Cum arăt că log₂ 3·log₃ 8=3?

Scrii ambii factori în baza 10: (lg 3)/(lg 2)· (lg 8)/(lg 3)= (lg 8)/(lg 2), iar lg 3 se simplifică. Rămâne log₂ 8=3, iar baza aleasă pentru trecere nu contează. Regula generală este logₐ b·log_b c=logₐ c, pentru baze pozitive și diferite de 1.

Cum aflu un logaritm în baza 3 pe calculator?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Logaritmi în orice bază, pe calculator

Calculatorul are doar tastele „log” (baza $10$ ) și „ln” (baza $e$ ), așa că folosești $lo g_{3} b = \frac{l g b}{l g 3}$ : argumentul sus, baza jos, aceeași tastă în ambele locuri. Exemplu: $lo g_{3} 20 = \frac{l g 20}{l g 3} \approx \frac{1 , 30103}{0 , 47712} \approx 2, 727$ . Controlul: $3^{2} = 9 < 20 < 27 = 3^{3}$ , deci rezultatul trebuie să fie între $2$ și $3$ . Cu „ln” sus și jos obții același număr.

Formula de schimbare a bazei scrie orice logaritm ca un cât: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ , cu argumentul la numărător și baza veche la numitor, ambele logaritmate într-o bază nouă permisă. Justificarea are trei rânduri: din $a^{x} = b$ iei logaritmul în baza nouă, cobori exponentul și împarți la $lo g_{c} a$ , care nu este zero pentru că $a \neq = 1$ .

Pe calculator alegi baza zece sau baza $e$ : tasta „log” sau tasta „ln”, aceeași sus și jos. Ambele dau același rezultat, pentru că trecerea de la o bază la alta înmulțește numărătorul și numitorul cu același număr.

Orice rezultat se controlează de două ori. Înainte de calcul încadrezi valoarea între două puteri întregi ale bazei; după calcul ridici baza la rezultat și trebuie să obții aproape argumentul. Când baza este apropiată de unu, numitorul e mic și îi păstrezi toate cifrele, pentru că eroarea lui trece întreagă în rezultat. Semnele numărătorului și numitorului îți spun semnul rezultatului.

În științe, formula dă numărul de pași după care o mărime înmulțită cu un factor fix atinge un prag. Pașii sunt numere naturale, deci rezultatul se interpretează și se verifică pe puterile vecine.

De reținut

$lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{l n b}{l n a}$
încadrarea între puteri întregi ale bazei se face înainte de calcul
numărul de pași până la un prag se verifică pe puterile vecine

Greșeala tipică

Se inversează fracția și se calculează $\frac{l g 3}{l g 20} \approx 0, 37$ pentru $lo g_{3} 20$ ; încadrarea între $2$ și $3$ arată imediat greșeala: argumentul stă sus, baza jos.

Exerciții din această mini-lecție

Pe un calculator cu tastele „log” și „ln”, numărul $lo g_{9} 50$ se obține ca:
- a) $\frac{l g 50}{l g 9}$
- b) $\frac{l g 9}{l g 50}$
- c) $l g \frac{50}{9}$
- d) $l g 50 - l g 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{l g 50}{l g 9}$

Argumentul stă la numărător, baza la numitor: $lo g_{9} 50 = \frac{l g 50}{l g 9} \approx 1, 780$ . Ultimele două variante sunt $l g \frac{50}{9}$ , cu totul alt număr.
Între ce întregi consecutivi se află $lo g_{4} 90$ ?
- a) $2$ și $3$
- b) $3$ și $4$
- c) $4$ și $5$
- d) $22$ și $23$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$ și $4$

Din $4^{3} = 64 < 90 < 256 = 4^{4}$ rezultă $3 < lo g_{4} 90 < 4$ . Calculatorul confirmă: $lo g_{4} 90 \approx 3, 246$ .
Valoarea câtului $\frac{ln 49}{ln 7}$ este:
- a) $ln 7$
- b) $7$
- c) $2$
- d) $ln 42$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

Câtul este $lo g_{7} 49 = 2$ . Altfel: $ln 49 = ln 7^{2} = 2 ln 7$ , iar $ln 7 \neq = 0$ .

Întrebări conexe

După câte reflexii scade lumina sub jumătate, dacă fiecare păstrează $85%$ ?

După $n$ reflexii rămâne $0, 8 5^{n}$ din lumină, iar pragul este $lo g_{0, 85} 0, 5 = \frac{l g 0 , 5}{l g 0 , 85} \approx 4, 27$ . Pașii sunt naturali, deci verifici vecinii: $0, 8 5^{4} \approx 0, 522$ e încă peste jumătate, iar $0, 8 5^{5} \approx 0, 444$ e sub ea. Răspunsul este $5$ reflexii.

Cum verific un logaritm obținut cu calculatorul?

Ridici baza la rezultat și trebuie să regăsești, aproximativ, argumentul. Pentru $lo g_{2} 12 \approx 3, 585$ , calculatorul dă $2^{3, 585} \approx 12, 0$ . Înainte de calcul, încadrarea $8 < 12 < 16$ arătase deja că valoarea este între $3$ și $4$ ; un rezultat în afara acestui interval ar trăda o greșeală de tastare.

De ce contează rotunjirea când baza logaritmului este apropiată de $1$ ?

Numitorul $l g a$ este atunci foarte mic și orice rotunjire a lui se amplifică. Pentru $lo g_{1, 05} 2$ , cu $l g 1, 05 \approx 0, 021189$ se obține $14, 21$ , dar cu $0, 02$ s-ar obține $15, 05$ . Valorile intermediare se păstrează complete și se rotunjește doar rezultatul final.

După câte curse ale unei pompe de vid rămâne sub $1%$ din aer, dacă fiecare lasă $80%$ ?

Ceri $0, 8^{n} < 0, 01$ . Pragul este $lo g_{0, 8} 0, 01 = \frac{l g 0 , 01}{l g 0 , 8} \approx 20, 64$ . Verificarea pe puterile vecine: $0, 8^{20} \approx 0, 0115$ este încă peste $1%$ , iar $0, 8^{21} \approx 0, 0092$ este sub. Sunt necesare $21$ de curse, deși formula singură dădea un număr zecimal.

Cum arăt că $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = 3$ ?

Scrii ambii factori în baza $10$ : $\frac{l g 3}{l g 2} \cdot \frac{l g 8}{l g 3} = \frac{l g 8}{l g 2}$ , iar $l g 3$ se simplifică. Rămâne $lo g_{2} 8 = 3$ , iar baza aleasă pentru trecere nu contează. Regula generală este $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ , pentru baze pozitive și diferite de $1$ .

Oamenii mai întreabă și: logaritm în baza 3 pe calculator · cum calculez log în altă bază cu tasta lg · logaritm în orice bază cu ln · calculul unui logaritm cu baza diferită de 10

Cum aflu un logaritm în baza 3 pe calculator?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

După câte reflexii scade lumina sub jumătate, dacă fiecare păstrează 85%?

Cum verific un logaritm obținut cu calculatorul?

De ce contează rotunjirea când baza logaritmului este apropiată de 1?

După câte curse ale unei pompe de vid rămâne sub 1% din aer, dacă fiecare lasă 80%?

Cum arăt că log2​3⋅log3​8=3?

Continuă cu

După câte reflexii scade lumina sub jumătate, dacă fiecare păstrează $85%$ ?

De ce contează rotunjirea când baza logaritmului este apropiată de $1$ ?

După câte curse ale unei pompe de vid rămâne sub $1%$ din aer, dacă fiecare lasă $80%$ ?

Cum arăt că $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = 3$ ?