Cum aflu legea f(x)=c· x^(α) din două măsurători?

Împarți valorile ca să scapi de c. Dacă f(4)=6 și f(64)=24, raportul dă 16^(α)=4, deci α= 1/2. Apoi c· 4^(1/2)=6 dă c=3, iar legea este f(x)=3 √x. Verificare: 3· 8=24.

Cum recunosc o lege de putere într-un tabel?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția putere: valori și scalare

La o lege $y = c \cdot x^{α}$ , înmulțirea lui $x$ cu același număr $k$ înmulțește $y$ mereu cu $k^{α}$ , oriunde ai porni. Exemplu de tabel: $x = 1, 4, 16, 64$ și $y = 5, 10, 20, 40$ . De fiecare dată $x$ crește de $4$ ori, iar $y$ se dublează. Din $4^{α} = 2$ rezultă $α = \frac{1}{2}$ , iar din $y (1) = 5$ rezultă $c = 5$ , deci legea este $y = 5 x$ .

În funcția putere cu exponent real, $f (x) = x^{α}$ , argumentul este baza, un număr strict pozitiv, iar exponentul $α$ rămâne fix. Orice valoare e pozitivă, iar în $x = 1$ funcția valorează $1$ , oricare ar fi exponentul.

Pentru un rezultat exact alegi argumentul în funcție de exponent: la $\frac{p}{q}$ iei un număr de forma $t^{q}$ și obții $t^{p}$ ; la un exponent irațional iei tot o putere, aleasă ca produsul exponenților să iasă simplu. Altfel, calculatorul oferă o valoare aproximativă, care trebuie rotunjită corect.

Poți decide fără calcul dacă valoarea trece de $1$ . Contează două semne: dacă argumentul e peste $1$ și exponentul pozitiv, sau argumentul sub $1$ și exponentul negativ, rezultatul e mai mare decât $1$ ; în celelalte cazuri e mai mic. La exponent pozitiv valorile sunt mici aproape de zero și mari departe de el, iar la exponent negativ situația se inversează.

Cea mai utilă proprietate în laborator este scalarea: $f (k x) = k^{α} \cdot f (x)$ . Înmulțind argumentul cu același număr, valoarea primește mereu același factor, oriunde ai începe. După acest semn identifici o lege de putere printre măsurători, de pildă la reținerea unui erbicid de către sol.

De reținut

$f (x) = x^{α}$ este definită pe $(0, + \infty)$ și are valori pozitive
$f (k x) = k^{α} f (x)$ : același factor de creștere de oriunde pornești
$x^{α} > 1$ exact când $x > 1$ și $α > 0$ sau $x < 1$ și $α < 0$

Greșeala tipică

Se confundă o lege de putere cu o proporționalitate și se așteaptă ca $y$ să se înmulțească tot cu $4$ când $x$ crește de $4$ ori; factorul real este $4^{α}$ , aici $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea funcției $x \mapsto x^{0, 375}$ în punctul $256$ este:
- a) $96$
- b) $2$
- c) $8$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8$

$0, 375 = \frac{3}{8}$ și $256 = 2^{8}$ , deci $25 6^{0, 375} = 2^{3} = 8$ . Varianta $96$ vine din înmulțirea $256 \cdot 0, 375$ , care nu e ridicare la putere.
Pentru $x = 0, 3$ și $α = - 1, 5$ , numărul $x^{α}$ este:
- a) mai mare decât $1$
- b) între $0$ și $1$
- c) negativ
- d) egal cu $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) mai mare decât $1$

Argumentul $0, 3$ e sub $1$ , iar exponentul $- 1, 5$ e negativ: sunt de aceeași parte, deci valoarea depășește $1$ . Calculatorul dă $0, 3^{- 1, 5} \approx 6, 086$ .
Pentru care dintre funcțiile de mai jos valoarea în $\frac{1}{9}$ este mai mare decât $1$ ?
- a) $x \mapsto x^{0, 5}$
- b) $x \mapsto x^{2}$
- c) $x \mapsto x^{1}$
- d) $x \mapsto x^{- 0, 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x \mapsto x^{- 0, 5}$

Argumentul $\frac{1}{9}$ e sub $1$ , deci valoarea trece de $1$ numai pentru exponent negativ: $(\frac{1}{9})^{- 0, 5} = 9^{0, 5} = 3$ . Celelalte dau $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{81}$ și $\frac{1}{9}$ .

Întrebări conexe

Cât face $8 1^{0, 75}$ ca valoare a funcției $x^{0, 75}$ ?

Scrii exponentul ca fracție, $0, 75 = \frac{3}{4}$ , și argumentul ca putere potrivită, $81 = 3^{4}$ . Atunci $8 1^{\frac{3}{4}} = 3^{3} = 27$ . Argumentul de forma $t^{4}$ face ca rezultatul să fie exact, fără calculator.

Cum aflu legea $f (x) = c \cdot x^{α}$ din două măsurători?

Împarți valorile ca să scapi de $c$ . Dacă $f (4) = 6$ și $f (64) = 24$ , raportul dă $1 6^{α} = 4$ , deci $α = \frac{1}{2}$ . Apoi $c \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 6$ dă $c = 3$ , iar legea este $f (x) = 3 x$ . Verificare: $3 \cdot 8 = 24$ .

Cum descrie izoterma Freundlich reținerea unui erbicid în sol?

Cantitatea reținută de sol este o lege de putere în concentrație, de forma $q = K \cdot c^{\frac{1}{n}}$ . Pentru $q = 2 c^{0, 5}$ , creșterea concentrației de $9$ ori înmulțește cantitatea reținută cu $9^{0, 5} = 3$ . Solul reține mai mult, dar tot mai încet decât crește concentrația.

De ce graficul oricărei funcții putere trece prin punctul $(1, 1)$ ?

Pentru orice exponent real $α$ , $1^{α} = 1$ , deoarece toate puterile raționale ale lui $1$ sunt $1$ , iar cele iraționale se încadrează între ele. De aceea curbele $x^{2}$ , $x^{0, 5}$ , $x^{- 1}$ sau $x^{2}$ se întâlnesc toate în $(1, 1)$ .

Pentru ce exponent $α$ are loc $8^{α} = \frac{1}{2}$ ?

Scrii totul în baza $2$ : $2^{3 α} = 2^{- 1}$ , deci $α = - \frac{1}{3}$ . Rezultatul e în acord cu regula semnelor: argumentul $8$ e peste $1$ , iar valoarea sub $1$ , deci exponentul trebuie să fie negativ. Proba: $8^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3 8} = \frac{1}{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: lege de putere într-un tabel de măsurători · cum aflu exponentul unei legi de putere · f de k ori x egal k la alfa ori f de x · funcția putere cu exponent real în științe

Cum recunosc o lege de putere într-un tabel?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât face 810,75 ca valoare a funcției x0,75?

Cum aflu legea f(x)=c⋅xα din două măsurători?

Cum descrie izoterma Freundlich reținerea unui erbicid în sol?

De ce graficul oricărei funcții putere trece prin punctul (1,1)?

Pentru ce exponent α are loc 8α=21​?

Continuă cu

Cât face $8 1^{0, 75}$ ca valoare a funcției $x^{0, 75}$ ?

Cum aflu legea $f (x) = c \cdot x^{α}$ din două măsurători?

De ce graficul oricărei funcții putere trece prin punctul $(1, 1)$ ?

Pentru ce exponent $α$ are loc $8^{α} = \frac{1}{2}$ ?