Cum desenez graficul exponențialei din tabel?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Exponențiala: definiție și grafic

Alegi exponenți pentru care valorile se calculează exact, inclusiv fracționari, apoi unești punctele printr-o curbă netedă. Exemplu pentru $f (x) = 4^{x}$ : $x = - 1$ dă $\frac{1}{4}$ , $x = - \frac{1}{2}$ dă $\frac{1}{2}$ , $x = 0$ dă $1$ , $x = \frac{1}{2}$ dă $4 = 2$ , $x = 1$ dă $4$ , iar $x = \frac{3}{2}$ dă $8$ . Spre stânga, curba se apropie de axa $O x$ fără s-o atingă, pentru că toate valorile sunt pozitive; spre dreapta, urcă tot mai abrupt.

Funcția exponențială de bază $a$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , este definită pe toată axa reală și ia numai valori pozitive. La clasa a X-a, curba se trasează pornind de la valori calculate exact: exponentul $\frac{1}{2}$ înseamnă rădăcina pătrată a bazei, exponentul $\frac{1}{3}$ rădăcina de ordinul trei, iar un minus în exponent trimite la invers. Punctele obținute se leagă cu o linie curbă, fără colțuri, care se lipește tot mai mult de axa $O x$ fără să ajungă pe ea.

Din graficul lui $a^{x}$ se obțin altele prin mutări și oglindiri. Adunarea unei constante $c$ urcă sau coboară curba, mută asimptota în $y = c$ și schimbă mulțimea valorilor în $(c, + \infty)$ ; intersecția cu axa $O x$ apare numai pentru $c$ negativ. Înlocuirea lui $x$ cu $x - c$ mută curba pe orizontală, iar punctul $(0; 1)$ ajunge în $(c; 1)$ ; la exponențială, această mutare este totuna cu o înmulțire a valorilor cu o constantă. Minusul din fața puterii oglindește curba față de $O x$ , iar minusul din exponent o oglindește față de $O y$ . Când transformările se combină, ordinea lor se citește din formulă, pornind de la $x$ .

De reținut

$a^{\frac{1}{2}} = a$ , $a^{\frac{1}{3}} = 3 a$ , $a^{- 1} = \frac{1}{a}$
graficul lui $a^{x}$ trece prin $(0, 1)$ și $(1, a)$ și nu atinge axa $O x$
la $a^{x} + c$ asimptota devine $y = c$

Greșeala tipică

Se desenează curba atingând sau traversând axa $O x$ spre stânga; valorile lui $a^{x}$ sunt toate pozitive, deci graficul doar se apropie de axă.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $2 5^{\frac{1}{2}}$ ?
- a) $12, 5$
- b) $5$
- c) $625$
- d) $\frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Exponentul $\frac{1}{2}$ înseamnă rădăcina pătrată: $2 5^{\frac{1}{2}} = 25 = 5$ .
Care este asimptota orizontală a graficului funcției $g (x) = 6 - 2^{x}$ ?
- a) $y = - 6$
- b) $y = 0$
- c) $y = 2$
- d) $y = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 6$

Graficul lui $2^{x}$ se oglindește față de $O x$ , apoi urcă cu șase unități; asimptota $y = 0$ urcă odată cu el și devine $y = 6$ .
Graficul funcției $h (x) = 7^{x + 1}$ coincide cu graficul funcției:
- a) $7 \cdot 7^{x}$
- b) $7^{x} + 1$
- c) $7^{x} + 7$
- d) $\frac{1}{7} \cdot 7^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7 \cdot 7^{x}$

Din regula produsului, $7^{x + 1} = 7^{x} \cdot 7$ : mutarea cu o unitate spre stânga înseamnă înmulțirea tuturor valorilor cu $7$ .

Întrebări conexe

Unde taie axa $O x$ graficul funcției $f (x) = 2^{x} - 8$ ?

Rezolvi $2^{x} - 8 = 0$ , adică $2^{x} = 2^{3}$ , deci $x = 3$ : punctul este $(3, 0)$ . Graficul lui $2^{x}$ a coborât cu $8$ unități, așa că asimptota orizontală a devenit $y = - 8$ , iar intersecția cu $O x$ există tocmai pentru că s-a scăzut o constantă pozitivă.

Cum arată graficul funcției $f (x) = - 3^{x}$ ?

Este oglinda graficului lui $3^{x}$ față de axa $O x$ : fiecare punct $(a, b)$ devine $(a, - b)$ . Curba trece prin $(0, - 1)$ și $(1, - 3)$ , are toate valorile negative și coboară când $x$ crește. Asimptota rămâne $y = 0$ , apropiată acum de dedesubt.

Cum descrie o exponențială translatată uscarea unei scânduri?

Un model posibil pentru umiditatea în procente este $u (t) = 12 + 48 \cdot 0, 8^{t}$ , cu $t$ în săptămâni. La început $u (0) = 60$ , după două săptămâni $u (2) = 12 + 48 \cdot 0, 64 = 42, 72$ . Umiditatea coboară spre $12$ , valoarea de echilibru cu aerul, care este asimptota orizontală $y = 12$ .

Cum se așază pe același reper graficele lui $2^{x}$ și $4^{x}$ ?

Deoarece $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , ele se întâlnesc doar unde $2^{x} = 1$ , adică în $(0, 1)$ . Pentru $x > 0$ , $2^{x} > 1$ , iar pătratul lui e mai mare, deci $4^{x}$ este deasupra. Pentru $x < 0$ , valorile sunt subunitare și ordinea se inversează: în $x = - 1$ , $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ .

Cum verific dacă un punct aparține graficului funcției $f (x) = 2^{x - 1}$ ?

Înlocuiești abscisa în formulă și compari rezultatul cu ordonata. Pentru $A (3, 4)$ : $f (3) = 2^{2} = 4$ , deci $A$ este pe grafic. Pentru $B (0, 1)$ : $f (0) = 2^{- 1} = \frac{1}{2} \neq = 1$ , deci $B$ nu este. Graficul trece în schimb prin $(1, 1)$ , fiindcă $2^{0} = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: tabel de valori pentru funcția exponențială · cum trasez graficul lui a la x · graficul funcției exponențiale prin puncte · exponențiala cu exponenți fracționari în tabel

Cum desenez graficul exponențialei din tabel?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Unde taie axa Ox graficul funcției f(x)=2x−8?

Cum arată graficul funcției f(x)=−3x?

Cum descrie o exponențială translatată uscarea unei scânduri?

Cum se așază pe același reper graficele lui 2x și 4x?

Cum verific dacă un punct aparține graficului funcției f(x)=2x−1?

Continuă cu

Unde taie axa $O x$ graficul funcției $f (x) = 2^{x} - 8$ ?

Cum arată graficul funcției $f (x) = - 3^{x}$ ?

Cum se așază pe același reper graficele lui $2^{x}$ și $4^{x}$ ?

Cum verific dacă un punct aparține graficului funcției $f (x) = 2^{x - 1}$ ?