sunt exact numerele

$$z_k=z_0\cdot {\epsilon }_k,k=0,1,\dots ,n-1.$$

Demonstrație. Fiecare astfel de număr este soluție: $(z_0{\epsilon }_k{)}^n=z_0^n{\epsilon }_k^n=a\cdot 1=a$. Numerele sunt distincte, pentru că $z_0\ne 0$ și ${\epsilon }_k$ sunt distincte. Cum ecuația are exact $n$ soluții, iar noi am produs $n$ soluții distincte, le-am obținut pe toate. $■$

Rădăcinile unității au fost studiate în lecția Rădăcinile unității și poligoanele regulate. Reamintim scrierea lor prescurtată: dacă notăm cu $\epsilon$ rădăcina de argument $\frac{2\pi }{n}$, atunci toate celelalte sunt puterile ei, ${\epsilon }_k={\epsilon }^k$ pentru $k=0,1,\dots ,n-1$ (în particular ${\epsilon }_0={\epsilon }^0=1$). Pentru $n=3$ ele sunt $1$, $\epsilon =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ și ${\epsilon }^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exemplu. La $z^3=8$ soluția evidentă este $z_0=2$. Celelalte două se obțin înmulțind: $2\epsilon =-1+i\sqrt{3}$ și $2{\epsilon }^2=-1-i\sqrt{3}$ — exact lista din secțiunea 3, obținută în două rânduri de calcul.

Pentru $n=4$, rădăcinile unității sunt $1,i,-1,-i$, deci soluțiile se obțin dintr-una singură prin înmulțiri repetate cu $i$, adică prin rotații de $90^{\circ }$.

6. Citirea geometrică: poligonul regulat

Toate soluțiile au același modul $r=\sqrt[n]{\rho }$, deci imaginile lor se află pe cercul de centru $O$ și rază $r$. Argumentele lor cresc de fiecare dată cu $\frac{2\pi }{n}$, deci punctele sunt egal distanțate pe cerc.

Concluzie. Pentru $n\ge 3$, imaginile geometrice ale soluțiilor ecuației $z^n=a$ sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $\sqrt[n]{|a|}$. Pentru $n=2$ se obțin două puncte diametral opuse.

Ce se schimbă când schimbi pe $a$? Modulul lui $a$ decide raza cercului, iar argumentul lui $a$ decide doar cât este rotit poligonul. Forma nu se schimbă niciodată.

Comparație instructivă. Ecuațiile $z^6=64$ și $z^6=-64$ au același modul, $\rho =64$, deci ambele au soluțiile pe cercul de rază $\sqrt[6]{64}=2$. Dar $\theta =0$ în primul caz și $\theta =\pi$ în al doilea, deci primul argument este $0$, respectiv $\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$: cele două hexagoane regulate sunt decalate cu $30^{\circ }$ unul față de celălalt.

Pentru $z^6=64$ argumentele sunt $0^{\circ },60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ }$, iar soluțiile în formă algebrică sunt

$$2,1+i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3},-2,-1-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}.$$

Pentru $z^6=-64$ argumentele sunt $30^{\circ },90^{\circ },150^{\circ },210^{\circ },270^{\circ },330^{\circ }$, iar soluțiile sunt

$$\sqrt{3}+i,2i,-\sqrt{3}+i,-\sqrt{3}-i,-2i,\sqrt{3}-i.$$

Control: $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2i\sqrt{3}-1=2+2i\sqrt{3}$, apoi $(\sqrt{3}+i{)}^3=(2+2i\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$, de unde $(\sqrt{3}+i{)}^6=(8i{)}^2=-64✓$

7. Suma și produsul soluțiilor

Două rezultate care se cer des și se demonstrează scurt.

Propoziție (suma). Pentru $n\ge 2$, suma tuturor soluțiilor ecuației $z^n=a$ este $0$.

Demonstrație. Scriem soluțiile sub forma $z_k=z_0{\epsilon }_k$, cu ${\epsilon }_k$ rădăcinile unității. Suma lor este $z_0({\epsilon }_0+{\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_{n-1})$, iar suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $0$ pentru $n\ge 2$. Deci suma este $0$. $■$

Geometric, faptul este limpede: vârfurile unui poligon regulat centrat în origine sunt așezate perfect simetric, iar „centrul lor de greutate" este chiar originea.

Propoziție (produsul). Produsul tuturor soluțiilor ecuației $z^n=a$ este $(-1{)}^{n+1}a$.

Verificare pe cazuri. La $z^3=8$: $2\cdot (-1+i\sqrt{3})\cdot (-1-i\sqrt{3})=2\cdot (1+3)=8=(-1{)}^4\cdot 8✓$. La $z^4=16$, cu soluțiile $2,2i,-2,-2i$: produsul este $2\cdot 2i\cdot (-2)\cdot (-2i)=16i^2=-16=(-1{)}^5\cdot 16✓$

8. Ecuații care devin binome după o substituție

Multe ecuații de la examen nu arată binom, dar devin binome după o schimbare de necunoscută.

Tipul 1: puterea unei expresii. Ecuația $(z+1{)}^3=8$ se rezolvă notând $w=z+1$. Obținem $w^3=8$, cu soluțiile $2$, $-1+i\sqrt{3}$, $-1-i\sqrt{3}$, apoi revenim la $z=w-1$:

$$z\in \left\{1,-2+i\sqrt{3},-2-i\sqrt{3}\right\}.$$

Verificare pentru a doua soluție: $z+1=-1+i\sqrt{3}$, iar cubul acestui număr l-am calculat deja: $8✓$

Tipul 2: raport egal cu o constantă. Ecuația ${\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3=1$ se rezolvă notând $w=\frac{z-1}{z+1}$, cu condiția $z\ne -1$. Din $w^3=1$ obținem cele trei rădăcini ale unității, apoi din fiecare se scoate $z$.

Tipul 3: aducerea la forma standard. Ecuația $2z^4+32=0$ se scrie mai întâi $z^4=-16$ și abia apoi se rezolvă. Cu $\rho =16$, $\theta =\pi$, avem $r=\sqrt[4]{16}=2$ și ${\phi }_0=\frac{\pi }{4}$, deci argumentele sunt $45^{\circ },135^{\circ },225^{\circ },315^{\circ }$ și soluțiile

$$\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}-i\sqrt{2},\sqrt{2}-i\sqrt{2}.$$

Control rapid: $(\sqrt{2}+i\sqrt{2}{)}^2=2+2\cdot 2i+2i^2=4i$, deci $(\sqrt{2}+i\sqrt{2}{)}^4=(4i{)}^2=-16✓$

Atenție: ecuația $z^4+5z^2+6=0$ nu este binomă — are trei termeni. Ea se rezolvă cu substituția $t=z^2$, iar apoi fiecare valoare a lui $t$ dă câte o ecuație binomă $z^2=t$. Tehnica seamănă, dar clasificarea trebuie făcută corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație binomă cu $a$ real pozitiv

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=16$.

Rezolvare. $\rho =16$, $\theta =0$, deci $r=\sqrt[4]{16}=2$, ${\phi }_0=0$, rația $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$. Argumentele sunt $0^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ }$, iar soluțiile

$$z\in \{2,2i,-2,-2i\}.$$

Verificare: $2^4=16$; $(2i{)}^4=16i^4=16$; $(-2{)}^4=16$; $(-2i{)}^4=16✓$ Cele patru puncte sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul de rază $2$.

Exemplul 2 — Ecuație binomă fără soluții reale

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=-1$.

Rezolvare. $\rho =1$, $\theta =\pi$, deci $r=1$ și ${\phi }_0=\frac{\pi }{4}$, cu rația $\frac{\pi }{2}$. Argumentele sunt $45^{\circ },135^{\circ },225^{\circ },315^{\circ }$, iar soluțiile

$$\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i\text{(toate cele patru combinații de semne)}.$$

Verificare pentru prima: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)}^2=\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i+\frac{1}{2}{i}^2=i$, deci pătratul ei este $i$, iar puterea a patra este $i^2=-1✓$

Exemplul 3 — Ecuație de gradul al doilea, rezolvată binom

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=i$.

Rezolvare. $\rho =1$, $\theta =\frac{\pi }{2}$, deci $r=1$ și ${\phi }_0=\frac{\pi }{4}$, rația $\pi$. Argumentele sunt $45^{\circ }$ și $225^{\circ }$:

$$z_0=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,z_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$

Verificare: am calculat deja $z_0^2=i$; iar $z_1=-z_0$, deci $z_1^2=z_0^2=i✓$

Observație: la $n=2$ soluțiile sunt întotdeauna opuse, $z_1=-z_0$, pentru că argumentele lor diferă cu $\pi$.

Exemplul 4 — Rezolvare pornind de la o soluție ghicită

Se știe că $2+3i$ verifică ecuația $z^2=-5+12i$. Determinați toate soluțiile.

Rezolvare. Verificăm mai întâi ipoteza: $(2+3i{)}^2=4+12i+9i^2=4+12i-9=-5+12i✓$

Rădăcinile de ordinul $2$ ale unității sunt $1$ și $-1$, deci soluțiile sunt $z_0=2+3i$ și $z_1=-(2+3i)=-2-3i$.

Verificare: $(-2-3i{)}^2=(2+3i{)}^2=-5+12i✓$

Exemplul 5 — Ecuație reductibilă la o ecuație binomă

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $(z+1{)}^3=8$.

Rezolvare. Notăm $w=z+1$ și rezolvăm $w^3=8$: soluțiile sunt $2$, $-1+i\sqrt{3}$, $-1-i\sqrt{3}$ (secțiunea 3). Revenim cu $z=w-1$:

$$z\in \left\{1,-2+i\sqrt{3},-2-i\sqrt{3}\right\}.$$

Verificare pentru $z=-2+i\sqrt{3}$: $z+1=-1+i\sqrt{3}$, al cărui cub este $8✓$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $z^3=-8i$, cu $z\in \mathbb{C}$.

a) Scrieți numărul $-8i$ sub formă trigonometrică.

b) Determinați soluțiile ecuației.

c) Arătați că imaginile geometrice ale soluțiilor sunt vârfurile unui triunghi echilateral și calculați suma soluțiilor.

Rezolvare. a) $|-8i|=8$, iar punctul $(0,-8)$ este pe semiaxa imaginară negativă, deci argumentul redus este $\frac{3\pi }{2}$:

$$-8i=8\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right).$$

b) $r=\sqrt[3]{8}=2$, ${\phi }_0=\frac{3\pi }{2}:3=\frac{\pi }{2}$, rația $\frac{2\pi }{3}$. Argumentele sunt $\frac{\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{6}$, adică $90^{\circ },210^{\circ },330^{\circ }$:

$$z_0=2i,z_1=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}-i,z_2=\sqrt{3}-i.$$

Verificare: $(2i{)}^3=8i^3=-8i✓$; pentru $z_2$ calculăm întâi pătratul, $(\sqrt{3}-i{)}^2=3-2i\sqrt{3}+i^2=2-2i\sqrt{3}$, apoi cubul:

$$(\sqrt{3}-i{)}^3=(2-2i\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)=2\sqrt{3}-2i-6i+2i^2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-8i-2\sqrt{3}=-8i✓$$

c) Toate cele trei soluții au modulul $2$, deci imaginile lor sunt pe cercul de centru $O$ și rază $2$; argumentele lor diferă succesiv cu $\frac{2\pi }{3}$, deci punctele împart cercul în trei arce egale — sunt vârfurile unui triunghi echilateral. Suma:

$$z_0+z_1+z_2=2i+(-\sqrt{3}-i)+(\sqrt{3}-i)=0.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare ecuație, scrie soluțiile și desenează-le pe un cerc, ca să vezi poligonul. Verifică întotdeauna cel puțin o soluție ridicând-o la putere în forma algebrică.

1. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3=27$.

2. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=16$ și precizează ce poligon formează imaginile soluțiilor.

3. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-9$ și compară rezultatul cu ceea ce se obține în $\mathbb{R}$.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4=-16$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $z^5=-32$ are, în $\mathbb{C}$, exact cinci soluții, dintre care una singură este reală."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Toate soluțiile ecuației $z^n=a$ au același modul."

7. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3=-27i$.

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^6=64$ și scrie soluțiile în formă algebrică.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^6=-64$ și explică prin ce diferă poligonul obținut de cel de la exercițiul anterior.

10. Rezolvă ecuația $2z^4+32=0$, aducând-o mai întâi la forma standard.

11. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^8=1$ și precizează câte dintre soluții sunt reale.

12. Știind că $z_0=1+i$ verifică ecuația $z^4=-4$, determină toate soluțiile ei folosind rădăcinile de ordinul $4$ ale unității.

13. Rezolvă ecuația $(z-2{)}^3=8$.

14. (Problemă aplicată.) Șase pale identice ale unei turbine sunt fixate egal distanțate pe un ax, iar prima pală are vârful în punctul de afix $2$ (coordonatele în metri). Scrie afixele vârfurilor tuturor palelor și precizează ecuația binomă ale cărei soluții sunt.

15. Calculează suma și produsul soluțiilor ecuației $z^4=16$, fără să le scrii pe toate, apoi verifică rezultatele pe lista soluțiilor.

16. Arată că ecuația $z^4+5z^2+6=0$ nu este binomă, apoi rezolv-o reducând-o la două ecuații binome.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^3=-8i$. a) Scrieți $-8i$ sub formă trigonometrică. b) Determinați soluțiile ecuației. c) Arătați că imaginile geometrice ale soluțiilor sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

18. (Provocare.) Determină numerele complexe $z$ pentru care ${\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3=1$, cu $z\ne -1$.

Răspunsuri și explicații

1. $\rho =27$, $\theta =0$, deci $r=3$ și argumentele sunt $0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$: $$z\in \left\{3,-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$ Verificare: $3^3=27$; celelalte două sunt conjugate, pentru că $a$ este real.

2. $z\in \{2,2i,-2,-2i\}$; imaginile sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul de rază $2$, cu vârfurile pe axe.

3. În $\mathbb{C}$: $\rho =9$, $\theta =\pi$, $r=3$, argumentele $90^{\circ }$ și $270^{\circ }$, deci $z\in \{3i,-3i\}$. În $\mathbb{R}$ ecuația nu are nicio soluție, pentru că pătratul unui număr real nu poate fi negativ.

4. $\rho =16$, $\theta =\pi$, $r=2$, ${\phi }_0=45^{\circ }$, rația $90^{\circ }$: $$z\in \left\{\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}-i\sqrt{2},\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right\}.$$ Verificare: $(\sqrt{2}+i\sqrt{2}{)}^2=4i$, iar $(4i{)}^2=-16✓$

5. Adevărat. Orice ecuație binomă cu $n=5$ are exact cinci soluții în $\mathbb{C}$. Cum $-32<0$ și $5$ este impar, ecuația $x^5=-32$ are în $\mathbb{R}$ soluția unică $x=-2$; celelalte patru soluții complexe sunt nereale (două perechi de conjugate).

6. Adevărat. Toate soluțiile au modulul $\sqrt[n]{|a|}$, pentru că formula le dă același factor din fața parantezei. De aceea imaginile lor sunt pe același cerc centrat în origine.

7. $r=3$, ${\phi }_0=90^{\circ }$, argumentele $90^{\circ },210^{\circ },330^{\circ }$: $$z\in \left\{3i,-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i,\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\right\}.$$ Verificare: $(3i{)}^3=-27i✓$

8. $r=\sqrt[6]{64}=2$, argumentele $0^{\circ },60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ }$: $$2,1+i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3},-2,-1-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}.$$ Verificare pentru $1+i\sqrt{3}$: pătratul este $-2+2i\sqrt{3}$, cubul este $(-2+2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=-2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}-6=-8$, iar puterea a șasea este $(-8{)}^2=64✓$

9. $r=2$ tot, dar $\theta =\pi$ dă ${\phi }_0=30^{\circ }$, deci argumentele sunt $30^{\circ },90^{\circ },150^{\circ },210^{\circ },270^{\circ },330^{\circ }$ și soluțiile $$\sqrt{3}+i,2i,-\sqrt{3}+i,-\sqrt{3}-i,-2i,\sqrt{3}-i.$$ Este același hexagon regulat, înscris în același cerc, dar rotit cu $30^{\circ }$.

10. $2z^4=-32\Rightarrow z^4=-16$, deci exact soluțiile de la exercițiul 4.

11. $r=1$, argumentele sunt multiplii de $45^{\circ }$: $$1,\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,i,-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,-i,\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$ Reale sunt două: $1$ și $-1$.

12. Verificăm întâi: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4✓$ Rădăcinile de ordinul $4$ ale unității sunt $1,i,-1,-i$, deci soluțiile sunt $1+i$, $i(1+i)=-1+i$, $-(1+i)=-1-i$ și $-i(1+i)=1-i$.

13. Cu $w=z-2$ obținem $w^3=8$, deci $w\in \{2,-1+i\sqrt{3},-1-i\sqrt{3}\}$ și $$z\in \left\{4,1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}\right\}.$$ Verificare pentru $z=1+i\sqrt{3}$: $z-2=-1+i\sqrt{3}$, al cărui cub este $8✓$

14. Vârfurile sunt egal distanțate pe cercul de rază $2$, iar unul dintre ele are afixul $2$, deci argumentele sunt multiplii de $60^{\circ }$ începând de la $0$: $$2,1+i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3},-2,-1-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}.$$ Ele sunt exact soluțiile ecuației $z^6=2^6=64$.

15. Suma este $0$ (valabil pentru orice ecuație binomă cu $n\ge 2$), iar produsul este $(-1{)}^{4+1}\cdot 16=-16$. Verificare pe listă: $2+2i-2-2i=0✓$ și $2\cdot 2i\cdot (-2)\cdot (-2i)=16i^2=-16✓$

16. Nu este binomă, pentru că are trei termeni, nu doi. Cu $t=z^2$ obținem $t^2+5t+6=0$, cu $t_1=-2$ și $t_2=-3$. Rezultă două ecuații binome: $z^2=-2$, cu soluțiile $\pm i\sqrt{2}$, și $z^2=-3$, cu soluțiile $\pm i\sqrt{3}$. În total patru soluții.

17. a) $-8i=8\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$. b) $r=2$, ${\phi }_0=\frac{\pi }{2}$, rația $\frac{2\pi }{3}$, deci $z\in \{2i,-\sqrt{3}-i,\sqrt{3}-i\}$. c) Toate au modulul $2$, deci imaginile sunt pe cercul de rază $2$; argumentele diferă succesiv cu $120^{\circ }$, deci punctele împart cercul în trei arce egale și formează un triunghi echilateral. (Suma soluțiilor este $0$, ceea ce confirmă că originea este centrul triunghiului.)

18. Notăm $w=\frac{z-1}{z+1}$. Din $w^3=1$ obținem $w\in \{1,\epsilon ,{\epsilon }^2\}$, cu $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Din $\frac{z-1}{z+1}=w$ rezultă $z-1=wz+w$, deci $z(1-w)=1+w$ și $z=\frac{1+w}{1-w}$, cu $w\ne 1$. Valoarea $w=1$ ar da $-1=1$, imposibil, deci nu produce soluții. Rămân două soluții. Pentru $w=\epsilon$: $1+\epsilon =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și $1-\epsilon =\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, deci $$z=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{1+\sqrt{3}i}{3-\sqrt{3}i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)(3+\sqrt{3}i)}{9+3}=\frac{3+\sqrt{3}i+3\sqrt{3}i-3}{12}=\frac{4\sqrt{3}i}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}i.$$ Pentru $w={\epsilon }^2$ se obține conjugatul, $z=-\frac{\sqrt{3}}{3}i$. Verificare pentru prima: cu $z=\frac{\sqrt{3}}{3}i$ avem $\frac{z-1}{z+1}=\frac{-1+\frac{\sqrt{3}}{3}i}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}i}$, număr de modul $1$, iar argumentul lui este $\frac{2\pi }{3}$, deci cubul său este $1✓$

De reținut

• Ecuația binomă este $z^n=a$, cu $a\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ și $n\ge 2$; în $\mathbb{C}$ ea are întotdeauna exact $n$ soluții distincte, indiferent de $a$ și de paritatea lui $n$.
• Formula soluțiilor: dacă $a=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, atunci $z_k=\sqrt[n]{\rho }\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right)$, pentru $k=0,1,\dots ,n-1$.
• Modulul este comun ($\sqrt[n]{|a|}$), iar argumentele formează o progresie aritmetică cu rația $\frac{2\pi }{n}$; de aceea imaginile sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul de rază $\sqrt[n]{|a|}$.
• Dintr-o soluție le obții pe toate: $z_k=z_0\cdot {\epsilon }_k$, unde ${\epsilon }_k$ sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unității.
• Suma tuturor soluțiilor este $0$ (pentru $n\ge 2$), iar produsul lor este $(-1{)}^{n+1}a$.

Greșeli frecvente

• Uiți soluțiile și rămâi cu una singură. Din reflexul de la numere reale, mulți scriu doar $z=2$ la ecuația $z^3=8$. În $\mathbb{C}$ răspunsul complet are trei numere; un răspuns cu mai puține soluții decât $n$ este incomplet și se punctează ca atare.
• Împarți modulul la $n$ în loc să extragi radicalul. Modulul soluțiilor este $\sqrt[n]{|a|}$, nu $\frac{|a|}{n}$: la $z^3=8$ modulul este $2$, nu $\frac{8}{3}$.
• Împarți argumentul fără să adaugi $2k\pi$. Dacă folosești doar ${\phi }_0=\frac{\theta }{n}$, obții o singură soluție. Termenul $2k\pi$ de la numărător este exact cel care produce celelalte $n-1$ soluții.
• Confunzi ecuația binomă cu ecuația bipătrată. $z^4=-16$ este binomă (doi termeni); $z^4+5z^2+6=0$ este bipătrată (trei termeni) și se rezolvă cu substituția $t=z^2$, care conduce apoi la ecuații binome.
• Citești greșit argumentul lui $a$. Pentru $a=-8i$ argumentul redus este $\frac{3\pi }{2}$, nu $-\frac{\pi }{2}$ și nici $\frac{\pi }{2}$; o eroare aici deplasează întregul poligon de soluții.

Aplică acasă

1. Ceasul ca poligon regulat. Privește un ceas cu cadran și marchează orele $12$, $4$ și $8$: ele formează un triunghi echilateral. Dacă centrul cadranului este originea și ora $12$ are afixul $3i$ (raza fiind $3$), scrie afixele celorlalte două ore și ecuația binomă pe care o verifică toate trei.

2. Poligonul din trei desene. Desenează pe hârtie milimetrică soluțiile ecuațiilor $z^3=8$, $z^4=16$ și $z^6=64$, toate pe același cerc de rază $2$. Măsoară cu raportorul unghiurile dintre razele consecutive și verifică faptul că ele sunt $120^{\circ }$, $90^{\circ }$, respectiv $60^{\circ }$.

3. Verificarea prin înmulțire. Alege singur un număr complex simplu, de exemplu $z_0=1-i$, calculează $a=z_0^4$ și scrie ecuația binomă $z^4=a$. Găsește apoi celelalte trei soluții înmulțind pe $z_0$ cu $i$, $-1$ și $-i$, și verifică fiecare rezultat ridicându-l la puterea a patra.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide firul deschis de forma trigonometrică: după ce elevul a învățat să înmulțească, să ridice la putere și să extragă rădăcini, ecuația binomă este locul unde toate aceste unelte lucrează împreună pe o singură problemă. Miza pedagogică nu este formula — ea se învață repede — ci reflexul de completitudine: în $\mathbb{C}$, o ecuație $z^n=a$ are exact $n$ soluții, iar un răspuns cu mai puține este greșit, nu doar incomplet.

Ce verifică lecția: identificarea corectă a modulului și a argumentului redus al lui $a$ (cu atenție la cadran), extragerea radicalului real din modul, împărțirea argumentului și generarea celor $n$ argumente, trecerea în formă algebrică atunci când unghiurile sunt remarcabile și interpretarea geometrică prin poligon regulat. Întrebări bune de control: „Câte soluții are $z^7=3$, fără să le calculezi?"; „Ce se schimbă în desen dacă înlocuiești $a$ cu $-a$?"; „De ce suma soluțiilor este $0$?". Un semn sigur că a înțeles: desenează cercul și poligonul înainte de a scrie soluțiile, ca să știe ce trebuie să obțină.

La Bacalaureat M1, ecuațiile binome apar aproape mereu cu $n\in \{2,3,4,6\}$ și cu $a$ ales astfel încât argumentele să fie remarcabile, tocmai pentru ca răspunsul să poată fi scris în formă algebrică. Cerințele se succedă tipic în trei pași: forma trigonometrică a lui $a$, soluțiile, apoi o observație geometrică (poligon regulat, sumă nulă, natura triunghiului format). Baremul punctează separat fiecare pas, deci toate trei trebuie redactate explicit, chiar dacă rezultatul final pare evident.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație binomă? Este o ecuație de forma $z^n=a$, cu $a$ număr complex nenul și $n$ număr natural mai mare sau egal cu $2$. Numele vine de la scrierea echivalentă $z^n-a=0$, în care membrul stâng are doi termeni.

Câte soluții are o ecuație binomă? Exact $n$, în mulțimea numerelor complexe, oricare ar fi $a\ne 0$. Este o diferență esențială față de mulțimea numerelor reale, unde numărul soluțiilor depinde de semnul lui $a$ și de paritatea lui $n$ și poate fi $0$, $1$ sau $2$.

Cum rezolv concret ecuația $z^n=a$? Scrii $a=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$ cu argumentul redus în $[0,2\pi )$, calculezi modulul comun $\sqrt[n]{\rho }$, apoi primul argument $\frac{\theta }{n}$ și adaugi de fiecare dată $\frac{2\pi }{n}$, până obții $n$ argumente. Soluțiile sunt numerele cu acest modul și cu aceste argumente.

De ce se opresc soluțiile la $k=n-1$? Pentru că la $k=n$ argumentul crește cu exact $2\pi$ față de cel de la $k=0$, adică se ajunge în același punct al planului. De la $k=n$ încolo, soluțiile se repetă în aceeași ordine.

Ce figură formează soluțiile în planul complex? Vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $\sqrt[n]{|a|}$. Pentru $n=2$ se obțin două puncte diametral opuse, iar pentru $n=3$ un triunghi echilateral.

Cât este suma soluțiilor unei ecuații binome? Este $0$ pentru orice $n\ge 2$, indiferent de $a$. Geometric, este consecința simetriei: vârfurile unui poligon regulat centrat în origine se „echilibrează" perfect.

Cum obțin toate soluțiile dacă am ghicit una singură? Le înmulțești pe rând soluția găsită cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității. De exemplu, dacă $1+i$ verifică $z^4=-4$, celelalte soluții sunt $i(1+i)$, $-(1+i)$ și $-i(1+i)$.

Ecuația $z^4+5z^2+6=0$ este binomă? Nu, pentru că are trei termeni. Este o ecuație bipătrată și se rezolvă cu substituția $t=z^2$; abia după ce afli valorile lui $t$ obții câte o ecuație binomă $z^2=t$ pentru fiecare dintre ele.