Funcția putere: domeniu maxim de definiție: pe scurt

Funcția putere este $f(x)=x^{\alpha }$, cu exponentul $\alpha$ fix și baza variabilă — spre deosebire de funcția exponențială $a^x$, unde variabila stă la exponent. Confuzia dintre ele costă scump la examen: $x^2$ și $2^x$ au grafice, domenii și comportamente complet diferite.

Domeniul maxim de definiție depinde doar de tipul exponentului, după tabelul canonic al corpusului: $\mathbb{R}$ pentru $\alpha =n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru $\alpha =-n$ (întreg negativ) sau $\alpha =0$; $[0,+\infty )$ pentru $\alpha$ neîntreg pozitiv, cu convenția $0^{\alpha }=0$; $(0,+\infty )$ pentru $\alpha$ neîntreg negativ.

La exponent neîntreg, bazele negative nu intră în domeniu, chiar dacă un radical de ordin impar ar avea sens acolo — funcția radical $\sqrt[3]{x}$ (definită pe $\mathbb{R}$) și funcția putere $x^{1/3}$ (domeniu $[0,\infty )$) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0,\infty )$.

Punctul $(1,1)$ aparține graficului oricărei funcții putere, iar pentru $x>0$ valorile sunt strict pozitive. La funcțiile compuse (de exemplu $(2x-6{)}^{3/4}$), condiția se pune asupra bazei: nenegativă dacă exponentul neîntreg e pozitiv, strict pozitivă dacă e negativ. Greșeală frecventă: a scrie domeniul $\mathbb{R}$ pentru $x^{1/3}$, confundându-l cu radicalul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=x^{3/2}$ este:

   • a) $[0,+\infty )$
   • b) ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • c) $\mathbb{R}$
   • d) $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $[0,+\infty )$

   Exponentul $3/2$ este neîntreg și pozitiv, deci, conform tabelului canonic, domeniul este $[0,+\infty )$.

2. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=x^{-2}$ este:

   • a) $[0,\infty )$
   • b) ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • c) $\mathbb{R}$
   • d) $(0,\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) ${\mathbb{R}}^{\ast }$

   Exponentul $-2$ este întreg negativ, deci domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (tot planul real, mai puțin $0$).

3. Funcția putere $x^{1/3}$ și funcția radical $\sqrt[3]{x}$:

   • a) sunt identice doar pentru $x$ negativ
   • b) nu au nicio legătură între ele
   • c) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0,\infty )$
   • d) sunt identice pe tot $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0,\infty )$

   Radicalul de ordin impar e definit pe $\mathbb{R}$, dar funcția putere cu exponent neîntreg are domeniul restrâns la $[0,\infty )$ — coincid doar acolo.