Cum încadrez integrala lui x² pe [1,3] cu dreptunghiuri?

Funcția crește pe [1,3], deci ia valori între 1 și 9. Dreptunghiul de jos are aria 1·2=2, cel de sus 9·2=18, iar integrala stă între ele. Valoarea exactă, 26/3≈8,67, confirmă încadrarea.

Cum număr pătrățelele de sub un grafic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Estimarea unei integrale

Întâi afli cât valorează un pătrățel: produsul dintre pasul axei orizontale și pasul axei verticale. Apoi numeri pătrățelele aflate în întregime sub grafic și pe cele tăiate de curbă, pe care le socotești pe jumătate. Exemplu: cu pașii $1$ și $5$ , un pătrățel valorează $5$ unități; $30$ de pătrățele întregi și $12$ tăiate dau aproximativ $30 + 6 = 36$ de pătrățele, adică $180$ de unități de arie. Aria reală este sigur între $150$ și $210$ .

Estimarea nu este o ghicire, ci un număr însoțit de o garanție. Se numește încadrare o pereche $α \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq β$ care se poate demonstra; distanța $β - α$ îi este lățimea, iar orice număr cuprins între capete trece drept estimare. Mijlocul rămâne alegerea cea mai bună, fiindcă abaterea lui nu depășește jumătatea lățimii.

Demonstrația se sprijină pe o singură observație despre figuri: o suprafață cuprinsă în alta are aria mai mică. Dreptunghiul ridicat pe interval, la înălțimea celei mai mici valori, încape sub grafic; regiunea de sub grafic încape, la rândul ei, în dreptunghiul de înălțime maximă. Rezultă $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ . Trebuie reținut că numerele $m$ și $M$ se caută pe întregul interval — acolo unde graficul suie și apoi scade, vârful poate cădea în interior.

Tăind intervalul în fâșii și reluând același raționament pentru fiecare, marginile se apropie una de alta: cea de jos nu coboară, cea de sus nu urcă. Pe hârtia cu caroiaj se află întâi valoarea unui pătrățel, ca produs al celor doi pași, și abia apoi se numără — întregi, iar cele străbătute de curbă, socotite pe jumătate.

Lipsa formulei cere estimare; prezența ei, împreună cu o primitivă, îngăduie calculul. Conținutul este cerut abia de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

un pătrățel valorează produsul celor doi pași ai axelor
pătrățelele tăiate de curbă se socotesc pe jumătate
$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ , cu $m$ și $M$ valorile extreme pe interval

Greșeala tipică

Se înmulțește numărul de pătrățele doar cu pasul unei axe; un pătrățel valorează produsul celor doi pași, de exemplu $1 \cdot 5 = 5$ unități de arie.

Exerciții din această mini-lecție

Pe o hârtie cu caroiaj, pasul este $0, 25$ pe axa orizontală și $12$ pe axa verticală. Un pătrățel valorează:
- a) $12, 25$ unități de arie
- b) $3$ unități de arie
- c) $48$ de unități de arie
- d) $6$ unități de arie
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$ unități de arie

Un pătrățel este un dreptunghi cu laturile egale cu cei doi pași, deci aria lui este $0, 25 \cdot 12 = 3$ unități. Varianta a) adună pașii în loc să-i înmulțească, c) împarte pe cel vertical la cel orizontal, iar d) înjumătățește fără motiv. Întrebarea aceasta se pune înaintea oricărei numărători: cine o sare numără corect și răspunde greșit.
Pentru funcția $f (x) = 5 x^{2} + 2$ pe intervalul $[0, 2]$ , încadrarea obținută cu un singur dreptunghi de jos și unul de sus este:
- a) $2 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 22$
- b) $4 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 22$
- c) $4 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 44$
- d) $0 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 44$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 44$

Funcția este continuă și crescătoare pe $[0, 2]$ , deci cea mai mică valoare este $f (0) = 2$ și cea mai mare este $f (2) = 22$ . Intervalul are lungimea $2$ , așa că $2 \cdot 2 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 22 \cdot 2$ . Variantele a) și b) uită să înmulțească una dintre margini cu lungimea intervalului, iar d) coboară marginea de jos la zero, pierzând tocmai informația utilă.
Pentru aceeași funcție, $f (x) = 5 x^{2} + 2$ pe $[0, 2]$ , încadrarea obținută tăind intervalul în două fâșii de lungime $1$ este:
- a) $9 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 29$
- b) $4 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 44$
- c) $9 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 22$
- d) $2 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 29$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9 \leq \int_{0}^{2} f (x) d x \leq 29$

Valorile în capetele fâșiilor sunt $f (0) = 2$ , $f (1) = 7$ și $f (2) = 22$ . Funcția fiind crescătoare, pe $[0, 1]$ ea stă între $2$ și $7$ , iar pe $[1, 2]$ între $7$ și $22$ . Adunând contribuțiile, marginea de jos este $2 + 7 = 9$ , iar cea de sus $7 + 22 = 29$ . Lățimea a scăzut de la $40$ la $20$ dintr-o singură tăiere; variantele b), c) și d) amestecă marginile celor două încadrări.

Întrebări conexe

Cum încadrez integrala lui $x^{2}$ pe $[1, 3]$ cu dreptunghiuri?

Funcția crește pe $[1, 3]$ , deci ia valori între $1$ și $9$ . Dreptunghiul de jos are aria $1 \cdot 2 = 2$ , cel de sus $9 \cdot 2 = 18$ , iar integrala stă între ele. Valoarea exactă, $\frac{26}{3} \approx 8, 67$ , confirmă încadrarea.

Cum estimez distanța dintr-o serie de măsurători ale vitezei?

Dacă vitezele măsurate la $t = 0, 1, 2, 3, 4$ s sunt $0$ , $4$ , $7$ , $9$ și $10$ m/s, aproximezi fiecare secundă cu un trapez: $2 + 5, 5 + 8 + 9, 5 = 25$ m. Estimarea este cu atât mai bună cu cât măsurătorile sunt mai dese.

De ce caut maximul funcției și în interiorul intervalului?

Pentru că un grafic care urcă și apoi coboară își atinge vârful între capete. La $f (x) = - x^{2} + 4 x$ pe $[0, 4]$ capetele dau $0$ , dar maximul este $4$ , în $x = 2$ . Marginea de sus corectă este $4 \cdot 4 = 16$ , iar integrala exactă este $\frac{32}{3}$ .

Cum estimez aria unei frunze pe hârtie cu pătrățele?

Conturezi frunza pe o foaie cu pătrățele de $1$ cm și numeri: de exemplu, $42$ de pătrățele întregi și $20$ tăiate de margine. Socotind tăiatele pe jumătate, aria este aproximativ $42 + 10 = 52$ cm², iar valoarea reală este între $42$ și $62$ cm².

Ce reprezintă aria de sub un grafic debit–timp?

Volumul scurs. Dacă pe axa timpului un pătrățel înseamnă $0, 5$ min, iar pe axa debitului $2$ L/min, fiecare pătrățel valorează $0, 5 \cdot 2 = 1$ L. Numărul de pătrățele de sub grafic dă direct volumul, în litri.

Oamenii mai întreabă și: numărarea pătrățelelor sub grafic · cum estimez aria de pe hârtia cu pătrățele · aria de sub curbă cu pătrățele · estimarea integralei cu caroiaj