Cum calculez o integrală definită pas cu pas?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Formula Leibniz-Newton

Verifici întâi că funcția este continuă pe interval, alegi o primitivă $F$ , fără constantă, și calculezi $F (b) - F (a)$ , punând ambele valori în paranteze. Exemplu: $\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 2 x) d x$ . O primitivă este $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2}$ , cu $F (2) = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}$ și $F (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ . Rezultatul este $\frac{20}{3} - \frac{2}{3} = 6$ . Controlul: derivata lui $F$ trebuie să dea exact funcția de sub integrală.

Formula lui Leibniz și a lui Newton preface o integrală într-o scădere de două numere: pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ și pentru orice primitivă $F$ a funcției pe acel interval, $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . Ipoteza cere amândouă lucrurile — continuitate pe întregul interval de integrare și o primitivă valabilă tot acolo.

Prescurtarea de lucru este $F (x)_{a}^{b}$ , cu bara trasă după expresia primitivei, scrisă curat, fără $C$ : iese un număr, iar numerele nu poartă constante. Primitiva aleasă nu schimbă nimic — două dintre ele se deosebesc printr-o constantă care intră în scădere de două ori, cu semne opuse, și dispare. Se ia, prin urmare, cea mai simplă.

Locul primejdios este unul singur: clipa în care se scade valoarea din capătul de jos. Când $F (a)$ e negativ, scăderea adaugă, așa că ambele valori se pun în paranteze înaintea calculului numeric. Un rezultat negativ la o funcție cu valori pozitive trădează tocmai această greșeală.

Pozitivitatea nu apare în ipoteză; numai continuitatea. Ce se pierde, atunci când graficul coboară sub axă, este interpretarea: porțiunea de dedesubt se scade, iar numărul, corect mai departe, încetează să măsoare o suprafață. Conținutul se dă ambelor generații, fiind cerut și de programa din 2014, și de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , cu $F$ orice primitivă a lui $f$
primitiva se scrie fără constantă, iar $F (a)$ se scade cu paranteză
funcția trebuie să fie continuă pe tot intervalul $[a, b]$

Greșeala tipică

Se scade $F (- 1)$ fără paranteză: pentru $F (x) = x^{3} + x$ , $F (2) - F (- 1) = 10 - (- 2) = 12$ , nu $10 - 2 = 8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Numărul $\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 6) d x$ este egal cu:
- a) $45$
- b) $38$
- c) $32$
- d) $26$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $38$

Integrandul este polinomial, deci continuu pe $[1, 3]$ ; o primitivă este $F (x) = x^{3} + 6 x$ , fiindcă $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 6$ . Atunci $\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 6) d x = (x^{3} + 6 x)_{1}^{3} = (27 + 18) - (1 + 6) = 45 - 7 = 38$ . Varianta a) înlocuiește numai în capătul de sus, uitând scăderea; c) și d) nu corespund niciunei valori a acestei diferențe.
Numărul $\int_{- 2}^{1} (3 x^{2} + 12) d x$ este egal cu:
- a) $- 19$
- b) $13$
- c) $45$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $45$

O primitivă este $F (x) = x^{3} + 12 x$ . Valorile în capete sunt $F (1) = 1 + 12 = 13$ și $F (- 2) = - 8 - 24 = - 32$ , deci integrala este $13 - (- 32) = 45$ . Varianta a) este rezultatul scrierii fără paranteze, „ $13 - 32$ ", iar b) oprește calculul la capătul de sus. Semnul confirmă: integrandul ia numai valori mai mari sau egale cu $12$ , deci rezultatul nu poate fi negativ.
O primitivă a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 8 x^{3} + 6 x$ , este:
- a) $F (x) = 24 x^{2} + 6$
- b) $F (x) = 2 x^{4} + 6 x$
- c) $F (x) = 8 x^{4} + 3 x^{2}$
- d) $F (x) = 2 x^{4} + 3 x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $F (x) = 2 x^{4} + 3 x^{2}$

Controlul se face derivând: $(2 x^{4} + 3 x^{2})^{'} = 8 x^{3} + 6 x$ , adică exact $f$ . Varianta a) este derivata integrandului, nu o primitivă a lui; b) nu integrează al doilea termen și dă derivata $8 x^{3} + 6$ ; c) integrează greșit primul termen și dă $32 x^{3} + 6 x$ . Verificarea corectă a unei primitive este derivarea, nu o nouă integrare.

Întrebări conexe

Cât este integrala de la $1$ la $e$ din $\frac{1}{x}$ ?

O primitivă este $ln x$ , valabilă pe $(0, + \infty)$ , unde se află tot intervalul $[1, e]$ . Rezultatul este $ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1$ : aria de sub hiperbola $y = \frac{1}{x}$ , între $1$ și $e$ , este exact o unitate.

Cât este integrala funcției sinus de la $0$ la $π$ ?

O primitivă este $- cos x$ , deci $\int_{0}^{π} sin x d x = - cos π - (- cos 0) = 1 + 1 = 2$ . Pe $[0, π]$ sinusul este pozitiv, așa că $2$ este aria de sub un arc întreg al sinusoidei. Rezultatul nu conține $π$ , deși intervalul are lungimea $π$ .

Cum calculez lucrul mecanic al unei forțe elastice?

Lucrul este integrala forței în raport cu deplasarea. Un resort cu $k = 200$ N/m, întins de la $0$ la $0, 1$ m, cere $\int_{0}^{0, 1} 200 x d x = 100 x^{2}_{0}^{0, 1} = 1$ J. Forța crește odată cu alungirea, de aceea nu se înmulțește simplu forța cu distanța.

Cum aflu limita de sus dintr-o integrală cu valoarea dată?

Scrii integrala în funcție de limită și rezolvi ecuația. Pentru $\int_{0}^{a} 2 x d x = 9$ , cu $a > 0$ , formula dă $a^{2} - 0 = 9$ , deci $a = 3$ . Soluția negativă, $- 3$ , se înlătură din cauza condiției din enunț.

Cât este integrala lui $e^{x}$ de la $0$ la $1$ ?

Funcția $e^{x}$ este propria ei primitivă, deci $\int_{0}^{1} e^{x} d x = e^{1} - e^{0} = e - 1 \approx 1, 72$ . Termenul $e^{0} = 1$ nu dispare: valoarea din capătul de jos se scade întotdeauna, chiar dacă limita de jos este zero.

Oamenii mai întreabă și: cum se calculează integrala definită · pașii calculului unei integrale definite · integrala definită cu formula Leibniz-Newton exemplu · cum aplic F(b) minus F(a)