Ecuații binome și ecuații bipătrate (M2, științe ale naturii)

Un cub de metal are volumul de $343$ de centimetri cubi și i se cere latura: scrii $x^3=343$ și răspunzi $7$. O placă pătrată are aria de $12$ centimetri pătrați: scrii $x^2=12$ și răspunzi $2\sqrt{3}$. Ecuațiile acestea, cu doi termeni și cu necunoscuta la o singură putere, apar peste tot unde o mărime se obține „desfăcând" o ridicare la putere. Până acum le-ai rezolvat în mulțimea numerelor reale, unde uneori nu aveau nicio soluție. Lecția aceasta, de clasa a 12-a, de la profilul științe ale naturii (M2), le rezolvă în $\mathbb{C}$, unde numărul soluțiilor este exact egal cu gradul, și adaugă ecuațiile bipătrate, care se reduc la ele printr-o singură notație. Tema se cere la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul I și la Subiectul al II-lea.

Tema face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen, cea din 2014, cere explicit „ecuații binome, ecuații bipătrate" la capitolul de polinoame, în timp ce programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are acest capitol în clasa a XII-a. Dacă dai examenul într-una dintre cele trei sesiuni, lecția e materie de examen; altfel, ea rămâne lectură utilă.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești, după numărul termenilor, o ecuație binomă de una bipătrată, și să numeri dinainte soluțiile fiecăreia.
• Vei ști să rezolvi $x^2=a$ pentru $a$ pozitiv și pentru $a$ negativ, în formă algebrică.
• Vei ști să rezolvi $x^3=a$ desfăcând diferența sau suma de cuburi și rezolvând trinomul rămas.
• Vei ști să rezolvi $x^4=a$ cu $a$ pozitiv, trecând prin notația $t=x^2$.
• Vei ști să rezolvi o ecuație bipătrată și să citești, din semnele valorilor lui $t$, câte soluții reale și câte pur imaginare vei obține.
• Vei ști să recunoști ecuațiile care devin binome sau bipătrate după o împărțire sau o notație.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație binomă?

Ecuația binomă este ecuația de forma $x^n=a$, unde $n$ este un număr natural nenul, iar $a$ un număr dat, nenul. Numele vine de la faptul că, mutând totul într-o parte, rămâne un binom — o expresie cu exact doi termeni: $x^n-a=0$. Orice al treilea termen strică forma: $x^4+5x^2-3=0$ nu este binomă, fiindcă are trei termeni.

La profilul științe ale naturii programa de examen se oprește la exponenți mici, iar în lecția de față lucrăm cu $n\le 4$. Motivul e practic: pentru acești exponenți ecuația se rezolvă cu uneltele pe care le ai deja — descompuneri în factori și ecuația de gradul al doilea —, fără nimic în plus.

Un lucru se poate spune însă dinainte, pentru orice $n$: ecuația $x^n=a$ are, în $\mathbb{C}$, exact $n$ soluții. Nu vom demonstra asta aici; e consecința faptului că orice ecuație algebrică de gradul $n$ are $n$ rădăcini în $\mathbb{C}$. Folosește-o însă ca pe o listă de control: dacă la $x^4=a$ ai găsit două soluții, nu ai terminat.

2. Cazul $n=2$: două soluții, oricare ar fi semnul lui $a$

Ecuația $x^2=a$ are două fețe, după semnul lui $a$.

Dacă $a>0$, cele două soluții sunt reale și opuse: $x=\pm \sqrt{a}$. Aici nu e nimic nou față de clasa a IX-a.

Dacă $a<0$, în $\mathbb{R}$ ecuația nu are soluții, fiindcă pătratul unui număr real nu e negativ. În $\mathbb{C}$ însă are două, și se găsesc scriind $a=-|a|$ și folosind $i^2=-1$: din $x^2=-|a|$ obținem $x^2=i^2\cdot |a|$, deci $x=\pm i\sqrt{|a|}$. Astfel $x^2=-11$ dă $x=\pm i\sqrt{11}$. Soluțiile acestea, fără parte reală, se numesc pur imaginare.

Reține tiparul, fiindcă el revine la fiecare pas al lecției: un pătrat egal cu un număr negativ dă două soluții pur imaginare, obținute scoțând $i$ în față și luând radicalul din valoarea absolută.

3. Cazul $n=3$: se desface diferența de cuburi

Ecuația $x^3=a$ cu $a$ cub perfect se rezolvă fără nicio unealtă nouă. Fie $c$ numărul cu $c^3=a$; atunci $x^3-a=x^3-c^3$, iar formula de calcul prescurtat de la clasa a IX-a dă

$$x^3-c^3=(x-c)\left(x^2+cx+c^2\right)$$

Un produs este nul când unul dintre factori e nul, deci fie $x=c$, fie $x^2+cx+c^2=0$. Discriminantul trinomului este $\Delta =c^2-4c^2=-3c^2$, negativ pentru orice $c\ne 0$: trinomul dă întotdeauna două soluții nereale, conjugate una alteia.

Vezi pe $x^3=343$. Cum $343=7^3$, avem $x^3-343=(x-7)\left(x^2+7x+49\right)$. Prima soluție este $7$. Pentru trinom: $\Delta =49-196=-147$, iar $\sqrt{147}=7\sqrt{3}$, deci

$$x=\frac{-7\pm 7i\sqrt{3}}{2}$$

Cele trei soluții sunt $7$ și $\frac{-7\pm 7i\sqrt{3}}{2}$ — una reală și o pereche conjugată, exact cum cere lecția Rădăcini conjugate: raționali și reali pentru o ecuație de grad impar cu coeficienți reali.

Când $a$ este negativ se folosește suma de cuburi: $x^3+c^3=(x+c)\left(x^2-cx+c^2\right)$, cu același discriminant negativ. Regula scurtă: la $n=3$ ai întotdeauna o soluție reală și două nereale conjugate.

4. Cazul $n=4$: se trece prin $t=x^2$

La $x^4=a$ cu $a>0$ notăm $t=x^2$. Ecuația devine $t^2=a$, o binomă de gradul al doilea, cu $t=\pm \sqrt{a}$. Fiecare valoare a lui $t$ se întoarce apoi în $x^2=t$ și dă câte două soluții.

Pe $x^4=625$: notăm $t=x^2$ și obținem $t^2=625$, deci $t=25$ sau $t=-25$. Din $x^2=25$ rezultă $x=\pm 5$; din $x^2=-25$ rezultă $x=\pm 5i$. Cele patru soluții sunt $5$, $-5$, $5i$, $-5i$.

Tiparul se repetă de fiecare dată când $a>0$: două soluții reale, opuse, și două pur imaginare, opuse. Motivul e că $t^2=a$ dă un $t$ pozitiv și unul negativ, iar cel negativ trimite în pur imaginar.

O graniță pe care merită s-o spunem pe față: aici tratăm $x^4=a$ numai pentru $a>0$. Pentru $a<0$ pasul de mai sus se blochează — ar rezulta $t^2<0$, deci valorile lui $t$ ar fi ele însele nereale, iar din $x^2=t$ cu $t$ nereal nu se mai iese cu uneltele din programa de examen M2. Cazul acela nu se dă la acest profil.

5. Ce este o ecuație bipătrată și de ce merge aceeași notație?

Ecuația bipătrată este ecuația de forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, cu $a\ne 0$: apar numai puteri pare ale necunoscutei, deci $x^4$, $x^2$ și termenul liber. Notația $t=x^2$ o transformă într-o ecuație de gradul al doilea,

$$a{t}^2+bt+c=0,$$

care se rezolvă cu discriminantul. Apoi fiecare valoare a lui $t$ se întoarce în $x^2=t$.

Ai făcut deja acest drum la Rădăcini reale și ecuații polinomiale, în clasa a IX-a, dar acolo lucrai în $\mathbb{R}$ și o valoare negativă a lui $t$ se arunca. Aici nu se aruncă nimic: ea dă două soluții pur imaginare. Asta e singura deosebire față de ce știi, și tocmai ea face ca numărul soluțiilor să fie mereu patru.

Pasul de întoarcere e locul unde rezolvarea se oprește cel mai des prea devreme. Valorile lui $t$ nu sunt soluții ale ecuației; sunt pătratele lor. O rezolvare care se oprește la $t$ e o rezolvare pe jumătate.

6. Cele patru forme de răspuns, citite din semnele lui $t$

Înainte de a întoarce substituția, uită-te la cele două valori ale lui $t$: semnele lor îți spun exact cum va arăta răspunsul.

Tabelul are o consecință pe care o poți folosi fără să rezolvi nimic: dacă $a$ și $c$ au semne contrare, produsul valorilor lui $t$ este $\frac{c}{a}<0$, deci una e pozitivă și una negativă, iar ecuația are exact două soluții reale. Iar dacă toate soluțiile ies pur imaginare, ecuația nu are nicio soluție reală — un lucru vizibil și direct, fiindcă pentru $x$ real membrul stâng ar avea semn constant.

Mai reține o simetrie care se vede în toate cele trei rânduri ale tabelului: soluțiile unei ecuații bipătrate apar în perechi opuse. Motivul e simplu și merită spus o dată: în expresia $a{x}^4+b{x}^2+c$ necunoscuta apare numai la puteri pare, deci înlocuind $x$ cu $-x$ valoarea nu se schimbă. Prin urmare, dacă un număr este soluție, opusul lui este și el soluție. De aici și forma răspunsului, care se scrie întotdeauna cu semnul $\pm$ în față, și un control ieftin: un răspuns de bipătrată în care apare un număr fără opusul lui este, cu siguranță, incomplet.

7. Când ecuația nu arată binomă sau bipătrată, dar este

Trei situații se întâlnesc des și merită recunoscute dintr-o privire.

Coeficient în fața puterii. Ecuația $4x^2+100=0$ nu are forma $x^n=a$, dar se aduce la ea printr-o împărțire: $x^2=-25$. Împărțirea la un număr nenul nu schimbă mulțimea soluțiilor.

Coeficient dominant diferit de $1$ la bipătrate. La $3x^4-15x^2-18=0$ poți simplifica prin $3$ sau poți lucra direct cu $3t^2-15t-18=0$; rezultatul e același. Simplificarea e de preferat, fiindcă micșorează numerele.

Altă expresie în locul lui $x^2$. Dacă recunoști aceeași expresie de două ori, la pătrat și la puterea întâi, notația o scoate în față. La o ecuație de forma ${\left(x^2-4x\right)}^2-9\left(x^2-4x\right)+18=0$ notezi $u=x^2-4x$ și rămâne o ecuație de gradul al doilea în $u$; fiecare valoare a lui $u$ dă apoi, la rândul ei, o ecuație de gradul al doilea în $x$, deci patru soluții. E același gest ca la $t=x^2$, cu altă expresie — și tot acolo se pierde răspunsul, dacă uiți să întorci notația.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce". Ecuațiile bipătrate mai apar o dată în aceeași programă, la materia clasei a X-a, imediat după rândul despre rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali — semn că sunt considerate o temă de bază, nu una de vârf.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu, timpul de lucru este de trei ore, iar cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul I are cerințe scurte, de câte $5$ puncte, printre care și rezolvări de ecuații; Subiectul al II-lea are două probleme cu câte trei cerințe, iar a doua este despre un polinom; o structură algebrică nu apare în acel model, deși programa din 2014 o cere. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Binomă de gradul al doilea, cu $a$ negativ

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $4x^2+100=0$.

Rezolvare. Mutăm și împărțim la $4$: $x^2=-25$. Scoatem semnul negativ folosind $i^2=-1$, adică $-25=25i^2$, deci $x^2=25i^2$ și

$$x=\pm 5i.$$

Soluțiile sunt $x\in \{5i,-5i\}$ — două la număr, cât gradul. Verificare: $4\cdot (5i{)}^2+100=4\cdot (-25)+100=0$.

Exemplul 2 — Binomă de gradul al treilea

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3=-343$.

Rezolvare. Scriem $x^3+343=0$. Cum $343=7^3$, folosim suma de cuburi:

$$x^3+7^3=(x+7)\left(x^2-7x+49\right)=0$$

Primul factor dă $x=-7$. Pentru al doilea, $\Delta =49-196=-147$; cum $147=49\cdot 3$, avem $\sqrt{147}=7\sqrt{3}$ și

$$x=\frac{7\pm 7i\sqrt{3}}{2}.$$

Soluțiile sunt $x\in \left\{-7,\frac{7+7i\sqrt{3}}{2},\frac{7-7i\sqrt{3}}{2}\right\}$: una reală și o pereche conjugată.

Exemplul 3 — Binomă de gradul al patrulea

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4=81$.

Rezolvare. Notăm $t=x^2$ și obținem $t^2=81$, deci $t=9$ sau $t=-9$.

Pentru $t=9$: $x^2=9$, deci $x=\pm 3$. Pentru $t=-9$: $x^2=-9=9i^2$, deci $x=\pm 3i$.

Soluțiile sunt $x\in \{3,-3,3i,-3i\}$ — patru la număr, două reale și două pur imaginare, cum era de așteptat la $a>0$.

Exemplul 4 — Bipătrată cu toate soluțiile reale

Rezolvă ecuația $x^4-11x^2+18=0$.

Rezolvare. Notăm $t=x^2$ și obținem $t^2-11t+18=0$, cu $\Delta =121-72=49$ și $\sqrt{\Delta }=7$, deci $t=\frac{11\pm 7}{2}$: $t_1=9$ și $t_2=2$.

Amândouă valorile sunt pozitive, deci — după tabelul din secțiunea a șasea — vor ieși patru soluții reale.

Pentru $t_1=9$: $x^2=9$, deci $x=\pm 3$. Pentru $t_2=2$: $x^2=2$, deci $x=\pm \sqrt{2}$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{3,-3,\sqrt{2},-\sqrt{2}\right\}$. Verificare pe $x=\sqrt{2}$: $4-11\cdot 2+18=4-22+18=0$.

Exemplul 5 — Bipătrată cu valori ale lui $t$ de semne contrare

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+x^2-12=0$.

Rezolvare. Cu $t=x^2$ obținem $t^2+t-12=0$, cu $\Delta =1+48=49$, deci $t=\frac{-1\pm 7}{2}$: $t_1=3$ și $t_2=-4$.

Valorile au semne contrare — se putea vedea și fără calcul, din produsul lor $\frac{-12}{1}<0$ —, deci vor ieși două soluții reale și două pur imaginare.

Pentru $t_1=3$: $x^2=3$, deci $x=\pm \sqrt{3}$. Pentru $t_2=-4$: $x^2=-4=4i^2$, deci $x=\pm 2i$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{\sqrt{3},-\sqrt{3},2i,-2i\right\}$. În $\mathbb{R}$ ecuația ar fi avut doar două soluții; în $\mathbb{C}$ are patru.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră ecuația $3x^4-15x^2-18=0$.

a) Arată că ecuația este bipătrată și scrie ecuația de gradul al doilea la care conduce notația $t=x^2$.

b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$.

c) Precizează câte soluții reale are ecuația și justifică răspunsul folosind semnele valorilor lui $t$.

Rezolvare. a) Ecuația conține numai puteri pare ale necunoscutei — $x^4$, $x^2$ și termenul liber —, deci este bipătrată. Simplificăm prin $3$: $x^4-5x^2-6=0$. Cu $t=x^2$ obținem

$$t^2-5t-6=0.$$

b) $\Delta =25+24=49$, deci $t=\frac{5\pm 7}{2}$: $t_1=6$ și $t_2=-1$.

Pentru $t_1=6$: $x^2=6$, deci $x=\pm \sqrt{6}$. Pentru $t_2=-1$: $x^2=-1$, deci $x=\pm i$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{\sqrt{6},-\sqrt{6},i,-i\right\}$.

c) Două soluții reale. Valorile lui $t$ au semne contrare, iar din tabel o valoare pozitivă a lui $t$ dă două soluții reale, iar una negativă dă două pur imaginare. Semnele contrare se puteau citi și din enunț: produsul valorilor lui $t$ este $\frac{-18}{3}=-6<0$.

Să exersăm

1. Rezolvă ecuația $x^2=12$ și scrie soluțiile cu radicalul simplificat.

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3=512$.

3. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4=256$ și precizează câte dintre soluții sunt reale.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4=36$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă ecuația $x^4+p{x}^2+q=0$, cu $p$ și $q$ reale, are patru soluții reale distincte, atunci $p<0$ și $q>0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Soluțiile nereale ale ecuației $x^3=125$ sunt una conjugata celeilalte.

7. Rezolvă ecuația $x^4-7x^2+6=0$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-2x^2-15=0$.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+7x^2+10=0$ și arată că ea nu are nicio soluție reală.

10. Rezolvă ecuația $x^4-9x^2+14=0$.

11. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+13x^2+36=0$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^4-4x^2-45=0$. a) Scrie ecuația de gradul al doilea la care conduce notația $t=x^2$. b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$. c) Calculează produsul tuturor soluțiilor.

13. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $5x^3+2560=0$, aducând-o mai întâi la forma $x^3=a$.

14. (Problemă aplicată.) Un vas cubic de laborator are volumul de $512$ de centimetri cubi, iar dintr-un calcul de dilatare rezultă ecuația $x^3=512$, unde $x$ este latura în centimetri. Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$, apoi spune câte dintre soluții pot fi latura vasului și ce condiție din realitate le elimină pe celelalte.

15. Determină numărul real $m$ pentru care $x=2$ este soluție a ecuației $x^4+m{x}^2-36=0$, apoi rezolvă complet ecuația obținută.

16. Determină numerele reale $p$ și $q$ pentru care ecuația $x^4+p{x}^2+q=0$ are soluțiile $\pm \sqrt{7}$ și $\pm i\sqrt{2}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^4-13x^2+40=0$. a) Arată că ecuația are patru soluții reale, fără a le calcula. b) Rezolvă ecuația. c) Calculează suma pătratelor soluțiilor.

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația ${\left(x^2+x\right)}^2-8\left(x^2+x\right)+12=0$.

Răspunsuri și explicații

1. $x=\pm \sqrt{12}$, iar $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, deci $x\in \left\{2\sqrt{3},-2\sqrt{3}\right\}$.

2. Cum $512=8^3$, avem $x^3-8^3=(x-8)\left(x^2+8x+64\right)=0$. Prima soluție este $8$. Pentru trinom, $\Delta =64-256=-192$, iar $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$, deci $x=\frac{-8\pm 8i\sqrt{3}}{2}=-4\pm 4i\sqrt{3}$. Soluții: $x\in \left\{8,-4+4i\sqrt{3},-4-4i\sqrt{3}\right\}$.

3. Cu $t=x^2$: $t^2=256$, deci $t=16$ sau $t=-16$. Din $x^2=16$ rezultă $x=\pm 4$; din $x^2=-16$ rezultă $x=\pm 4i$. Soluții: $x\in \{4,-4,4i,-4i\}$; două dintre ele sunt reale.

4. Cu $t=x^2$: $t^2=36$, deci $t=6$ sau $t=-6$. Din $x^2=6$ rezultă $x=\pm \sqrt{6}$; din $x^2=-6$ rezultă $x=\pm i\sqrt{6}$. Soluții: $x\in \left\{\sqrt{6},-\sqrt{6},i\sqrt{6},-i\sqrt{6}\right\}$.

5. Adevărat. Aici se citește tabelul invers: cele patru soluții reale distincte sunt $\pm \sqrt{t_1}$ și $\pm \sqrt{t_2}$, deci valorile lui $t$ sunt reale, distincte și strict pozitive — o valoare negativă ar da soluții pur imaginare, iar $t=0$ ar aduce de două ori soluția $0$. Aplicăm apoi relațiile lui Viète ecuației $t^2+pt+q=0$: suma $t_1+t_2=-p$ este pozitivă, deci $p<0$, iar produsul $t_1{t}_2=q$ este pozitiv, deci $q>0$.

6. Adevărat. Ecuația se scrie $x^3-125=0$ și are toți coeficienții reali, deci rădăcinile ei nereale vin în perechi conjugate. Concret, $(x-5)\left(x^2+5x+25\right)=0$, iar trinomul are $\Delta =25-100=-75<0$, deci cele două soluții nereale sunt $\frac{-5\pm 5i\sqrt{3}}{2}$, într-adevăr conjugate.

7. Cu $t=x^2$: $t^2-7t+6=0$, $\Delta =49-24=25$, deci $t=\frac{7\pm 5}{2}$: $t_1=6$, $t_2=1$. Amândouă pozitive, deci patru soluții reale: $x\in \left\{\sqrt{6},-\sqrt{6},1,-1\right\}$.

8. $t^2-2t-15=0$, $\Delta =4+60=64$, deci $t=\frac{2\pm 8}{2}$: $t_1=5$, $t_2=-3$. Din $x^2=5$ rezultă $x=\pm \sqrt{5}$; din $x^2=-3$ rezultă $x=\pm i\sqrt{3}$. Soluții: $x\in \left\{\sqrt{5},-\sqrt{5},i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\right\}$.

9. $t^2+7t+10=0$, $\Delta =49-40=9$, deci $t=\frac{-7\pm 3}{2}$: $t_1=-2$, $t_2=-5$. Amândouă negative, deci toate cele patru soluții sunt pur imaginare: $x\in \left\{i\sqrt{2},-i\sqrt{2},i\sqrt{5},-i\sqrt{5}\right\}$. Că nu există soluții reale se vede și direct: pentru $x$ real, $x^4+7x^2+10\ge 10>0$.

10. $t^2-9t+14=0$, $\Delta =81-56=25$, deci $t=\frac{9\pm 5}{2}$: $t_1=7$, $t_2=2$. Soluții: $x\in \left\{\sqrt{7},-\sqrt{7},\sqrt{2},-\sqrt{2}\right\}$.

11. $t^2+13t+36=0$, $\Delta =169-144=25$, deci $t=\frac{-13\pm 5}{2}$: $t_1=-4$, $t_2=-9$. Din $x^2=-4$ rezultă $x=\pm 2i$; din $x^2=-9$ rezultă $x=\pm 3i$. Soluții: $x\in \{2i,-2i,3i,-3i\}$.

12. a) $t^2-4t-45=0$. b) $\Delta =16+180=196$, $\sqrt{\Delta }=14$, deci $t=\frac{4\pm 14}{2}$: $t_1=9$, $t_2=-5$. Din $x^2=9$ rezultă $x=\pm 3$; din $x^2=-5$ rezultă $x=\pm i\sqrt{5}$. Soluții: $x\in \left\{3,-3,i\sqrt{5},-i\sqrt{5}\right\}$. c) Produsul este $3\cdot (-3)\cdot i\sqrt{5}\cdot \left(-i\sqrt{5}\right)=(-9)\cdot 5=-45$, adică chiar termenul liber, cum cere ultima relație a lui Viète la gradul al patrulea.

13. Din $5x^3=-2560$ rezultă $x^3=-512$, adică $x^3+8^3=0$, deci $(x+8)\left(x^2-8x+64\right)=0$. Prima soluție este $-8$; pentru trinom, $\Delta =64-256=-192$ și $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$, deci $x=\frac{8\pm 8i\sqrt{3}}{2}=4\pm 4i\sqrt{3}$. Soluții: $x\in \left\{-8,4+4i\sqrt{3},4-4i\sqrt{3}\right\}$.

14. Soluțiile sunt cele de la exercițiul 2: $8$, $-4+4i\sqrt{3}$ și $-4-4i\sqrt{3}$. Numai $x=8$ poate fi latura vasului, deci latura este de $8$ centimetri. Celelalte două sunt eliminate de o condiție care nu se citește din ecuație, ci din situația fizică: o lungime este un număr real strict pozitiv.

15. Înlocuim $x=2$: $16+4m-36=0$, deci $4m=20$ și $m=5$. Ecuația devine $x^4+5x^2-36=0$. Cu $t=x^2$: $t^2+5t-36=0$, $\Delta =25+144=169$, deci $t=\frac{-5\pm 13}{2}$: $t_1=4$, $t_2=-9$. Soluții: $x\in \{2,-2,3i,-3i\}$.

16. Valorile corespunzătoare ale lui $t$ sunt pătratele soluțiilor: ${\left(\pm \sqrt{7}\right)}^2=7$ și ${\left(\pm i\sqrt{2}\right)}^2=-2$. Ecuația în $t$ are deci suma $7+(-2)=5$ și produsul $7\cdot (-2)=-14$, adică $t^2-5t-14=0$. Comparând cu $t^2+pt+q=0$ obținem $p=-5$ și $q=-14$, deci ecuația este $x^4-5x^2-14=0$.

17. a) Cu $t=x^2$ ecuația devine $t^2-13t+40=0$, cu $\Delta =169-160=9>0$, deci valorile lui $t$ sunt reale; suma lor este $13>0$ și produsul $40>0$, deci amândouă sunt pozitive, iar din tabel rezultă patru soluții reale. b) $t=\frac{13\pm 3}{2}$: $t_1=8$, $t_2=5$. Din $x^2=8$ rezultă $x=\pm 2\sqrt{2}$; din $x^2=5$ rezultă $x=\pm \sqrt{5}$. Soluții: $x\in \left\{2\sqrt{2},-2\sqrt{2},\sqrt{5},-\sqrt{5}\right\}$. c) Pătratele soluțiilor sunt $8$, $8$, $5$, $5$, deci suma lor este $26$.

18. Notăm $u=x^2+x$. Ecuația devine $u^2-8u+12=0$, cu $\Delta =64-48=16$, deci $u=\frac{8\pm 4}{2}$: $u_1=6$, $u_2=2$. Întoarcem substituția. Pentru $u_1=6$: $x^2+x-6=0$, cu $\Delta =1+24=25$, deci $x=\frac{-1\pm 5}{2}$, adică $x=2$ și $x=-3$. Pentru $u_2=2$: $x^2+x-2=0$, cu $\Delta =1+8=9$, deci $x=\frac{-1\pm 3}{2}$, adică $x=1$ și $x=-2$. Soluțiile sunt $x\in \{2,-3,1,-2\}$ — patru la număr, cât gradul ecuației desfăcute.

De reținut

• Ecuația binomă $x^n=a$ are exact $n$ soluții în $\mathbb{C}$; forma ei are doi termeni, iar un al treilea termen o scoate din categorie.
• La $n=2$: $x^2=a$ dă $x=\pm \sqrt{a}$ când $a>0$ și $x=\pm i\sqrt{|a|}$ când $a<0$.
• La $n=3$ cu $a$ cub perfect: descompui $x^3\mp c^3$ și rezolvi trinomul rămas, al cărui discriminant este $-3c^2<0$ — deci ai o soluție reală și o pereche conjugată.
• La $n=4$ cu $a>0$ și la orice ecuație bipătrată: notezi $t=x^2$, rezolvi ecuația de gradul al doilea și întorci substituția în $x^2=t$; o valoare negativă a lui $t$ nu se aruncă, ci dă două soluții pur imaginare.
• Semnele valorilor lui $t$ spun dinainte câte soluții reale vei obține: două pozitive dau patru reale, semne contrare dau două reale, două negative dau zero.

Greșeli frecvente

• Rezolvarea oprită la $t$. Valorile lui $t$ sunt pătratele soluțiilor, nu soluțiile. Răspunsul se scrie abia după ce fiecare $t$ a fost întors în $x^2=t$.
• Valoarea negativă a lui $t$ aruncată din obișnuință. În clasa a IX-a se lucra în $\mathbb{R}$ și un $t$ negativ se respingea; aici el dă două soluții pur imaginare, iar aruncarea lui pierde jumătate din răspuns.
• Radicalul lăsat nesimplificat sau scos greșit din negativ. Din $x^2=-12$ nu rezultă $x=\pm \sqrt{-12}$ scris așa, ci $x=\pm i\sqrt{12}=\pm 2i\sqrt{3}$: întâi se scoate $i$, apoi se simplifică radicalul rămas.
• Numărul soluțiilor nenumărat la final. O ecuație de gradul al patrulea are patru soluții în $\mathbb{C}$; dacă în răspuns apar două, o ramură a fost pierdută. Numărătoarea este cea mai ieftină verificare.
• Confuzia dintre binomă și bipătrată. $x^4=81$ are doi termeni și este binomă; $x^4-11x^2+18=0$ are trei termeni și este bipătrată. Amândouă trec prin $t=x^2$, dar prima duce la $t^2=a$, a doua la o ecuație completă de gradul al doilea.

Aplică acasă

1. Scrie cinci numere care sunt cuburi perfecte, pozitive sau negative, și pentru fiecare rezolvă ecuația binomă corespunzătoare. Observă apoi ce au în comun cele două soluții nereale ale fiecărei ecuații și verifică, prin înmulțire, că produsul lor este pătratul numărului real găsit.

2. Ia o ecuație bipătrată din culegere, calculează valorile lui $t$ și, înainte de a întoarce substituția, scrie pe hârtie câte soluții reale vei obține. Abia apoi rezolvă și compară. Repetă până când prezicerea iese corectă de cinci ori la rând.

3. Măsoară un obiect de formă aproape cubică din casă — o cutie, un zar mare, un ambalaj — și calculează-i volumul. Scrie ecuația binomă a cărei soluție reală este latura, rezolv-o și compară rezultatul cu latura măsurată direct. Notează apoi cele două soluții nereale și explică în scris de ce ele nu pot fi o lungime.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște forma ecuației înainte de a calcula, dacă întoarce substituția până la $x$ și dacă numără soluțiile la final. Ultimele două sunt locul în care se pierd, an de an, cele mai multe puncte la acest tip de cerință — nu din necunoaștere, ci din grabă.

Dificultatea reală este de obișnuință, nu de dificultate matematică: elevul a învățat în clasa a IX-a să respingă valorile negative ale lui $t$, iar acum trebuie să facă exact contrariul. Reflexul vechi e puternic și reapare la primul exercițiu dat sub presiune de timp. Un exercițiu cu toate soluțiile pur imaginare, ca cel cu numărul 9, e cel mai bun antidot: acolo reflexul vechi ar da „ecuația nu are soluții", ceea ce e vizibil fals în $\mathbb{C}$.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Câte soluții are ecuația, înainte să o rezolvi?"; „Ce faci după ce ai găsit valorile lui $t$?"; „Ce se întâmplă dacă o valoare a lui $t$ este negativă?"; „Cum scoți semnul minus de sub radical?". Semne că a înțeles: numără soluțiile la final fără să i se ceară; citește semnele lui $t$ înainte de a întoarce substituția; și, pus în fața unei ecuații cu coeficient în față, o împarte la el înainte de orice altceva.

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen OMEN 4430/2014, unde „ecuații binome, ecuații bipătrate" apar explicit la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ" al clasei a XII-a, iar ecuațiile bipătrate mai sunt trecute o dată la materia clasei a X-a. În programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există; ecuațiile bipătrate rămân însă tot la clasa a X-a, la capitolul de numere complexe, rezolvate în mulțimea numerelor complexe. La proba MAT_P2 din 2030 ecuațiile bipătrate sunt trecute tot acolo, în domeniul Algebră, pe când ecuațiile binome nu figurează în programa de examen: pentru acea generație rămâne materie de probă numai partea de ecuații bipătrate, restul lecției fiind lectură suplimentară. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum deosebesc o ecuație binomă de una bipătrată?

Numeri termenii. Binoma are exact doi — necunoscuta la o putere și un număr, ca la $x^4=81$; bipătrata are trei, cu $x^4$, $x^2$ și termenul liber, ca la $x^4-11x^2+18=0$. Amândouă trec prin notația $t=x^2$ la gradul al patrulea, dar binoma duce la $t^2=a$, care se rezolvă dintr-un pas, iar bipătrata la o ecuație completă de gradul al doilea.

De ce nu apare niciodată a doua soluție reală la gradul al treilea?

Pentru că, după ce scoți factorul $x-c$, rămâne trinomul $x^2+cx+c^2$, cu discriminantul $c^2-4c^2=-3c^2$. Fiind $c$ nenul, acest număr este negativ oricare ar fi $c$, deci trinomul nu are nicio soluție reală. Rezultatul e o regulă pe care o poți scrie înainte de calcul: la $x^3=a$ ai exact o soluție reală și două nereale, conjugate una alteia.

Ce fac dacă o valoare a lui $t$ iese negativă la o ecuație bipătrată?

Nu o arunci. În clasa a IX-a se lucra în mulțimea numerelor reale și un $t$ negativ nu dădea nicio soluție; aici lucrezi în $\mathbb{C}$, iar din $x^2=t$ cu $t<0$ obții două soluții pur imaginare, $x=\pm i\sqrt{|t|}$. Tocmai de aceea numărul total de soluții este mereu patru.

Cum știu dinainte câte soluții reale va avea o bipătrată?

Te uiți la semnele celor două valori ale lui $t$. Dacă amândouă sunt pozitive, ies patru soluții reale; dacă au semne contrare, ies două; dacă amândouă sunt negative, niciuna. Semnele contrare se recunosc fără să rezolvi: produsul valorilor lui $t$ este raportul dintre termenul liber și coeficientul dominant, iar dacă acest raport e negativ, semnele sunt contrare.

La ce subiect apar ecuațiile binome și bipătrate la Bacalaureatul M2?

În sesiunile 2027–2029 tema e cerută de programa din 2014, la capitolul de polinoame. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul I conține cerințe scurte, printre care și rezolvări de ecuații, iar Subiectul al II-lea are acolo o problemă despre un polinom; structurile algebrice, cerute tot de programa din 2014, lipsesc de acolo. Din 2030, la proba MAT_P2, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există.

Se rezolvă la fel la mate-info (M1)?

Nu: la matematică-informatică ecuațiile binome se rezolvă cu forma trigonometrică a numerelor complexe și cu formula lui Moivre, care nu sunt în programa de examen M2 și nu se folosesc la acest profil nici ca metodă de lucru; aici totul rămâne în forma algebrică, cu descompuneri și cu ecuația de gradul al doilea. Pentru comparație: ecuațiile binome la mate-info (M1).

Ce legătură are lecția cu ecuațiile reciproce?

Amândouă sunt pe același rând al programei de examen și amândouă se rezolvă printr-o notație care coboară gradul. Aici notația este $t=x^2$ și merge fiindcă lipsesc puterile impare; la Ecuații reciproce de gradul 3 și 4 notația este $y=x+\frac{1}{x}$ și merge fiindcă coeficienții sunt simetrici. Recunoașterea formei este, în ambele cazuri, primul pas.