Formula Leibniz-Newton, de la primitivă la arie (M2, științe ale naturii)

O ploaie de vară nu cade uniform: începe rar, se întețește, apoi slăbește. Pluviometrul unei stații meteo înregistrează, clipă de clipă, intensitatea ploii, în milimetri pe oră, iar la sfârșit cineva trebuie să spună cât a plouat cu totul, în milimetri. Cantitatea căzută este aria de sub graficul intensității — asta știi deja din lecția de deschidere a capitolului. Ce nu știi încă este cum se află numărul acela când graficul nu mai este un segment, ci o curbă. Răspunsul îl dă formula care poartă numele lui Leibniz și al lui Newton, formula centrală a capitolului de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2) și unealta cu care se lucrează la bacalaureatul M2: în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, integralele apar la Subiectul al III-lea.

Cei doi au descoperit-o independent, în a doua jumătate a secolului al XVII-lea. Formula Leibniz-Newton leagă două lucruri care păreau străine unul de altul — aria de sub un grafic și operația inversă derivării — și preschimbă calculul unei integrale într-o scădere de două numere. Fără un asemenea mijloc, aria ar rămâne o definiție frumoasă și nefolositoare. Tema se dă la amândouă generațiile: programa de examen din 2014, după care se susțin sesiunile 2027, 2028 și 2029, o numește pe nume, iar programa probei MAT_P2 din 2030 o așază la domeniul „Analiză matematică".

Ce vei învăța

• Vei ști formula Leibniz-Newton împreună cu ipoteza ei și o vei aplica oricărei funcții continue căreia îi cunoști o primitivă.
• Vei ști să scrii corect notația $F(x){|}_a^b$ și să o folosești în redactare.
• Vei ști de ce la integrala definită nu se mai scrie $+\mathcal{C}$ și de ce rezultatul nu depinde de primitiva aleasă.
• Vei ști să eviți greșeala de semn care apare la scăderea valorii din capătul de jos.
• Vei ști să controlezi rezultatul, pe cazurile în care aria se poate afla și din geometrie.
• Vei ști ce înseamnă numărul obținut atunci când funcția ia și valori negative — și ce nu mai înseamnă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune formula Leibniz-Newton?

Toată lecția se sprijină pe un singur enunț, pe care merită să-l citești de două ori.

Formula Leibniz-Newton. Dacă funcția $f$ este continuă pe intervalul închis $[a,b]$ și dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe acest interval, atunci $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$ Ipoteza are două jumătăți, și amândouă contează: $f$ trebuie să fie continuă pe tot intervalul de integrare, iar $F$ trebuie să fie o primitivă a lui $f$ pe același interval, adică o funcție derivabilă acolo, cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ în fiecare punct.

La nivelul clasei, formula se acceptă fără demonstrație — ea este chiar felul în care programa de la științe ale naturii definește integrala unei funcții continue. Ce merită însă înțeles este de ce ea nu poate fi o întâmplare, iar despre asta e vorba în secțiunea următoare.

Observă de pe acum cât de mult schimbă formula lucrurile. Până acum știai să afli aria de sub grafic doar când marginea de sus era un segment; de aici înainte, orice funcție căreia îi găsești o primitivă — și le găsești pe toate cele din tabelul construit la Tabelul primitivelor uzuale — îți dă aria printr-o scădere.

2. De ce putem crede formula?

Avem deja două cazuri în care aria se cunoaște din geometrie, iar formula trebuie să le dea și ea. Le verificăm cu litere, nu cu cifre, tocmai ca să vedem mecanismul, nu un exemplu.

Funcția constantă. Fie $f(x)=c$, cu $c>0$. O primitivă a ei este $F(x)=cx$, fiindcă $(cx{)}^{\prime }=c$. Formula ar da atunci $F(b)-F(a)=cb-ca=c(b-a)$ — exact aria dreptunghiului de bază $b-a$ și înălțime $c$, pe care ai calculat-o la lecția de deschidere a capitolului.

Funcția de gradul întâi. Fie $f(x)=mx+n$, pozitivă pe $[a,b]$. O primitivă a ei este $F(x)=\frac{m{x}^2}{2}+nx$, fiindcă derivând obținem $mx+n$. Formula ar da $$F(b)-F(a)=\frac{m\left(b^2-a^2\right)}{2}+n(b-a)=(b-a)\cdot \frac{m(a+b)+2n}{2}=(b-a)\cdot \frac{f(a)+f(b)}{2},$$ unde ultima egalitate se vede desfăcând $f(a)+f(b)=ma+n+mb+n$. Am obținut aria trapezului cu bazele $f(a)$ și $f(b)$ și înălțimea $b-a$ — din nou, exact ce dădea geometria.

Două potriviri nu sunt o demonstrație, dar ele arată că formula nu a fost inventată ca să fie comodă: ea prelungește rezultatele pe care le știai, în loc să le contrazică. Iar ideea din spatele ei este cea pe care ai întâlnit-o încă de la Noțiunea de primitivă: dacă $F$ crește cu ritmul $f$, atunci creșterea totală a lui $F$ pe interval, adică $F(b)-F(a)$, este chiar cât s-a acumulat — iar ce s-a acumulat se citește pe desen ca arie.

3. Cum se scrie: notația $F(x){|}_a^b$

Ca să nu repeți de fiecare dată „valoarea primitivei în $b$ minus valoarea ei în $a$", se folosește o prescurtare: $$F(x){|}_a^b=F(b)-F(a).$$ Bara verticală se trage după expresia primitivei, iar cele două numere se scriu jos și sus, în aceeași ordine ca la integrală. Calculul unei integrale definite arată, atunci, așa: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$.

Două reguli de scriere se leagă de această notație.

Întâi, la integrala definită nu se scrie $+\mathcal{C}$. Ai văzut la Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită că rezultatul unei integrale fără limite este o familie de funcții; aici rezultatul este un număr, iar numerele nu au constantă de integrare. Când scrii primitiva înaintea barei, o scrii curat, fără $\mathcal{C}$.

Apoi, ordinea limitelor hotărăște semnul. Dacă ai scrie capetele invers, ai obține $F(a)-F(b)$, adică opusul. De aceea se convine că ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, ceea ce este o consecință de un rând a formulei. Practic, limitele se copiază așa cum sunt date, iar semnul rezultă de la sine.

4. Ce se vede pe foaia de lucru?

O rezolvare completă are trei rânduri, fiecare cu rostul lui, și merită scrise toate trei chiar și atunci când calculul e scurt.

1. Intervalul și dreptul de a aplica formula. Scrii o propoziție de forma „pe intervalul de integrare funcția este continuă, așadar admite primitive". Pentru funcțiile polinomiale ea se justifică imediat, iar de ce continuitatea e de ajuns ai văzut la Ce funcții admit primitive.
2. Primitiva, aleasă cea mai simplă. O scrii fără $\mathcal{C}$ și o verifici, în gând, derivând-o. Verificarea durează câteva secunde și prinde majoritatea greșelilor de calcul.
3. Bara și scăderea. Scrii rândul cu $F(x){|}_a^b$, apoi înlocuiești, cu paranteze, și abia la urmă faci calculul numeric.

Al treilea rând ascunde capcana de semn, și nu una de aritmetică. Despre el e vorba mai jos.

Merită spus și de ce primul rând nu se sare, chiar dacă pare o formalitate. El nu este o vorbă de complezență, ci verificarea ipotezei: dacă funcția n-ar fi continuă pe tot intervalul, restul calculului ar fi o înșiruire de numere fără acoperire. Scriind propoziția, te obligi să te uiți o dată la intervalul de integrare înainte de a scrie orice — și acolo se văd, când există, punctele în care funcția nu are sens.

5. Unde se pierde semnul?

Capcana are un singur loc: momentul în care scazi $F(a)$. Dacă $F(a)$ este un număr negativ, scăderea lui adaugă, iar cine sare peste paranteze obține exact opusul a ceea ce trebuia.

Ia ${\int }_{-3}^0\left(6x^2+11\right)dx$. O primitivă este $F(x)=2x^3+11x$, iar valorile în capete sunt $F(0)=0$ și $F(-3)=2\cdot (-27)+11\cdot (-3)=-54-33=-87$. Formula dă $${\int }_{-3}^0\left(6x^2+11\right)dx=\left(2x^3+11x\right){|}_{-3}^0=0-(-87)=87.$$ Scris fără paranteze, același calcul ar fi dat „$0-87=-87$", un număr negativ pentru o funcție care ia numai valori pozitive — imposibil, fiindcă rezultatul este o arie.

De aici, două obiceiuri care te scapă: pune întotdeauna $F(a)$ în paranteză când îl scazi și verifică semnul rezultatului. Dacă funcția este pozitivă pe tot intervalul, iar tu obții un număr negativ, greșeala este, aproape sigur, aici.

6. Se schimbă rezultatul dacă iei altă primitivă?

Nu, și e important să știi de ce. O funcție are o infinitate de primitive pe un interval, iar ele se deosebesc doar printr-un număr: dacă $F$ este una dintre ele, oricare alta se scrie $F+c$. La scădere, acel număr apare de două ori, cu semne contrare: $$(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a).$$ Rezultatul rămâne neschimbat, oricare ar fi $c$. De aceea, când aplici formula, alegi primitiva cea mai comodă — de obicei cea fără termen liber — și nu te mai gândești la celelalte.

Merită spus că pe acest fapt ai pus deja mâna, fără să-i dai un nume. La lecția despre integrala nedefinită ai calculat diferențe de forma $F(b)-F(a)$ și ai arătat că ele nu depind de primitiva aleasă; acela era, de fapt, membrul drept al formulei de azi, luat înaintea numelui lui. Revenim acum la el ca să-l numim: diferența aceea este integrala definită a funcției pe intervalul respectiv.

7. Ce se întâmplă dacă funcția ia și valori negative?

Formula nu cere nicăieri ca $f$ să fie pozitivă — cere doar continuitate. Așadar, pentru orice funcție continuă pe $[a,b]$ și pentru orice primitivă a ei, numărul $F(b)-F(a)$ există și se calculează la fel.

Ce se schimbă este înțelesul lui. Când $f\ge 0$ pe tot intervalul, numărul este aria de sub grafic, ca în definiția de la începutul capitolului. Când $f$ coboară sub axă pe o parte din interval, bucata de acolo intră în socoteală cu semnul minus, iar rezultatul poate fi negativ sau chiar nul, fără ca suprafața să fie goală. Numărul rămâne corect; el nu mai este însă aria.

Deosebirea se vede cel mai limpede pe un exemplu de bun-simț. Dacă o mărime crește o vreme și apoi scade sub valoarea de la care a pornit, bilanțul ei poate fi zero, deși în tot răstimpul s-a întâmplat ceva. Integrala măsoară tocmai acest bilanț, cu semn; aria măsoară cât s-a întâmplat, fără semn. Cele două întrebări sunt diferite, iar cifrele care le răspund pot fi și ele diferite.

Cum se calculează aria în acest caz — cu tabel de semn făcut înaintea oricărui calcul — este chiar tema lecției Aria subgraficului, cu schimbare de semn. Până acolo, ține minte deosebirea: integrala este un număr; aria este un număr nenegativ; ele coincid numai când funcția nu coboară sub axă.

8. Când nu se poate aplica formula?

Ipoteza de continuitate nu este decorativă. Dacă funcția nu este definită într-un punct al intervalului sau are acolo un salt, primitiva nu mai există pe tot $[a,b]$, iar aplicarea mecanică a formulei produce numere fără sens.

La nivelul programei acestei clase, situația este rară: funcțiile cu care lucrezi la integrala definită sunt polinomiale sau sunt combinații din tabelul primitivelor, iar acestea sunt continue pe intervalele pe care se pun problemele. Propoziția de la pasul 1 nu este, totuși, o formalitate — ea este locul în care te uiți dacă intervalul de integrare nu cuprinde cumva vreo valoare pentru care funcția nu are sens.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție de gradul întâi, cu control geometric

Calculează ${\int }_0^3(4x+11)dx$ și verifică rezultatul cu formula trapezului.

Rezolvare. Funcția $f(x)=4x+11$ este polinomială, deci continuă pe $[0,3]$ și admite acolo primitive. O primitivă este $F(x)=2x^2+11x$, fiindcă $(2x^2+11x{)}^{\prime }=4x+11$, derivată citită din Tabelul derivatelor. Aplicăm formula: $${\int }_0^3(4x+11)dx=\left(2x^2+11x\right){|}_0^3=(18+33)-0=51.$$ Control: pe $[0,3]$ funcția este pozitivă, iar suprafața de sub grafic este trapezul cu bazele $f(0)=11$ și $f(3)=23$ și înălțimea $3$, cu aria $\frac{11+23}{2}\cdot 3=51$. Cele două drumuri duc în același loc.

Exemplul 2 — Un trinom de gradul al doilea

Calculează ${\int }_1^4\left(6x^2+4x+3\right)dx$.

Rezolvare. Integrandul este polinomial, deci continuu pe $[1,4]$. Primitiva se ia termen cu termen: $F(x)=2x^3+2x^2+3x$, iar derivarea o confirmă. Atunci $${\int }_1^4\left(6x^2+4x+3\right)dx=\left(2x^3+2x^2+3x\right){|}_1^4=(128+32+12)-(2+2+3)=172-7=165.$$ Observă că am scris amândouă valorile în paranteze înainte de a scădea; e obiceiul care ține semnul sub control.

Exemplul 3 — Un interval care trece peste zero

Calculează ${\int }_{-1}^2\left(x^2+9\right)dx$.

Rezolvare. Funcția $x^2+9$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și ia numai valori mai mari sau egale cu $9$, deci este pozitivă pe $[-1,2]$, iar rezultatul va fi o arie. O primitivă este $F(x)=\frac{x^3}{3}+9x$. Prin urmare $${\int }_{-1}^2\left(x^2+9\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+9x\right){|}_{-1}^2=\left(\frac{8}{3}+18\right)-\left(-\frac{1}{3}-9\right)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+27=30.$$ Faptul că intervalul cuprinde și numere negative nu schimbă nimic: conteză doar continuitatea funcției pe el.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează ${\int }_{-2}^1\left(3x^2+2x+9\right)dx$, ia primitiva $F(x)=x^3+x^2+9x$ și scrie: „$F(1)-F(-2)=11-22=-11$". Găsește greșeala și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Primitiva este bine aleasă: $(x^3+x^2+9x{)}^{\prime }=3x^2+2x+9$. Greșeala este la valoarea din capătul de jos. Avem $F(-2)=-8+4-18=-22$, nu $22$: elevul a calculat modulul, nu valoarea. Corect, $${\int }_{-2}^1\left(3x^2+2x+9\right)dx=\left(x^3+x^2+9x\right){|}_{-2}^1=11-(-22)=33.$$ Semnul rezultatului confirmă: trinomul $3x^2+2x+9$ are discriminantul $4-108=-104$, negativ, deci nu se anulează nicăieri și rămâne pozitiv; o funcție pozitivă nu poate avea integrala negativă pe un interval parcurs în ordine crescătoare.

Exemplul 5 — Cerința exactă din programă: aria

Calculează aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f(x)=3x^2+4x+6$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=2$.

Rezolvare. Întâi verificăm că avem dreptul să numim rezultatul „arie": discriminantul trinomului este $16-72=-56$, negativ, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci funcția ia numai valori pozitive. Fiind și polinomială, ea este continuă. Aria cerută este atunci integrala: $$\mathcal{S}={\int }_0^2\left(3x^2+4x+6\right)dx=\left(x^3+2x^2+6x\right){|}_0^2=(8+8+12)-0=28.$$ Rezultatul este $28$ unități de arie. Un control rapid, cu încadrarea învățată la Estimarea unei integrale de pe grafic: suprafața este cuprinsă în dreptunghiul de bază $2$ și înălțime $f(2)=26$, deci sub $52$, și cuprinde dreptunghiul de bază $2$ și înălțime $f(0)=6$, deci peste $12$ — iar $28$ se află într-adevăr între ele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x+5$.

a) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3+x^2+5x$, este o primitivă a lui $f$.

b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$.

c) Determină numărul real $p>0$ pentru care ${\int }_0^{p}f(x)dx=51$.

Rezolvare. a) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=3x^2+2x+5=f(x)$ pentru orice număr real $x$. Prin definiție, $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Funcția $f$ este continuă pe $[0,2]$, iar de la punctul precedent avem o primitivă, deci $${\int }_0^2\left(3x^2+2x+5\right)dx=\left(x^3+x^2+5x\right){|}_0^2=(8+4+10)-0=22.$$

c) Cu aceeași primitivă, ${\int }_0^{p}f(x)dx=F(p)-F(0)=p^3+p^2+5p$. Condiția din enunț devine $p^3+p^2+5p=51$. Numărul $p=3$ o verifică, fiindcă $27+9+15=51$. Altă soluție pozitivă nu există: pentru $p>0$ expresia $p^3+p^2+5p$ este strict crescătoare, deci ia fiecare valoare cel mult o dată. Răspuns: $p=3$.

Să exersăm

1. Calculează ${\int }_1^3(8x+7)dx$.

2. Calculează ${\int }_0^2\left(9x^2+14\right)dx$.

3. Calculează ${\int }_0^4(2x+13)dx$.

4. Calculează ${\int }_2^{5}6dx$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci $f$ este identic nulă pe $[a,b]$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $F$ și $G$ sunt două primitive ale lui $f$ pe $[a,b]$, atunci $F(b)-G(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+19$. a) Arată că $F(x)=2x^3+19x$ este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

8. Calculează ${\int }_1^4\left(2x^2+11\right)dx$.

9. Calculează ${\int }_{-2}^0\left(3x^2+19\right)dx$.

10. Determină numărul real $t>0$ pentru care ${\int }_0^t(4x+14)dx=60$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+7$. a) Arată că $F(x)=\frac{x^3}{3}+2x^2+7x$ este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_{-3}^{0}f(x)dx$.

12. Calculează ${\int }_0^2(7x+4)dx$ pe două căi: cu formula Leibniz-Newton și cu aria trapezului.

13. (Problemă aplicată.) Un detector arată că rata dozei de radiație dintr-un laborator crește liniar în timpul unui experiment: la momentul $t$, măsurat în ore de la pornire, ea este $r(t)=3t+2$ microsieverți pe oră. Calculează doza acumulată în primele $4$ ore și precizează unitatea de măsură a rezultatului.

14. Calculează ${\int }_0^3(2x-7)dx$ și spune dacă numărul obținut este aria suprafeței cuprinse între grafic, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=3$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2+6x+5$. a) Arată că funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=\frac{4x^3}{3}+6x^2+5x$, nu este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

16. Calculează ${\int }_1^2\left(12x^2+7\right)dx$.

17. Calculează aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f(x)=2x^2+6x+7$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=3$, după ce arăți că funcția este pozitivă.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere reale $a<b$ și orice $n\ge 0$, are loc ${\int }_a^b(2x+n)dx=(b-a)(a+b+n)$.

Răspunsuri și explicații

1. Funcția $8x+7$ este polinomială, deci continuă pe $[1,3]$; o primitivă este $4x^2+7x$, iar ${\int }_1^3(8x+7)dx=\left(4x^2+7x\right){|}_1^3=(36+21)-(4+7)=46$.

2. Primitiva este $3x^3+14x$, deci ${\int }_0^2\left(9x^2+14\right)dx=\left(3x^3+14x\right){|}_0^2=(24+28)-0=52$.

3. Primitiva este $x^2+13x$, deci ${\int }_0^4(2x+13)dx=\left(x^2+13x\right){|}_0^4=(16+52)-0=68$.

4. Primitiva funcției constante $6$ este $6x$, deci ${\int }_2^{5}6dx=\left(6x\right){|}_2^5=30-12=18$; rezultatul se potrivește cu aria dreptunghiului de bază $3$ și înălțime $6$.

5. Fals. Ipoteza nu cere ca funcția să fie pozitivă, iar bucățile de sub axă intră în integrală cu semnul minus și le pot anula pe cele de deasupra. Contraexemplu: pentru $f(x)=2x$ pe $[-1,1]$ o primitivă este $x^2$, iar ${\int }_{-1}^{1}2xdx=\left(x^2\right){|}_{-1}^1=1-1=0$, deși funcția nu este identic nulă.

6. Fals. Cele două primitive se deosebesc printr-un număr, iar în scădere numărul acela se simplifică doar dacă amândoi termenii provin din aceeași primitivă. Dacă $G=F+c$, atunci $F(b)-G(a)=F(b)-F(a)-c$, adică integrala minus $c$; egalitatea are loc numai când $c=0$, adică atunci când $F$ și $G$ sunt de fapt aceeași funcție.

7. a) $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=6x^2+19=f(x)$. b) ${\int }_0^3\left(6x^2+19\right)dx=\left(2x^3+19x\right){|}_0^3=(54+57)-0=111$.

8. Primitiva este $\frac{2x^3}{3}+11x$, deci ${\int }_1^4\left(2x^2+11\right)dx=\left(\frac{2x^3}{3}+11x\right){|}_1^4=\left(\frac{128}{3}+44\right)-\left(\frac{2}{3}+11\right)=42+33=75$.

9. Primitiva este $x^3+19x$, iar valorile în capete sunt $0$ și $-8-38=-46$, deci ${\int }_{-2}^0\left(3x^2+19\right)dx=\left(x^3+19x\right){|}_{-2}^0=0-(-46)=46$.

10. O primitivă a lui $4x+14$ este $2x^2+14x$, deci ${\int }_0^t(4x+14)dx=2t^2+14t$. Condiția devine $2t^2+14t-60=0$, adică $t^2+7t-30=0$, cu discriminantul $49+120=169$ și rădăcinile $3$ și $-10$. Condiția $t>0$ lasă $t=3$.

11. a) $F^{\prime }(x)=x^2+4x+7=f(x)$, iar $F$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$. b) ${\int }_0^3\left(x^2+4x+7\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+7x\right){|}_0^3=(9+18+21)-0=48$. c) ${\int }_{-3}^0\left(x^2+4x+7\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+7x\right){|}_{-3}^0=0-(-9+18-21)=12$.

12. Cu formula: o primitivă este $\frac{7x^2}{2}+4x$, deci ${\int }_0^2(7x+4)dx=\left(\frac{7x^2}{2}+4x\right){|}_0^2=(14+8)-0=22$. Cu geometria: funcția este pozitivă pe $[0,2]$, iar trapezul are bazele $4$ și $18$ și înălțimea $2$, cu aria $\frac{4+18}{2}\cdot 2=22$. Aceeași valoare.

13. Doza acumulată este integrala ratei: ${\int }_0^4(3t+2)dt=\left(\frac{3t^2}{2}+2t\right){|}_0^4=(24+8)-0=32$. Unitatea rezultă înmulțind unitățile celor două axe, microsieverți pe oră cu ore, deci doza este de $32$ de microsieverți. Modelul liniar are sens doar pe durata experimentului, adică pe cele patru ore măsurate.

14. O primitivă este $x^2-7x$, deci ${\int }_0^3(2x-7)dx=\left(x^2-7x\right){|}_0^3=(9-21)-0=-12$. Numărul nu este o arie: pe $[0,3]$ avem $2x-7\le 2\cdot 3-7=-1$, deci graficul stă în întregime sub axă. Formula rămâne corectă, dar rezultatul ei măsoară un bilanț cu semn; aria se calculează la Aria subgraficului, cu schimbare de semn.

15. a) Derivăm: $G^{\prime }(x)=4x^2+12x+5$. În $x=1$ avem $G^{\prime }(1)=21$, iar $f(1)=15$, deci cele două funcții nu coincid și $G$ nu este o primitivă a lui $f$ — la integrarea termenului $6x$ s-a scris $6x^2$ în loc de $3x^2$. b) O primitivă corectă este $F(x)=\frac{4x^3}{3}+3x^2+5x$, deci ${\int }_0^3\left(4x^2+6x+5\right)dx=\left(\frac{4x^3}{3}+3x^2+5x\right){|}_0^3=(36+27+15)-0=78$.

16. Primitiva este $4x^3+7x$, deci ${\int }_1^2\left(12x^2+7\right)dx=\left(4x^3+7x\right){|}_1^2=(32+14)-(4+7)=35$.

17. Discriminantul trinomului este $36-56=-20$, negativ, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci funcția ia numai valori pozitive și rezultatul se poate numi arie. Avem $\mathcal{S}={\int }_0^3\left(2x^2+6x+7\right)dx=\left(\frac{2x^3}{3}+3x^2+7x\right){|}_0^3=(18+27+21)-0=66$ unități de arie.

18. O primitivă a lui $2x+n$ este $x^2+nx$, deci integrala este $\left(b^2+nb\right)-\left(a^2+na\right)$. Grupăm: $b^2-a^2+n(b-a)=(b-a)(b+a)+n(b-a)=(b-a)(a+b+n)$. Egalitatea are loc pentru orice $a<b$ și orice $n$, condiția $n\ge 0$ fiind necesară doar dacă vrem ca rezultatul să fie o arie pe intervale din semiaxa pozitivă.

De reținut

• Formula Leibniz-Newton: dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $F$ este o primitivă a ei acolo, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
• Notația de calcul este $F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; primitiva se scrie înaintea barei fără $\mathcal{C}$, fiindcă rezultatul este un număr.
• Rezultatul nu depinde de primitiva aleasă: două primitive se deosebesc printr-un număr, care se simplifică la scădere.
• Valoarea din capătul de jos se scade, cu paranteză; când $F(a)$ este negativ, scăderea lui mărește rezultatul.
• Numărul dat de formulă este aria de sub grafic numai când $f$ nu coboară sub axă pe intervalul de integrare; altfel el rămâne corect, dar nu mai este o arie.

Greșeli frecvente

• Scazi fără paranteze. Când $F(a)$ este negativ, „$F(b)-F(a)$" scris ca o simplă alipire de numere schimbă semnul rezultatului. Scrie întâi $(\dots )-(\dots )$ și abia apoi calculează.
• Uiți să integrezi termenul liber. Pentru $4x+11$, primitiva nu este $2x^2+11$, ci $2x^2+11x$: și constanta are o primitivă. Derivând ce ai scris ai obține $4x$, nu integrandul — semn că proba prin derivare a fost sărită.
• Înlocuiești numai în capătul de sus. Rândul cu bara cere două înlocuiri. Când $a=0$ scăderea chiar nu schimbă nimic, iar obiceiul format pe astfel de exerciții se mută, greșit, la cele în care $a\ne 0$.
• Verifici primitiva integrând-o din nou, în loc s-o derivezi. Controlul corect este derivarea: dacă $F^{\prime }$ nu iese exact integrandul, primitiva e greșită, iar restul calculului nu mai contează.
• Numești „arie" orice rezultat al formulei. Formula merge pe orice funcție continuă, dar numărul obținut este arie doar când funcția rămâne deasupra axei. Uită-te la semnul funcției înainte de a boteza rezultatul.

Aplică acasă

1. Fișa de control. Adună cinci rezolvări de integrale definite — ale tale sau ale unui coleg — și trece-le pe fiecare prin trei întrebări: este scrisă propoziția despre continuitate? trece primitiva proba derivării? este valoarea din capătul de jos pusă în paranteză? Notează câte dintre cele cinci pică la fiecare întrebare și care întrebare prinde cele mai multe.

2. Capcana semnului. Construiește trei integrale în care capătul de jos este un număr negativ și primitiva ia acolo valoare negativă. Rezolvă-le de două ori: o dată scriind parantezele, o dată fără ele. Notează, pentru fiecare, diferența dintre cele două rezultate și explică de unde vine.

3. Pluviometrul de acasă. Așază un vas cilindric drept afară, în timpul unei ploi, și măsoară la fiecare cinci minute înălțimea apei. Din două măsurători vecine află câți milimetri pe oră a însemnat intensitatea în acel răstimp, apoi desenează graficul intensității. Compară cantitatea totală citită direct pe vas la sfârșit cu aria de sub graficul pe care l-ai desenat.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul enunță formula cu ipoteza ei de continuitate, dacă redactează în cei trei pași (dreptul de a aplica formula, primitiva verificată prin derivare, rândul cu bara) și dacă duce corect scăderea, cu paranteze, atunci când valoarea din capătul de jos este negativă.

Dificultatea nu este de înțelegere, ci de disciplină a scrisului. Formula se învață în cinci minute; greșelile care se fac cu ea sunt aproape toate de semn și de redactare. Un exercițiu bun de acasă este să ceară rezultatul înainte de calcul: „va ieși pozitiv sau negativ, și de ce?" — un elev care răspunde corect la această întrebare nu mai poate accepta un rezultat absurd. Merită insistat și pe verificarea primitivei prin derivare, obicei care prinde majoritatea greșelilor înainte ca ele să se propage.

Întrebări bune de control: „Ce condiție trebuie îndeplinită ca să ai voie să aplici formula?", „De ce nu scrii constantă aici?", „Ce s-ar schimba dacă luai altă primitivă?", „Numărul obținut este o arie? De unde știi?". Semne că a înțeles: pune parantezele fără să i se amintească; derivează primitiva înainte de a înlocui; și se oprește când vede un rezultat negativ la o funcție pozitivă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde tema apare la unitatea XII.4. Integrala definită, cu conținutul „formula Leibniz-Newton". Spre deosebire de estimarea de pe grafic, formula se cere la amândouă generațiile: ea este în programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), după care se susțin sesiunile 2027, 2028 și 2029 — rândul de conținut este „definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton" —, și în programa probei MAT_P2 din 2030, la domeniul Analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, integralele apar la Subiectul al III-lea, în a doua problemă, cu trei cerințe legate. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce spune formula Leibniz-Newton?

Spune că, pentru o funcție $f$ continuă pe intervalul $[a,b]$ și pentru orice primitivă $F$ a ei pe acel interval, are loc egalitatea ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Formula leagă aria de sub grafic de operația inversă derivării și transformă calculul unei integrale într-o singură scădere.

Cum se scrie corect rândul cu bara verticală?

Bara se trage după expresia primitivei, scrisă fără $\mathcal{C}$, iar cele două capete se pun jos și sus, în aceeași ordine ca la integrală: $F(x){|}_a^b$. Urmează înlocuirea, cu fiecare valoare în paranteza ei, și abia la final calculul numeric. Rândul acesta arată dacă mecanismul a fost înțeles — și tot în el se strecoară, cel mai ușor, greșeala de semn.

Se schimbă rezultatul dacă alegi altă primitivă?

Nu. Două primitive ale aceleiași funcții pe un interval se deosebesc printr-un număr, iar acel număr apare în scădere de două ori, cu semne contrare, deci se simplifică. De aceea alegi primitiva cea mai comodă și de aceea nu scrii $\mathcal{C}$: din formulă iese un singur număr, iar numerele nu poartă constante.

Unde apare cel mai des greșeala de semn?

La scăderea valorii din capătul de jos. Când $F(a)$ este negativ, scăderea lui adaugă la rezultat, iar cine sare peste paranteze obține opusul. Semnul de alarmă este simplu: dacă funcția ia numai valori pozitive pe interval și îți iese un rezultat negativ, greșeala este acolo.

Când este rezultatul formulei chiar o arie?

Atunci când funcția nu coboară sub axă pe niciun punct al intervalului de integrare. Dacă ea trece și prin valori negative, bucățile de acolo intră în socoteală cu semnul minus, iar numărul obținut — corect în continuare — încetează să mai măsoare o suprafață. De aceea, înainte de a boteza rezultatul „arie", se cercetează semnul funcției pe interval.

Se demonstrează formula la mate-info (M1)?

Da, și acolo este partea grea a lecției: demonstrația se sprijină pe teorema creșterilor finite a lui Lagrange și pe construcția integralei prin tăieri repetate ale intervalului, apoi pe o trecere la limită. Programa de la științe ale naturii nu cere demonstrația, ci enunțul și folosirea corectă a formulei. Pentru comparație: Formula Leibniz–Newton, la mate-info (M1).

La ce subiect apare formula Leibniz-Newton la Bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe: prima despre derivate, a doua despre integrale. Acolo, primele două cerințe de integrale încep cu o simplificare algebrică a integrandului, iar a treia cere numărul real $a$ pentru care volumul unui corp de rotație este $\frac{a\pi }{3}$. Formula Leibniz-Newton este unealta lor. Din 2030 tema rămâne în probă, la MAT_P2, în domeniul „Analiză matematică".