Ecuații reciproce de gradul 3 și 4 (M2, științe ale naturii)

Uită-te la șirul de coeficienți $5$, $-21$, $-21$, $5$: citit de la stânga la dreapta sau invers, e același. Aceeași simetrie o are $18$, $-63$, $88$, $-63$, $18$. Ecuațiile construite pe astfel de șiruri se numesc reciproce, iar simetria nu e un capriciu de scriere: ea are drept consecință faptul că soluțiile vin în perechi de numere inverse, iar de acolo iese o metodă care coboară gradul fără nicio ghicire. În lecția aceasta, de clasa a 12-a, de la profilul științe ale naturii (M2), o ecuație de gradul al patrulea — care în general nu se rezolvă cu formule — devine două ecuații de gradul al doilea; tema se cere la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Tema face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen, cea din 2014, cere explicit „ecuații reciproce" la capitolul de polinoame al clasei a XII-a, în timp ce programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are acest capitol. Dacă dai examenul într-una dintre cele trei sesiuni, lecția e materie de examen; altfel, ea rămâne lectură utilă.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație reciprocă dintr-o privire, citind șirul coeficienților în ambele sensuri.
• Vei ști să arăți că soluțiile vin în perechi de numere inverse și că $0$ nu poate fi soluție.
• Vei ști să rezolvi orice reciprocă de gradul al treilea, pornind de la soluția $-1$, care apare întotdeauna.
• Vei ști să rezolvi orice reciprocă de gradul al patrulea, împărțind cu $x^2$ și notând $y=x+\frac{1}{x}$.
• Vei ști să întorci substituția corect, rezolvând $x^2-yx+1=0$ pentru fiecare valoare a lui $y$.
• Vei ști să prezici, din valoarea lui $y$, dacă ramura respectivă dă soluții reale sau nereale.

Hai să descoperim împreună

1. Cum recunoști o ecuație reciprocă?

Ecuația reciprocă (de speța întâi) este ecuația algebrică $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ ai cărei coeficienți sunt simetrici față de mijloc, adică $a_k=a_{n-k}$ pentru orice $k$, iar $a_n\ne 0$.

La gradul al treilea condiția înseamnă $a_3=a_0$ și $a_2=a_1$, deci forma este $a{x}^3+b{x}^2+bx+a=0$. La gradul al patrulea înseamnă $a_4=a_0$ și $a_3=a_1$, deci forma este $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$, coeficientul din mijloc fiind liber.

Recunoașterea se face scriind șirul coeficienților și citindu-l invers: $7$, $9$, $9$, $7$ este simetric, $1$, $2$, $3$, $4$ nu. Atenție la coeficienții care lipsesc: în $x^4-7x+1=0$ șirul este $1$, $0$, $0$, $-7$, $1$, iar el nu este simetric, fiindcă $0\ne -7$.

Observă imediat o consecință a definiției: $a_0=a_n\ne 0$, deci termenul liber nu este nul. Cum valoarea polinomului în $0$ este chiar termenul liber, rezultă că $x=0$ nu poate fi soluție a niciunei ecuații reciproce. Vom folosi acest lucru la gradul al patrulea.

2. De ce vin soluțiile în perechi de inverse?

Fie $x_0\ne 0$ o soluție, deci $a_n{x}_0^n+a_{n-1}{x}_0^{n-1}+\cdots +a_0=0$. Împărțim toată egalitatea cu $x_0^n$, ceea ce e permis fiindcă $x_0\ne 0$:

$$a_n+a_{n-1}\cdot \frac{1}{x_0}+\cdots +a_0\cdot \frac{1}{x_0^n}=0$$

Privește acum ce am obținut, citind de la dreapta spre stânga: e o sumă în care $\frac{1}{x_0}$ apare la puterile $n$, $n-1$, …, $1$, $0$, înmulțită cu coeficienții $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ — adică exact cu șirul inițial citit invers. Cum ecuația e reciprocă, șirul citit invers este același, deci egalitatea de mai sus spune tocmai că $\frac{1}{x_0}$ este soluție.

Proprietatea de bază. Dacă $x_0$ este soluție a unei ecuații reciproce, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este soluție.

Două numere își sunt propriul invers: $1$ și $-1$. Ele sunt singurele soluții care nu vin însoțite de o alta distinctă, iar asta explică rolul special pe care $-1$ îl are la gradul impar.

3. Gradul al treilea: soluția $-1$ apare întotdeauna

Ia forma generală $a{x}^3+b{x}^2+bx+a=0$ și înlocuiește $x=-1$:

$$a(-1{)}^3+b(-1{)}^2+b(-1)+a=-a+b-b+a=0$$

Rezultatul este nul oricare ar fi $a$ și $b$: termenii se anulează doi câte doi, fiindcă puterile pare și cele impare se succedă, iar coeficienții sunt egali în oglindă. Deci orice reciprocă de gradul al treilea are soluția $-1$, gratis, fără nicio căutare. Restul se obține împărțind cu $x+1$, prin schema lui Horner de la Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner.

Vezi pe $5x^3-21x^2-21x+5=0$. Coeficienții $5$, $-21$, $-21$, $5$ sunt simetrici, deci $-1$ este soluție. Horner cu $c=-1$:

Câtul este $5x^2-26x+5$, cu $\Delta =676-100=576$ și $\sqrt{\Delta }=24$, deci $x=\frac{26\pm 24}{10}$: soluțiile $5$ și $\frac{1}{5}$.

Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,5,\frac{1}{5}\right\}$. Proba simetriei: $5$ și $\frac{1}{5}$ sunt inverse una alteia, iar $-1$ își este propriul invers.

Reține și forma câtului: la Horner cu $-1$, din $a$, $b$, $b$, $a$ iese linia $a$, $b-a$, $a$ — deci câtul este tot un trinom cu coeficienți simetrici, $a{x}^2+(b-a)x+a$. E o verificare instantanee: dacă primul și ultimul coeficient al câtului nu sunt egali, ai greșit undeva.

4. Gradul al patrulea: împărțirea cu $x^2$

La $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ nu mai există o soluție gratuită, iar formulele pentru gradul al patrulea nu fac parte din programă. Metoda folosește tocmai simetria.

Cum $x=0$ nu este soluție (secțiunea 1), putem împărți toată ecuația cu $x^2$ fără să pierdem sau să câștigăm ceva:

$$a{x}^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2}=0$$

Grupăm termenii care au același coeficient:

$$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$$

Aici intervine notația care rezolvă totul. Punem

$$y=x+\frac{1}{x}$$

și observăm că $y^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}$, deci

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$

Înlocuind, ecuația devine $a\left(y^2-2\right)+by+c=0$, adică

$$a{y}^2+by+(c-2a)=0,$$

o ecuație de gradul al doilea în $y$. Observă cum se formează coeficienții: $a$ și $b$ rămân, iar din $c$ se scade $2a$. Aceasta e toată transformarea; restul e rutină de clasa a IX-a.

5. Întoarcerea de la $y$ la $x$ și semnul care o anunță

Ecuația în $y$ dă două valori, $y_1$ și $y_2$. Fiecare se întoarce în relația de definiție: din $x+\frac{1}{x}=y$, înmulțind cu $x$, rezultă

$$x^2-yx+1=0$$

Deci fiecare valoare a lui $y$ dă câte două soluții pentru $x$; în total patru, cât gradul ecuației. Iar produsul celor două soluții ale unei ramuri este $1$ — tocmai perechea de inverse anunțată în secțiunea 2.

Discriminantul acestei ecuații este $\Delta =y^2-4$, iar semnul lui se citește dintr-o privire:

• dacă $|y|>2$, atunci $\Delta >0$ și ramura dă două soluții reale, inverse una alteia;
• dacă $|y|<2$, atunci $\Delta <0$ și ramura dă două soluții nereale, conjugate — și, în același timp, inverse.

Regula are și o citire inversă, utilă: pentru $x$ real și nenul, valoarea $y=x+\frac{1}{x}$ nu poate fi orice număr. Ea este întotdeauna în afara intervalului $(-2,2)$, fiindcă altfel ecuația $x^2-yx+1=0$ nu ar avea soluții reale. Așadar suma dintre un număr real nenul și inversul lui are modulul cel puțin $2$.

6. Ce nu tratăm aici: reciprocele de speța a doua

Definiția din secțiunea 1 cere $a_k=a_{n-k}$ și se numește speța întâi. Există și ecuații cu coeficienți antisimetrici, $a_k=-a_{n-k}$, numite reciproce de speța a doua; la ele soluția care apare din oficiu este $+1$, nu $-1$. Programa de examen M2 cere doar rândul „ecuații reciproce", iar lecția de față acoperă exact cele două cazuri pe care le poți rezolva cu uneltele de până acum: gradul al treilea, prin soluția $-1$, și gradul al patrulea, prin substituția $y$, amândouă de speța întâi. Speța a doua se studiază la mate-info; unde anume, scrie în întrebările frecvente. În toate exercițiile lecției, ecuațiile sunt de speța întâi.

7. Ordinea pașilor, pe scurt

La gradul al treilea: verifici simetria; scrii $-1$ ca soluție; aplici Horner cu $-1$; rezolvi trinomul rămas; verifici că soluțiile lui sunt inverse una alteia.

La gradul al patrulea: verifici simetria; împarți cu $x^2$ și grupezi; scrii ecuația $a{y}^2+by+(c-2a)=0$; rezolvi în $y$; pentru fiecare $y$ rezolvi $x^2-yx+1=0$; numeri patru soluții și verifici că produsul fiecărei perechi este $1$.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce". Rândul dinaintea lui, „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult $4$", dă uneltele de verificare pe care le folosim la final.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu, timpul de lucru este de trei ore, iar cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al II-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte; a doua problemă este acolo despre un polinom, iar de structuri algebrice nu e vorba nicăieri în acel model — ele stau în programa din 2014, iar ipoteza de divizibilitate a problemei de polinoame se ivește abia la al treilea punct. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Gradul al treilea, cu soluții raționale

Rezolvă ecuația $7x^3-43x^2-43x+7=0$.

Rezolvare. Șirul coeficienților este $7$, $-43$, $-43$, $7$: simetric, deci ecuația este reciprocă de grad impar și $x=-1$ este soluție. Verificăm și coborâm gradul cu Horner:

Câtul $7x^2-50x+7$ are primul și ultimul coeficient egali, cum trebuie. Discriminantul este $2500-196=2304$, iar $\sqrt{2304}=48$, deci $x=\frac{50\pm 48}{14}$: soluțiile $7$ și $\frac{1}{7}$.

Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,7,\frac{1}{7}\right\}$. Proba: $7\cdot \frac{1}{7}=1$.

Exemplul 2 — Gradul al treilea, cu soluții nereale

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $5x^3+3x^2+3x+5=0$.

Rezolvare. Coeficienții $5$, $3$, $3$, $5$ sunt simetrici, deci $x=-1$ este soluție. Horner:

Rămâne $5x^2-2x+5=0$, cu $\Delta =4-100=-96$. Cum $96=16\cdot 6$, avem $\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ și

$$x=\frac{2\pm 4i\sqrt{6}}{10}=\frac{1\pm 2i\sqrt{6}}{5}$$

Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,\frac{1+2i\sqrt{6}}{5},\frac{1-2i\sqrt{6}}{5}\right\}$. Cele două soluții nereale sunt conjugate, fiindcă ecuația are coeficienți reali, și inverse una alteia: produsul lor este $\frac{5}{5}=1$.

Exemplul 3 — Gradul al patrulea, metoda completă

Rezolvă ecuația $x^4-17x^3+72x^2-17x+1=0$.

Rezolvare. Coeficienții $1$, $-17$, $72$, $-17$, $1$ sunt simetrici. Termenul liber este $1\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție și putem împărți cu $x^2$:

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-17\left(x+\frac{1}{x}\right)+72=0$$

Cu $y=x+\frac{1}{x}$ și $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ obținem $y^2-2-17y+72=0$, adică

$$y^2-17y+70=0$$

Discriminantul este $289-280=9$, deci $y=\frac{17\pm 3}{2}$: $y_1=10$ și $y_2=7$. Amândouă au modulul mai mare decât $2$, deci ambele ramuri vor da soluții reale.

Pentru $y_1=10$: $x^2-10x+1=0$, cu $\Delta =100-4=96$ și $\sqrt{96}=4\sqrt{6}$, deci $x=\frac{10\pm 4\sqrt{6}}{2}=5\pm 2\sqrt{6}$.

Pentru $y_2=7$: $x^2-7x+1=0$, cu $\Delta =49-4=45$ și $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, deci $x=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Mulțimea soluțiilor este $\left\{5+2\sqrt{6},5-2\sqrt{6},\frac{7+3\sqrt{5}}{2},\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right\}$. Proba: $\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)=25-24=1$ și $\frac{49-45}{4}=1$.

Exemplul 4 — Gradul al patrulea, cu toate soluțiile nereale

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $15x^4+2x^3+6x^2+2x+15=0$.

Rezolvare. Coeficienții $15$, $2$, $6$, $2$, $15$ sunt simetrici. Împărțim cu $x^2$ și grupăm:

$$15\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$$

Cu $y=x+\frac{1}{x}$: $15\left(y^2-2\right)+2y+6=0$, adică $15y^2+2y-24=0$. Discriminantul este $4+1440=1444$, iar $\sqrt{1444}=38$, deci $y=\frac{-2\pm 38}{30}$: $y_1=\frac{6}{5}$ și $y_2=-\frac{4}{3}$.

Amândouă au modulul mai mic decât $2$, deci — după regula din secțiunea 5 — toate cele patru soluții vor fi nereale.

Pentru $y_1=\frac{6}{5}$: $x^2-\frac{6}{5}x+1=0$, adică $5x^2-6x+5=0$, cu $\Delta =36-100=-64$, deci $x=\frac{6\pm 8i}{10}=\frac{3\pm 4i}{5}$.

Pentru $y_2=-\frac{4}{3}$: $x^2+\frac{4}{3}x+1=0$, adică $3x^2+4x+3=0$, cu $\Delta =16-36=-20$, deci $x=\frac{-4\pm 2i\sqrt{5}}{6}=\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}$.

Mulțimea soluțiilor este $\left\{\frac{3+4i}{5},\frac{3-4i}{5},\frac{-2+i\sqrt{5}}{3},\frac{-2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$. Proba pe prima pereche: $\frac{9+16}{25}=1$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Ecuația $8x^3-57x^2-57x+8=0$ este reciprocă, deci are soluția $x=1$. Într-adevăr, coeficienții sunt simetrici, iar soluțiile vin în perechi de inverse, iar $1$ este propriul său invers." Unde a greșit și cum arată rezolvarea corectă?

Rezolvare. Greșeala e la concluzie, nu la observație. E adevărat că $1$ este propriul său invers, dar asta nu îl face soluție: proprietatea spune că, dacă un număr este soluție, atunci și inversul lui este, nu că numerele care coincid cu inversul lor sunt soluții. Proba e imediată: $8-57-57+8=-98\ne 0$, deci $1$ nu este soluție.

Ce apare din oficiu la gradul impar este $-1$, iar motivul e calculul din secțiunea 3, în care puterile impare aduc semnul minus: $-8-57+57+8=0$. Aplicăm Horner cu $c=-1$:

Câtul $8x^2-65x+8=0$ are $\Delta =4225-256=3969$, iar $\sqrt{3969}=63$, deci $x=\frac{65\pm 63}{16}$: soluțiile $8$ și $\frac{1}{8}$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{-1,8,\frac{1}{8}\right\}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră ecuația $18x^4-63x^3+88x^2-63x+18=0$.

a) Arată că ecuația este reciprocă și că $x=0$ nu este soluție.

b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$.

c) Arată că produsul tuturor soluțiilor este $1$ și confruntă rezultatul cu relația lui Viète.

Rezolvare. a) Coeficienții sunt $18$, $-63$, $88$, $-63$, $18$: avem $a_4=a_0=18$ și $a_3=a_1=-63$, deci ecuația este reciprocă. Valoarea polinomului în $0$ este termenul liber, adică $18\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție — motiv pentru care împărțirea cu $x^2$ este permisă.

b) Împărțim cu $x^2$ și grupăm:

$$18\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-63\left(x+\frac{1}{x}\right)+88=0$$

Cu $y=x+\frac{1}{x}$: $18\left(y^2-2\right)-63y+88=0$, adică $18y^2-63y+52=0$. Discriminantul este $3969-3744=225$, iar $\sqrt{225}=15$, deci $y=\frac{63\pm 15}{36}$: $y_1=\frac{13}{6}$ și $y_2=\frac{4}{3}$.

Pentru $y_1=\frac{13}{6}$: $6x^2-13x+6=0$, cu $\Delta =169-144=25$, deci $x=\frac{13\pm 5}{12}$: soluțiile $\frac{3}{2}$ și $\frac{2}{3}$.

Pentru $y_2=\frac{4}{3}$: $3x^2-4x+3=0$, cu $\Delta =16-36=-20$, deci $x=\frac{4\pm 2i\sqrt{5}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{5}}{3}$.

Mulțimea soluțiilor este $\left\{\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{2+i\sqrt{5}}{3},\frac{2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$.

c) Produsul pe perechi: $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=1$ și $\frac{4+5}{9}=1$, deci produsul tuturor este $1\cdot 1=1$. Relația lui Viète pentru gradul al patrulea cere ca produsul să fie $\frac{a_0}{a_4}=\frac{18}{18}=1$.

Să exersăm

1. Care dintre ecuațiile următoare sunt reciproce? a) $3x^3-8x^2-8x+3=0$; b) $x^4+2x^3+5x^2+2x+4=0$; c) $9x^4-4x^3+7x^2-4x+9=0$; d) $3x^4+x^3-x+3=0$.

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă ecuația $9x^3-73x^2-73x+9=0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $7x^3+9x^2+9x+7=0$.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $13x^3+3x^2+3x+13=0$.

5. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $4x^3+9x^2+9x+4=0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $35x^4-76x^3+102x^2-76x+35=0$ are cel puțin o soluție reală.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $3x^4+11x^3-36x^2+11x+3=0$ are patru soluții reale.

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $5x^4-51x^3-34x^2-51x+5=0$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $4x^4+61x^3+195x^2+61x+4=0$.

10. Fără să rezolvi ecuația de la exercițiul 8, calculează suma și produsul tuturor soluțiilor ei, folosind relațiile lui Viète.

11. Arată că $x=-1$ este soluție a ecuației $2x^3+m{x}^2+mx+2=0$ pentru orice număr real $m$, apoi rezolvă complet ecuația pentru $m=9$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $2x^4-37x^3+130x^2-37x+2=0$. a) Arată că ecuația este reciprocă și scrie ecuația în $y$ la care conduce substituția $y=x+\frac{1}{x}$. b) Rezolvă ecuația. c) Verifică faptul că soluțiile se grupează în două perechi de numere inverse.

13. (Problemă aplicată.) Într-un montaj optic, raportul $k>1$ dintre două distanțe și inversul lui verifică relația $k+\frac{1}{k}=\frac{101}{10}$. Scrie ecuația de gradul al doilea verificată de $k$, află valoarea lui și precizează de ce cealaltă rădăcină nu poate fi răspunsul. Scrie apoi ecuația reciprocă de gradul al treilea, cu coeficientul dominant $10$, care are printre soluții pe $k$ și pe $\frac{1}{k}$.

14. Clasifică fiecare dintre ecuațiile următoare drept binomă, bipătrată sau reciprocă și precizează, pentru fiecare, ce notație sau ce soluție de oficiu folosești: a) $x^4=81$; b) $x^4-9x^2+14=0$; c) $6x^4-13x^3+6x^2-13x+6=0$; d) $5x^3-7x^2-7x+5=0$.

15. Scrie ecuația reciprocă de gradul al treilea, cu coeficientul dominant $6$, care are printre soluții numărul $\frac{1}{6}$, apoi rezolv-o complet.

16. Verifică pe ecuația de la exercițiul 9 formula $a{y}^2+by+(c-2a)=0$ și explică în două rânduri de ce termenul din mijloc scade tocmai cu $2a$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $3x^4-41x^3+32x^2-41x+3=0$. a) Arată că $x=0$ nu este soluție. b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$. c) Precizează câte soluții reale are ecuația și justifică folosind valorile lui $y$.

18. (Provocare.) Arată că o ecuație reciprocă de gradul al patrulea cu coeficienți reali nu poate avea exact trei soluții reale.

Răspunsuri și explicații

1. Reciproce sunt a) (șirul $3$, $-8$, $-8$, $3$) și c) (șirul $9$, $-4$, $7$, $-4$, $9$). La b) șirul este $1$, $2$, $5$, $2$, $4$, iar $1\ne 4$. La d) șirul complet este $3$, $1$, $0$, $-1$, $3$: capetele coincid, dar $1\ne -1$, deci simetria se rupe la al doilea coeficient — semn că nu e destul să compari primul cu ultimul.

2. Șirul $9$, $-73$, $-73$, $9$ este simetric, deci $x=-1$ este soluție. Horner cu $c=-1$ dă linia $9$, $-82$, $9$, deci câtul este $9x^2-82x+9$, cu $\Delta =6724-324=6400$ și $\sqrt{\Delta }=80$; rezultă $x=\frac{82\pm 80}{18}$, adică $9$ și $\frac{1}{9}$. Soluții: $\left\{-1,9,\frac{1}{9}\right\}$.

3. Șirul $7$, $9$, $9$, $7$ este simetric, deci $-1$ este soluție. Horner dă $7$, $2$, $7$, deci câtul este $7x^2+2x+7$, cu $\Delta =4-196=-192$; cum $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$, obținem $x=\frac{-2\pm 8i\sqrt{3}}{14}=\frac{-1\pm 4i\sqrt{3}}{7}$. Soluții: $\left\{-1,\frac{-1+4i\sqrt{3}}{7},\frac{-1-4i\sqrt{3}}{7}\right\}$.

4. Horner cu $-1$ pe $13$, $3$, $3$, $13$ dă $13$, $-10$, $13$, deci câtul este $13x^2-10x+13$, cu $\Delta =100-676=-576$ și $\sqrt{576}=24$; rezultă $x=\frac{10\pm 24i}{26}=\frac{5\pm 12i}{13}$. Soluții: $\left\{-1,\frac{5+12i}{13},\frac{5-12i}{13}\right\}$. Produsul celor două nereale este $\frac{25+144}{169}=1$.

5. Horner cu $-1$ pe $4$, $9$, $9$, $4$ dă $4$, $5$, $4$, deci câtul este $4x^2+5x+4$, cu $\Delta =25-64=-39$; rezultă $x=\frac{-5\pm i\sqrt{39}}{8}$. Soluții: $\left\{-1,\frac{-5+i\sqrt{39}}{8},\frac{-5-i\sqrt{39}}{8}\right\}$.

6. Fals. Ecuația este reciprocă; împărțind cu $x^2$ și notând $y=x+\frac{1}{x}$ obținem $35\left(y^2-2\right)-76y+102=0$, adică $35y^2-76y+32=0$, cu $\Delta =5776-4480=1296$ și $\sqrt{\Delta }=36$; rezultă $y=\frac{76\pm 36}{70}$, adică $y_1=\frac{8}{5}$ și $y_2=\frac{4}{7}$. Amândouă au modulul mai mic decât $2$, deci fiecare ramură are $\Delta =y^2-4<0$ și dă soluții nereale. Toate cele patru soluții sunt nereale.

7. Adevărat. Șirul $3$, $11$, $-36$, $11$, $3$ este simetric, deci ecuația este reciprocă; cu $y=x+\frac{1}{x}$ obținem $3\left(y^2-2\right)+11y-36=0$, adică $3y^2+11y-42=0$, cu $\Delta =121+504=625$ și $\sqrt{\Delta }=25$; rezultă $y=\frac{-11\pm 25}{6}$, adică $y_1=\frac{7}{3}$ și $y_2=-6$. Amândouă au modulul mai mare decât $2$, deci fiecare ramură are $\Delta =y^2-4>0$ și dă două soluții reale: din $3x^2-7x+3=0$ ies $\frac{7\pm \sqrt{13}}{6}$, iar din $x^2+6x+1=0$ ies $-3\pm 2\sqrt{2}$. În total patru soluții reale.

8. Șirul $5$, $-51$, $-34$, $-51$, $5$ este simetric. Cu $y=x+\frac{1}{x}$: $5\left(y^2-2\right)-51y-34=0$, adică $5y^2-51y-44=0$, cu $\Delta =2601+880=3481$ și $\sqrt{\Delta }=59$; rezultă $y=\frac{51\pm 59}{10}$, adică $y_1=11$ și $y_2=-\frac{4}{5}$. Pentru $y_1=11$: $x^2-11x+1=0$, cu $\Delta =121-4=117$ și $\sqrt{117}=3\sqrt{13}$, deci $x=\frac{11\pm 3\sqrt{13}}{2}$. Pentru $y_2=-\frac{4}{5}$: $5x^2+4x+5=0$, cu $\Delta =16-100=-84$ și $\sqrt{84}=2\sqrt{21}$, deci $x=\frac{-4\pm 2i\sqrt{21}}{10}=\frac{-2\pm i\sqrt{21}}{5}$. Soluții: $\left\{\frac{11+3\sqrt{13}}{2},\frac{11-3\sqrt{13}}{2},\frac{-2+i\sqrt{21}}{5},\frac{-2-i\sqrt{21}}{5}\right\}$.

9. Cu $y=x+\frac{1}{x}$: $4\left(y^2-2\right)+61y+195=0$, adică $4y^2+61y+187=0$, cu $\Delta =3721-2992=729$ și $\sqrt{\Delta }=27$; rezultă $y=\frac{-61\pm 27}{8}$, adică $y_1=-\frac{17}{4}$ și $y_2=-11$. Pentru $y_1=-\frac{17}{4}$: $4x^2+17x+4=0$, cu $\Delta =289-64=225$, deci $x=\frac{-17\pm 15}{8}$, adică $-\frac{1}{4}$ și $-4$. Pentru $y_2=-11$: $x^2+11x+1=0$, cu $\Delta =121-4=117$, deci $x=\frac{-11\pm 3\sqrt{13}}{2}$. Soluții: $\left\{-4,-\frac{1}{4},\frac{-11+3\sqrt{13}}{2},\frac{-11-3\sqrt{13}}{2}\right\}$.

10. Prima relație a lui Viète dă suma $-\frac{a_3}{a_4}=-\frac{-51}{5}=\frac{51}{5}$, iar ultima dă produsul $\frac{a_0}{a_4}=\frac{5}{5}=1$. Produsul $1$ se putea anticipa fără niciun calcul: la o reciprocă, soluțiile se grupează în perechi de inverse, iar fiecare pereche are produsul $1$.

11. Înlocuim: $2(-1{)}^3+m(-1{)}^2+m(-1)+2=-2+m-m+2=0$, oricare ar fi $m$ — termenii cu $m$ se anulează între ei, iar $-2$ și $2$ la fel. Pentru $m=9$ ecuația este $2x^3+9x^2+9x+2=0$; Horner cu $-1$ dă $2$, $7$, $2$, deci câtul este $2x^2+7x+2$, cu $\Delta =49-16=33$, de unde $x=\frac{-7\pm \sqrt{33}}{4}$. Soluții: $\left\{-1,\frac{-7+\sqrt{33}}{4},\frac{-7-\sqrt{33}}{4}\right\}$.

12. a) Șirul $2$, $-37$, $130$, $-37$, $2$ este simetric. Cu $y=x+\frac{1}{x}$: $2\left(y^2-2\right)-37y+130=0$, adică $2y^2-37y+126=0$. b) $\Delta =1369-1008=361$, iar $\sqrt{361}=19$, deci $y=\frac{37\pm 19}{4}$: $y_1=14$ și $y_2=\frac{9}{2}$. Pentru $y_1=14$: $x^2-14x+1=0$, cu $\Delta =196-4=192$ și $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$, deci $x=\frac{14\pm 8\sqrt{3}}{2}=7\pm 4\sqrt{3}$. Pentru $y_2=\frac{9}{2}$: $2x^2-9x+2=0$, cu $\Delta =81-16=65$, deci $x=\frac{9\pm \sqrt{65}}{4}$. Soluții: $\left\{7+4\sqrt{3},7-4\sqrt{3},\frac{9+\sqrt{65}}{4},\frac{9-\sqrt{65}}{4}\right\}$. c) $\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)=49-48=1$ și $\frac{81-65}{16}=\frac{16}{16}=1$.

13. Înmulțind cu $10k$ obținem $10k^2-101k+10=0$, cu $\Delta =10201-400=9801$ și $\sqrt{9801}=99$, deci $k=\frac{101\pm 99}{20}$: rădăcinile sunt $10$ și $\frac{1}{10}$. Cum se cere $k>1$, avem $k=10$; cealaltă rădăcină, $\frac{1}{10}$, este chiar inversul raportului, deci descrie același montaj privit invers, nu o a doua valoare posibilă a lui $k$. Ecuația reciprocă de gradul al treilea cu coeficientul dominant $10$ care are printre soluții $10$ și $\frac{1}{10}$ se obține înmulțind $10x^2-101x+10$ cu $x+1$: $10x^3-91x^2-91x+10=0$. Verificare rapidă: șirul $10$, $-91$, $-91$, $10$ este simetric, iar Horner cu $-1$ dă tocmai $10$, $-101$, $10$.

14. a) binomă — are doi termeni; notația $t=x^2$. b) bipătrată — are numai puteri pare; notația $t=x^2$. c) reciprocă de gradul al patrulea — șirul $6$, $-13$, $6$, $-13$, $6$ este simetric; substituția $y=x+\frac{1}{x}$. d) reciprocă de gradul al treilea — șirul $5$, $-7$, $-7$, $5$ este simetric; soluția de oficiu $x=-1$.

15. Dacă $\frac{1}{6}$ este soluție, atunci și $6$ este, iar la gradul al treilea se adaugă $-1$. Trinomul perechii de inverse are suma $6+\frac{1}{6}=\frac{37}{6}$ și produsul $1$, deci, cu coeficientul dominant $6$, el este $6x^2-37x+6$. Înmulțind cu $x+1$: $6x^3-31x^2-31x+6=0$; șirul $6$, $-31$, $-31$, $6$ este într-adevăr simetric. Soluții: $\left\{-1,6,\frac{1}{6}\right\}$.

16. Pentru ecuația de la exercițiul 9 avem $a=4$, $b=61$, $c=195$, deci formula dă $4y^2+61y+(195-8)=4y^2+61y+187=0$ — exact ecuația obținută acolo prin calcul. Termenul din mijloc scade cu $2a$ pentru că gruparea înlocuiește $x^2+\frac{1}{x^2}$ cu $y^2-2$, iar acest bloc este înmulțit cu $a$: din $a\left(y^2-2\right)$ iese un $-2a$ care se adună la $c$.

17. a) Valoarea polinomului în $0$ este termenul liber, adică $3\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție. b) Șirul $3$, $-41$, $32$, $-41$, $3$ este simetric; cu $y=x+\frac{1}{x}$ obținem $3\left(y^2-2\right)-41y+32=0$, adică $3y^2-41y+26=0$, cu $\Delta =1681-312=1369$ și $\sqrt{1369}=37$; rezultă $y=\frac{41\pm 37}{6}$: $y_1=13$ și $y_2=\frac{2}{3}$. Pentru $y_1=13$: $x^2-13x+1=0$, cu $\Delta =169-4=165$, deci $x=\frac{13\pm \sqrt{165}}{2}$. Pentru $y_2=\frac{2}{3}$: $3x^2-2x+3=0$, cu $\Delta =4-36=-32$ și $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, deci $x=\frac{2\pm 4i\sqrt{2}}{6}=\frac{1\pm 2i\sqrt{2}}{3}$. Soluții: $\left\{\frac{13+\sqrt{165}}{2},\frac{13-\sqrt{165}}{2},\frac{1+2i\sqrt{2}}{3},\frac{1-2i\sqrt{2}}{3}\right\}$. c) Două soluții reale: ramura lui $y_1=13$ are $|y|>2$, deci dă soluții reale, iar ramura lui $y_2=\frac{2}{3}$ are $|y|<2$, deci dă soluții nereale.

18. Fiecare dintre cele două valori ale lui $y$ produce o ramură $x^2-yx+1=0$, iar o ramură dă fie două soluții reale (când $|y|>2$), fie două soluții nereale (când $|y|<2$). Prin urmare numărul soluțiilor reale este suma a doi termeni, fiecare egal cu $0$ sau cu $2$: poate fi $0$, $2$ sau $4$, deci un număr par. Trei este impar, deci imposibil. Același lucru se vede și din faptul că, la coeficienți reali, soluțiile nereale vin în perechi conjugate: dintr-un total de patru, dacă trei ar fi reale, ar rămâne una singură nereală, fără perechea ei.

De reținut

• O ecuație este reciprocă (de speța întâi) când șirul coeficienților ei citit invers este același, adică $a_k=a_{n-k}$; coeficienții lipsă se scriu ca zerouri înainte de comparație.
• La orice ecuație reciprocă, $x=0$ nu este soluție, iar dacă $x_0$ este soluție, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este.
• Orice reciprocă de gradul al treilea are soluția $-1$; după împărțirea cu $x+1$ rămâne un trinom care are, la rândul lui, coeficienți simetrici.
• La gradul al patrulea se împarte cu $x^2$ și se notează $y=x+\frac{1}{x}$, folosind $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$; ecuația devine $a{y}^2+by+(c-2a)=0$.
• Fiecare valoare a lui $y$ se întoarce în $x^2-yx+1=0$: pentru $|y|>2$ ies două soluții reale, pentru $|y|<2$ două nereale, iar produsul fiecărei perechi este $1$.

Greșeli frecvente

• Soluția de oficiu confundată cu $+1$. La gradul impar apare $-1$, nu $1$: doar semnele alternante fac ca termenii simetrici să se anuleze doi câte doi. Proba durează o secundă — se adună coeficienții cu semne alternante.
• Substituția neîntoarsă. Valorile lui $y$ nu sunt soluții ale ecuației; fiecare trebuie dusă în $x^2-yx+1=0$. O rezolvare care se oprește la $y$ dă două numere în loc de patru.
• Împărțirea cu $x^2$ făcută fără justificare. Cerința „arătați că $x=0$ nu este soluție" nu e o formalitate: ea e motivul pentru care împărțirea nu pierde soluții și se cere scrisă.
• Coeficienții lipsă nescriși. În $x^4-7x+1=0$ simetria pare plauzibilă dacă privești doar capetele; scrisă complet, $1$, $0$, $0$, $-7$, $1$, ecuația nu e reciprocă.
• Gruparea greșită după împărțire. După împărțirea cu $x^2$, termenii se grupează după coeficientul comun: $x^2$ cu $\frac{1}{x^2}$ și $x$ cu $\frac{1}{x}$. Gruparea în ordinea în care apar termenii duce la o expresie care nu se mai scrie cu $y$.

Aplică acasă

1. Scrie un șir simetric de patru numere întregi și formează ecuația reciprocă de gradul al treilea corespunzătoare. Rezolv-o și verifică, prin înmulțire, că două dintre soluții sunt inverse una alteia. Repetă cu un șir în care numărul din mijloc e mult mai mare decât cele de la capete și observă ce se întâmplă cu semnul discriminantului câtului.

2. Alege trei valori pentru $y$, una mai mare decât $2$, una între $-2$ și $2$ și una mai mică decât $-2$. Pentru fiecare, scrie ecuația $x^2-yx+1=0$, rezolv-o și notează dacă soluțiile au ieșit reale sau nereale. Compară cu regula din lecție și scrie în caiet, cu cuvintele tale, de ce intervalul $(-2,2)$ este interzis.

3. Caută într-o culegere trei ecuații de gradul al patrulea și verifică, pentru fiecare, dacă este reciprocă, scriind întâi șirul complet al coeficienților, cu zerourile. Pentru cele care sunt, scrie ecuația în $y$ fără să o rezolvi.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște forma scriind șirul complet al coeficienților, dacă justifică împărțirea cu $x^2$ înainte de a o face și dacă întoarce substituția până la patru soluții. Ultimele două sunt cerințe care apar explicit, ca subpuncte de sine stătătoare, în enunțurile din modelul oficial — nu doar ca parte din răspunsul final.

Dificultatea reală nu este algebra, ci disciplina drumului: metoda are cinci pași, fiecare simplu, iar sărirea oricăruia strică tot. Se pierde mai ales pasul de întoarcere, fiindcă valorile lui $y$ arată ca un răspuns.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Cum verifici că o ecuație este reciprocă?"; „De ce apare $-1$ la gradul al treilea și nu $1$?"; „De ce ai voie să împarți cu $x^2$?"; „Ce faci după ce ai găsit valorile lui $y$?"; „Ce îți spune despre soluții faptul că $|y|<2$?". Semne că a înțeles: scrie șirul coeficienților cu zerouri înainte de a decide; verifică, la final, că produsul fiecărei perechi este $1$; și, privind valorile lui $y$, spune dinainte câte soluții reale vor ieși.

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen OMEN 4430/2014, unde „ecuații reciproce" apar explicit la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ" al clasei a XII-a. În programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există, iar ecuațiile reciproce nu apar la niciun alt nivel; prin urmare, elevii primei promoții a programei noi nu au tema nici la clasă, nici la proba MAT_P2 din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

De ce trebuie scriși și coeficienții care lipsesc?

Pentru că simetria se verifică pe șirul complet, nu pe termenii care se văd. La $x^4-7x+1=0$ șirul este $1$, $0$, $0$, $-7$, $1$: capetele coincid, dar al doilea și al patrulea coeficient nu, deci ecuația nu este reciprocă, deși la prima vedere pare. Scrie întotdeauna toate cele $n+1$ poziții, cu zerouri unde lipsește termenul, și abia apoi compară.

De ce are orice reciprocă de gradul al treilea soluția $-1$?

Pentru că înlocuind $x=-1$ în forma $a{x}^3+b{x}^2+bx+a$ obținem $-a+b-b+a$, adică $0$, oricare ar fi $a$ și $b$. Puterile impare aduc semnul minus, cele pare îl păstrează, iar coeficienții fiind egali în oglindă, termenii se anulează doi câte doi. La gradul par calculul nu mai iese nul, de aceea acolo se folosește altă metodă.

Ce se întâmplă dacă sar peste justificarea împărțirii cu $x^2$?

Matematic nu se strică nimic, fiindcă $x=0$ chiar nu este soluție; la examen însă, cerința „arătați că $x=0$ nu este soluție" este formulată separat tocmai pentru că este pasul care face împărțirea legitimă. O împărțire cu o expresie care s-ar putea anula pierde soluții, iar aici tocmai egalitatea dintre termenul liber și coeficientul dominant garantează că nu se anulează.

Cum îmi dau seama că am terminat rezolvarea?

Numeri soluțiile: o ecuație de gradul al patrulea are patru, una de gradul al treilea are trei. Dacă în răspuns ai doar două numere, ai rămas la valorile lui $y$ — ele nu sunt soluții, ci trebuie întoarse, fiecare, în $x^2-yx+1=0$. A doua verificare, la fel de scurtă: produsul fiecărei perechi de soluții trebuie să fie $1$. Vezi și Relațiile lui Viète, până la gradul 4.

Cum știu dinainte dacă o ramură dă soluții reale?

Te uiți la modulul valorii lui $y$. Ecuația $x^2-yx+1=0$ are discriminantul $y^2-4$, deci pentru $|y|>2$ ies două soluții reale, iar pentru $|y|<2$ două soluții nereale. Regula se folosește și invers: pentru $x$ real nenul, suma dintre $x$ și inversul lui are întotdeauna modulul cel puțin $2$.

La ce subiect apar ecuațiile reciproce la Bacalaureatul M2?

În sesiunile 2027–2029 tema e cerută de programa din 2014, la capitolul de polinoame. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al II-lea are două probleme cu câte trei cerințe, iar a doua este despre un polinom — acolo se potrivesc cerințele de acest fel; structurile algebrice nu apar, deși programa din 2014 le cere. Din 2030, la proba MAT_P2, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există.

Se dă la fel la mate-info (M1)?

Nu: la matematică-informatică tema stă în clasa a X-a și cuprinde și reciprocele de speța a doua, cele cu coeficienți antisimetrici ($a_k=-a_{n-k}$), la care soluția de oficiu este $+1$, precum și coborârea gradelor mai mari decât $4$ — teme care nu intră la M2. Pentru comparație: ecuațiile reciproce la mate-info (M1).

Ce au în comun ecuațiile reciproce cu cele bipătrate?

Amândouă sunt pe același rând al programei de examen și amândouă coboară gradul printr-o notație, nu printr-o formulă. La Ecuații binome și ecuații bipătrate notația este $t=x^2$ și funcționează pentru că lipsesc puterile impare; aici notația este $y=x+\frac{1}{x}$ și funcționează pentru că șirul coeficienților este simetric. În ambele cazuri, pasul care se uită cel mai des este întoarcerea substituției.