Forma algebrică a unui număr complex: pe scurt

Forma algebrică: orice număr complex se scrie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; mulțimea lor este $\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\}$. Scrierea este unică — dacă $a+bi=c+di$ cu toate patru reale, atunci $a=c$ și $b=d$, pentru că altfel $i$ ar ieși egal cu un cât de numere reale, adică ar fi real, ceea ce e imposibil.

Datorită unicității, definim fără ambiguitate: $\mathrm{Re}(z)=a$ (partea reală) și $\mathrm{Im}(z)=b$ (partea imaginară) — ambele sunt numere reale; partea imaginară este $b$, niciodată $bi$. Un număr e real $⟺\mathrm{Im}(z)=0$ (o singură condiție); e pur imaginar $⟺\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ (două condiții — numărul $0$ este real, nu pur imaginar, pentru că are ambele părți nule).

«A aduce la forma algebrică» înseamnă a înlocui $i^2$ cu $-1$ ori de câte ori apare și a scrie $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$, apoi a grupa termenii — o expresie ca $3+2i^2$ arată complex, dar este de fapt numărul real $1$. Când împarți la un număr real, împarți fiecare dintre cele două părți.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați $\mathrm{Im}(z)$ pentru $z=6-9i$.

   • a) $-9$
   • b) $9$
   • c) $-9i$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-9$

   Partea imaginară este numărul real care înmulțește $i$, cu semn: $\mathrm{Im}(6-9i)=-9$, nu $-9i$.

2. Aduceți la forma algebrică $5+3i^2$.

   • a) $8$
   • b) $2$
   • c) $5+3i$
   • d) $2i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Înlocuim $i^2=-1$: $5+3\cdot (-1)=5-3=2$ — deși arată complex, este numărul real $2$.

3. Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $z=(m-4)+(m^2-16)i$ să fie număr real.

   • a) $m=-4$
   • b) $m=4$
   • c) $m\in \{-4,4\}$
   • d) $m\in \{-16,16\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $m\in \{-4,4\}$

   $z$ este real $⟺\mathrm{Im}(z)=0$, adică $m^2-16=0$, deci $m\in \{-4,4\}$. Pentru $m=4$: $z=0$; pentru $m=-4$: $z=-8$ — ambele sunt reale, deci ambele valori convin.