Formula de schimbare a bazei: pe scurt

Formula de schimbare a bazei spune că toți logaritmii sunt, în esență, «același logaritm»: pentru $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .$ Argumentul stă sus, baza jos — verificarea rapidă e $b = a$ , care dă $1 = 1$ în ambii membri.

Din formulă decurg trei consecințe pe care le folosești mereu. Luând $c = b$ : $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , valabilă doar dacă și $b \neq = 1$ (altfel $lo g_{b} a$ nici nu există). Luând $c = a$ : $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ — exponentul bazei coboară la numitor, nu se înmulțește. Și, «veriga din mijloc se simplifică»: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ , de unde produsele lungi de tipul $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 8$ se calculează dintr-o privire, fără nicio valoare numerică intermediară.

Pe calculator, orice logaritm se obține din $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ — rezultatul nu depinde de tasta aleasă, pentru că factorul de conversie se simplifică. Cu $l g 2 \approx 0, 3010$ , formula răspunde și la întrebări practice, precum câte cifre are un număr uriaș.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $lo g_{9} 27$ .
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $\frac{2}{3}$
- c) $3$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{2}$

Aducem la baza $3$ : $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ , deci $lo g_{9} 27 = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 9} = \frac{3}{2}$ . Verificare: $9^{3/2} = (3^{2})^{3/2} = 3^{3} = 27$ ✓.
Pentru $a, b > 0$ , $a \neq = 1$ , $b \neq = 1$ , produsul $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a$ este întotdeauna egal cu:
- a) $0$
- b) $1$
- c) $ab$
- d) $lo g_{a} a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

Din formula de schimbare a bazei cu $c = b$ rezultă $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ , deci $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ . Condiția $b \neq = 1$ este esențială — fără ea, $lo g_{b} a$ nici nu are sens.
Calculați $lo g_{1/2} 8$ .
- a) $- \frac{1}{8}$
- b) $3$
- c) $- 3$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 3$

Cu $lo g_{1/ a} b = - lo g_{a} b$ : $lo g_{1/2} 8 = - lo g_{2} 8 = - 3$ . Verificare: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3} = 8$ ✓.

Formula de schimbare a bazei: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu