Evenimente independente

Ai aruncat o monedă de cinci ori și a ieșit de fiecare dată stema. La a șasea aruncare, mulți ar paria pe ban — „acum trebuie să iasă ban, s-a acumulat". Moneda însă nu ține minte nimic: probabilitatea este tot $\frac{1}{2}$, exact ca la prima aruncare. Această idee, că unele evenimente nu se influențează în niciun fel, pare simplă. Dificultatea începe când trebuie să decidem care evenimente sunt de acest fel și care nu — pentru că intuiția se înșală des în ambele sensuri.

De aceea matematica nu se bazează pe intuiție aici, ci pe un test numeric: două evenimente sunt independente exact atunci când probabilitatea ca ele să se producă amândouă este produsul probabilităților lor. Un singur calcul, un singur verdict. În această lecție învățăm testul, îl aplicăm pe exemple care surprind și lămurim confuzia cea mai răspândită din tot capitolul: aceea dintre evenimente independente și evenimente disjuncte — două noțiuni care sună asemănător și înseamnă lucruri aproape opuse.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția: $A$ și $B$ sunt independente dacă și numai dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
• Vei ști să verifici prin calcul dacă două evenimente date sunt independente sau nu.
• Vei ști formularea echivalentă cu probabilități condiționate: $P(B\mid A)=P(B)$.
• Vei ști de ce independent nu înseamnă disjunct — dimpotrivă, două evenimente disjuncte cu probabilități nenule sunt întotdeauna dependente.
• Vei ști să recunoști situațiile tipice de independență: aruncări repetate, extrageri cu revenire, dispozitive care funcționează separat.
• Vei ști să folosești independența pentru a calcula rapid probabilități de tipul „amândouă" și „cel puțin unul".

Hai să descoperim împreună

1. Ideea, apoi definiția

Am văzut în lecția Probabilități condiționate că o informație suplimentară schimbă, de obicei, probabilitatea unui eveniment. Uneori însă nu o schimbă deloc. Extragem o carte dintr-un pachet de $52$ și ne interesează evenimentul „este as". Fără nicio informație, $P(\text{as})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$. Dacă aflăm că este roșie, lumea se restrânge la $26$ de cărți, dintre care $2$ sunt ași:

$$P(\text{as}\mid \text{roșie})=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}=P(\text{as}).$$

Informația despre culoare nu a schimbat nimic. Spunem că evenimentele „carte roșie" și „as" sunt independente.

Ca definiție de lucru se preferă însă o formă simetrică, în care niciunul dintre evenimente nu are rol privilegiat și care nu cere nicio condiție de tipul $P(A)>0$:

Definiție. Evenimentele $A$ și $B$ se numesc independente dacă $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$ În caz contrar, ele se numesc dependente.

Verificare pe exemplul cu cărțile: $P(\text{roșie})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$, $P(\text{as})=\frac{1}{13}$, iar așii roșii sunt $2$, deci $P(\text{roșie}\cap \text{as})=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$. Într-adevăr,

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{13}=\frac{1}{26}.✓$$

2. Formularea echivalentă, cu probabilități condiționate

Dacă $P(A)>0$, împărțim definiția la $P(A)$ și obținem

$$\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B),\text{adica˘}P(B\mid A)=P(B).$$

Traducere în cuvinte. Două evenimente sunt independente când informația că unul s-a produs nu schimbă probabilitatea celuilalt.

Analog, dacă $P(B)>0$, independența este echivalentă și cu $P(A\mid B)=P(A)$. Cele trei formulări spun același lucru; folosește-o pe cea mai comodă pentru datele problemei tale.

3. Testul în trei pași

Ca să decizi dacă două evenimente sunt independente, nu ghici — calculează:

1. Calculează $P(A)$.
2. Calculează $P(B)$.
3. Calculează $P(A\cap B)$ și compară cu produsul $P(A)\cdot P(B)$. Egale $\Rightarrow$ independente; diferite $\Rightarrow$ dependente.

Exemplu 1. Se aruncă două zaruri. $A$ = „primul zar arată o față pară", $B$ = „al doilea zar arată $5$".

$$P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2},P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12},$$

iar $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$. Independente — ceea ce era de așteptat, zarurile fiind aruncate separat.

Exemplu 2 (surprinzător). Aceleași două zaruri, dar $A$ = „suma fețelor este $7$" și $B$ = „primul zar arată $3$".

$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},P(A\cap B)=\frac{1}{36},$$

pentru că singura pereche cu primul zar $3$ și suma $7$ este $(3,4)$. Cum $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$, evenimentele sunt independente, deși unul dintre ele vorbește despre sumă, iar celălalt despre primul zar!

Exemplu 3 (aproape identic, dar dependent). $A$ = „suma este $8$", $B$ = „primul zar arată $3$". Acum

$$P(A)=\frac{5}{36},P(B)=\frac{1}{6},P(A\cap B)=\frac{1}{36},$$

iar $\frac{5}{36}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216}\ne \frac{1}{36}=\frac{6}{216}$. Dependente.

Compară Exemplele 2 și 3: aceeași structură, o singură cifră schimbată în enunț, verdict opus. Aceasta este dovada cea mai bună că independența nu se ghicește din context, ci se verifică prin calcul.

4. Independent NU înseamnă disjunct

Aceasta este confuzia care produce cele mai multe greșeli din tot capitolul. Cele două noțiuni descriu lucruri diferite:

Priviți ultima linie: dacă două evenimente sunt disjuncte, informația că s-a produs unul este o informație foarte puternică despre celălalt — anume, că nu s-a produs. Departe de a fi independente, ele sunt cât se poate de dependente.

Exemplul numeric care lămurește totul. Se aruncă un zar. Fie $A=\{1,2\}$ și $B=\{3,4\}$. Evenimentele sunt evident disjuncte. Verificăm independența:

$$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(A\cap B)=0,$$

în timp ce $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\ne 0$. Deci nu sunt independente. Verificarea prin condiționare confirmă: $P(B\mid A)=0$, în timp ce $P(B)=\frac{1}{3}$ — informația a schimbat radical probabilitatea.

Regulă. Dacă $P(A)>0$ și $P(B)>0$, atunci evenimente disjuncte sunt întotdeauna dependente. Iar două evenimente independente cu probabilități nenule se suprapun obligatoriu.

Vezi și lecția Evenimente disjuncte. Diagrame Venn pentru noțiunea de disjuncție.

5. Un exemplu care sparge alt mit: independența pe același zar

Se aude uneori că evenimente „din același experiment" nu pot fi independente. Fals. Aruncăm un singur zar și luăm $A$ = „față pară" $=\{2,4,6\}$, $B$ = „față cel mult egală cu $4$" $=\{1,2,3,4\}$. Atunci $A\cap B=\{2,4\}$ și

$$P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}.✓$$

Sunt independente, deși provin din același zar. Independența este o proprietate numerică a probabilităților, nu o proprietate fizică a experimentelor.

6. Situațiile tipice de independență

În problemele de clasa a X-a, independența apare aproape întotdeauna în una dintre situațiile:

• Aruncări repetate ale unei monede sau ale unui zar: rezultatele anterioare nu influențează cu nimic aruncarea următoare.
• Extrageri cu revenire: obiectul scos se pune înapoi, compoziția urnei se reface, deci a doua extragere „nu știe" nimic despre prima.
• Dispozitive sau persoane care funcționează separat: două becuri de pe circuite diferite, doi elevi care răspund independent la aceeași întrebare, două semafoare necorelate.

Iar dependența apare tipic la:

• Extrageri fără revenire, unde compoziția se schimbă;
• selecții dintr-un grup fix, unde alegerea unui element îi elimină pe ceilalți;
• date reale dintr-un tabel, unde caracteristicile studiate sunt de obicei legate între ele.

Ilustrare pe o urnă cu $4$ bile albe și $6$ negre, din care extragem două bile. Fie $A$ = „prima bilă e albă", $B$ = „a doua bilă e albă".

(La extragerea fără revenire, $P(A\cap B)=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{15}\approx 0,133$, în timp ce produsul dă $0,16$.)

7. La ce folosește independența

Odată stabilită independența, calculele devin mult mai scurte.

„Amândouă": $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, direct.

„Cel puțin unul": combinăm independența cu evenimentul contrar, folosind faptul că, dacă $A$ și $B$ sunt independente, atunci și $\overline{A}$ și $\overline{B}$ sunt independente:

$$P(\text{cel puțin unul})=1-P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}).$$

Exemplu. Două semafoare de pe traseul spre școală funcționează necorelat; primul este verde cu probabilitatea $0,4$, al doilea cu probabilitatea $0,3$. Atunci:

• ambele verzi: $0,4\cdot 0,3=0,12$;
• niciunul verde: $0,6\cdot 0,7=0,42$;
• cel puțin unul verde: $1-0,42=0,58$.

Proba: probabilitățile celor patru situații posibile — ambele verzi, doar primul, doar al doilea, niciunul — sunt $0,12$, $0,4\cdot 0,7=0,28$, $0,6\cdot 0,3=0,18$ și $0,42$; suma lor este exact $1$. ✓

8. Rezumat operațional

• Vrei să verifici independența: compară $P(A\cap B)$ cu $P(A)\cdot P(B)$.
• Enunțul îți garantează independența (aruncări separate, extragere cu revenire, dispozitive necorelate): folosește direct înmulțirea.
• Ai date reale dintr-un tabel sau extrageri fără revenire: presupune dependența și lucrează cu probabilități condiționate.
• Vezi cuvântul „disjuncte": nu confunda — acolo se adună la reuniune, nu se înmulțește la intersecție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două aruncări de monedă

Se aruncă o monedă de două ori. Fie $A$ = „prima aruncare dă stemă" și $B$ = „a doua aruncare dă stemă". Sunt independente? Care este probabilitatea ca amândouă să dea stemă?

Rezolvare. Cazuri posibile: $2\cdot 2=4$, anume $SS$, $SB$, $BS$, $BB$. Avem $P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{1}{2}$ și $P(A\cap B)=P(SS)=\frac{1}{4}$. Cum $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, evenimentele sunt independente, iar probabilitatea cerută este $\frac{1}{4}$.

Exemplul 2 — Verificare pe date dintr-un tabel

Într-o școală cu $200$ de elevi sunt $120$ de băieți, iar $130$ de elevi practică un sport, dintre care $90$ sunt băieți. Sunt independente evenimentele „elevul ales este băiat" și „elevul ales practică un sport"?

Rezolvare.

$$P(\text{ba˘iat})=\frac{120}{200}=\frac{3}{5},P(\text{sport})=\frac{130}{200}=\frac{13}{20},P(\text{ba˘iat}\cap \text{sport})=\frac{90}{200}=\frac{9}{20}.$$

Produsul este $\frac{3}{5}\cdot \frac{13}{20}=\frac{39}{100}=0,39$, în timp ce intersecția are probabilitatea $0,45$. Cele două numere diferă, deci evenimentele sunt dependente: în această școală, băieții practică sport mai des decât media.

Exemplul 3 — Cu revenire și fără revenire

O urnă conține $4$ bile albe și $6$ negre. Se extrag două bile. Verifică dacă evenimentele „prima e albă" și „a doua e albă" sunt independente: a) la extragere cu revenire; b) la extragere fără revenire.

Rezolvare. În ambele cazuri $P(A)=P(B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

a) Cu revenire: $P(A\cap B)=\frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}=\frac{4}{25}$, iar produsul este tot $\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$. Independente.

b) Fără revenire: $P(A\cap B)=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{15}\approx 0,133$, iar produsul rămâne $\frac{4}{25}=0,16$. Valorile diferă, deci evenimentele sunt dependente.

Exemplul 4 — Disjuncte, deci dependente

Se aruncă un zar. Fie $A$ = „apare fața $1$ sau $2$" și $B$ = „apare fața $3$ sau $4$". Sunt disjuncte? Dar independente?

Rezolvare. Sunt disjuncte, pentru că o singură față apare la o aruncare și nu poate fi în același timp în $\{1,2\}$ și în $\{3,4\}$; deci $P(A\cap B)=0$.

Pentru independență comparăm cu produsul: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\ne 0$. Prin urmare evenimentele nu sunt independente. Confirmare prin condiționare: $P(B\mid A)=0\ne \frac{1}{3}=P(B)$ — dacă știm că a apărut $1$ sau $2$, știm sigur că nu a apărut $3$ sau $4$.

Exemplul 5 — Două utilaje

Într-un atelier lucrează două utilaje care se defectează independent unul de altul: primul se defectează într-o zi cu probabilitatea $0,05$, al doilea cu probabilitatea $0,08$. Care este probabilitatea ca într-o zi: a) să nu se defecteze niciunul; b) să se defecteze cel puțin unul; c) să se defecteze amândouă?

Rezolvare. a) Fiind independente, și evenimentele contrare sunt independente:

$$P(\text{niciunul})=(1-0,05)(1-0,08)=0,95\cdot 0,92=0,874.$$

b) Contrarul lui a):

$$P(\text{cel puțin unul})=1-0,874=0,126.$$

c) $P(\text{amaˆndoua˘})=0,05\cdot 0,08=0,004$.

Observă cât de mică este probabilitatea de la c) față de cea de la b): „cel puțin unul" și „amândouă" sunt evenimente foarte diferite.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se aruncă un zar de două ori. Se consideră evenimentele $A$ = „prima aruncare dă un număr par" și $B$ = „a doua aruncare dă un număr mai mare decât $4$". a) Calculați $P(A)$ și $P(B)$. b) Calculați $P(A\cap B)$. c) Arătați că evenimentele $A$ și $B$ sunt independente.

Rezolvare. Cazuri posibile: $6\cdot 6=36$ perechi ordonate.

a) $A$ se produce dacă prima față este $2$, $4$ sau $6$, iar a doua e oricare: $3\cdot 6=18$ cazuri, deci $P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. Analog, $B$ cere a doua față în $\{5,6\}$: $6\cdot 2=12$ cazuri, deci $P(B)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.

b) Pentru intersecție, prima față în $\{2,4,6\}$ și a doua în $\{5,6\}$: $3\cdot 2=6$ cazuri, deci

$$P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

c) Verificăm definiția: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(A\cap B)$, deci evenimentele sunt independente. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu de verificare, calculează întâi $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cap B)$, apoi compară cu produsul.

1. Se aruncă două zaruri. Fie $A$ = „primul zar arată $3$" și $B$ = „al doilea zar arată o față pară". Verifică independența și calculează $P(A\cap B)$.

2. Se știe că $P(A)=0,4$, $P(B)=0,5$ și $P(A\cap B)=0,2$. Sunt $A$ și $B$ independente?

3. Se știe că $P(A)=0,3$, $P(B)=0,6$ și $P(A\cap B)=0,2$. Sunt $A$ și $B$ independente?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două evenimente disjuncte sunt întotdeauna independente."

5. Se aruncă un zar. Fie $A$ = „față pară" și $B$ = „față cel mult egală cu $4$". Verifică dacă sunt independente.

6. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$. Fie $A$ = „carte roșie" și $B$ = „as". Sunt independente?

7. Într-o școală cu $200$ de elevi sunt $120$ de băieți; practică sport $130$ de elevi, dintre care $90$ sunt băieți. Verifică independența evenimentelor „băiat" și „practică sport".

8. O urnă are $4$ bile albe și $6$ negre. Se extrag două bile cu revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie albe?

9. Aceeași urnă, extragere fără revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie albe? Compară cu rezultatul de la exercițiul $8$.

10. Se aruncă o monedă de două ori. Verifică independența evenimentelor „prima dă stemă" și „a doua dă stemă".

11. (Problemă aplicată.) Două semafoare funcționează necorelat: primul e verde cu probabilitatea $0,4$, al doilea cu $0,3$. Calculează probabilitatea ca amândouă să fie verzi și probabilitatea ca cel puțin unul să fie verde.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ și $B$ sunt independente, atunci și $\overline{A}$ și $B$ sunt independente."

13. Se aruncă două zaruri. Fie $A$ = „suma este $7$" și $B$ = „primul zar arată $3$". Sunt independente?

14. Se aruncă două zaruri. Fie $A$ = „suma este $8$" și $B$ = „primul zar arată $3$". Sunt independente? Compară cu exercițiul $13$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se aruncă un zar de două ori. Fie $A$ = „prima aruncare dă un număr par" și $B$ = „a doua aruncare dă un număr mai mare decât $4$". a) Calculați $P(A)$ și $P(B)$. b) Arătați că $A$ și $B$ sunt independente.

16. (Problemă aplicată.) Două utilaje se defectează independent, cu probabilitățile $0,05$ și $0,08$. Calculează probabilitatea ca într-o zi să nu se defecteze niciunul și probabilitatea ca să se defecteze cel puțin unul.

17. Se aruncă un zar de două ori. Care este probabilitatea ca prima față să fie pară și a doua mai mare decât $4$?

18. (Provocare.) Găsește, la aruncarea unui singur zar, o pereche de evenimente independente diferită de cea din lecție, în care niciunul dintre evenimente să nu fie sigur sau imposibil. Justifică prin calcul.

Răspunsuri și explicații

1. $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$. Cum $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$, evenimentele sunt independente, iar probabilitatea cerută este $\frac{1}{12}$.

2. $P(A)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,5=0,2=P(A\cap B)$, deci da, sunt independente.

3. $P(A)\cdot P(B)=0,3\cdot 0,6=0,18\ne 0,2$, deci nu sunt independente.

4. Fals. Dacă sunt disjuncte, $P(A\cap B)=0$, iar produsul $P(A)\cdot P(B)$ este nenul ori de câte ori ambele probabilități sunt nenule. Deci, departe de a fi independente, ele sunt dependente: știind că s-a produs unul, știi sigur că celălalt nu s-a produs.

5. $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $A\cap B=\{2,4\}$ cu $P=\frac{1}{3}$. Cum $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$, evenimentele sunt independente, deși provin din același zar.

6. $P(\text{roșie})=\frac{1}{2}$, $P(\text{as})=\frac{1}{13}$, $P(\text{as roșu})=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{13}$. Independente.

7. $\frac{3}{5}\cdot \frac{13}{20}=\frac{39}{100}=0,39$, dar $P(A\cap B)=\frac{90}{200}=0,45$. Dependente.

8. Cu revenire: $\frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}=\frac{4}{25}=0,16$.

9. Fără revenire: $\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{15}\approx 0,133$, mai puțin decât $0,16$. Prima extragere sărăcește urna în bile albe, deci a doua devine mai puțin probabilă — semn de dependență.

10. $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ și $P(A\cap B)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$. Independente.

11. Ambele verzi: $0,4\cdot 0,3=0,12$. Cel puțin unul verde: $1-0,6\cdot 0,7=1-0,42=0,58$.

12. Adevărat. Cazurile favorabile lui $B$ se împart în cele care sunt și în $A$ și cele care nu sunt, deci $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)\left(1-P(A)\right)=P(\overline{A})\cdot P(B)$. Verificare numerică pe zaruri: pentru $A$ = „primul par" și $B$ = „al doilea $5$", avem $P(\overline{A}\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}$. ✓

13. $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{1}{6}$, iar $A\cap B=\{(3,4)\}$ cu $P=\frac{1}{36}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$. Independente, deși pare surprinzător.

14. $P(A)=\frac{5}{36}$ (perechile $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$), $P(B)=\frac{1}{6}$, $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$. Produsul este $\frac{5}{216}$, iar $\frac{1}{36}=\frac{6}{216}$. Dependente. Diferența față de exercițiul $13$ vine din faptul că suma $7$ se poate obține cu orice valoare a primului zar, pe când suma $8$ nu (nu se poate obține cu $1$).

15. a) $P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$. b) $P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$, deci evenimentele sunt independente.

16. Niciunul: $0,95\cdot 0,92=0,874$. Cel puțin unul: $1-0,874=0,126$.

17. Prima față pară și a doua în $\{5,6\}$: $3\cdot 2=6$ cazuri din $36$, deci $\frac{1}{6}$. Prin independență: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. ✓

18. Un exemplu: $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{1,4\}$. Avem $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, iar $A\cap B=\{1\}$ cu $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$. Cum $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, evenimentele sunt independente. Ideea de construcție: alege $A$ cu $P(A)=\frac{1}{2}$ și apoi $B$ astfel încât exact jumătate dintre elementele lui $B$ să fie în $A$.

De reținut

• Definiția: $A$ și $B$ sunt independente dacă și numai dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Este un test numeric, nu o impresie.
• Formularea echivalentă: pentru $P(A)>0$, independența înseamnă $P(B\mid A)=P(B)$ — informația că $A$ s-a produs nu schimbă cu nimic probabilitatea lui $B$.
• Independent $\ne$ disjunct. Disjunct înseamnă $P(A\cap B)=0$; două evenimente disjuncte cu probabilități nenule sunt obligatoriu dependente.
• Situații tipice de independență: aruncări repetate, extrageri cu revenire, dispozitive necorelate. Situații tipice de dependență: extrageri fără revenire, selecții dintr-un grup fix, date reale din tabele.
• Calcule scurtate: la evenimente independente, $P(\text{amaˆndoua˘})=P(A)\cdot P(B)$ și $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$.

Greșeli frecvente

• Confundarea independenței cu disjuncția. Sunt noțiuni aproape opuse: la evenimente disjuncte se adună probabilitățile pentru reuniune, la evenimente independente se înmulțesc pentru intersecție.
• Presupunerea independenței fără verificare. La date dintr-un tabel sau la extrageri fără revenire, evenimentele sunt aproape întotdeauna dependente. Verifică prin calcul înainte de a înmulți.
• Credința că evenimentele din același experiment nu pot fi independente. Contraexemplu: pe același zar, $\{2,4,6\}$ și $\{1,2,3,4\}$ sunt independente.
• „Legea seriilor". După cinci steme la rând, probabilitatea de stemă la a șasea aruncare rămâne $\frac{1}{2}$: aruncările sunt independente, iar moneda nu compensează nimic.
• Confundarea lui „cel puțin unul" cu „amândouă". La cele două utilaje, $0,126$ față de $0,004$ — o diferență de peste $30$ de ori.

Aplică acasă

1. Moneda care nu ține minte. Aruncă o monedă de $40$ de ori și notează rezultatele în ordine. Numără de câte ori după o stemă a urmat tot stemă și compară raportul obținut cu $\frac{1}{2}$. Vei vedea că nu apare nicio „compensare".

2. Tabelul din clasă, testat. Ia tabelul cu două caracteristici construit pentru colegii tăi și verifică numeric dacă cele două caracteristici sunt independente. Aproape sigur nu vor fi — formulează o explicație pentru legătura dintre ele.

3. Cu revenire, fără revenire. Ia $4$ obiecte de un fel și $6$ de alt fel într-o pungă. Extrage două obiecte de $20$ de ori punând primul înapoi, apoi încă de $20$ de ori fără să-l pui înapoi. Numără de câte ori ai obținut două obiecte de primul fel în fiecare serie și compară cu valorile teoretice $0,16$ și $0,133$.

Pentru părinți și profesori

Programa cere independența doar pentru două evenimente, în contexte practice, iar lecția respectă exact acest cadru. Miza pedagogică principală este separarea fermă a două noțiuni pe care elevii le confundă sistematic: „disjuncte" (nu se pot produce simultan) și „independente" (nu se influențează). Confuzia are consecințe imediate în calcul, pentru că una duce la adunare, cealaltă la înmulțire.

Ce verifică lecția: (1) aplicarea testului $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ ca verificare, nu ca formulă aplicată orbește; (2) formularea echivalentă $P(B\mid A)=P(B)$; (3) demonstrarea faptului că evenimentele disjuncte cu probabilități nenule sunt dependente; (4) recunoașterea situațiilor tipice — cu revenire față de fără revenire; (5) folosirea independenței împreună cu evenimentul contrar la enunțurile „cel puțin unul".

Întrebări bune de control: „Cât face produsul $P(A)\cdot P(B)$ și cât face $P(A\cap B)$?", „Dacă îți spun că s-a produs $A$, se schimbă șansele lui $B$?", „Extragerea e cu sau fără revenire?". Semne că elevul a înțeles: nu mai spune „sunt independente pentru că nu se pot întâmpla amândouă" și verifică prin calcul înainte de a înmulți. Materialul se sprijină pe lecțiile Probabilitatea intersecției a două evenimente și Evenimentul contrar și probabilitatea lui, iar aplicațiile continuă în Probabilități în situații practice: jocuri, asigurări, teste.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două evenimente sunt independente? Înseamnă că probabilitatea intersecției lor este produsul probabilităților: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Echivalent, informația că unul dintre ele s-a produs nu schimbă probabilitatea celuilalt.

Cum verific dacă două evenimente sunt independente? Calculezi $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cap B)$, apoi compari intersecția cu produsul. Dacă cele două numere coincid, evenimentele sunt independente; dacă diferă, sunt dependente.

Care este diferența dintre evenimente disjuncte și evenimente independente? Disjuncte înseamnă că nu se pot produce simultan ($P(A\cap B)=0$); independente înseamnă că nu se influențează ($P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$). Sunt noțiuni diferite și, pentru probabilități nenule, chiar incompatibile între ele.

Pot fi două evenimente și disjuncte, și independente? Numai dacă unul dintre ele are probabilitatea $0$. Altfel, produsul $P(A)\cdot P(B)$ este strict pozitiv, în timp ce $P(A\cap B)=0$, deci definiția nu poate fi îndeplinită.

Extragerea fără revenire dă evenimente independente? Nu. Scoțând un obiect și nepunându-l înapoi, schimbi compoziția, deci a doua extragere depinde de prima. Independența apare la extragerea cu revenire.

Dacă am dat de cinci ori stemă, e mai probabil să dea ban la a șasea aruncare? Nu. Aruncările sunt independente, deci probabilitatea rămâne $\frac{1}{2}$, indiferent de trecut. Ideea că „trebuie să se compenseze" este o eroare de raționament, nu o proprietate a monedei.

Cum calculez „cel puțin unul" la evenimente independente? Folosești evenimentul contrar: $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$, pentru că, dacă $A$ și $B$ sunt independente, atunci și contrarele lor sunt.

Pot exista evenimente independente în același experiment? Da. La aruncarea unui singur zar, evenimentele $\{2,4,6\}$ și $\{1,2,3,4\}$ sunt independente, pentru că $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$, exact probabilitatea intersecției $\{2,4\}$.