Ecuații reciproce

Uită-te un moment doar la coeficienții ecuației $2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$: $2,-9,14,-9,2$. Citiți de la stânga la dreapta sau invers, sunt aceiași. Un șir de numere care se citește la fel în ambele sensuri se numește palindrom — și, exact ca la cuvintele „cojoc" sau „rotator", simetria ascunde o proprietate.

Proprietatea este următoarea: dacă $x_0$ este soluție a unei asemenea ecuații, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este soluție. Rădăcinile vin în perechi de numere inverse unul altuia, iar de aici se naște o metodă de rezolvare elegantă, care coboară gradul de la $4$ la $2$ printr-o singură substituție. Ecuațiile cu această simetrie se numesc reciproce și apar constant în subiectele de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație reciprocă după simetria coeficienților.
• Vei ști să demonstrezi că, dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este — și că $x=0$ nu poate fi niciodată rădăcină.
• Vei ști că orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcina $-1$, și de ce.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile reciproce de gradul al treilea, coborând gradul cu schema lui Horner.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile reciproce de gradul al patrulea, prin împărțire la $x^2$ și substituția $y=x+\frac{1}{x}$.
• Vei ști să deduci relația $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, cheia întregii metode.
• Vei ști ce sunt ecuațiile reciproce de speța a doua și de ce ele au rădăcina $1$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția și recunoașterea

Definiție. O ecuație algebrică $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ se numește reciprocă (de speța întâi) dacă coeficienții egal depărtați de capete sunt egali:

$$a_k=a_{n-k},\text{pentru orice }k\in \{0,1,\dots ,n\}.$$

Concret: $a_0=a_n$, $a_1=a_{n-1}$, $a_2=a_{n-2}$ și așa mai departe.

Exemple: $2x^3-3x^2-3x+2=0$ și $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$ sunt reciproce. Ecuația $x^4-5x^3+8x^2-5x+2=0$ nu este: primul coeficient este $1$, ultimul $2$.

La gradul al patrulea, verificarea are doar două condiții: $a_4=a_0$ și $a_3=a_1$. Coeficientul din mijloc, $a_2$, este „propria lui pereche" și poate fi orice.

2. Proprietatea fundamentală: rădăcinile vin în perechi de inverse

Observație preliminară: $x=0$ nu poate fi rădăcină. Într-adevăr, $f(0)=a_0$, iar $a_0=a_n\ne 0$ (coeficientul dominant este nenul prin definiția gradului). Deci orice rădăcină a unei ecuații reciproce este nenulă — fapt de care ne vom folosi imediat, când vom împărți la $x^2$.

Teoremă. Dacă $x_0$ este rădăcină a unei ecuații reciproce de grad $n$, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este rădăcină.

Demonstrație. Din $f(x_0)=0$, adică $a_n{x}_0^n+a_{n-1}{x}_0^{n-1}+\cdots +a_1{x}_0+a_0=0$, împărțim totul cu $x_0^n$ (avem voie, $x_0\ne 0$):

$$a_n+a_{n-1}\cdot \frac{1}{x_0}+\cdots +a_1\cdot \frac{1}{x_0^{n-1}}+a_0\cdot \frac{1}{x_0^n}=0.$$

Folosim acum simetria $a_k=a_{n-k}$ și citim expresia de la coadă spre cap: ea este exact

$$a_n{\left(\frac{1}{x_0}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{1}{x_0}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\cdot \frac{1}{x_0}+a_0=f\left(\frac{1}{x_0}\right).$$

Prin urmare $f\left(\frac{1}{x_0}\right)=0$. $■$

Consecință folositoare la verificări: dacă ai găsit rădăcina $2$, trebuie să apară și $\frac{1}{2}$. Singurele rădăcini care „își sunt propriul invers" sunt $1$ și $-1$.

3. Gradul al treilea: rădăcina $-1$ apare întotdeauna

O ecuație reciprocă de gradul al treilea are forma

$$a{x}^3+b{x}^2+bx+a=0,a\ne 0.$$

Verificăm direct că $x=-1$ este rădăcină:

$$a(-1{)}^3+b(-1{)}^2+b(-1)+a=-a+b-b+a=0.✓$$

Așadar orice ecuație reciprocă de gradul al treilea are rădăcina $-1$. (Același lucru se întâmplă la orice grad impar: termenii se anulează doi câte doi.)

Împărțind cu $x+1$, obținem identitatea

$$a{x}^3+b{x}^2+bx+a=(x+1)\left[a{x}^2+(b-a)x+a\right],$$

pe care o poți verifica desfăcând parantezele: $a{x}^3+(b-a)x^2+ax+a{x}^2+(b-a)x+a=a{x}^3+b{x}^2+bx+a$ ✓

În practică nu memorezi identitatea: aplici Schema lui Horner cu $c=-1$ și citești câtul de pe linie. Trinomul rămas se rezolvă cu formula cu discriminant, iar cele două rădăcini ale lui au produsul $\frac{a}{a}=1$ — adică sunt inverse una alteia, exact cum prezice teorema.

4. Gradul al patrulea: împărțirea la $x^2$

Aici apare metoda specifică. Fie ecuația reciprocă

$$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0,a\ne 0.$$

De data aceasta $x=-1$ nu mai este, în general, rădăcină (verifică: $a-b+c-b+a=2a-2b+c$, care nu e neapărat zero). Facem altceva: împărțim toată ecuația cu $x^2$.

Avem dreptul, pentru că $x=0$ nu este rădăcină (secțiunea 2), deci nu pierdem nicio soluție:

$$a{x}^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2}=0.$$

Grupăm termenii care se „împerechează":

$$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0.$$

Notăm acum

$$y=x+\frac{1}{x}$$

și avem nevoie să exprimăm $x^2+\frac{1}{x^2}$ prin $y$. Deducerea este pasul-cheie al lecției; ridicăm $y$ la pătrat:

$$y^2={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2},$$

de unde

$$\boxed{x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2}$$

Înlocuind, ecuația devine

$$a\left(y^2-2\right)+by+c=0⟺a{y}^2+by+(c-2a)=0,$$

o ecuație de gradul al doilea în $y$. O rezolvi și obții $y_1$, $y_2$.

5. Întoarcerea de la $y$ la $x$

Pentru fiecare valoare $y_k$ găsită, revenim la substituție:

$$x+\frac{1}{x}=y_k⟺x^2+1=y_{k}x⟺x^2-y_{k}x+1=0.$$

Fiecare dintre aceste ecuații de gradul al doilea dă două rădăcini, deci în total patru — cât gradul ecuației inițiale. Observă că produsul rădăcinilor fiecărei ecuații $x^2-y_{k}x+1=0$ este $1$: perechea de rădăcini este formată din numere inverse, exact ca în teoremă.

Discriminantul este $\Delta =y_k^2-4$, deci:

• dacă $|y_k|>2$, obții două rădăcini reale, inverse una alteia;
• dacă $y_k=\pm 2$, obții $x=\pm 1$, rădăcină dublă;
• dacă $|y_k|<2$, obții două rădăcini complexe conjugate (care sunt, totodată, inverse una alteia).

6. Reciprocele de speța a doua

Definiție. O ecuație se numește reciprocă de speța a doua dacă $a_k=-a_{n-k}$ pentru orice $k$ — coeficienții simetrici sunt opuși.

Exemplu: $x^3+2x^2-2x-1=0$, cu coeficienții $1,2,-2,-1$.

Aici rădăcina „gratuită" este $x=1$: din $a_k=-a_{n-k}$ rezultă că termenii sumei $f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_0$ se anulează doi câte doi. Verificăm pe exemplu: $1+2-2-1=0$ ✓

Metoda este aceeași: cobori gradul cu Horner folosind $c=1$, apoi rezolvi ce rămâne. Pentru exemplul de mai sus, câtul este $x^2+3x+1$, cu $\Delta =9-4=5$, deci $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Reține perechea de reguli: speța întâi, grad impar $\Rightarrow$ rădăcina $-1$; speța a doua $\Rightarrow$ rădăcina $1$.

7. Grade mai mari: se coboară până la gradul al patrulea

Pentru o ecuație reciprocă de gradul al cincilea, $x=-1$ este rădăcină (grad impar). Împărțind cu $x+1$, câtul este el însuși o ecuație reciprocă, dar de gradul al patrulea — pe care o rezolvi cu substituția din secțiunea 4. Strategia generală: gradul impar se reduce prin rădăcina evidentă, gradul par se reduce prin substituție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reciprocă de gradul al treilea

Rezolvați ecuația $2x^3-3x^2-3x+2=0$.

Rezolvare. Coeficienții sunt $2,-3,-3,2$: ecuația este reciprocă de speța întâi, de grad impar, deci $x=-1$ este rădăcină. Verificăm și aplicăm Horner:

Câtul este $2x^2-5x+2$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $x=\frac{5\pm 3}{4}$: rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{-1,2,\frac{1}{2}\right\}$. Verificarea simetriei: $2$ și $\frac{1}{2}$ sunt inverse una alteia ✓, iar $-1$ este propriul său invers ✓

Exemplul 2 — Reciprocă de gradul al treilea, cu rădăcini complexe

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $3x^3+5x^2+5x+3=0$.

Rezolvare. Coeficienții $3,5,5,3$ arată o ecuație reciprocă de grad impar, deci $x=-1$ este rădăcină:

Rămâne $3x^2+2x+3=0$, cu $\Delta =4-36=-32<0$. Cum $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$:

$$x=\frac{-2\pm 4i\sqrt{2}}{6}=\frac{-1\pm 2i\sqrt{2}}{3}.$$

Soluțiile sunt $x\in \left\{-1,\frac{-1+2i\sqrt{2}}{3},\frac{-1-2i\sqrt{2}}{3}\right\}$. Cele două rădăcini complexe sunt conjugate (coeficienți reali) și inverse una alteia: produsul lor este $\frac{3}{3}=1$ ✓

Exemplul 3 — Reciprocă de gradul al patrulea, metoda completă

Rezolvați ecuația $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$.

Rezolvare. Coeficienții $1,-5,8,-5,1$ sunt simetrici, deci ecuația este reciprocă. Cum $a_0=a_4=1\ne 0$, valoarea $x=0$ nu este rădăcină și putem împărți cu $x^2$:

$$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0⟺\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0.$$

Notăm $y=x+\frac{1}{x}$ și folosim $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$:

$$y^2-2-5y+8=0⟺y^2-5y+6=0.$$

Cu $\Delta =25-24=1$ obținem $y=\frac{5\pm 1}{2}$: $y_1=3$, $y_2=2$.

Pentru $y_1=3$: $x^2-3x+1=0$, cu $\Delta =9-4=5$, deci $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Pentru $y_2=2$: $x^2-2x+1=0$, adică $(x-1{)}^2=0$, deci $x=1$, rădăcină dublă.

Soluțiile sunt $x=1$ (dublă), $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ și $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Verificare: produsul ultimelor două este $\frac{9-5}{4}=1$, deci sunt inverse ✓

Descompunere: $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2-3x+1\right)$ ✓

Exemplul 4 — Când apar rădăcini complexe

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0$.

Rezolvare. Ecuația este reciprocă ($1,-3,4,-3,1$). Împărțim cu $x^2$ și notăm $y=x+\frac{1}{x}$:

$$y^2-2-3y+4=0⟺y^2-3y+2=0,$$

cu rădăcinile $y_1=2$ și $y_2=1$.

Pentru $y_1=2$: $x^2-2x+1=0$, deci $x=1$ (dublă).

Pentru $y_2=1$: $x^2-x+1=0$, cu $\Delta =1-4=-3<0$, deci

$$x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

Soluțiile sunt $x=1$ (dublă) și $x_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$. Verificare: $\left|y_2\right|=1<2$, deci era de așteptat ca rădăcinile să fie complexe ✓ Descompunerea peste $\mathbb{R}$: $\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$.

Exemplul 5 — Coeficient dominant diferit de 1

Rezolvați ecuația $6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$.

Rezolvare. Coeficienții $6,-35,62,-35,6$ sunt simetrici. Împărțim cu $x^2$ și grupăm:

$$6\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-35\left(x+\frac{1}{x}\right)+62=0.$$

Cu $y=x+\frac{1}{x}$ și $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$:

$$6\left(y^2-2\right)-35y+62=0⟺6y^2-35y+50=0.$$

$\Delta =1225-1200=25$, deci $y=\frac{35\pm 5}{12}$: $y_1=\frac{10}{3}$, $y_2=\frac{5}{2}$.

Pentru $y_1=\frac{10}{3}$: $x^2-\frac{10}{3}x+1=0$, adică $3x^2-10x+3=0$, cu $\Delta =100-36=64$; rădăcinile sunt $3$ și $\frac{1}{3}$.

Pentru $y_2=\frac{5}{2}$: $2x^2-5x+2=0$, cu $\Delta =9$; rădăcinile sunt $2$ și $\frac{1}{2}$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{3,\frac{1}{3},2,\frac{1}{2}\right\}$ — două perechi de numere inverse, cum trebuie ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie ecuația $2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$. a) Arătați că ecuația este reciprocă și că $x=0$ nu este soluție. b) Rezolvați ecuația în $\mathbb{C}$. c) Descompuneți polinomul asociat în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Coeficienții sunt $2,-9,14,-9,2$; avem $a_4=a_0=2$ și $a_3=a_1=-9$, deci ecuația este reciprocă de speța întâi. Valoarea polinomului în $0$ este termenul liber, adică $2\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție — motiv pentru care putem împărți cu $x^2$.

b) Împărțim cu $x^2$ și grupăm:

$$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0.$$

Cu $y=x+\frac{1}{x}$, deci $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$:

$$2\left(y^2-2\right)-9y+14=0⟺2y^2-9y+10=0.$$

$\Delta =81-80=1$, deci $y=\frac{9\pm 1}{4}$: $y_1=\frac{5}{2}$, $y_2=2$.

Pentru $y_1=\frac{5}{2}$: $2x^2-5x+2=0$, cu rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$.

Pentru $y_2=2$: $x^2-2x+1=0$, deci $x=1$ (dublă).

Soluțiile sunt $x=1$ (dublă), $x=2$ și $x=\frac{1}{2}$.

c) Din cele două ecuații de gradul al doilea:

$$2X^4-9X^3+14X^2-9X+2=\left(X^2-2X+1\right)\left(2X^2-5X+2\right)=(X-1{)}^2(X-2)(2X-1).$$

Toți factorii au gradul întâi, deci descompunerea peste $\mathbb{R}$ este completă ✓

Să exersăm

Verifică de fiecare dată simetria coeficienților înainte de a aplica metoda, iar la final verifică faptul că rădăcinile se grupează în perechi de numere inverse.

1. Care dintre ecuațiile următoare sunt reciproce de speța întâi? a) $2x^3+3x^2+3x+2=0$; b) $x^3+2x^2+3x+4=0$; c) $x^4+x^3+x^2+x+1=0$; d) $3x^4-x^3+5x^2-x+3=0$.

2. Arată că $x=-1$ este rădăcină a ecuației $2x^3+3x^2+3x+2=0$, apoi rezolv-o în $\mathbb{C}$.

3. Rezolvă ecuația $x^3-4x^2-4x+1=0$.

4. Rezolvă ecuația $x^3+3x^2+3x+1=0$ și precizează ordinul de multiplicitate al rădăcinii.

5. Pornind de la ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2$, deduce relația $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, unde $y=x+\frac{1}{x}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $0$ poate fi rădăcină a unei ecuații reciproce."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $3$ este rădăcină a unei ecuații reciproce, atunci și $\frac{1}{3}$ este rădăcină."

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0$.

9. Rezolvă ecuația $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$.

10. Rezolvă ecuația $x^4-6x^3+11x^2-6x+1=0$ și precizează ordinele de multiplicitate.

11. Explică, în două rânduri, de ce împărțirea cu $x^2$ este permisă la o ecuație reciprocă de gradul al patrulea.

12. Rezolvă ecuația $3x^3-7x^2-7x+3=0$.

13. (Problemă aplicată.) Un raport de amplificare $r>1$ dintr-un circuit satisface, împreună cu inversul său, relația $r+\frac{1}{r}=\frac{5}{2}$. Scrie ecuația de gradul al doilea verificată de $r$ și află valoarea lui. Ce ecuație reciprocă de gradul al patrulea are $r$ și $\frac{1}{r}$ printre rădăcini, dacă celelalte două rădăcini sunt $1$ și $1$?

14. Ecuația $x^3+2x^2-2x-1=0$ este reciprocă de speța a doua. Arată că $x=1$ este rădăcină și rezolv-o complet.

15. Verifică faptul că ecuația $3x^4-10x^3+6x^2-10x+3=0$ este reciprocă, apoi rezolv-o în $\mathbb{C}$.

16. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât ecuația reciprocă $x^4+m{x}^3+6x^2+mx+1=0$ să aibă rădăcina $x=1$, apoi rezolvă complet ecuația obținută.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie ecuația $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$. a) Arătați că ecuația este reciprocă. b) Rezolvați ecuația în $\mathbb{R}$. c) Verificați că rădăcinile se grupează în perechi de numere inverse.

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ prin metoda reciprocelor, apoi arată că rădăcinile ei sunt exact rădăcinile de ordinul $5$ ale unității diferite de $1$, folosind identitatea $(x-1)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=x^5-1$.

Răspunsuri și explicații

1. Reciproce de speța întâi sunt a) ($2,3,3,2$), c) ($1,1,1,1,1$) și d) ($3,-1,5,-1,3$). La b), coeficienții $1,2,3,4$ nu sunt simetrici.

2. $2(-1{)}^3+3(-1{)}^2+3(-1)+2=-2+3-3+2=0$ ✓ Horner cu $c=-1$ dă linia $2,1,2,0$, deci câtul este $2x^2+x+2$, cu $\Delta =1-16=-15<0$; rădăcinile sunt $x=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4}$. Soluții: $\left\{-1,\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4}\right\}$.

3. Ecuația este reciprocă de grad impar, deci $x=-1$ este rădăcină. Horner cu $c=-1$ dă $1,-5,1,0$, deci câtul este $x^2-5x+1$, cu $\Delta =25-4=21$; rădăcinile sunt $\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$ (produsul lor este $1$ ✓). Soluții: $\left\{-1,\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right\}$.

4. Coeficienții $1,3,3,1$ dau $x^3+3x^2+3x+1=(x+1{)}^3$. Singura rădăcină este $x=-1$, cu ordinul de multiplicitate $3$.

5. ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}$. Cum membrul stâng este $y^2$, rezultă $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$.

6. Fals. Valoarea polinomului în $0$ este termenul liber $a_0$, iar la o ecuație reciprocă $a_0=a_n\ne 0$. Deci $f(0)\ne 0$ și $x=0$ nu poate fi rădăcină.

7. Adevărat. Este chiar teorema din secțiunea 2: împărțind $f(x_0)=0$ cu $x_0^n$ și folosind simetria coeficienților, se obține $f\left(\frac{1}{x_0}\right)=0$.

8. Împărțim cu $x^2$: $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0$, deci $y^2-2-4y+5=0$, adică $y^2-4y+3=0$, cu $y_1=3$, $y_2=1$. Din $x^2-3x+1=0$: $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Din $x^2-x+1=0$ ($\Delta =-3$): $x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$.

9. $y^2-2+y-4=0$, adică $y^2+y-6=0$, cu $y_1=2$, $y_2=-3$. Din $x^2-2x+1=0$: $x=1$ (dublă). Din $x^2+3x+1=0$ ($\Delta =5$): $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

10. $y^2-2-6y+11=0$, adică $y^2-6y+9=0$, deci $y=3$ este rădăcină dublă. Din $x^2-3x+1=0$ obținem $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$: $x^4-6x^3+11x^2-6x+1={\left(x^2-3x+1\right)}^2$.

11. Pentru că $x=0$ nu este soluție: $f(0)=a_0=a_4\ne 0$. Împărțind cu $x^2$ nu pierdem nicio rădăcină și obținem o ecuație echivalentă.

12. Ecuația este reciprocă de grad impar, deci $x=-1$ este rădăcină. Horner cu $c=-1$ dă $3,-10,3,0$, deci câtul este $3x^2-10x+3$, cu $\Delta =100-36=64$; rădăcinile sunt $\frac{10\pm 8}{6}$, adică $3$ și $\frac{1}{3}$. Soluții: $\left\{-1,3,\frac{1}{3}\right\}$.

13. Din $r+\frac{1}{r}=\frac{5}{2}$ obținem $2r^2-5r+2=0$, cu $\Delta =9$ și rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$; cum $r>1$, avem $r=2$. Ecuația reciprocă de gradul al patrulea cu rădăcinile $2$, $\frac{1}{2}$, $1$, $1$ este $\left(2x^2-5x+2\right)\left(x^2-2x+1\right)=0$, adică $2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$ — chiar ecuația din Exemplul 6.

14. Coeficienții sunt $1,2,-2,-1$, deci $a_k=-a_{3-k}$: speța a doua. $f(1)=1+2-2-1=0$ ✓ Horner cu $c=1$ dă $1,3,1,0$, deci câtul este $x^2+3x+1$, cu $\Delta =5$; rădăcinile sunt $\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$. Soluții: $\left\{1,\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

15. Coeficienții $3,-10,6,-10,3$ sunt simetrici ✓ Împărțind cu $x^2$: $3\left(y^2-2\right)-10y+6=0$, adică $3y^2-10y=0$, deci $y\left(3y-10\right)=0$: $y_1=0$, $y_2=\frac{10}{3}$. Din $x^2+1=0$: $x=\pm i$. Din $3x^2-10x+3=0$: $x=3$ și $x=\frac{1}{3}$. Soluții: $\{i,-i,3,\frac{1}{3}\}$ (observă că $\frac{1}{i}=-i$, deci și perechea imaginară e formată din inverse ✓).

16. $f(1)=1+m+6+m+1=2m+8=0\Rightarrow m=-4$. Ecuația devine $x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0$, adică $(x-1{)}^4=0$ (coeficienții sunt cei din triunghiul lui Pascal, cu semne alternate). Singura soluție este $x=1$, cu ordinul de multiplicitate $4$.

17. a) Coeficienții sunt $6,5,-38,5,6$: $a_4=a_0=6$ și $a_3=a_1=5$ ✓ b) Împărțind cu $x^2$: $6\left(y^2-2\right)+5y-38=0$, adică $6y^2+5y-50=0$, cu $\Delta =25+1200=1225$ și $\sqrt{\Delta }=35$; deci $y=\frac{-5\pm 35}{12}$: $y_1=\frac{5}{2}$, $y_2=-\frac{10}{3}$. Din $2x^2-5x+2=0$: $x=2$ și $x=\frac{1}{2}$. Din $3x^2+10x+3=0$ ($\Delta =64$): $x=-\frac{1}{3}$ și $x=-3$. Soluții: $\left\{2,\frac{1}{2},-3,-\frac{1}{3}\right\}$. c) $2\cdot \frac{1}{2}=1$ ✓ și $(-3)\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=1$ ✓

18. Împărțind cu $x^2$: $y^2-2+y+1=0$, adică $y^2+y-1=0$, cu $\Delta =5$ și $y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$. Ambele valori au modulul mai mic decât $2$, deci fiecare ecuație $x^2-yx+1=0$ are $\Delta =y^2-4<0$: în total patru rădăcini nereale. Din identitatea $(x-1)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=x^5-1$ rezultă că orice rădăcină verifică $x^5=1$ și este diferită de $1$ (căci $1$ ar da $5\ne 0$): sunt exact cele patru rădăcini de ordinul $5$ ale unității diferite de $1$, studiate la Rădăcinile unității și poligoanele regulate.

De reținut

• O ecuație este reciprocă de speța întâi dacă $a_k=a_{n-k}$ — coeficienții formează un palindrom. La speța a doua, $a_k=-a_{n-k}$.
• $x=0$ nu este niciodată rădăcină ($f(0)=a_0=a_n\ne 0$), iar dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este: rădăcinile vin în perechi de numere inverse.
• Grad impar, speța întâi $\Rightarrow$ rădăcina $-1$; speța a doua $\Rightarrow$ rădăcina $1$. Cobori gradul cu schema lui Horner.
• Gradul al patrulea: împarți cu $x^2$ (ai voie, $x\ne 0$), notezi $y=x+\frac{1}{x}$ și folosești $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$; ecuația devine $a{y}^2+by+(c-2a)=0$.
• Întoarcerea: pentru fiecare $y_k$ rezolvi $x^2-y_{k}x+1=0$, cu $\Delta =y_k^2-4$. Produsul rădăcinilor fiecărei perechi este $1$.

Greșeli frecvente

• Aplicarea metodei la ecuații care nu sunt reciproce. Verifică întâi $a_0=a_n$ și $a_1=a_{n-1}$; fără simetrie, substituția nu duce nicăieri.
• Uitarea lui $-2$ din formula $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$. Este greșeala cea mai frecventă; refă mereu deducerea prin ridicarea la pătrat.
• Oprirea la valorile lui $y$. Ca la ecuațiile bipătrate, $y_1$ și $y_2$ nu sunt soluții; trebuie rezolvate ecuațiile $x^2-y_{k}x+1=0$.
• Împărțirea cu $x^2$ fără justificare. Baremul cere mențiunea „$x=0$ nu este soluție, deoarece $a_0\ne 0$"; fără ea se pierde punctaj.
• Confuzia dintre cele două spețe. La speța întâi de grad impar rădăcina evidentă este $-1$; la speța a doua este $1$.

Aplică acasă

1. Fabrica de ecuații reciproce. Alege o pereche de numere inverse ($4$ și $\frac{1}{4}$) și încă una ($1$ și $1$). Formează polinomul $\left(4x^2-17x+4\right)\left(x^2-2x+1\right)$, desfă parantezele și verifică faptul că lista coeficienților este un palindrom.

2. Palindroame în jurul tău. Caută cinci cuvinte-palindrom în română („cojoc", „rotator", „capac"…) și scrie alături câte o ecuație reciprocă de gradul al patrulea. Rezolvă una dintre ele complet.

3. Verificare digitală. Într-un instrument de calcul online, cere rădăcinile ecuației $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$ și compară cu rezolvarea ta de la Exemplul 3. Verifică apoi, cu calculatorul de buzunar, că produsul rădăcinilor $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ și $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ este exact $1$.

Pentru părinți și profesori

Ecuațiile reciproce încheie capitolul de polinoame al clasei a X-a și sunt cerute nominal de programa de matematică-informatică. Valoarea lor formativă este metoda: o simetrie structurală a coeficienților se traduce într-o simetrie a rădăcinilor, iar aceasta permite o substituție care înjumătățește gradul.

Ce verifică lecția: recunoașterea simetriei coeficienților, justificarea faptului că $x=0$ nu este soluție (condiție pentru împărțirea cu $x^2$), deducerea relației $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, întoarcerea corectă de la $y$ la $x$ și distincția dintre cele două spețe. Întrebări bune de control: „De ce are voie să împartă cu $x^2$?", „Ce rădăcină are automat o ecuație reciprocă de gradul al treilea?", „Dacă $5$ este rădăcină, ce altă rădăcină există sigur?".

Semne că elevul a înțeles: verifică simetria înainte de a începe, rededuce relația cu $y^2-2$ în loc să o memoreze și controlează rezultatul prin perechile de numere inverse. La Bacalaureat M1, cerința tipică are trei subpuncte: justificarea caracterului reciproc, rezolvarea prin substituție și descompunerea polinomului în factori — exact structura Exemplului 6.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație reciprocă? O ecuație algebrică ai cărei coeficienți egal depărtați de capete sunt egali: $a_k=a_{n-k}$, ca un palindrom. Dacă acei coeficienți sunt opuși ($a_k=-a_{n-k}$), ecuația e reciprocă de speța a doua.

Cum recunosc rapid o ecuație reciprocă de gradul al patrulea? Verifici două egalități: coeficientul lui $x^4$ egal cu termenul liber și coeficientul lui $x^3$ egal cu cel al lui $x$. Coeficientul lui $x^2$ poate fi orice.

De ce dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este? Pentru că, împărțind egalitatea $f(x_0)=0$ cu $x_0^n$ și folosind simetria coeficienților, expresia obținută este chiar $f\left(\frac{1}{x_0}\right)$. Împărțirea e permisă pentru că $x_0\ne 0$.

De ce ecuațiile reciproce de gradul al treilea au rădăcina $-1$? Pentru că, înlocuind $x=-1$ în $a{x}^3+b{x}^2+bx+a$, termenii se anulează doi câte doi: $-a+b-b+a=0$. Același lucru se întâmplă la orice grad impar, la speța întâi.

Cum rezolv o ecuație reciprocă de gradul al patrulea? Împarți ecuația cu $x^2$ (ai voie, pentru că $x=0$ nu e soluție), grupezi termenii și notezi $y=x+\frac{1}{x}$. Folosind $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, obții o ecuație de gradul al doilea în $y$, apoi rezolvi $x^2-y_{k}x+1=0$ pentru fiecare valoare găsită.

De unde vine relația $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$? Din ridicarea la pătrat: ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$, pentru că termenul din mijloc este $2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=2$. Scăzând $2$ se obține relația.

De ce trebuie să spun că $x=0$ nu este soluție? Pentru că altfel împărțirea cu $x^2$ nu este justificată, iar baremul acordă punctaj separat. Argumentul: $f(0)=a_0=a_n\ne 0$.

Ce fac la o ecuație reciprocă de gradul al cincilea? Fiind de grad impar, are rădăcina $-1$. Cobori gradul cu Horner, iar câtul este tot o ecuație reciprocă, de gradul al patrulea, pe care o rezolvi cu substituția $y=x+\frac{1}{x}$.