Egalitatea a două numere complexe

Într-un centru de control al traficului aerian, poziția unei drone față de turn este transmisă ca număr complex: partea reală înseamnă deplasarea pe direcția est, partea imaginară pe direcția nord. Doi operatori raportează, în același moment, aceeași dronă. Primul spune $(3x-2y)+(x+y)i$, folosind mărimile brute de la senzori; al doilea, care a terminat calculul, spune direct $7+4i$.

Dacă amândoi au dreptate, cele două numere complexe sunt egale — și de aici se poate afla, prin identificare, cât valorează $x$ și $y$. Trucul, care pare mărunt acum, este una dintre cele mai productive unelte din tot capitolul: o singură egalitate în $\mathbb{C}$ se transformă în două ecuații în $\mathbb{R}$. Îl vei folosi la aproape orice problemă de Bacalaureat M1 cu parametru și, mai târziu, la extragerea rădăcinilor pătrate dintr-un număr complex, în lecția Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi criteriul de egalitate a două numere complexe scrise sub formă algebrică.
• Vei ști să transformi o egalitate din $\mathbb{C}$ într-un sistem de două ecuații cu necunoscute reale.
• Vei ști să scrii condițiile ca un număr complex să fie nul, real sau pur imaginar.
• Vei ști de ce ipoteza „$a,b,c,d$ sunt reale" este esențială și ce se strică fără ea.
• Vei ști să rezolvi probleme cu parametru real, de tipul celor de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „egale" pentru două numere complexe

Două numere complexe sunt egale atunci când sunt același număr. Problema e că același număr poate fi scris în feluri care arată diferit: $3+2i^2+5i$ și $1+5i$ sunt același număr, deși nu seamănă la prima vedere.

Soluția este să comparăm formele algebrice. Din lecția Forma algebrică a unui număr complex știm că fiecare număr complex are o singură scriere de tipul $a+bi$ cu $a,b$ reale. Deci: aducem ambele numere la forma algebrică și comparăm.

2. Criteriul de egalitate

Teoremă. Fie $a,b,c,d$ numere reale. Atunci

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{ și }b=d.$$

Demonstrație. Implicația „$\Leftarrow$" este imediată: dacă $a=c$ și $b=d$, cele două scrieri sunt identice, deci numerele sunt egale.

Pentru „$\Rightarrow$", presupunem $a+bi=c+di$ și trecem totul într-un membru:

$$a-c=(d-b)i.$$

Presupunem, prin reducere la absurd, că $d-b\ne 0$. Atunci putem împărți prin $d-b$ și obținem $i=\frac{a-c}{d-b}$. Membrul drept este un cât de numere reale cu numitor nenul, deci număr real; ar rezulta că $i$ este real, adică ar exista un număr real cu pătratul $-1$ — fals, pentru că pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero.

Contradicția arată că $d-b=0$, deci $b=d$. Înlocuind în relația $a-c=(d-b)i=0$, obținem și $a=c$. $■$

Argumentul se sprijină, ca și demonstrațiile din lecția De ce avem nevoie de numere noi, pe un singur fapt: nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie $-1$.

Formularea pe scurt, cea pe care o folosești la clasă: două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară, adică

$$z_1=z_2⟺\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)\text{ și }\mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2).$$

3. Trei consecințe pe care le vei folosi tot anul

Luând $c=d=0$ în teoremă, obținem prima consecință; celelalte două sunt reformulări ale definițiilor din lecția precedentă, dar acum au statut de criteriu, adică se pot folosi ca echivalențe într-o rezolvare.

(C1) Anularea. Pentru $a,b$ reale: $a+bi=0⟺a=0\text{și}b=0$.

Un număr complex este nul numai când ambele lui părți sunt nule. Nu există „compensare" între ele: partea reală nu poate anula partea imaginară, oricât de mari ar fi.

(C2) Numărul este real: $z\in \mathbb{R}⟺\mathrm{Im}(z)=0$. O singură condiție.

(C3) Numărul este pur imaginar: $\mathrm{Re}(z)=0\text{și}\mathrm{Im}(z)\ne 0$. Două condiții — una de anulare și una de nenulitate.

Diferența dintre (C2) și (C3) este cea mai punctată deosebire din baremele cu numere complexe. Scrie-o pe prima pagină a caietului.

4. Metoda identificării părților

Iată tehnica, în trei pași, așa cum o cere baremul:

1. Aduci fiecare membru la forma algebrică $a+bi$, cu $a$ și $b$ expresii reale.
2. Identifici: egalezi părțile reale între ele și părțile imaginare între ele. Obții un sistem de două ecuații reale.
3. Rezolvi sistemul și, dacă problema o cere, verifici condițiile suplimentare (de exemplu nenulitatea).

Să o vedem pe raportul dronei din deschidere:

$$(3x-2y)+(x+y)i=7+4i,x,y\in \mathbb{R}.$$

Identificăm părțile:

$$\{\begin{array}{l}3x-2y=7\\ x+y=4\end{array}$$

Din a doua ecuație $y=4-x$; înlocuim în prima: $3x-2(4-x)=7$, deci $5x=15$ și $x=3$, apoi $y=1$.

Verificare: $3\cdot 3-2\cdot 1=7$ ✓ și $3+1=4$ ✓. Cele două numere sunt, într-adevăr, egale.

5. Capcana: părțile trebuie să fie numere reale

Teorema are o ipoteză pe care ochiul o sare ușor: $a,b,c,d$ sunt reale. Fără ea, concluzia este falsă.

Să presupunem că am accepta necunoscute complexe în egalitatea $x+yi=3+2i$. Atunci, alegând de pildă $y=i$, obținem $x=3+2i-i\cdot i=3+2i+1=4+2i$, iar perechea $(x,y)=(4+2i,i)$ verifică egalitatea, deși $x\ne 3$ și $y\ne 2$. Există, de fapt, o infinitate de astfel de perechi.

Concluzia practică: înainte de a identifica părțile, asigură-te că expresiile pe care le compari sunt numere reale. De aceea, în enunțuri, apare mereu precizarea „$x,y\in \mathbb{R}$" sau „$m$ număr real" — nu e umplutură, e ipoteza care face metoda validă.

6. Probleme cu parametru real

Tipul cel mai frecvent la examen: se dă $z$ care depinde de un parametru real $m$ și se cere ca $z$ să fie real, pur imaginar sau nul. Rețeta e mereu aceeași — traduci cerința în condiții pe cele două părți, rezolvi și verifici.

Fie, de exemplu,

$$z=(m^2-5m+6)+(m^2-4)i,m\in \mathbb{R}.$$

$z$ real: $m^2-4=0$, deci $m\in \{-2,2\}$. (Pentru $m=2$ obținem $z=0$, iar pentru $m=-2$ obținem $z=4+10+6=20$; ambele sunt reale, deci ambele valori convin.)

$z$ pur imaginar: $m^2-5m+6=0$ și $m^2-4\ne 0$. Prima ecuație dă $m\in \{2,3\}$, iar a doua elimină $m=2$. Rămâne $m=3$, pentru care $z=0+5i=5i$. ✓

$z=0$: ambele părți nule, adică $m\in \{2,3\}$ și $m\in \{-2,2\}$; intersecția este $m=2$, pentru care într-adevăr $z=0$.

Observă cum aceeași expresie dă trei răspunsuri diferite, după cerință — și cum valoarea $m=2$ este acceptată la o cerință și respinsă la alta. Nu sări niciodată pasul de verificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificare directă

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x-1)+(y+2)i=3-4i$.

Rezolvare. Ambii membri sunt deja sub formă algebrică, cu părți reale. Identificăm:

$$x-1=3\Rightarrow x=4,y+2=-4\Rightarrow y=-6.$$

Verificare: $(4-1)+(-6+2)i=3-4i$ ✓.

Exemplul 2 — Egalitatea care ascunde un sistem

Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care $(2x+y)+(x-3y)i=5-i$.

Rezolvare. Identificăm părțile și obținem sistemul

$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-3y=-1\end{array}$$

Din prima ecuație $y=5-2x$; înlocuim în a doua: $x-3(5-2x)=-1$, deci $7x=14$ și $x=2$, de unde $y=1$.

Verificare: $2\cdot 2+1=5$ ✓ și $2-3\cdot 1=-1$ ✓.

Exemplul 3 — Anularea unui număr complex

Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care $(x^2-9)+(y+1)i=0$.

Rezolvare. Un număr complex este nul dacă și numai dacă ambele părți sunt nule:

$$x^2-9=0\text{și}y+1=0.$$

Prima ecuație dă $x\in \{-3,3\}$, a doua $y=-1$. Sunt deci două perechi soluție: $(3,-1)$ și $(-3,-1)$.

Atenție: aici nu există nicio condiție de nenulitate, deci ambele valori ale lui $x$ se păstrează.

Exemplul 4 — Real, pur imaginar, nul

Fie $z=(m-1)+(m^2-1)i$, cu $m\in \mathbb{R}$. Determinați $m$ astfel încât $z$ să fie: a) real; b) pur imaginar; c) nul.

Rezolvare. a) $m^2-1=0$, deci $m\in \{-1,1\}$. Pentru $m=1$ obținem $z=0$, pentru $m=-1$ obținem $z=-2$; ambele sunt numere reale, deci ambele valori convin.

b) Cerem $m-1=0$ și $m^2-1\ne 0$. Prima dă $m=1$, dar pentru $m=1$ avem $m^2-1=0$, ceea ce contrazice a doua condiție. Deci nu există niciun $m$ real pentru care $z$ să fie pur imaginar.

c) $m-1=0$ și $m^2-1=0$, ambele îndeplinite pentru $m=1$. Așadar $z=0$ exact pentru $m=1$.

Reține răspunsul de la b): „nu există" este un răspuns matematic complet valid, obținut tocmai pentru că nu am uitat condiția de nenulitate.

Exemplul 5 — De ce e nevoie ca necunoscutele să fie reale

Arătați că egalitatea $x+yi=3+2i$ are o infinitate de soluții dacă $x$ și $y$ pot fi numere complexe oarecare.

Rezolvare. Alegem $y$ complex, arbitrar, și punem $x=3+2i-yi$. Egalitatea este atunci verificată identic, oricare ar fi $y$. De exemplu, pentru $y=i$ obținem $x=3+2i-i^2=4+2i$, iar perechea $(4+2i,i)$ verifică: $(4+2i)+i\cdot i=4+2i-1=3+2i$ ✓.

Concluzie: identificarea părților este validă numai când cele patru mărimi comparate sunt reale.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x+2y-4)+(3x-y-5)i=0$.

Rezolvare. Numărul este nul dacă și numai dacă ambele părți sunt nule:

$$\{\begin{array}{l}x+2y-4=0\\ 3x-y-5=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 3x-y=5\end{array}$$

Din a doua ecuație $y=3x-5$; înlocuim în prima: $x+2(3x-5)=4$, deci $7x=14$ și $x=2$, apoi $y=1$.

Verificare: $2+2\cdot 1-4=0$ ✓ și $3\cdot 2-1-5=0$ ✓.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu în care apar necunoscute, verifică mai întâi dacă enunțul le declară reale — de asta depinde întreaga metodă.

1. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $x+yi=3-5i$.

2. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(x-1)+(y+2)i=3-4i$.

3. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(2x-3)+(y+4)i=7+i$.

4. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(x+y)+(x-y)i=3+7i$.

5. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(2x+y)+(x-3y)i=5-i$.

6. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(3x-2y)+(x+y)i=7+4i$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din $x+yi=3+2i$ rezultă întotdeauna $x=3$ și $y=2$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un număr complex este nul dacă și numai dacă partea sa reală și partea sa imaginară sunt ambele nule."

9. Fie $z=(m^2-5m+6)+(m^2-4)i$, cu $m$ real. Determină $m$ astfel încât $z$ să fie număr real.

10. Pentru același $z$ de la exercițiul 9, determină $m$ astfel încât $z$ să fie pur imaginar și precizează valoarea lui $z$.

11. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(x^2-9)+(y+1)i=0$.

12. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(x+2y)+(2x-y)i=8+i$.

13. (Problemă aplicată.) Impedanța unui circuit, măsurată de un aparat, este $11+4i$ ohmi. Modelul teoretic prezice $(2x+3)+(y-1)i$, cu $x$ și $y$ reale. Determină $x$ și $y$ astfel încât modelul să corespundă măsurătorii.

14. Determină $x,y\in \mathbb{R}$: $(x-y)+(x+y)i=4+10i$.

15. Demonstrează teorema: dacă $a,b,c,d$ sunt reale și $a+bi=c+di$, atunci $a=c$ și $b=d$. (Redactează complet, prin reducere la absurd.)

16. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $z=(m^2-1)+(m+1)i$ să fie pur imaginar. Ce valoare are atunci $z$?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x+2y-4)+(3x-y-5)i=0$.

18. (Provocare.) Se știe că, pentru $a,b$ reale, $(a+bi{)}^2=(a^2-b^2)+2abi$ (formula o vei demonstra în lecția despre înmulțire). Folosind egalitatea numerelor complexe, determină numerele întregi $a$ și $b$ pentru care $(a+bi{)}^2=3+4i$.

Răspunsuri și explicații

1. $x=3$, $y=-5$ (identificare directă).

2. $x-1=3$ și $y+2=-4$, deci $x=4$, $y=-6$.

3. $2x-3=7$ și $y+4=1$, deci $x=5$, $y=-3$.

4. Sistemul $x+y=3$, $x-y=7$; adunând, $2x=10$, deci $x=5$ și $y=-2$.

5. Sistemul $2x+y=5$, $x-3y=-1$; din prima $y=5-2x$, apoi $7x=14$, deci $x=2$, $y=1$.

6. Sistemul $3x-2y=7$, $x+y=4$; din a doua $y=4-x$, apoi $5x=15$, deci $x=3$, $y=1$.

7. Fals, dacă nu se precizează că $x$ și $y$ sunt reale. Pentru $x,y\in \mathbb{C}$ există o infinitate de soluții, de exemplu $x=4+2i$, $y=i$. Afirmația devine adevărată exact sub ipoteza $x,y\in \mathbb{R}$.

8. Adevărat. Este consecința (C1) a criteriului de egalitate, obținută pentru $c=d=0$: $a+bi=0⟺a=0$ și $b=0$.

9. $z$ real $⟺m^2-4=0⟺m\in \{-2,2\}$. (Pentru $m=2$ se obține $z=0$, pentru $m=-2$ se obține $z=20$; ambele sunt reale.)

10. Condițiile sunt $m^2-5m+6=0$ și $m^2-4\ne 0$. Prima dă $m\in \{2,3\}$, a doua elimină $m=2$. Rămâne $m=3$, cu $z=5i$.

11. $x^2-9=0$ și $y+1=0$, deci $y=-1$ și $x\in \{-3,3\}$: perechile $(3,-1)$ și $(-3,-1)$.

12. Sistemul $x+2y=8$, $2x-y=1$; din a doua $y=2x-1$, apoi $x+4x-2=8$, deci $x=2$ și $y=3$.

13. $2x+3=11$ și $y-1=4$, deci $x=4$ și $y=5$. Modelul reproduce măsurătoarea doar pentru aceste valori.

14. Sistemul $x-y=4$, $x+y=10$; adunând, $2x=14$, deci $x=7$ și $y=3$.

15. Din $a+bi=c+di$ obținem $a-c=(d-b)i$. Dacă $d-b\ne 0$, atunci $i=\frac{a-c}{d-b}$ ar fi număr real, deci ar exista un număr real cu pătratul $-1$, fals. Așadar $d=b$, iar relația devine $a-c=0$, adică $a=c$. $■$

16. Cerem $m^2-1=0$ și $m+1\ne 0$. Prima dă $m\in \{-1,1\}$, a doua elimină $m=-1$. Rămâne $m=1$, cu $z=0+2i=2i$.

17. Ambele părți nule: $x+2y=4$ și $3x-y=5$. Din a doua $y=3x-5$; înlocuind, $7x=14$, deci $x=2$ și $y=1$. Verificare: $2+2-4=0$ ✓, $6-1-5=0$ ✓.

18. Identificăm părțile în $(a^2-b^2)+2abi=3+4i$: $a^2-b^2=3$ și $2ab=4$, adică $ab=2$. Din a doua, $b=\frac{2}{a}$; înlocuind, $a^2-\frac{4}{a^2}=3$, deci $a^4-3a^2-4=0$. Notând $t=a^2\ge 0$, obținem $t^2-3t-4=0$, cu soluțiile $t=4$ și $t=-1$ (respinsă). Deci $a^2=4$, adică $a=\pm 2$, iar $b=\pm 1$ cu același semn. Soluțiile întregi sunt $(2,1)$ și $(-2,-1)$; verificare: $(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$ ✓.

De reținut

• Criteriul de egalitate: pentru $a,b,c,d$ reale, $a+bi=c+di⟺a=c$ și $b=d$.
• O egalitate în $\mathbb{C}$ se transformă, prin identificarea părților, într-un sistem de două ecuații cu necunoscute reale.
• $z=0⟺\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)=0$; nu există compensare între cele două părți.
• $z$ real cere o singură condiție ($\mathrm{Im}(z)=0$); $z$ pur imaginar cere două ($\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$).
• Metoda funcționează numai dacă mărimile comparate sunt reale — de aceea enunțul precizează mereu „$x,y\in \mathbb{R}$".

Greșeli frecvente

• Identificarea făcută fără a aduce la forma algebrică. Dacă un membru conține $i^2$ sau radicali din numere negative, simplifică întâi; altfel identifici părți greșite.
• Uitarea condiției de nenulitate la „pur imaginar". Se acceptă astfel valori pentru care numărul devine $0$, adică real. Baremul taie punctul exact acolo.
• Identificarea aplicată unor expresii care nu sunt reale. Ipoteza teoremei cere $a,b,c,d\in \mathbb{R}$; fără ea, egalitatea are o infinitate de soluții.
• Pierderea unei soluții la ecuațiile de gradul al doilea. Din $x^2-9=0$ rezultă $x=3$ și $x=-3$; scrie ambele, apoi elimină doar ce contrazice o condiție explicită.
• Rezolvarea fără verificare. După ce afli valorile, înlocuiește-le în egalitatea inițială: e singurul mod de a prinde o eroare de semn.

Aplică acasă

1. Fabrica de sisteme. Alege o pereche de numere întregi $(x,y)$, de exemplu $(3,-2)$, și construiește singur o egalitate de forma $(\alpha x+\beta y)+(\gamma x+\delta y)i=A+Bi$ care să o aibă drept soluție. Dă-i-o unui coleg să o rezolve și verifică-i răspunsul.

2. Vânătoare de condiții. Caută în culegere sau într-un model de subiect de Bacalaureat M1 trei cerințe de tipul „determinați $m$ real pentru care $z$ este pur imaginar". Rezolvă-le și, la fiecare, subliniază cu altă culoare condiția de nenulitate.

3. Dronele din curte. Simulează raportul din deschiderea lecției: notează poziția unui obiect din cameră ca număr complex (est = parte reală, nord = parte imaginară), scrie-o în două forme diferite și verifică prin identificare că e vorba de același punct.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o observație aparent banală — două numere complexe sunt egale când au aceleași părți — în unealta de lucru numărul unu a capitolului. Programa de matematică-informatică cere explicit „redactarea calculelor care implică numere complexe, cu evidențierea clară a părții reale și a celei imaginare"; identificarea părților este exact procedeul prin care această cerință devine tehnică de rezolvare.

Ce verifică lecția: enunțul și demonstrația criteriului de egalitate (prin reducere la absurd, sprijinită pe faptul că $i$ nu este real); transformarea unei egalități din $\mathbb{C}$ într-un sistem real; scrierea corectă a condițiilor pentru „nul", „real" și „pur imaginar"; conștientizarea ipotezei că necunoscutele sunt reale.

Întrebări bune de control: „Câte ecuații obțin dintr-o singură egalitate în $\mathbb{C}$?"; „Ce condiții pun ca $z$ să fie pur imaginar și de ce sunt două?"; „Ce se întâmplă dacă $x$ și $y$ nu sunt reale?"; „De ce demonstrația se sprijină pe faptul că $i$ nu e număr real?". Semn că elevul a înțeles: la orice problemă cu parametru scrie sistemul complet și verifică soluțiile la final, fără să fie îndemnat.

La Bacalaureat M1, subiectul I conține aproape în fiecare sesiune un exercițiu rezolvabil prin identificarea părților: determinarea unor numere reale dintr-o egalitate, condiții asupra unui parametru sau verificarea faptului că un număr este real.

Întrebări frecvente

Când sunt egale două numere complexe? Când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Formal, pentru $a,b,c,d$ numere reale: $a+bi=c+di$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$.

Ce înseamnă identificarea părților reale și imaginare? Este procedeul prin care o egalitate din $\mathbb{C}$ se transformă în două ecuații reale: egalezi părțile reale între ele și părțile imaginare între ele. Obții un sistem pe care îl rezolvi cu metodele obișnuite din clasa a IX-a.

Când este un număr complex egal cu zero? Exact atunci când ambele lui părți sunt nule: $a+bi=0⟺a=0$ și $b=0$. Partea reală nu poate „compensa" partea imaginară, oricât de mari ar fi.

Ce condiții pun ca un număr să fie pur imaginar? Două: partea reală să fie zero și partea imaginară să fie diferită de zero. Dacă uiți a doua condiție, accepți și valori pentru care numărul devine $0$, care este număr real, nu pur imaginar.

De ce trebuie ca necunoscutele să fie numere reale? Pentru că demonstrația criteriului folosește faptul că un cât de numere reale este real, ceea ce contrazice existența unui număr real cu pătratul $-1$. Dacă necunoscutele pot fi complexe, egalitatea are o infinitate de soluții.

Cum determin parametrul $m$ dintr-o condiție de tipul „$z$ este real"? Scrii $z$ sub forma algebrică, cu ambele părți exprimate în funcție de $m$, apoi pui condiția ca partea imaginară să fie zero și rezolvi ecuația obținută. La final înlocuiești fiecare valoare găsită, ca să vezi ce număr rezultă.

Ce fac dacă sistemul obținut nu are soluții? Răspunzi că nu există numere reale care să îndeplinească cerința. Este un răspuns complet valid — apare, de exemplu, când se cere ca un număr să fie pur imaginar, dar condiția de anulare a părții reale forțează și anularea celei imaginare.