Estimarea unei integrale de pe grafic (M2, științe ale naturii)

Un aparat de cromatografie scoate pe hârtie o linie aproape dreaptă, întreruptă de câteva vârfuri ascuțite. Fiecare vârf înseamnă o substanță din probă, iar cantitatea ei nu se citește din înălțimea vârfului, ci din aria cuprinsă între vârf și linia de bază. Chimistul nu are nicio formulă a curbei: are numai hârtia, cu caroiajul tipărit pe ea. Și totuși trebuie să dea un număr, iar acel număr trebuie să fie însoțit de o margine de eroare pe care să și-o asume. Ce face el se numește, în lecția de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2) de azi, estimarea unei integrale — o cerință care nu se dă la bacalaureatul M2 decât începând cu sesiunea din 2030, din motivele lămurite mai jos.

Programa cere, mai exact, estimarea pornind de la reprezentarea grafică a funcției. Merită spus de la început, cinstit, cui i se adresează cerința. Ea este nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, și ajunge efectiv la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche, unde integrala se cere doar calculată, nu și estimată de pe un grafic. Dacă însă ești în prima promoție care învață după programa nouă, ce urmează intră în proba MAT_P2 din 2030, la domeniul „Analiză matematică".

Ce vei învăța

• Vei ști să afli valoarea unui pătrățel de caroiaj și să estimezi o arie numărând pătrățele.
• Vei ști să scrii o încadrare a unei integrale cu două dreptunghiuri, folosind cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției pe interval.
• Vei ști să strângi încadrarea, tăind intervalul în fâșii și repetând raționamentul pe fiecare.
• Vei ști să dai o estimare ca mijloc al încadrării și să spui cu cât poate greși ea, cel mult.
• Vei ști de ce trapezul urmează curba mai bine decât dreptunghiul și când dă chiar valoarea exactă.
• Vei ști să deosebești situațiile în care integrala se estimează de cele în care ea se calculează.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să estimezi o integrală?

A estima nu înseamnă a ghici. Înseamnă a da un număr împreună cu o garanție, iar garanția are aici o formă foarte precisă.

O încadrare a integralei ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este o pereche de numere $\alpha$ și $\beta$ pentru care poți demonstra că $\alpha \le {\int }_a^{b}f(x)dx\le \beta$; diferența $\beta -\alpha$ se numește lățimea încadrării, iar orice număr dintre $\alpha$ și $\beta$ este o estimare a integralei. Cu cât lățimea este mai mică, cu atât estimarea spune mai mult: o încadrare de lățime mare este adevărată, dar inutilă, iar una de lățime mică este exact ce se cere într-un laborator.

Reține deosebirea de statut față de lecția anterioară, Integrala definită: aria de sub grafic. Acolo integrala era definită ca arie; aici nu schimbăm definiția, ci recunoaștem că, uneori, nu avem decât desenul. Toate funcțiile din lecție rămân continue și pozitive pe intervalul închis pe care lucrăm, deci integrala este, în continuare, aria de sub grafic.

2. Cât valorează un pătrățel?

Pe hârtia de cromatograf, caroiajul are pasul $1$ pe orizontală, în unități de timp, și pasul $0,5$ pe verticală, în unități de semnal. Fiecare pătrățel este deci un dreptunghi cu laturile $1$ și $0,5$, iar aria lui este $1\cdot 0,5=0,5$ unități. Aceasta este prima întrebare pe care ți-o pui, înaintea oricărei numărători: cât valorează un pătrățel? Cine sare peste ea numără corect și răspunde greșit.

Numărătoarea propriu-zisă are apoi o regulă simplă. Se numără întâi pătrățelele întregi, cuprinse în totalitate sub curbă; apoi se numără pătrățelele tăiate de curbă și se socotește, pentru ele, cam jumătate din fiecare. Sub primul vârf al cromatogramei se numără $34$ de pătrățele întregi și $14$ tăiate, ceea ce dă aproximativ $34+7=41$ de pătrățele, adică o arie de $41\cdot 0,5=20,5$ unități.

Metoda are un cusur pe care e cinstit să-l spui: „cam jumătate" nu este o demonstrație. De aceea numărarea pătrățelelor dă o estimare bună, dar nu o garanție, iar pentru garanție avem nevoie de secțiunea următoare.

3. De ce este sigură încadrarea cu două dreptunghiuri?

Argumentul nu folosește nicio proprietate nouă a integralei, ci numai o observație despre figuri: dacă o suprafață este cuprinsă în alta, aria ei este mai mică sau egală.

Fie $f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$, fie $m$ cea mai mică valoare a ei pe acest interval și $M$ cea mai mare. Dreptunghiul de bază $[a,b]$ și înălțime $m$ este cuprins în întregime sub grafic, pentru că nicăieri graficul nu coboară sub $m$. La rândul lui, subgraficul este cuprins în dreptunghiul de bază $[a,b]$ și înălțime $M$, pentru că nicăieri graficul nu urcă peste $M$. Cele două incluziuni dau, dintr-un foc, $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$

Ia funcția $f(x)=x^2+2$ pe intervalul $[0,3]$. Ea crește pe acest interval, deci cea mai mică valoare este $f(0)=2$ și cea mai mare este $f(3)=11$. Încadrarea se scrie imediat: $$6\le {\int }_0^3\left(x^2+2\right)dx\le 33.$$ Lățimea ei este $33-6=27$ — foarte mare. Încadrarea este adevărată, dar nu spune mai nimic.

Atenție la un amănunt care se uită des: $m$ și $M$ sunt valorile extreme pe tot intervalul, nu valorile din capete. Ele coincid cu valorile din capete numai când funcția este monotonă, cum este cazul aici — iar monotonia se stabilește cu semnul derivatei, ca la Monotonia unei funcții cu ajutorul derivatei. La o funcție care urcă și apoi coboară, capetele pot fi amândouă mici, iar maximul să stea la mijloc.

4. Cum strângi încadrarea?

Revenim la aceeași funcție, $f(x)=x^2+2$ pe $[0,3]$, și repetăm raționamentul de mai sus pe bucăți. Tăiem intervalul în trei fâșii de lungime $1$ și, pe fiecare, luăm cea mai mică și cea mai mare valoare. Funcția fiind crescătoare, ele sunt tot valorile din capetele fâșiei: pe $[0,1]$ avem între $2$ și $3$, pe $[1,2]$ între $3$ și $6$, pe $[2,3]$ între $6$ și $11$.

Aria de sub grafic se compune din cele trei bucăți, așa că adunăm: marginea de jos devine $2+3+6=11$, iar cea de sus $3+6+11=20$. Prin urmare $$11\le {\int }_0^3\left(x^2+2\right)dx\le 20.$$ Lățimea a scăzut de la $27$ la $9$, dintr-o singură tăiere. Aceasta este toată metoda: mai multe fâșii înseamnă o încadrare mai strânsă, iar cât de departe mergi depinde de precizia cerută.

Merită observat de ce marginea de jos nu poate scădea când tai mai fin. Pe fiecare fâșie nouă, cea mai mică valoare este cel puțin cât cea mai mică valoare de pe fâșia mare din care provine, fiindcă minimul pe o parte nu poate fi mai mic decât minimul pe întreg. La fel, marginea de sus nu poate crește. Încadrările se strâng, deci, una într-alta.

5. De ce este trapezul mai bun decât dreptunghiul?

Pe o fâșie, dreptunghiul înlocuiește bucata de curbă cu un segment orizontal, care se depărtează de curbă la un capăt. Trapezul o înlocuiește cu segmentul care unește chiar cele două capete ale bucății de curbă — coarda — și care se lipește de curbă la amândouă capetele. E firesc, atunci, ca trapezul să greșească mai puțin.

Există chiar un caz în care el nu greșește deloc: dacă pe fâșie graficul este un segment, adică funcția este de gradul întâi acolo, atunci trapezul nu mai este o aproximare, ci chiar suprafața de sub grafic. Ai văzut asta la lecția anterioară, unde aria de sub graficul unei funcții de gradul întâi se calcula exact cu formula trapezului. De aici, o regulă practică bună: când datele tale arată o creștere aproape liniară, trapezul dă un rezultat foarte apropiat de adevăr.

6. Ce număr dai ca estimare și cu cât poate greși?

Dacă ai încadrarea $\alpha \le I\le \beta$, cea mai cinstită estimare este mijlocul ei, $\frac{\alpha +\beta }{2}$, pentru un motiv ușor de văzut: mijlocul este numărul cel mai depărtat de amândouă capetele periculoase. Oricare ar fi valoarea adevărată $I$ din interval, distanța de la ea la mijloc este cel mult jumătate din lățime.

Așadar, cu o încadrare de lățime $\beta -\alpha$, estimarea din mijloc greșește cu cel mult $\frac{\beta -\alpha }{2}$. Este singura garanție pe care ți-o poți asuma fără unelte suplimentare, iar la un rezultat de laborator ea se scrie alături de număr. Dacă marginea de eroare e prea mare pentru ce ai nevoie, răspunsul nu este să schimbi metoda, ci să tai mai fin.

7. Când estimezi și când calculezi?

Deosebirea este simplă și merită ținută minte ca pe o regulă de lucru.

Estimezi când nu ai formula funcției: ai o hârtie de la un aparat, un tabel de măsurători, un grafic din manual. Estimezi și când ai formula, dar vrei un control rapid al unui rezultat obținut altfel — o valoare care cade în afara încadrării este, cu siguranță, greșită.

Calculezi când ai formula funcției și îi știi o primitivă. De la lecția următoare, Formula Leibniz-Newton, de la primitivă la arie, vei avea la dispoziție un mijloc de calcul care dă valoarea exactă în două rânduri, iar funcțiile din programa clasei sunt tocmai acelea pentru care el se poate folosi. Estimarea nu devine însă inutilă: ea rămâne singura cale când lipsește formula și cel mai bun control când formula există.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numărarea pătrățelelor

Pe aceeași cromatogramă, sub al doilea vârf se numără $26$ de pătrățele întregi și $12$ tăiate de curbă. Estimează aria vârfului.

Rezolvare. Un pătrățel valorează $0,5$ unități, ca în secțiunea a doua. Pătrățelele tăiate se socotesc pe jumătate, deci contribuie cu aproximativ $6$ pătrățele întregi. În total avem în jur de $26+6=32$ de pătrățele, adică o arie de $32\cdot 0,5=16$ unități. Comparând cu primul vârf, care măsura $20,5$ unități, a doua substanță este mai puțin prezentă în probă decât prima.

Exemplul 2 — Încadrarea cu două dreptunghiuri

Încadrează ${\int }_1^3\left(x^2+4\right)dx$ folosind un singur dreptunghi de jos și unul de sus.

Rezolvare. Funcția $f(x)=x^2+4$ este continuă și crescătoare pe $[1,3]$, deci cea mai mică valoare este $f(1)=5$ și cea mai mare este $f(3)=13$. Intervalul are lungimea $2$, așa că $$10\le {\int }_1^3\left(x^2+4\right)dx\le 26.$$ Lățimea încadrării este $26-10=16$, iar estimarea din mijloc ar fi $\frac{10+26}{2}=18$, cu o eroare de cel mult $8$.

Exemplul 3 — Strângerea încadrării pe două fâșii

Pentru funcția $g(x)=2x^2+3$ pe intervalul $[0,2]$, scrie încadrarea obținută tăind intervalul în două fâșii de lungime $1$.

Rezolvare. Funcția este crescătoare pe $[0,2]$, iar valorile în capetele fâșiilor sunt $g(0)=3$, $g(1)=5$ și $g(2)=11$. Pe prima fâșie valorile stau între $3$ și $5$, pe a doua între $5$ și $11$. Adunând contribuțiile, marginea de jos este $3+5=8$, iar cea de sus $5+11=16$, deci $$8\le {\int }_0^2\left(2x^2+3\right)dx\le 16.$$

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev numără $46$ de pătrățele sub o curbă desenată pe un caroiaj cu pasul $0,5$ pe amândouă axele și scrie „aria este $46$". Arată unde a greșit și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Numărătoarea poate fi bună; concluzia nu este. Un pătrățel al acestui caroiaj are laturile $0,5$ și $0,5$, deci aria $0,5\cdot 0,5=0,25$ unități, nu $1$. Rezultatul corect este $46\cdot 0,25=11,5$ unități. Greșeala se prinde ușor cu un control de bun-simț: dacă întreaga figură ar încăpea într-un dreptunghi mult mai mic decât $46$ de unități de arie, răspunsul nu poate fi $46$.

Exemplul 5 — Un profil măsurat pe teren

Adâncimea apei într-un canal de irigație a fost măsurată din metru în metru, pe cei $6$ metri de lățime, și a dat valorile $0$; $0,6$; $1,0$; $1,2$; $1,0$; $0,6$; $0$, în metri. Încadrează aria secțiunii udate și dă o estimare.

Rezolvare. Aria secțiunii este aria de sub graficul adâncimii, iar despre adâncime nu știm nicio formulă: avem numai șapte valori măsurate. Grupăm lățimea în trei fâșii de câte $2$ metri și luăm, pe fiecare, cea mai mică și cea mai mare adâncime măsurată. Pe prima fâșie ele sunt $0$ și $1,0$, pe a doua $1,0$ și $1,2$, pe a treia $0$ și $1,0$. Marginea de jos este $2\cdot (0+1,0+0)=2$, iar cea de sus $2\cdot (1,0+1,2+1,0)=6,4$, deci aria secțiunii este cuprinsă între $2$ și $6,4$ metri pătrați, cu estimarea $\frac{2+6,4}{2}=4,2$ metri pătrați.

Două precizări de model, fără de care rezultatul ar fi citit greșit. Întâi, încadrarea se sprijină pe presupunerea că, între două măsurători vecine, adâncimea nu iese din intervalul pe care ele îl dau — presupunere rezonabilă pentru un fund de canal neted, dar care trebuie spusă, fiindcă șapte cifre nu descriu complet un profil. Apoi, adâncimea este, fizic, o mărime nenegativă, ceea ce se și vede în șirul măsurat; un model care ar da valori negative ar fi, prin chiar asta, greșit.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3$.

a) Încadrează ${\int }_0^{4}f(x)dx$ folosind un singur dreptunghi de jos și unul de sus.

b) Strânge încadrarea tăind intervalul în patru fâșii de lungime $1$.

c) Dă o estimare a integralei și precizează cu cât poate greși ea, cel mult.

Rezolvare. a) Funcția este continuă și crescătoare pe $[0,4]$, deci valoarea cea mai mică este $f(0)=3$ și cea mai mare este $f(4)=19$; intervalul are lungimea $4$, așa că $$12\le {\int }_0^4\left(x^2+3\right)dx\le 76.$$

b) Valorile în capetele fâșiilor sunt $f(0)=3$, $f(1)=4$, $f(2)=7$, $f(3)=12$ și $f(4)=19$. Adunând minimele, obținem $3+4+7+12=26$; adunând maximele, $4+7+12+19=42$. Prin urmare $$26\le {\int }_0^4\left(x^2+3\right)dx\le 42.$$

c) Estimarea este mijlocul încadrării, $\frac{26+42}{2}=34$, iar eroarea este cel mult jumătate din lățime, adică $\frac{42-26}{2}=8$. Cu patru fâșii am coborât marginea de eroare de la $32$ la $8$.

Să exersăm

1. Un caroiaj are pasul $0,5$ pe axa orizontală și pasul $0,5$ pe axa verticală. Cât valorează un pătrățel?

2. Încadrează ${\int }_0^2\left(5x^2+1\right)dx$ cu un singur dreptunghi de jos și unul de sus.

3. Strânge încadrarea de la exercițiul anterior tăind intervalul în două fâșii de lungime $1$.

4. Dă estimarea din mijlocul încadrării obținute la exercițiul $3$ și spune cu cât poate greși ea.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Două încadrări corecte ale aceleiași integrale, care au aceeași lățime, dau aceeași estimare din mijloc.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pe o fâșie, numărul dat de formula trapezului se află totdeauna între marginea de jos și marginea de sus ale încadrării cu dreptunghiuri de pe acea fâșie.

7. Calculează ${\int }_0^2(5x+4)dx$ și explică de ce un singur trapez dă aici valoarea exactă, nu o estimare.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru funcția $f(x)=2x^2+1$ pe $[0,3]$: a) scrie încadrarea cu două dreptunghiuri; b) strânge-o pe trei fâșii de lungime $1$; c) dă estimarea din mijloc.

9. Pe un desen cu pasul $1$ pe orizontală și $2$ pe verticală s-au numărat $17$ pătrățele întregi și $8$ tăiate de curbă. Estimează aria.

10. (Problemă aplicată.) O frunză este așezată pe hârtie milimetrică, unde un pătrățel are aria de $1$ milimetru pătrat. Se numără $3180$ de pătrățele întregi și $260$ tăiate de contur. Estimează aria frunzei în milimetri pătrați, apoi transform-o în centimetri pătrați.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru funcția $f(x)=2x^2+2x+5$ pe $[0,3]$, scrie încadrarea pe trei fâșii de lungime $1$ și dă estimarea din mijloc.

12. Pentru funcția $f(x)=-x^2+6x+2$ pe $[0,5]$, arată că cea mai mare valoare nu se atinge într-un capăt al intervalului, apoi scrie încadrarea cu două dreptunghiuri.

13. Pentru funcția $f(x)=x^2+2x+6$ pe $[1,3]$, scrie încadrarea pe două fâșii de lungime $1$ și dă estimarea din mijloc.

14. Arată că estimarea de la exercițiul $13$ nu poate greși cu mai mult de $6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^2+6$. a) Încadrează ${\int }_0^{2}f(x)dx$ cu două dreptunghiuri. b) Strânge încadrarea pe două fâșii de lungime $1$. c) Dă estimarea din mijloc.

16. Un elev scrie despre o integrală: „valoarea ei este aproximativ $27$, cu o eroare de cel mult $2$". Reface încadrarea din care a obținut el această estimare și spune cât este lățimea ei.

17. Încadrează ${\int }_1^2\left(3x^2+5\right)dx$ cu un singur dreptunghi de jos și unul de sus.

18. (Provocare.) Găsește o funcție continuă și pozitivă pe $[0,2]$ pentru care încadrarea cu două dreptunghiuri are lățimea $0$. Ce fel de funcție este ea și de ce nu există altele?

Răspunsuri și explicații

1. Pătrățelul este un dreptunghi cu laturile $0,5$ și $0,5$, deci valorează $0,5\cdot 0,5=0,25$ unități de arie.

2. Funcția $f(x)=5x^2+1$ este crescătoare pe $[0,2]$, cu $f(0)=1$ și $f(2)=21$; intervalul are lungimea $2$, deci $2\le {\int }_0^2\left(5x^2+1\right)dx\le 42$.

3. Valorile în capetele fâșiilor sunt $1$, $6$ și $21$. Marginea de jos devine $1+6=7$, cea de sus $6+21=27$, deci $7\le {\int }_0^2\left(5x^2+1\right)dx\le 27$.

4. Estimarea este $\frac{7+27}{2}=17$, cu o eroare de cel mult $\frac{27-7}{2}=10$.

5. Fals. Lățimea nu fixează și poziția încadrării. Dacă valoarea adevărată a integralei este $13$, atunci $9\le I\le 15$ și $11\le I\le 17$ sunt amândouă corecte și au aceeași lățime, $6$, dar mijlocurile lor sunt $12$ și $14$.

6. Adevărat. Pe fâșia $[a,b]$, trapezul dă numărul $\frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot (b-a)$. Valorile $f(a)$ și $f(b)$ sunt cuprinse între cea mai mică valoare $m$ și cea mai mare valoare $M$ de pe fâșie, deci și media lor este cuprinsă între $m$ și $M$; înmulțind cu lungimea $b-a$, numărul obținut stă între $m(b-a)$ și $M(b-a)$.

7. Funcția $f(x)=5x+4$ este de gradul întâi și pozitivă pe $[0,2]$, deci suprafața de sub grafic este chiar un trapez, nu o figură cu latură curbă. Prin urmare ${\int }_0^2(5x+4)dx=\frac{4+14}{2}\cdot 2=18$, valoare exactă, nu estimare.

8. a) Funcția este crescătoare pe $[0,3]$, cu valorile extreme $1$ și $19$, deci $3\le {\int }_0^3\left(2x^2+1\right)dx\le 57$. b) Valorile în capetele fâșiilor sunt $1$, $3$, $9$ și $19$, deci marginea de jos este $1+3+9=13$ și cea de sus $3+9+19=31$: $13\le {\int }_0^3\left(2x^2+1\right)dx\le 31$. c) Estimarea este $\frac{13+31}{2}=22$.

9. Un pătrățel valorează $1\cdot 2=2$ unități. Pătrățelele tăiate contribuie cu aproximativ $4$ întregi, deci avem în jur de $17+4=21$ de pătrățele, adică o arie de $21\cdot 2=42$ unități.

10. Pătrățelele tăiate se socotesc pe jumătate și dau aproximativ $130$ de pătrățele întregi, deci aria este de aproximativ $3180+130=3310$ milimetri pătrați. Cum un centimetru pătrat are $100$ de milimetri pătrați, rezultatul este de aproximativ $33,1$ centimetri pătrați.

11. Valorile în capetele fâșiilor sunt $f(0)=5$, $f(1)=9$, $f(2)=17$ și $f(3)=29$; funcția crește pe $[0,3]$, fiindcă vârful parabolei $2x^2+2x+5$ se află la stânga originii. Marginea de jos este $5+9+17=31$, cea de sus $9+17+29=55$, deci $31\le {\int }_0^3\left(2x^2+2x+5\right)dx\le 55$, cu estimarea $\frac{31+55}{2}=43$.

12. Coeficientul dominant este negativ, deci vârful parabolei este punct de maxim; abscisa lui este $x=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=3$, iar $f(3)=11$. În capete avem $f(0)=2$ și $f(5)=7$, amândouă sub $11$: cea mai mare valoare se atinge, așadar, în interiorul intervalului, iar cea mai mică este $m=2$. Funcția rămâne pozitivă pe $[0,5]$, iar intervalul are lungimea $5$, deci $10\le {\int }_0^5\left(-x^2+6x+2\right)dx\le 55$.

13. Valorile în capetele fâșiilor sunt $f(1)=9$, $f(2)=14$ și $f(3)=21$, iar funcția crește pe $[1,3]$, fiindcă vârful parabolei se află la stânga originii. Marginea de jos este $9+14=23$, cea de sus $14+21=35$, deci $23\le {\int }_1^3\left(x^2+2x+6\right)dx\le 35$, cu estimarea $\frac{23+35}{2}=29$.

14. Lățimea încadrării este $35-23=12$, iar mijlocul unui interval se află la cel mult jumătate din lungimea lui de orice punct al său, deci eroarea este cel mult $\frac{12}{2}=6$.

15. a) Funcția $f(x)=5x^2+6$ crește pe $[0,2]$, cu $f(0)=6$ și $f(2)=26$, deci $12\le {\int }_0^2\left(5x^2+6\right)dx\le 52$. b) Cu $f(1)=11$, marginea de jos devine $6+11=17$ și cea de sus $11+26=37$: $17\le {\int }_0^2\left(5x^2+6\right)dx\le 37$. c) Estimarea este $\frac{17+37}{2}=27$.

16. Estimarea din mijloc este $27$, iar jumătatea lățimii este $2$, deci capetele încadrării sunt $27-2=25$ și $27+2=29$: încadrarea este $25\le I\le 29$, iar lățimea ei este $29-25=4$.

17. Funcția $3x^2+5$ crește pe $[1,2]$, cu valorile extreme $8$ și $17$, iar intervalul are lungimea $1$, deci $8\le {\int }_1^2\left(3x^2+5\right)dx\le 17$.

18. Lățimea încadrării este $(M-m)(b-a)$, iar aici $b-a=2\ne 0$, deci lățimea este nulă exact când $M=m$, adică atunci când funcția ia o singură valoare: este o funcție constantă. Altele nu există, fiindcă o funcție continuă care ia două valori diferite are, pe intervalul închis, un maxim strict mai mare decât minimul.

De reținut

• O încadrare a integralei este o pereche de numere $\alpha \le {\int }_a^{b}f(x)dx\le \beta$ demonstrată, nu ghicită; estimarea este orice număr dintre ele, iar cea mai bună alegere este mijlocul.
• Pentru $f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$, cu valoarea cea mai mică $m$ și cea mai mare $M$, are loc $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$, prin simpla incluziune a figurilor.
• Tăind intervalul în fâșii și repetând raționamentul pe fiecare, încadrarea se strânge; marginea de jos nu scade niciodată, iar cea de sus nu crește.
• Estimarea din mijlocul unei încadrări de lățime $\beta -\alpha$ greșește cu cel mult $\frac{\beta -\alpha }{2}$ — singura garanție pe care o poți scrie alături de rezultat.
• Pe caroiaj se numără întâi valoarea unui pătrățel, apoi pătrățelele; cele tăiate de curbă se socotesc, aproximativ, pe jumătate.

Greșeli frecvente

• Numeri pătrățelele și uiți cât valorează unul. Pe un caroiaj cu pasul $0,5$ pe amândouă axele, un pătrățel valorează $0,25$, nu $1$; numărul de pătrățele nu este niciodată, de la sine, aria.
• Socotești întreg un pătrățel prin care trece curba. Pătrățelele tăiate se iau, aproximativ, pe jumătate; luate întregi, ele umflă rezultatul de fiecare dată în același sens, iar la o curbă cu multe tăieri abaterea se adună și devine vizibilă.
• Dai estimarea fără să spui cu cât poate greși. O estimare fără margine de eroare nu e un rezultat de laborator, ci o părere. Marginea se citește direct din lățimea încadrării.
• Crezi că o încadrare mai largă e mai sigură. Toate încadrările corecte sunt la fel de sigure; ele se deosebesc prin cât de mult spun. O încadrare de lățime mare este adevărată și inutilă în același timp.
• Confunzi lățimea fâșiei cu numărul de fâșii. Când tai $[0,4]$ în patru fâșii, fiecare are lungimea $1$, iar fiecare minim și maxim se înmulțește cu $1$, nu cu $4$. Greșeala se vede imediat: rezultatul iese de câteva ori mai mare decât dreptunghiul care cuprinde totul.

Aplică acasă

1. Cântarul în loc de riglă. Desenează pe hârtie o curbă oarecare, deasupra unei linii orizontale, și decupează suprafața dintre ele. Decupează separat un pătrat cu latura de $10$ centimetri din aceeași hârtie. Cântărește amândouă bucățile pe un cântar de bucătărie și află aria suprafeței curbe din raportul maselor. Compar-o cu estimarea obținută numărând pătrățelele de pe hârtie milimetrică.

2. Frunzarul. Alege trei frunze de mărimi diferite, așaz-le pe hârtie milimetrică și estimează aria fiecăreia prin numărare. Notează de fiecare dată câte pătrățele întregi și câte tăiate ai socotit, apoi repetă numărătoarea a doua zi, fără să te uiți la prima. Compară cele două rezultate și vezi cât de mare e nesiguranța ta de numărător.

3. Vânătoare de grafice. Caută în manualul de fizică, de chimie sau de biologie trei grafice pentru care aria de sub curbă are un înțeles. Pentru fiecare, taie intervalul în patru fâșii, scrie încadrarea și spune ce mărime ai estimat, cu ce unitate de măsură. Nu e nevoie de nicio formulă a curbei.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul află întâi valoarea unui pătrățel și abia apoi numără; dacă scrie o încadrare justificată prin incluziune de figuri, nu ghicită; și dacă însoțește orice estimare de marginea ei de eroare, citită din lățimea încadrării.

Dificultatea reală a temei nu este calculul, ci schimbarea de obișnuință. Elevii au fost antrenați ani la rând să dea un număr, iar aici li se cere să dea două, plus unul la mijloc. Merită insistat că o încadrare largă nu este un răspuns greșit, ci unul sărac, și că drumul spre un răspuns bogat trece prin tăierea intervalului, nu prin schimbarea metodei.

Întrebări bune de control: „Cât valorează un pătrățel pe acest desen?", „De ce ai voie să spui că integrala e mai mare decât acest număr?", „Ce se întâmplă cu încadrarea dacă tai în opt fâșii în loc de patru?", „Când dă trapezul chiar valoarea exactă?". Semne că a înțeles: nu mai spune „aproximativ" fără cifre; verifică singur dacă un rezultat calculat cade în încadrare; și, pusă în fața unei funcții care urcă și coboară, caută maximul în interior, nu în capete.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; tema apare la unitatea XII.4. Integrala definită, cu conținutul „estimări ale integralelor definite ale unor funcții continue și pozitive pornind de la reprezentările grafice ale acestora". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde estimarea de pe grafic nu apare deloc: acolo capitolul de integrală definită cere calculul, prin formula Leibniz-Newton și prin metodele de integrare. Pentru ei, lecția rămâne lectură utilă, nu materie de examen. Din 2030, tema intră la proba MAT_P2, domeniul Analiză matematică, iar la științe ale naturii matematica este atunci una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum estimezi o integrală dacă ai numai graficul?

Afli întâi cât valorează un pătrățel al caroiajului, înmulțind pasul de pe axa orizontală cu cel de pe axa verticală. Numeri apoi pătrățelele cuprinse complet sub curbă și le adaugi, socotite pe jumătate, pe cele tăiate de ea. Înmulțind totalul cu valoarea unui pătrățel obții estimarea ariei, adică a integralei.

Ce este o încadrare a unei integrale?

Este o pereche de numere despre care poți demonstra că integrala se află între ele. Se obține cel mai simplu din incluziunea figurilor: dreptunghiul de înălțime egală cu cea mai mică valoare a funcției este cuprins în subgrafic, iar subgraficul este cuprins în dreptunghiul de înălțime egală cu cea mai mare valoare. De aici $m(b-a)\le I\le M(b-a)$.

Cum faci încadrarea mai strânsă?

Tai intervalul în fâșii și repeți același raționament pe fiecare, cu minimul și maximul funcției pe acea fâșie. Adunând contribuțiile obții o încadrare nouă, cuprinsă în cea veche. Cu cât fâșiile sunt mai multe, cu atât lățimea scade, iar estimarea din mijloc devine mai bună.

Cu cât poate greși estimarea?

Cu cel mult jumătate din lățimea încadrării, dacă alegi ca estimare mijlocul ei. De pildă, la o încadrare între $26$ și $42$, estimarea $34$ greșește cu cel mult $8$. Este singura garanție pe care o poți scrie fără unelte în plus, iar ea se trece alături de rezultat, ca la orice măsurătoare de laborator.

Când dă metoda trapezului valoarea exactă?

Atunci când bucata de grafic de pe fâșie este chiar un segment, adică funcția este de gradul întâi acolo. Pentru orice curbă care nu e segment, trapezul rămâne o estimare, chiar dacă una bună. De aceea, pe o porțiune de grafic care arată ca o linie dreaptă, estimarea cu trapezul este practic exactă, iar tăierea în mai multe fâșii nu mai aduce aproape nimic.

Se cere și la mate-info (M1) estimarea unei integrale?

Da, dar altfel. La matematică-informatică estimarea numerică este o lecție de final de capitol, cu sume construite pe diviziuni, cu studiul vitezei cu care scade eroarea și cu verificarea pe instrumente digitale. La științe ale naturii programa cere exact ce am făcut aici: citirea de pe grafic, încadrarea și estimarea. Pentru comparație: Estimarea numerică a integralelor, la mate-info (M1).

La ce subiect apare estimarea de pe grafic la Bacalaureatul M2?

La niciunul, în sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen de atunci, cea din 2014, nu conține această cerință. Tema intră abia la proba MAT_P2 din 2030, la domeniul „Analiză matematică". Structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.