La ecuația $$2x^4-5x^3+x^2-5x+2=0$$, substituția $$y=x+\dfrac1x$$ dă valorile $$y_1=3$$ și $$y_2=-\dfrac12$$. Ce fel de soluții dă fiecare ramură?

ramura lui $$y_1$$ dă două soluții reale, iar ramura lui $$y_2$$ două soluții nereale

amândouă ramurile dau soluții reale

ramura lui $$y_1$$ dă două soluții nereale, iar ramura lui $$y_2$$ două soluții reale

amândouă ramurile dau soluții nereale

Cum rezolv reciproca x⁴-5x³+6x²-5x+1=0?

Împarți la x² și notezi y=x+ 1/x: y²-2-5y+6=0, adică y²-5y+4=0, cu y=1 și y=4. Din x²-4x+1=0 ies 2± √3, iar din x²-x+1=0 ies două soluții nereale. Ecuația are deci două soluții reale, inverse una alteia, și două nereale.

Câte soluții reale are ecuația reciprocă x³+1=0?

O singură soluție reală, -1. Coeficienții 1, 0, 0, 1 sunt simetrici, iar după împărțirea la x+1 rămâne x²-x+1, cu Δ=-3, care dă două soluții nereale conjugate.

Cum rezolv o ecuație reciprocă de gradul 3?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuații reciproce

Coeficienții simetrici, de forma $a, b, b, a$ , fac din $- 1$ o soluție, deci împarți membrul stâng la $x + 1$ cu schema lui Horner și rezolvi trinomul rămas. Exemplu: $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Horner la $- 1$ dă rândul $2$ , $- 5$ , $2$ , $0$ , deci câtul este $2 x^{2} - 5 x + 2$ , cu soluțiile $2$ și $\frac{1}{2}$ . Soluțiile ecuației sunt $- 1$ , $2$ și $\frac{1}{2}$ ; ultimele două sunt inverse una alteia.

O ecuație algebrică poartă numele de reciprocă de speța întâi atunci când lista coeficienților ei arată la fel parcursă în ambele sensuri. Verificarea se face pe șirul complet, cu zerouri puse acolo unde un termen lipsește; compararea numai a capetelor înșală. Din definiție ies două urmări: termenul liber nu e nul, deci $0$ nu poate fi soluție, iar soluțiile se grupează două câte două, fiecare cu inversul ei.

La gradul al treilea, forma $a x^{3} + b x^{2} + b x + a$ se anulează în $- 1$ oricare ar fi $a$ și $b$ : exponenții impari schimbă semnul, iar termenii se sting doi câte doi. Soluția aceasta se scrie fără nicio căutare, iar împărțirea cu $x + 1$ prin schema lui Horner lasă un trinom care are, la rândul lui, capetele egale — o verificare instantanee.

La gradul al patrulea nu mai există o soluție gratuită. Se împarte ecuația cu $x^{2}$ , ceea ce e legitim tocmai fiindcă $0$ nu e soluție, se grupează termenii cu același coeficient și se notează $y = x + \frac{1}{x}$ . Cum $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ , rămâne $a y^{2} + b y + (c - 2 a) = 0$ . Fiecare valoare a lui $y$ se duce apoi în $x^{2} - y x + 1 = 0$ , al cărui discriminant este $y^{2} - 4$ : peste $2$ în valoare absolută ies soluții reale, sub $2$ ies soluții nereale, iar produsul fiecărei perechi este $1$ .

De reținut

reciprocă: șirul complet al coeficienților se citește la fel în ambele sensuri
gradul 3: soluția $- 1$ , apoi Horner și trinomul rămas
gradul 4: $y = x + \frac{1}{x}$ și $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$

Greșeala tipică

Se verifică simetria doar pe capete, $a_{n} = a_{0}$ ; la $x^{4} + 2 x^{3} - 2 x + 1$ capetele sunt egale, dar șirul complet $1, 2, 0, - 2, 1$ nu este simetric.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre ecuațiile de mai jos este reciprocă?
- a) $2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x + 2 = 0$
- b) $6 x^{3} - 11 x^{2} - 11 x + 6 = 0$
- c) $x^{4} + 3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x + 2 = 0$
- d) $4 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x + 7 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6 x^{3} - 11 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Se scrie șirul complet al coeficienților și se citește invers. La b) el este $6, - 11, - 11, 6$ și coincide cu el însuși. La a) șirul complet e $2, 5, 0, - 5, 2$ , iar $5 \neq = - 5$ . La c) capetele sunt $1$ și $2$ , diferite. La d) capetele sunt $4$ și $7$ , iar cei din mijloc $7$ și $4$ — șirul e răsturnat, nu simetric.
La ce ecuație în $y$ conduce substituția $y = x + \frac{1}{x}$ aplicată ecuației $3 x^{4} - 16 x^{3} + 11 x^{2} - 16 x + 3 = 0$ ?
- a) $3 y^{2} - 16 y + 11 = 0$
- b) $3 y^{2} - 16 y + 17 = 0$
- c) $3 y^{2} - 16 y - 5 = 0$
- d) $3 y^{2} - 16 y + 5 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 y^{2} - 16 y + 5 = 0$

După împărțirea cu $x^{2}$ și grupare rămâne $3 (y^{2} - 2) - 16 y + 11 = 0$ , adică $3 y^{2} - 16 y + 5 = 0$ : din coeficientul din mijloc se scade dublul celui dominant, $2 \cdot 3 = 6$ . Varianta a) uită scăderea; b) adună în loc să scadă; c) schimbă semnul termenului liber obținut.
La ecuația $2 x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , substituția $y = x + \frac{1}{x}$ dă valorile $y_{1} = 3$ și $y_{2} = - \frac{1}{2}$ . Ce fel de soluții dă fiecare ramură?
- a) amândouă ramurile dau soluții reale
- b) ramura lui $y_{1}$ dă două soluții reale, iar ramura lui $y_{2}$ două soluții nereale
- c) ramura lui $y_{1}$ dă două soluții nereale, iar ramura lui $y_{2}$ două soluții reale
- d) amândouă ramurile dau soluții nereale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ramura lui $y_{1}$ dă două soluții reale, iar ramura lui $y_{2}$ două soluții nereale

Fiecare valoare se întoarce în $x^{2} - y x + 1 = 0$ , cu discriminantul $y^{2} - 4$ . Pentru $y_{1} = 3$ el este $5 > 0$ , deci ies două soluții reale; pentru $y_{2} = - \frac{1}{2}$ el este $\frac{1}{4} - 4 < 0$ , deci ies două soluții nereale. Regula se citește din valoarea absolută a lui $y$ , comparată cu $2$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv reciproca $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ?

Împarți la $x^{2}$ și notezi $y = x + \frac{1}{x}$ : $y^{2} - 2 - 5 y + 6 = 0$ , adică $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ , cu $y = 1$ și $y = 4$ . Din $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ies $2 \pm 3$ , iar din $x^{2} - x + 1 = 0$ ies două soluții nereale. Ecuația are deci două soluții reale, inverse una alteia, și două nereale.

Este reciprocă ecuația $x^{4} + 2 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ ?

Nu. Șirul complet al coeficienților este $1$ , $2$ , $0$ , $- 2$ , $1$ , iar citit invers este $1$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $1$ . Capetele sunt egale, dar coeficienții lui $x^{3}$ și $x$ au semne opuse, deci simetria cerută lipsește.

Poate $0$ să fie soluție a unei ecuații reciproce?

Nu. Termenul liber este egal cu coeficientul dominant, care nu este zero, iar înlocuind $x = 0$ rămâne doar termenul liber. De aceea împărțirea la $x^{2}$ la gradul al patrulea este permisă.

De ce dau soluții nereale valorile lui $y$ dintre $- 2$ și $2$ ?

Pentru $x$ real nenul, $x + \frac{1}{x} \geq 2$ , deci o valoare $y$ cu modulul sub $2$ nu poate veni de la un $x$ real. Ecuația $x^{2} - y x + 1 = 0$ are atunci discriminantul $y^{2} - 4$ negativ.

Câte soluții reale are ecuația reciprocă $x^{3} + 1 = 0$ ?

O singură soluție reală, $- 1$ . Coeficienții $1$ , $0$ , $0$ , $1$ sunt simetrici, iar după împărțirea la $x + 1$ rămâne $x^{2} - x + 1$ , cu $Δ = - 3$ , care dă două soluții nereale conjugate.

Oamenii mai întreabă și: ecuație reciprocă de gradul trei · rezolvarea ecuației reciproce de grad 3 · ecuații cu coeficienți simetrici de gradul 3 · reciproca de gradul 3 cu soluția minus 1

Cum rezolv o ecuație reciprocă de gradul 3?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv reciproca x4−5x3+6x2−5x+1=0?

Este reciprocă ecuația x4+2x3−2x+1=0?

Poate 0 să fie soluție a unei ecuații reciproce?

De ce dau soluții nereale valorile lui y dintre −2 și 2?

Câte soluții reale are ecuația reciprocă x3+1=0?

Continuă cu

Cum rezolv reciproca $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ?

Este reciprocă ecuația $x^{4} + 2 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ ?

Poate $0$ să fie soluție a unei ecuații reciproce?

De ce dau soluții nereale valorile lui $y$ dintre $- 2$ și $2$ ?

Câte soluții reale are ecuația reciprocă $x^{3} + 1 = 0$ ?