Rezolvă ecuația $$AX=B$$, unde $$A=\begin{pmatrix}2&1\\7&4\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}8&1\\29&6\end{pmatrix}$$.

$$\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}25&-6\\74&-17\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}23&12\\100&53\end{pmatrix}$$

Rezolvă ecuația $$XA=B$$, unde $$A=\begin{pmatrix}4&7\\5&9\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}31&55\\14&25\end{pmatrix}$$.

$$\begin{pmatrix}4&3\\1&2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}181&320\\-99&-175\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}399&712\\181&323\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-106&65\\-49&30\end{pmatrix}$$

Rezolvă ecuația $$AXB=C$$, unde $$A=\begin{pmatrix}1&1\\4&5\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}1&1\\5&6\end{pmatrix}$$ și $$C=\begin{pmatrix}20&23\\89&102\end{pmatrix}$$.

$$\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}11&13\\9&10\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}11&5\\-3&-2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}33&-5\\157&-24\end{pmatrix}$$

Cum rezolv ecuația XA = B?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuații matriceale

Când necunoscuta stă în stânga lui $A$ , înmulțești ambii membri la dreapta cu $A^{- 1}$ și obții $X = B A^{- 1}$ , cu condiția $det A \neq = 0$ . Pentru $A = (2111)$ , cu $det A = 1$ și $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ , și $B = (5433)$ : $X = B A^{- 1} = (2112)$ . Proba: $X A = (5433) = B$ . Inversa se așază de aceeași parte a necunoscutei pe care stă și $A$ , iar ordinea factorilor nu se schimbă pe parcurs.

Lecția intră în suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: programa de examen din 2014 cere ecuațiile matriceale la clasa a XI-a, în vreme ce programa nouă nu le mai enumeră printre conținuturi.

Necunoscuta e un tablou, nu un număr, iar înmulțirea tablourilor nu e comutativă: nu există împărțire cu o matrice. Se înmulțește cu inversa, iar partea din care o faci hotărăște rezultatul. Dacă necunoscuta stă după matricea dată, inversa vine în față, la stânga ambilor membri; dacă stă înainte, inversa vine în spate, la dreapta. Necunoscuta prinsă între două tablouri cere două eliberări, câte una de fiecare parte, iar cei trei factori rămân în locurile lor.

Condiția privește matricea care o înmulțește cu adevărat pe necunoscută: dacă $X$ apare de două ori în ecuație, ea nu mai este $A$ , ci suma $A + k I_{n}$ , cu determinantul ei propriu. Formatul lui $X$ se citește dinaintea calculului: la $A X = B$ , cu $A$ pătratică, necunoscuta capătă formatul matricei $B$ .

Proba se face în ecuația din enunț, nu în cea transformată. Costă un singur produs și prinde tocmai greșeala specifică temei, fiindcă un tablou înmulțit din partea greșită nu verifică egalitatea decât în cazuri cu totul speciale. Al doilea control util: după ce ai aflat inversa, mai ai un produs de făcut — enunțul cere $X$ , nu $A^{- 1}$ .

De reținut

$A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$
$X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$
condiția: matricea care înmulțește necunoscuta are determinantul nenul

Greșeala tipică

Se împarte ecuația la $A$ , ca la numere; împărțirea cu o matrice nu există, iar înmulțirea cu $A^{- 1}$ trebuie făcută pe partea pe care stă $A$ .

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă ecuația $A X = B$ , unde $A = (2714)$ și $B = (82916)$ .
- a) $(2574 - 6 - 17)$
- b) $(4 - 7 - 1 2)$
- c) $(32 - 2 5)$
- d) $(231001253)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(32 - 2 5)$

$det A = 8 - 7 = 1$ , deci $A^{- 1} = (4 - 7 - 1 2)$ . Necunoscuta stă la dreapta lui $A$ , deci se înmulțește la stânga: $X = A^{- 1} B = (32 - 2 5)$ . Proba: $A X = (82916)$ . Varianta a) este $B A^{- 1}$ , adică înmulțirea din partea greșită; b) este chiar $A^{- 1}$ , oprirea cu un pas mai devreme; d) este produsul $B A$ , adică factorii scriși invers.
Rezolvă ecuația $X A = B$ , unde $A = (4579)$ și $B = (31145525)$ .
- a) $(4132)$
- b) $(181 - 99 320 - 175)$
- c) $(399181712323)$
- d) $(- 106 - 49 6530)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(4132)$

$det A = 36 - 35 = 1$ și $A^{- 1} = (9 - 5 - 7 4)$ . Necunoscuta stă în stânga lui $A$ , deci inversa se așază la dreapta: $X = B A^{- 1} = (4132)$ . Proba: $X A = (31145525)$ . Varianta b) este $A^{- 1} B$ (partea greșită), c) este $B A$ , iar d) folosește adjuncta netranspusă, $(9 - 7 - 5 4)$ .
Rezolvă ecuația $A X B = C$ , unde $A = (1415)$ , $B = (1516)$ și $C = (208923102)$ .
- a) $(1191310)$
- b) $(1421)$
- c) $(11 - 3 5 - 2)$
- d) $(33157 - 5 - 24)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1421)$

Ambele matrice au determinantul $1$ , cu $A^{- 1} = (5 - 4 - 1 1)$ și $B^{- 1} = (6 - 5 - 1 1)$ . Necunoscuta se eliberează pe rând, din ambele părți: $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ . Întâi $A^{- 1} C = (1191310)$ , apoi $X = (1191310) (6 - 5 - 1 1) = (1421)$ . Varianta a) se oprește după primul pas, uitând $B^{- 1}$ ; c) este $B^{- 1} C A^{- 1}$ , cu factorii scriși invers; d) este $C A^{- 1} B^{- 1}$ .

Întrebări conexe

De ce la ecuația XA = B nu pot scrie X = A⁻¹B?

Pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă. Cu matricele de mai sus, $A^{- 1} B = (1303)$ , iar produsul acesteia cu $A$ este $(2916)$ , nu $B$ . Inversa se pune de aceeași parte pe care stă $A$ față de $X$ .

Cum rezolv ecuația AX + B = C?

Muți întâi $B$ : $A X = C - B$ , apoi înmulțești la stânga cu $A^{- 1}$ . Pentru $A = (2111)$ , $B = I_{2}$ și $C = (4333)$ : $C - B = (3332)$ , iar $X = A^{- 1} (C - B) = (0311)$ . Proba se face înlocuind în ecuația inițială, nu în cea transformată, ca să se prindă și o greșeală la mutarea lui $B$ .

Cum rezolv o ecuație matriceală de forma AX = 2X + B?

Aduni termenii cu $X$ într-o parte: $(A - 2 I_{2}) X = B$ . Pentru $A = (4113)$ , $A - 2 I_{2} = (2111)$ , inversabilă. Cu $B = (32)$ rezultă $X = (11)$ . Scrierea $A - 2$ fără $I_{2}$ nu are sens, fiindcă un număr nu se scade dintr-o matrice. Proba: $A X = (54) = 2 X + B$ .

Ce fac dacă matricea care înmulțește necunoscuta nu este inversabilă?

Metoda cu inversa nu se mai aplică; lucrezi cu elementele lui $X$ sau cu determinanți. De exemplu, $(1111) X = I_{2}$ nu are soluție: determinantul membrului stâng ar fi $0 \cdot det X = 0$ , iar $det I_{2} = 1$ .

Cum rezolv o ecuație matriceală în care X este o coloană?

Este de fapt un sistem liniar. Pentru $A = (2111)$ și $B = (53)$ , $X = A^{- 1} B = (5 - 3 - 5 + 6) = (21)$ , adică $x = 2$ , $y = 1$ . Verificare: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ și $2 + 1 = 3$ . Forma matriceală și sistemul scris pe ecuații sunt aceeași problemă, doar notată diferit.

Oamenii mai întreabă și: ecuație matriceală cu necunoscuta la stânga · X ori A egal B · cum rezolv X A = B · ecuația XA=B matrice