Funcția exponențială: definiție și grafic: pe scurt

Funcția exponențială este $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$. Spre deosebire de funcția putere, aici variabila stă în exponent. Definiția devine posibilă abia acum, când $a^x$ are sens pentru orice $x$ real, nu doar pentru numere întregi.

Valorile sunt întotdeauna strict pozitive: graficul e în întregime deasupra axei $Ox$, pe care o are ca asimptotă orizontală — ecuația $a^x=0$ nu are niciodată soluții. Toate graficele trec prin $(0,1)$, pentru că $a^0=1$: pentru $a>1$ curba urcă, pentru $0<a<1$ curba coboară.

Graficele lui $a^x$ și ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ sunt simetrice față de axa $Oy$, pentru că ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$. La baze diferite, pe $(0,+\infty )$ baza mai mare urcă mai sus, iar pe $(-\infty ,0)$ coboară mai jos.

La translații: $a^{x-c}$ mută graficul orizontal, iar asimptota rămâne $y=0$; $a^x+b$ îl mută vertical, iar asimptota devine $y=b$. Greșeli frecvente: confuzia $a^x$ cu $x^a$, acceptarea bazelor negative sau a bazei $1$, căutarea intersecției cu $Ox$ (nu există pentru $a^x$ simplu) și mutarea greșită a asimptotei la translația orizontală.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția exponențială $f(x)=a^x$ este definită pentru:

   • a) $a>0,a\ne 1$
   • b) doar $a>1$
   • c) $a<0$
   • d) $a\in \mathbb{R}$, oricare
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a>0,a\ne 1$

   Condițiile obligatorii asupra bazei: strict pozitivă și diferită de $1$ (altfel funcția ar fi constantă sau nedefinită).

2. Graficul funcției exponențiale $f(x)=a^x$ trece întotdeauna prin punctul:

   • a) $(1,0)$
   • b) $(0,1)$
   • c) $(1,1)$
   • d) $(0,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(0,1)$

   $a^0=1$ pentru orice bază $a$, deci toate graficele funcțiilor exponențiale trec prin $(0,1)$.

3. Asimptota orizontală a graficului lui $f(x)=a^x$ este:

   • a) nu există asimptotă
   • b) $x=0$
   • c) $y=0$
   • d) $y=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=0$

   Valorile lui $a^x$ se apropie de $0$ fără să-l atingă niciodată, deci axa $Ox$ ($y=0$) este asimptotă orizontală.