Care dintre funcțiile de mai jos nu este injectivă?

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^2-10x+3$$

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=9-4x$$

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3+13x$$

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\ln x+2x$$

Funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=e^{x}+3x$$, este:

injectivă, dar nu surjectivă, fiindcă $$e^{x}>0$$

nici injectivă, nici surjectivă

Funcția $$f(x)=x^2+12x+40$$ nu este bijectivă de la $$\mathbb{R}$$ la $$\mathbb{R}$$. Care dintre perechile de mai jos dă o funcție bijectivă?

$$f:[-6,+\infty)\to[4,+\infty)$$

$$f:[-6,+\infty)\to[0,+\infty)$$

$$f:[-6,+\infty)\to\mathbb{R}$$

Ce codomeniu face surjectivă funcția 1/x pe (0,+∞)?

Codomeniul (0,+∞). Funcția scade strict, tinde la +∞ lângă 0 și la 0 la +∞, deci ia exact toate valorile pozitive. Cu acest codomeniu, 1/x este bijectivă și este propria ei inversă.

Cum arăt că o funcție este surjectivă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Funcții bijective

O funcție $f : I \to J$ este surjectivă dacă imaginea ei este chiar $J$ , adică orice valoare din $J$ este atinsă. Pe un interval, imaginea se află cu derivata: monotonia, valorile și limitele de la capete. De exemplu, $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x + x$ , are $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ , limita $- \infty$ în $0$ și $+ \infty$ la $+ \infty$ . Fiind continuă, ia toate valorile reale, deci este surjectivă; fiind strict crescătoare, este chiar bijectivă.

Bijectivitatea nu ține de formulă singură, ci de tripleta formulă–domeniu–codomeniu: o lege poate fi bijectivă privită pe un interval și să nu mai fie pe altul. De aceea primul rând scris pe hârtie sunt cele două mulțimi.

Injectivitatea se obține din stricta monotonie: dacă $f$ urcă strict pe intervalul $I$ , atunci din $x_{1} < x_{2}$ rezultă $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , deci două puncte diferite nu pot avea aceeași imagine. Calea aceasta înlocuiește calculul algebric din clasa a IX-a, care se blochează la radicali, la logaritmi și la fracții. Cuvântul interval nu se poate sări: pe o mulțime cu o gaură, derivata negativă peste tot nu dă o funcție descrescătoare.

Surjectivitatea se verifică prin imagine: se citește $f (I)$ din tabelul de variație și se compară cu codomeniul $J$ . Dacă $f (I) = J$ , funcția este surjectivă.

Rezolvarea are trei pași, punctați separat: monotonia, imaginea și concluzia; oprirea după primul dintre ei lasă demonstrația la jumătate. Un zerou izolat al derivatei, la care semnul nu se schimbă, nu strică injectivitatea.

O funcție care nu trece testul poate fi reparată: fie se restrânge domeniul la un interval de monotonie, fie se ia drept codomeniu chiar imaginea. Într-un model din științe, bijectivitatea spune că din rezultatul măsurătorii se poate reveni, fără dubiu, la cauza ei.

De reținut

surjectivă pe $J$ : $Im f = J$
strict monotonă pe un interval $\Rightarrow$ injectivă
bijectivă = injectivă și surjectivă

Greșeala tipică

Se declară funcția bijectivă doar pentru că derivata ei este pozitivă; fără calculul imaginii nu se știe dacă toate valorile codomeniului sunt atinse.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile de mai jos nu este injectivă?
- a) $f : R \to R$ , $f (x) = 9 - 4 x$
- b) $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 13 x$
- c) $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 3$
- d) $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x + 2 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 3$

La c) derivata $2 x - 10$ își schimbă semnul în $5$ , punct interior domeniului, deci funcția coboară și apoi urcă: $f (0) = 3$ și $f (10) = 100 - 100 + 3 = 3$ , două argumente diferite cu aceeași valoare. Celelalte trei au derivata de semn constant pe un interval: $- 4 < 0$ la a), $3 x^{2} + 13 \geq 13 > 0$ la b) și $\frac{1}{x} + 2 > 0$ pe $(0, + \infty)$ la d), deci sunt injective.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} + 3 x$ , este:
- a) surjectivă, dar nu injectivă
- b) bijectivă
- c) injectivă, dar nu surjectivă, fiindcă $e^{x} > 0$
- d) nici injectivă, nici surjectivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) bijectivă

$f^{'} (x) = e^{x} + 3 > 3 > 0$ pe tot $R$ , care este interval, deci funcția urcă strict și este injectivă. La $- \infty$ exponențiala tinde la $0$ , iar $3 x$ scade nemărginit, deci $f (x) \to - \infty$ ; la $+ \infty$ amândoi termenii cresc nemărginit. Imaginea este deci $R$ , adică tocmai codomeniul, iar funcția este bijectivă. Varianta c) transferă mărginirea lui $e^{x}$ asupra sumei, care nu este mărginită.
Funcția $f (x) = x^{2} + 12 x + 40$ nu este bijectivă de la $R$ la $R$ . Care dintre perechile de mai jos dă o funcție bijectivă?
- a) $f : [- 6, + \infty) \to [4, + \infty)$
- b) $f : [- 6, + \infty) \to [0, + \infty)$
- c) $f : R \to [4, + \infty)$
- d) $f : [- 6, + \infty) \to R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f : [- 6, + \infty) \to [4, + \infty)$

$f^{'} (x) = 2 x + 12$ se anulează în $- 6$ și este pozitivă după, deci pe $[- 6, + \infty)$ funcția urcă strict, cu $f (- 6) = 36 - 72 + 40 = 4$ și limita $+ \infty$ : imaginea este $[4, + \infty)$ . Varianta b) și varianta d) propun codomenii mai largi decât imaginea, deci funcțiile nu sunt surjective; c) păstrează tot $R$ ca domeniu, unde funcția nu este injectivă, fiindcă $f (- 7) = f (- 5) = 5$ .

Întrebări conexe

De ce $e^{x}$ nu este surjectivă de la R la R?

Imaginea lui $e^{x}$ este $(0, + \infty)$ : valorile sunt mereu pozitive. Numere ca $- 1$ sau $0$ din codomeniul $R$ nu sunt atinse, deci funcția nu este surjectivă. Cu codomeniul $(0, + \infty)$ devine surjectivă și chiar bijectivă.

Pe ce interval este $sin x$ bijectivă spre $[- 1, 1]$ ?

Pe $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ : acolo derivata $cos x$ este pozitivă, cu excepția capetelor, deci funcția crește strict de la $- 1$ la $1$ . Pe tot $R$ nu este injectivă, fiindcă ia aceeași valoare de o infinitate de ori.

Este suficientă derivata pozitivă pentru ca o funcție să fie bijectivă?

Nu: derivata pozitivă dă doar injectivitatea. Funcția $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ are derivata $\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1} > 0$ , dar imaginea ei este $(- 1, 1)$ , deci nu este surjectivă spre $R$ . Mai trebuie verificat că imaginea coincide cu codomeniul.

De ce are o ecuație o singură soluție când funcția este bijectivă?

Surjectivitatea garantează că valoarea este atinsă, iar injectivitatea că este atinsă o singură dată. Pentru $f (x) = x^{3} + x$ , bijectivă pe $R$ , ecuația $x^{3} + x = 10$ are exact o soluție, $x = 2$ , fiindcă $8 + 2 = 10$ .

Ce codomeniu face surjectivă funcția $\frac{1}{x}$ pe $(0, + \infty)$ ?

Codomeniul $(0, + \infty)$ . Funcția scade strict, tinde la $+ \infty$ lângă $0$ și la $0$ la $+ \infty$ , deci ia exact toate valorile pozitive. Cu acest codomeniu, $\frac{1}{x}$ este bijectivă și este propria ei inversă.

Oamenii mai întreabă și: funcție surjectivă cu derivata · cum demonstrez surjectivitatea · imaginea funcției și surjectivitatea · când este o funcție surjectivă pe un interval