Ecuația palindrom: pe scurt

O ecuație $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ este reciprocă (speța întâi) dacă coeficienții egal depărtați de capete sunt egali, $a_k=a_{n-k}$ — un palindrom numeric. Consecința esențială: dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este rădăcină (demonstrația împarte $f(x_0)=0$ la $x_0^n$ și folosește simetria coeficienților); în plus, $x=0$ nu poate fi niciodată rădăcină, pentru că $a_0=a_n\ne 0$. La gradul impar, termenii se anulează doi câte doi în $f(-1)$, deci $x=-1$ este mereu rădăcină — cobori gradul cu schema lui Horner și rezolvi ce rămâne.

La gradul al patrulea ($a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$), metoda specifică este împărțirea cu $x^2$ (permisă, fiindcă $x\ne 0$) și notarea $y=x+\frac{1}{x}$; din ridicarea la pătrat rezultă relația-cheie $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, care coboară ecuația la gradul al doilea în $y$: $a{y}^2+by+(c-2a)=0$. Pentru fiecare $y_k$ găsit, te întorci rezolvând $x^2-y_{k}x+1=0$, ale cărei rădăcini au produsul $1$ — perechi de numere inverse, exact ce prezice teorema. Există și o speță a doua, $a_k=-a_{n-k}$, unde termenii se anulează în $f(1)$, deci rădăcina evidentă este $x=1$ în loc de $-1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $3x^3+7x^2+7x+3=0$.

   • a) $\left\{-1,\frac{-2+i\sqrt{5}}{3},\frac{-2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • b) $\left\{-1,\frac{2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • c) $\left\{-3,\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • d) $\left\{1,\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left\{-1,\frac{-2+i\sqrt{5}}{3},\frac{-2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$

   Ecuație reciprocă de grad impar, deci $x=-1$ e rădăcină. Horner dă câtul $3x^2+4x+3$, cu $\Delta =16-36=-20$, deci $x=\frac{-4\pm 2i\sqrt{5}}{6}=\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}$.

2. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-6x^3+7x^2-6x+1=0$.

   • a) $\left\{\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}\right\}$
   • b) $\left\{\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\right\}$
   • c) $\left\{5\pm \sqrt{21},1\pm i\sqrt{3}\right\}$
   • d) $\left\{\frac{6\pm \sqrt{21}}{2},\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\right\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left\{\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\right\}$

   Ecuație reciprocă; cu $y=x+\frac{1}{x}$: $y^2-6y+5=0$, deci $y_1=5$, $y_2=1$. Din $x^2-5x+1=0$: $x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$. Din $x^2-x+1=0$ ($\Delta =-3$): $x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$.

3. Ecuația $2x^3+5x^2-5x-2=0$ este reciprocă de speța a doua. Rezolvați-o în $\mathbb{R}$.

   • a) $\left\{1,\frac{7\pm \sqrt{33}}{4}\right\}$
   • b) $\left\{-1,\frac{-7\pm \sqrt{33}}{4}\right\}$
   • c) $\left\{1,\frac{-7+\sqrt{33}}{4},\frac{-7-\sqrt{33}}{4}\right\}$
   • d) $\left\{1,\frac{-5\pm \sqrt{33}}{4}\right\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\left\{1,\frac{-7+\sqrt{33}}{4},\frac{-7-\sqrt{33}}{4}\right\}$

   Speța a doua, deci $x=1$ e rădăcină ($2+5-5-2=0$). Horner dă câtul $2x^2+7x+2$, cu $\Delta =49-16=33$, deci $x=\frac{-7\pm \sqrt{33}}{4}$.