Ecuații matriceale: AX = B și XA = B (M2, științe ale naturii)

O crescătorie de păstrăvi are un tabel cu care lucrează zilnic: câte kilograme de proteină și de grăsime aduce fiecare sac de granule. Tabelul răspunde ușor la întrebarea „ce primesc peștii dacă torn atâția saci?". Întrebarea de care are nevoie îngrijitorul este însă cealaltă: „câți saci din fiecare fel trebuie să torn ca peștii să primească exact rația calculată?". În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), răspunsul se scrie într-un singur rând — o egalitate între tablouri, în care necunoscuta nu mai este un număr, ci o matrice. Ecuațiile acestea se dau la bacalaureatul M2, la Subiectul al II-lea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: ecuațiile matriceale sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în lista de conținuturi a clasei a XI-a din programa nouă. Locul lor la proba scrisă este Subiectul al II-lea, cel de algebră. Uneltele le ai deja: determinantul îți spune dacă se poate, iar inversa calculată cu matricea adjunctă îți dă rețeta drumului înapoi. Rămâne un singur lucru nou de învățat — și este exact lucrul pe care cad cei mai mulți elevi: de care parte a necunoscutei se așază inversa.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o ecuație matriceală și de ce nu se împarte cu o matrice.
• Vei ști să rezolvi $AX=B$ și $XA=B$, alegând partea din care înmulțești cu $A^{-1}$.
• Vei ști să scoți necunoscuta dintre două matrice, în ecuația $AXB=C$.
• Vei ști să desfaci ecuațiile scrise altfel — $AX+B=C$, $AX+3X=B$ — și să pui condiția pe matricea care chiar înmulțește necunoscuta.
• Vei ști să recunoști cazul $\det A=0$, în care inversa nu există, și să spui ce se poate afirma atunci.
• Vei ști să faci proba în ecuația de la care ai pornit și să scrii rezolvarea în ordinea potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație matriceală și de ce nu se împarte cu o matrice?

Ecuația matriceală este o egalitate între tablouri de numere reale în care necunoscuta, notată de obicei $X$, este ea însăși o matrice; a o rezolva înseamnă a găsi toate tablourile care, puse în locul lui $X$, fac egalitatea adevărată. Toate matricele din această lecție au elemente numere reale.

La o ecuație numerică, $7x=21$, gestul este automat: împarți la $7$. Cu tablouri, gestul acesta nu există, iar motivul nu este o scăpare de notație. Înmulțirea matricelor nu este comutativă — ai văzut asta la înmulțirea a două matrice —, așa că un simbol de tipul „$B$ supra $A$" n-ar ști să spună dacă se referă la $A^{-1}B$ sau la $B{A}^{-1}$. Iar cele două sunt, aproape întotdeauna, tablouri diferite. Cu $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$, pentru care $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$, și cu $B=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ 4& 3\end{array}\right)$, obținem

$$A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right),B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -1& 3\end{array}\right).$$

Nu seamănă între ele nici măcar la semn. Situația îți este cunoscută din clasa a X-a: la compunerea a două funcții, ordinea schimbă rezultatul, iar „inversa" desface compunerea mergând pe drumul întors. Matricele se poartă la fel.

De aici, o regulă de vorbire pe care merită să o adopți din prima zi: nu spui niciodată „împart la $A$", ci „înmulțesc cu $A^{-1}$ la stânga" sau „la dreapta". Partea se rostește cu voce tare, pentru că ea decide rezultatul.

2. Cum rezolvi ecuația $AX=B$?

Necunoscuta stă lipită de $A$, la dreapta lui. Ca să dispară $A$, inversa trebuie să ajungă exact lângă el, adică în stânga ambilor membri:

$$AX=B⟹A^{-1}(AX)=A^{-1}B⟹(A^{-1}A)X=A^{-1}B⟹I_{2}X=A^{-1}B.$$

Cum înmulțirea cu matricea unitate nu schimbă nimic, rămâne $X=A^{-1}B$. Regruparea din pasul al doilea este permisă pentru că înmulțirea matricelor este asociativă, iar existența lui $A^{-1}$ cere, o dată pentru totdeauna, $\det A\ne 0$ — condiția fixată la matricea inversabilă și criteriul determinantului.

Pe matricele de mai sus, soluția ecuației $AX=B$ este deci primul dintre cele două produse: $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Proba se face în ecuația de la care ai pornit, nu în vreuna dintre cele transformate:

$$AX=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10-3& 5+0\\ 6-2& 3+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ 4& 3\end{array}\right).$$

Mai reține un detaliu care se cere separat: formatul lui $X$. Dacă $A$ este pătratică de ordinul $n$, iar $B$ are $n$ linii și $p$ coloane, atunci $X$ are tot $n$ linii și $p$ coloane — același format ca $B$. Scrie-l înainte de a începe calculul; dacă formatele nu se potrivesc, produsul $AX$ nici nu se poate efectua, iar enunțul are o greșeală.

3. Ce se schimbă la ecuația $XA=B$?

Acum necunoscuta stă în stânga lui $A$, deci inversa trebuie adusă în dreapta, tot ca să se lipească de el:

$$XA=B⟹(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}⟹X(A{A}^{-1})=B{A}^{-1}⟹X=B{A}^{-1}.$$

Cu aceleași două tablouri ca în §1, soluția este al doilea produs, $X=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -1& 3\end{array}\right)$ — vizibil altceva decât soluția de la $AX=B$, deși datele problemei sunt neschimbate. De aceea prima întrebare pe care o pui în fața oricărui enunț nu este „cât e determinantul?", ci „unde stă $X$, înainte sau după $A$?". Un truc de memorie care nu dă greș: inversa se așază lipită de $A$, de aceeași parte pe care se află $A$ față de necunoscută, fiindcă numai vecinii se pot simplifica între ei.

4. Cum scoți necunoscuta dintre două matrice?

În ecuația $AXB=C$, necunoscuta este prinsă la mijloc, deci are nevoie de două eliberări: una la stânga, cu $A^{-1}$, alta la dreapta, cu $B^{-1}$. Dacă $\det A\ne 0$ și $\det B\ne 0$, rezultatul este

$$X=A^{-1}C{B}^{-1},$$

iar ordinea celor trei factori nu se poate schimba. Îl verificăm pe un caz mic. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, ambele cu determinantul $1$, deci cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 4\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)$, iar $C=\left(\begin{array}{cc}31& 37\\ 25& 30\end{array}\right)$. Calculăm pe rând, de la stânga la dreapta:

$$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ 7& 9\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ 7& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right).$$

Merită observat de ce nu se poate lucra „într-un singur pas": produsul $A^{-1}{B}^{-1}$ nu are nicio legătură cu problema. Inversa unui produs răstoarnă ordinea, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, exact cum, dacă îmbraci întâi cămașa și apoi haina, la dezbrăcat începi cu haina.

5. Ce faci când ecuația nu e gata pregătită?

Multe enunțuri de examen dau ecuația într-o formă din care trebuie întâi scoasă necunoscuta. Două prelucrări acoperă aproape tot, și niciuna nu are voie să schimbe ordinea factorilor.

Termenul liber se mută. Din $AX+B=C$ rămâne $AX=C-B$, deci $X=A^{-1}(C-B)$. Scăderea se face element cu element, iar cele două tablouri trebuie să aibă același format.

Necunoscuta se dă factor comun. În $AX+3X=B$ apare de două ori $X$, o dată înmulțit cu $A$ și o dată singur. Scriem $3X=3I_{2}X$ și adunăm factorii din stânga: ecuația devine $(A+3I_2)X=B$. Atenție unde se mută condiția: acum contează $\det (A+3I_2)\ne 0$, nu $\det A\ne 0$ — sunt două matrice diferite, iar una poate fi inversabilă fără cealaltă. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$ și ecuația $AX-2X=B$, cu $B=\left(\begin{array}{cc}13& 11\\ 4& 3\end{array}\right)$, avem

$$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 1\end{array}\right),\det (A-2I_2)=1,(A-2I_2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 4\end{array}\right),$$

de unde $X=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}13& 11\\ 4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$. Proba în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}15& 15\\ 10& 5\end{array}\right)$, iar $2X=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 2\end{array}\right)$, diferența lor fiind chiar $B$.

Există și ecuații pe care metoda inversei nu le rezolvă: cele în care $X$ stă și la stânga, și la dreapta, lipit de tablouri diferite, ca în $MX=XN$. Acolo nu ai ce simplifica, iar drumul este altul — scrii elementele lui $X$ cu litere, faci cele două produse și le identifici element cu element.

6. Ce se întâmplă când $\det A=0$?

Toate formulele de până acum au aceeași ipoteză: matricea cu care înmulțești are determinantul nenul. Când el este zero, inversa nu există, iar concluzia nu este că ecuația „nu are soluții" — este că nu mai știi nimic fără să cercetezi. Ia $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 3\end{array}\right)$, cu $\det A=0$, și notează $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Produsul iese

$$AX=\left(\begin{array}{cc}4a+6c& 4b+6d\\ 2a+3c& 2b+3d\end{array}\right),$$

tablou în care prima linie este, orice ar fi $X$, dublul celei de-a doua. Ecuația $AX=I_2$ ar cere ca linia $(1,0)$ să fie dublul liniei $(0,1)$, ceea ce e fals: ecuația nu are nicio soluție. În schimb, ecuația $AX=A$ este verificată, printre altele, de $X=I_2$, dar și de multe alte tablouri — deci are o infinitate de soluții. Reține concluzia în forma ei corectă: determinantul nenul garantează existență și unicitate; determinantul nul nu garantează nimic, în niciun sens.

7. Cum ajunge o ecuație matriceală într-un plan de hrană?

Ne întoarcem la crescătorie. Tabelul de pornire are pe linii nutrienții și pe coloane cele două tipuri de granule: un sac de tip I aduce $3$ kg de proteină și $1$ kg de grăsime, iar un sac de tip II aduce $5$ kg de proteină și $2$ kg de grăsime. Necunoscuta nu este un singur număr, ci tot un tablou: pe linii tipurile de granule, pe coloane cele două bazine. Produsul $AX$ dă atunci, pe fiecare poziție, cantitatea de nutrient primită de un bazin, adică exact ce se cunoaște din registrul fermei. Aici stă tot câștigul scrierii matriceale: două întrebări deodată — „câți saci la bazinul 1?" și „câți saci la bazinul 2?" — se rezolvă cu o singură inversă, calculată o singură dată. Calculul întreg, cu unități de măsură, este Exemplul 5.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația $AX=B$ la ordinul 2

Rezolvați ecuația $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Întâi determinantul matricei care înmulțește necunoscuta: $\det A=3-2=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)$. Necunoscuta stă la dreapta lui $A$, deci înmulțim la stânga:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5-4& 4-6\\ -5+6& -4+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 5\end{array}\right).$$

Proba. $AX=\left(\begin{array}{cc}3+2& -6+10\\ 1+1& -2+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$, adică matricea $B$ din enunț.

Exemplul 2 — Aceeași ecuație, la ordinul 3

Rezolvați ecuația $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 3& 3& 1\\ 5& 6& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Matricea $A$ are zerouri deasupra diagonalei, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală: $\det A=1\ne 0$. Cu algoritmul adjunctei, învățat în lecția despre inversă, obținem

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 1& -2& 1\end{array}\right).$$

Prin urmare $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

Proba, pe liniile a doua și a treia ale produsului $AX$: $2\cdot (2,1,0)+(-1,1,1)=(3,3,1)$ și $3\cdot (2,1,0)+2\cdot (-1,1,1)+(1,1,1)=(5,6,3)$ — cele două linii ale lui $B$. Ordinul $3$ nu aduce nicio idee nouă, doar mai multe înmulțiri; tot ce se schimbă este timpul de lucru.

Exemplul 3 — Necunoscuta dată factor comun

Rezolvați ecuația $AX+3X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}13& 14\\ 3& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Scriem $3X=3I_{2}X$ și dăm factor comun la stânga: $(A+3I_2)X=B$, unde

$$A+3I_2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 1\end{array}\right),\det (A+3I_2)=5-4=1\ne 0,(A+3I_2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -1& 5\end{array}\right).$$

Atunci $X=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -1& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}13& 14\\ 3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

Proba în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ -3& 0\end{array}\right)$ și $3X=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 6& 3\end{array}\right)$, iar suma lor este $B$. Observă că $\det A=-8$, deci matricea $A$ este și ea inversabilă — dar inversa ei nu are niciun rol aici; condiția s-a pus pe $A+3I_2$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $XA=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. El scrie corect $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right)$, apoi continuă: „înmulțesc cu inversa și obțin $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$". Arătați unde greșește și duceți rezolvarea până la capăt.

Rezolvare. Determinantul și inversa sunt calculate bine; greșeala este partea din care s-a înmulțit. În enunț necunoscuta stă înaintea lui $A$, deci inversa trebuie adusă tot după $A$, nu în fața lui. Cel mai simplu se vede din probă: matricea propusă de elev dă

$$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& 22\\ -10& -13\end{array}\right),$$

care nu seamănă deloc cu $B$. Rezolvarea corectă înmulțește la dreapta:

$$X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ 5& -6\end{array}\right),$$

iar proba iese: $XA=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Reține și metoda de control: la o ecuație matriceală, proba costă un singur produs și prinde exact greșeala de parte, pentru că soluția inversată nu verifică aproape niciodată egalitatea.

Exemplul 5 — Planul de hrană al crescătoriei

Un sac din granulele de tip I aduce $3$ kg de proteină și $1$ kg de grăsime; un sac din tipul II aduce $5$ kg de proteină și $2$ kg de grăsime. Registrul fermei arată că, într-o săptămână, bazinul 1 a primit $37$ kg de proteină și $14$ kg de grăsime, iar bazinul 2 a primit $19$ kg de proteină și $7$ kg de grăsime. Câți saci din fiecare tip au ajuns în fiecare bazin? Ce unitate de măsură au numerele din inversa tabloului?

Rezolvare. Punem pe liniile tabloului nutrienții, iar pe coloane tipurile de granule; necunoscuta are pe linii tipurile de granule, iar pe coloane bazinele:

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}37& 19\\ 14& 7\end{array}\right),AX=B.$$

Cum $\det A=6-5=1\ne 0$, planul există și este unic, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$, deci

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}74-70& 38-35\\ -37+42& -19+21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 2\end{array}\right).$$

Bazinul 1 a primit $4$ saci de tip I și $5$ de tip II, bazinul 2 a primit $3$ și, respectiv, $2$ — numere întregi și pozitive, deci și citirea în context este corectă.

Unitățile. Numerele din $A$ sunt kilograme de nutrient pe sac. Inversa merge în sens invers, de la kilograme la saci, deci numerele din $A^{-1}$ se măsoară în saci pe kilogram; numărul negativ de acolo nu înseamnă o cantitate negativă, ci o scădere în rețeta drumului înapoi. Tot din inversă se vede de ce răspunsul este unic: dacă cele două tipuri de granule ar avea aceeași proporție proteină–grăsime, determinantul ar fi zero și registrul n-ar mai putea deosebi sacii între ei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& -3\\ 1& m-4\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$, și $B=\left(\begin{array}{cc}8& -13\\ 1& -2\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det (A(m))=m^2-4m+3$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ nu este inversabilă. c) Pentru $m=2$, rezolvați ecuația $XA(m)=B$.

Rezolvare.

a) Determinantul unei matrice de ordinul $2$ este diferența produselor de pe cele două diagonale: $m(m-4)-(-3)\cdot 1=m^2-4m+3$.

b) Matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează. Ecuația $m^2-4m+3=0$ are rădăcinile $m=1$ și $m=3$, deci acestea sunt valorile căutate.

c) Pentru $m=2$ obținem $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$, cu $\det (A(2))=2^2-4\cdot 2+3=-1$. Adjuncta este $\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar împărțirea la $-1$ schimbă toate semnele: $A(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$. Necunoscuta stă la stânga, deci înmulțim la dreapta:

$$X=BA(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}16-13& -24+26\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Proba: $XA(2)=\left(\begin{array}{cc}8& -13\\ 1& -2\end{array}\right)$, adică matricea $B$.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe urmează tiparul primei probleme a Subiectului al II-lea din modelul oficial al probei M_șt-nat: o matrice cu parametru, un determinant calculat, o discuție după valorile parametrului și un calcul numeric la final. Forma exactă a cerințelor se citește în model, nu se presupune.

Să exersăm

La fiecare ecuație, scrie întâi ce matrice trebuie inversată și de ce parte se înmulțește; abia apoi calculează. Verifică fiecare soluție în ecuația din enunț.

1. Rezolvă ecuația $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 9& 8\end{array}\right)$.

2. Rezolvă ecuația $XA=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right)$.

3. În ecuația $AX=B$ se știe că $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și că $B$ are trei linii și două coloane. Ce format are matricea $X$? Se poate efectua produsul $XA$?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă matricea $A$ este inversabilă, atunci ecuația $AX=B$ are exact o soluție, oricare ar fi matricea $B$ de format potrivit."

5. Determină $X$ din ecuația $AX+B=C$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 3& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}22& 31\\ 12& 13\end{array}\right)$.

6. Rezolvă ecuația $AX+2X=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}16& 37\\ 3& 7\end{array}\right)$.

7. Arată că ecuația $AX=I_2$ nu are nicio soluție, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 2& 3\end{array}\right)$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ -6& 5\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=1$. b) Rezolvați ecuația $AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

9. Rezolvă ecuația $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 5& 2\\ 4& 7& 4\end{array}\right)$.

10. Rezolvă ecuația $XA=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 5& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}31& 12\\ 13& 5\end{array}\right)$.

11. (Problemă aplicată.) O topitorie mică toarnă două feluri de lingouri. Pentru un lingou din primul fel intră $7$ kg de cupru și $2$ kg de zinc, iar pentru unul din al doilea fel, $3$ kg de cupru și $1$ kg de zinc. La prima comandă s-au consumat $29$ kg de cupru și $9$ kg de zinc, la a doua $33$ kg de cupru și $10$ kg de zinc. Scrie ecuația matriceală a situației și află câte lingouri de fiecare fel s-au turnat la fiecare comandă.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cc}2& m\\ 1& 3\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det (A(m))$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $A(m)X=B$ are soluție unică. c) Pentru $m=5$ și $B=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ 3& 2\end{array}\right)$, rezolvați ecuația.

13. Se știe că matricea $X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$ este soluția ecuației $AX=\left(\begin{array}{cc}11& 35\\ 5& 16\end{array}\right)$. Determină matricea $A$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=1$. b) Rezolvați ecuația $XA=\left(\begin{array}{cc}8& 10\\ 10& 13\end{array}\right)$.

15. Rezolvă ecuația $AXB=C$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}4& 13\\ 14& 46\end{array}\right)$.

16. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 8\end{array}\right)$, rezolvă ecuațiile $AX=A$ și $XA=A$ și explică de ce, de data aceasta, cele două soluții coincid.

17. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculează $(AB{)}^{-1}$, $B^{-1}{A}^{-1}$ și $A^{-1}{B}^{-1}$, apoi spune care două dintre ele sunt egale.

18. (Provocare.) Arată că, dacă $\det A\ne 0$ și $AX=XA$, atunci și $A^{-1}X=X{A}^{-1}$. Verifică apoi afirmația pe $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=6-5=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$ și $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$. Proba: $AX=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 9& 8\end{array}\right)$.

2. $\det A=15-14=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -2& 5\end{array}\right)$. Necunoscuta stă în stânga, deci $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& -5\end{array}\right)$, iar proba dă $XA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right)$.

3. Matricea $X$ are trei linii și două coloane, adică $X\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$, același format ca $B$. Produsul $XA$ nu se poate efectua: $X$ are două coloane, iar $A$ are trei linii.

4. Adevărat. Matricea $X=A^{-1}B$ verifică ecuația, deci soluția există. Este și singura: dacă o matrice $Y$ verifică $AY=B$, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$ obținem $Y=A^{-1}B$, adică aceeași matrice. Existența și unicitatea vin împreună, din același calcul.

5. Se aduce întâi la forma standard: $AX=C-B=\left(\begin{array}{cc}21& 28\\ 8& 11\end{array}\right)$. Cum $\det A=16-15=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -3& 8\end{array}\right)$, rezultă $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 4\end{array}\right)$.

6. Factor comun: $(A+2I_2)X=B$, cu $A+2I_2=\left(\begin{array}{cc}6& 5\\ 1& 1\end{array}\right)$, $\det (A+2I_2)=1$ și $(A+2I_2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -5\\ -1& 6\end{array}\right)$. Deci $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$. Control: $AX=\left(\begin{array}{cc}14& 33\\ -1& -3\end{array}\right)$ și $2X=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 10\end{array}\right)$, cu suma egală cu $B$.

7. $\det A=18-18=0$, deci inversa nu există. Cu $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, prima linie a produsului $AX$ este $(6a+9c,6b+9d)$, adică de trei ori linia a doua, $(2a+3c,2b+3d)$. În $I_2$ însă prima linie, $(1,0)$, nu este tripla celei de-a doua, $(0,1)$, deci nu există niciun $X$ potrivit.

8. a) $\det A=25-24=1$. b) $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 6& 5\end{array}\right)$, iar $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}13& 9\\ 16& 11\end{array}\right)$. Proba: $AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

9. $\det A=1$, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$, deci $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$. Proba pe linia a treia a produsului: $(1,2,1)+(2,3,1)+(1,2,2)=(4,7,4)$.

10. $\det A=16-15=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -5& 8\end{array}\right)$. Necunoscuta e în stânga, deci $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $XA=\left(\begin{array}{cc}31& 12\\ 13& 5\end{array}\right)$.

11. Cu metalele pe linii și felurile de lingou pe coloane, $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$, iar consumurile celor două comenzi formează coloanele lui $B=\left(\begin{array}{cc}29& 33\\ 9& 10\end{array}\right)$. Din $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 7\end{array}\right)$ obținem $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$: la prima comandă $2$ lingouri din primul fel și $5$ din al doilea, la a doua comandă $3$ și, respectiv, $4$.

12. a) $\det (A(m))=6-m$. b) Soluția este unică exact când $6-m\ne 0$, adică pentru $m\ne 6$. c) Pentru $m=5$, $A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$ are determinantul $1$ și inversa $\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}6& 5\\ -1& -1\end{array}\right)$. Proba: $A(5)X=\left(\begin{array}{cc}7& 5\\ 3& 2\end{array}\right)$.

13. Necunoscuta este acum $A$, iar ea stă la stânga lui $X$, deci se înmulțește la dreapta cu $X^{-1}$. Cum $\det X=4-3=1$ și $X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 1\end{array}\right)$, obținem $A=\left(\begin{array}{cc}11& 35\\ 5& 16\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 2\\ 4& 1\end{array}\right)$.

14. a) $\det A=4-3=1$. b) $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)$, iar necunoscuta fiind la stânga, $X=\left(\begin{array}{cc}8& 10\\ 10& 13\end{array}\right)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$. Proba: $XA=\left(\begin{array}{cc}8& 10\\ 10& 13\end{array}\right)$.

15. Ambele matrice au determinantul $1$, cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\right)$. Calculăm în ordine: $A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}4& 13\\ 2& 7\end{array}\right)$, apoi $X=\left(\begin{array}{cc}4& 13\\ 2& 7\end{array}\right)B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

16. $\det A=16-15=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8& -5\\ -3& 2\end{array}\right)$. Din prima ecuație $X=A^{-1}A=I_2$, din a doua $X=A{A}^{-1}=I_2$. Soluțiile coincid pentru că membrul drept este chiar $A$, iar $A$ comută cu inversa ei; la un membru drept oarecare, egalitatea nu mai are loc.

17. $\det A=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -1& 4\end{array}\right)$; $\det B=-1$, $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& -2\end{array}\right)$. Apoi $AB=\left(\begin{array}{cc}15& 19\\ 4& 5\end{array}\right)$, cu $\det (AB)=-1$ și $(AB{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-5& 19\\ 4& -15\end{array}\right)$. Egale sunt $(AB{)}^{-1}$ și $B^{-1}{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-5& 19\\ 4& -15\end{array}\right)$, în timp ce $A^{-1}{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-9& 20\\ 5& -11\end{array}\right)$ este altceva: inversa unui produs răstoarnă ordinea factorilor.

18. Pornim de la $AX=XA$ și înmulțim egalitatea cu $A^{-1}$ de amândouă părțile: la stânga obținem $A^{-1}AX{A}^{-1}=A^{-1}XA{A}^{-1}$, adică $X{A}^{-1}=A^{-1}X$, ceea ce trebuia arătat. Verificarea: $\det A=3$, iar $AX=\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 7& 5\end{array}\right)=XA$, deci ipoteza e îndeplinită; apoi $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar ambele produse $A^{-1}X$ și $X{A}^{-1}$ dau $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1& 5\\ 5& -1\end{array}\right)$.

De reținut

• O ecuație matriceală se rezolvă înmulțind cu inversa, niciodată împărțind. Partea se rostește: la stânga pentru $AX=B$, la dreapta pentru $XA=B$, ambele pentru $AXB=C$.
• Cele trei formule, cu ordinea lor fixă: $X=A^{-1}B$, $X=B{A}^{-1}$, $X=A^{-1}C{B}^{-1}$ — valabile numai când matricele inversate au determinantul nenul.
• Condiția se pune pe matricea care înmulțește efectiv necunoscuta. La $AX+3X=B$ ea este $A+3I_n$, nu $A$, iar la $AX+B=C$ rămâne $A$, fiindcă termenul liber doar se mută.
• Formatul lui $X$ se scrie înaintea calculului: la $AX=B$ cu $A$ pătratică, $X$ are exact formatul lui $B$.
• Determinantul nul nu este un răspuns. Când $\det A=0$, ecuația poate să nu aibă soluții sau să aibă o infinitate; decizia se ia notând elementele lui $X$ cu litere și comparând produsul cu membrul drept.

Greșeli frecvente

• Dai ca răspuns inversa, nu necunoscuta. După ce ai calculat $A^{-1}$, cel mai greu pas e trecut, iar tentația de a te opri acolo e mare. Enunțul cere însă $X$, adică încă un produs; o rezolvare care se încheie cu inversa răspunde doar pe jumătate.
• Folosești $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$. Inversa unui produs răstoarnă ordinea: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Exercițiul 17 arată, pe numere, cât de diferite sunt cele două tablouri.
• Simplifici cu $A$ ca la numere. Din $AX=AY$ nu rezultă $X=Y$ decât dacă $\det A\ne 0$. Când determinantul este zero, există matrice nenule $Z$ cu $AZ=O_n$, iar $X$ și $X+Z$ dau același produs.
• Pierzi numitorul din inversă. Când $\det A\ne \pm 1$, ține factorul $\frac{1}{\det A}$ în fața tabloului până la capăt și înmulțește cu el o singură dată, la final. Numitorul strecurat în câteva căsuțe, dar nu în toate, este greșeala pe care ochiul o trece cel mai ușor cu vederea.
• Încerci metoda inversei la ecuații care nu o suportă. Dacă $X$ stă și la stânga, și la dreapta, ca în $MX=XN$, nu ai ce simplifica; scrii elementele lui $X$ cu litere și identifici cele două produse, poziție cu poziție.

Aplică acasă

1. Trei probe în trei minute. Ia trei ecuații matriceale rezolvate la clasă și verifică fiecare soluție în ecuația din enunț, cronometrându-te. Notează câte probe au ieșit și, la cele care n-au ieșit, dacă greșeala era de parte, de semn sau de numitor. Vei descoperi că, la tine, aproape toate cad în aceeași categorie.

2. Fabrica de limonadă. Alege două rețete de limonadă cu aceleași două ingrediente, în cantități diferite, și scrie tabloul $A$ al consumurilor. Inventează apoi un tablou $X$ cu numărul de porții preparate în două zile, calculează $B=AX$ și dă unui coleg doar $A$ și $B$. El trebuie să reconstituie $X$; compară cu ce ai scris tu.

3. Ordinea care se răstoarnă. Scrie două matrice de ordinul $2$ cu elemente întregi și cu determinantul $1$. Calculează $(AB{)}^{-1}$, $B^{-1}{A}^{-1}$ și $A^{-1}{B}^{-1}$ și păstrează foaia în caiet: este cel mai scurt argument împotriva formulei greșite de la „Greșeli frecvente".

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la clasa a XI-a, „Ecuații matriceale", în capitolul de calcul matriceal și sisteme; la proba scrisă, locul acestui capitol este prima problemă a Subiectului al II-lea. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, acolo au fost o matrice și un determinant, nu o ecuație matriceală — forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) tema nu mai apare în lista de conținuturi a clasei a XI-a, care se încheie cu inversa unei matrice; o singură activitate de învățare, cea a competenței XI.CS.5.1, pomenește „soluțiile ecuațiilor matriceale". La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează deloc în programa de examen: în domeniul Algebră, capitolul de clasa a XI-a se oprește la inversa unei matrice, iar cel de clasa a XII-a trece la sisteme de ecuații liniare. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția nu aduce nicio tehnică de calcul nouă: determinantul, adjuncta și inversa sunt deja învățate, iar aici se adaugă un singur gest — alegerea părții. Tocmai de aceea greșelile sunt aproape toate de același fel și se corectează repede, cu condiția ca proba să devină obligatorie. De verificat în caiet: (1) determinantul scris înaintea oricărui alt calcul; (2) matricea pe care s-a pus condiția — la ecuațiile cu factor comun ea nu este $A$; (3) formatul lui $X$, notat înainte de înmulțire; (4) partea din care s-a înmulțit, spusă în cuvinte; (5) proba făcută în ecuația din enunț. Întrebări de control, de pus oral: „De ce nu se împarte cu o matrice?"; „La $XA=B$, unde se așază inversa și de ce?"; „Ce condiție pui la $AX+5X=B$?"; „Ce format are $X$ dacă $A$ e de ordinul $3$, iar $B$ are trei linii și o coloană?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a calcula ceva, spune cu voce tare de care parte a necunoscutei stă matricea dată. Lecția care urmează, despre forma matriceală a unui sistem cu trei necunoscute, arată de unde vin, în practică, cele mai multe dintre aceste ecuații.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă ecuațiile matriceale la M2 față de M1? Ideea și formulele sunt aceleași, dar la profilul științe ale naturii se lucrează numai cu matrice de ordinele $2$ și $3$, cu determinant nenul, iar discuția amănunțită a cazului singular rămâne la mate-info. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile matriceale merge mai departe, cu ecuații cu parametru discutate pe toate cazurile și cu legătura spre teoremele de compatibilitate, care la M2 nu intră în programă.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, prima problemă, cea construită pe matrice, determinanți și sisteme. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere explicit ecuațiile matriceale, iar cerințele se pot înlănțui astfel: determinantul, eventual cu un parametru, apoi inversa, apoi rezolvarea propriu-zisă, într-un caz numeric.

De ce se învață tema, dacă nu mai e în programa clasei a XI-a? Pentru că examenul nu s-a schimbat odată cu programa de clasă. Elevii din clasele X–XII susțin bacalaureatul pe programa de examen din 2014, care cere ecuațiile matriceale; programa nouă, aplicată progresiv din 2026, nu le mai trece în lista de conținuturi a clasei a XI-a. Până în 2029 sunt, așadar, materie de examen chiar dacă lipsesc din manualul nou.

Ce format are matricea necunoscută? Se citește din ecuație. La $AX=B$, cu $A$ pătratică de ordinul $n$, matricea $X$ are exact formatul lui $B$: $n$ linii și atâtea coloane câte are $B$. La $XA=B$, tot formatul lui $B$. Regula de control este că fiecare produs scris trebuie să se poată efectua, adică numărul de coloane al primului factor să fie numărul de linii al celui de-al doilea.

Cum verific repede că am rezolvat bine? Înlocuiești matricea găsită în ecuația din enunț și faci un singur produs. Proba durează sub un minut la ordinul $2$ și prinde tocmai greșeala specifică temei — inversa înmulțită din partea greșită —, pentru că soluția răsturnată nu verifică aproape niciodată egalitatea. Verificarea în ecuația deja transformată nu dovedește nimic.

Se poate rezolva o ecuație matriceală fără inversă? Da. Notezi elementele lui $X$ cu litere, faci produsul cerut și compari cele două tablouri element cu element; obții un sistem de ecuații pe care îl rezolvi. Metoda merge întotdeauna, inclusiv când determinantul este zero, dar cere mai multe calcule, așa că la examen se folosește numai în cazurile în care inversa nu există.

Ce ordin au matricele din ecuațiile date la bacalaureatul M2? Ordinele $2$ și $3$, pentru că programa de examen cere matricele inversabile numai la aceste ordine. Ordinul $2$ este cel cu care se lucrează comod în timpul unei probleme: o inversă de ordinul $3$ plus un produs ar consuma singură o bună parte din timpul alocat ei.