Funcții bijective pe intervale (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un aparat de laborator măsoară concentrația unei soluții și afișează un număr. Întrebarea pe care și-o pune orice chimist este cea inversă: dacă văd afișat $12$ , la ce moment mă aflu? Răspunsul e folositor numai dacă momentul este unul singur. Exact această cerință — fiecare valoare afișată să provină dintr-o singură stare — se numește, în matematică, bijectivitate, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), ea se verifică nu cu definiții abstracte, ci cu derivata. La Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029 tema apare la Subiectul I, printre cerințele scurte despre funcții.

Ai întâlnit noțiunea în clasa a IX-a, unde bijectivitatea se citea din definiții și din grafic. Acum ai o unealtă mai puternică: semnul derivatei îți dă stricta monotonie pe un interval, iar tabelul de variație îți dă imaginea. Din aceste două informații bijectivitatea unei funcții $f : I \to J$ iese aproape gratuit. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere noțiunea la nivelul clasei a X-a, în capitolul „Funcții și ecuații", adică prin definiții și lectură grafică; forma de aici, cu derivata, este cea din programa nouă și intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

Vei ști să spui, în două propoziții, ce înseamnă că o funcție $f : I \to J$ este bijectivă și de ce cele două condiții nu se pot amesteca.
Vei ști să folosești stricta monotonie ca argument de injectivitate, în locul calculului cu $f (x_{1}) = f (x_{2})$ din clasa a IX-a.
Vei ști să citești imaginea unei funcții din tabelul de variație și să o compari cu codomeniul propus.
Vei ști să scrii rezolvarea în cei trei pași ai ei: monotonia, imaginea, concluzia.
Vei ști să recunoști cazurile în care funcția nu este bijectivă și să spui care dintre cele două condiții cade.
Vei ști să repari o funcție care pică testul, restrângând intervalul de definiție sau schimbând codomeniul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce cere, de fapt, bijectivitatea?

Pornim de la aparatul din deschidere. Concentrația unei soluții, în miligrame pe litru, scade după legea $c (t) = \frac{60}{t + 2}$ , unde $t$ se măsoară în ore, $t \in [0, 10]$ . La pornire avem $c (0) = 30$ , iar la capăt $c (10) = 5$ .

O funcție $f : I \to J$ se numește bijectivă dacă fiecare element al mulțimii $J$ este valoarea funcției pentru exact un element al mulțimii $I$ — nici pentru mai multe, nici pentru niciunul. Cele două interdicții au nume separate: „nu pentru mai multe" înseamnă că $f$ este injectivă, iar „nu pentru niciunul" înseamnă că $f$ este surjectivă. Bijectivitatea este exact conjuncția lor.

Observă un lucru care se uită des: bijectivitatea nu este o proprietate a formulei, ci a tripletei formulă–domeniu–codomeniu. Aceeași lege $c (t) = \frac{60}{t + 2}$ este bijectivă de la $[0, 10]$ la $[5, 30]$ , dar nu mai este surjectivă dacă cineva scrie codomeniul $[0, 30]$ : valoarea $2$ nu se atinge niciodată. De aceea, la orice cerință de bijectivitate, primul lucru pe care îl scrii pe hârtie sunt cele două mulțimi.

2. De ce rezolvă stricta monotonie injectivitatea?

Dacă ai parcurs în clasa a X-a lecția de supliment despre funcțiile injective, surjective și bijective, ai demonstrat injectivitatea pornind de la egalitatea $f (x_{1}) = f (x_{2})$ și ajungând la $x_{1} = x_{2}$ . Metoda merge, dar devine grea la funcții cu radicali, exponențiale sau fracții. Derivata oferă o cale mult mai scurtă.

Dacă $f$ este strict crescătoare pe intervalul $I$ , atunci pentru orice $x_{1} < x_{2}$ din $I$ avem $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , deci în particular $f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ . Două puncte diferite ale intervalului nu pot avea aceeași imagine, adică $f$ este injectivă. Același raționament, cu inegalitatea întoarsă, merge pentru funcțiile strict descrescătoare. Reține concluzia sub forma ei de lucru: orice funcție strict monotonă pe un interval este injectivă acolo.

Atenție la cuvântul interval. Funcția $f : R ∖ {0} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , are derivata negativă peste tot, dar $R ∖ {0}$ nu este interval, iar funcția nu este strict descrescătoare pe toată mulțimea: ea coboară pe fiecare ramură separat. Semnul derivatei se transformă în monotonie numai pe un interval — regula e cea fixată în lecția despre intervalele de monotonie citite din semnul derivatei, pe care aici o folosim, nu o redemonstrăm.

3. Cum se determină imaginea funcției?

Injectivitatea ne-a costat un tabel de semn. Surjectivitatea cere altceva: să arătăm că mulțimea valorilor efectiv atinse coincide cu codomeniul propus. Mulțimea aceasta se numește imaginea funcției și se notează $Im f$ sau $f (I)$ .

La o funcție continuă și strict monotonă pe un interval, imaginea se citește direct din capetele tabelului de variație: dacă $f$ este strict crescătoare pe $[a, b]$ , atunci $f ([a, b]) = [f (a), f (b)]$ ; dacă intervalul e deschis sau nemărginit, capetele se înlocuiesc cu limitele corespunzătoare, iar parantezele devin rotunde. Procedeul complet este tema lecției despre imaginea unei funcții pe un interval; aici îl folosim ca pe o unealtă gata făcută.

Pentru concentrația din §1: derivata este $c^{'} (t) = - \frac{60}{( t + 2 ) ^{2}}$ , strict negativă, deci $c$ este strict descrescătoare pe $[0, 10]$ ; imaginea este $[c (10), c (0)] = [5, 30]$ . Prin urmare $c : [0, 10] \to [5, 30]$ este bijectivă, iar întrebarea chimistului are răspuns unic: din $\frac{60}{t + 2} = 12$ obținem $t = 3$ ore.

4. Criteriul pe care îl vei folosi tot anul

Cele două observații se adună într-un singur enunț de lucru.

Criteriu. Fie $I$ un interval și $f : I \to R$ o funcție continuă și derivabilă pe interiorul lui $I$ . Dacă $f^{'}$ păstrează un semn constant, fără să se anuleze decât eventual în puncte izolate, atunci $f$ este strict monotonă pe $I$ , deci injectivă; dacă, în plus, $J = f (I)$ , atunci funcția $f : I \to J$ este bijectivă.

Cele trei cuvinte care nu se pot sări sunt „interval", „strict" și „ $J = f (I)$ ". Fără interval, monotonia nu se deduce din semn. Fără „strict", injectivitatea cade: o funcție constantă este monotonă, dar trimite tot intervalul într-un singur număr. Fără egalitatea imaginii cu codomeniul, rămâne doar injectivitatea.

Observă și că implicația nu se întoarce: există funcții bijective care nu sunt monotone, cum e funcția care schimbă între ele două bucăți ale unui interval — o astfel de funcție nu poate fi însă continuă, deci nu apare între funcțiile studiate aici. Criteriul este o cale suficientă de a demonstra bijectivitatea, nu o caracterizare a ei — și e singura cerută la profilul științe ale naturii.

5. Rețeta în trei pași

Orice cerință de tipul „arătați că $f : I \to J$ este bijectivă" se rezolvă la fel:

monotonia — calculezi $f^{'}$ , îi stabilești semnul pe $I$ și scrii propoziția „ $f$ este strict crescătoare (descrescătoare) pe $I$ , deci injectivă";
imaginea — întocmești tabelul de variație, citești valorile sau limitele la capete și scrii $f (I) = \dots$ ;
concluzia — compari cu $J$ : dacă $f (I) = J$ , funcția este și surjectivă, deci bijectivă.

Cei trei pași sunt distincți, așa că ordinea se scrie pe hârtie chiar dacă pare evidentă. Greșeala tipică nu este de calcul, ci de redactare: elevul demonstrează monotonia și se oprește, uitând că a arătat doar jumătate.

6. Ce faci când funcția pică testul?

Dacă derivata își schimbă semnul în interiorul intervalului, funcția urcă și coboară, deci ia de două ori aceeași valoare: injectivitatea cade. Dacă imaginea este mai mică decât codomeniul, cade surjectivitatea. În ambele cazuri răspunsul corect nu este „nu se poate", ci „iată ce lipsește".

Repararea are două forme. Prima: restrângi domeniul la un interval pe care derivata păstrează semnul. Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ , nu este injectivă, fiindcă $f (- 1) = f (1) = 2$ ; restrânsă la $[0, + \infty)$ devine strict crescătoare, cu imaginea $[1, + \infty)$ , deci $f : [0, + \infty) \to [1, + \infty)$ este bijectivă. A doua: înlocuiești codomeniul cu imaginea, ceea ce face surjectivitatea automată. Nicio funcție nu este „stricată" definitiv; doar prost încadrată.

7. La ce folosește bijectivitatea în științe?

Într-un model, bijectivitatea înseamnă că măsurătoarea poate fi „citită înapoi". Un termocuplu care dă aceeași tensiune la două temperaturi diferite este inutil; o curbă de etalonare are sens doar pe intervalul pe care e strict monotonă. La fel, o curbă de calibrare în spectrofotometrie se folosește numai pe domeniul pe care absorbanța crește strict cu concentrația — în afara lui, două probe diferite ar da aceeași citire.

Tot bijectivitatea este condiția ca o funcție să admită inversă, adică să existe legea care întoarce valoarea în argument, așa cum ai văzut la funcția inversă și inversabilitate. La M2 nu se cere calculul efectiv al inversei în clasa a XI-a; se cere stabilirea bijectivității, care este exact condiția de existență.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește tabelul de variație

Tabelul de variație al unei funcții continue $f : [- 2, 4] \to R$ este:

$x$	$- 2$		$1$		$4$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$- 3$	$↗$	$6 M$	$↘$	$2$

a) Este $f$ injectivă? b) Determinați un interval $I \subset [- 2, 4]$ și un interval $J$ pentru care $f : I \to J$ să fie bijectivă.

Rezolvare. a) Nu. Funcția urcă de la $- 3$ la $6$ , apoi coboară de la $6$ la $2$ . Orice valoare din intervalul $[2, 6)$ este atinsă de două ori: o dată pe ramura crescătoare, o dată pe cea descrescătoare. Vizual, o dreaptă orizontală dusă la înălțimea $4$ taie graficul în două puncte.

b) Alegem o ramură pe care derivata are semn constant. Pe $I = [- 2, 1]$ funcția este strict crescătoare, cu $f (- 2) = - 3$ și $f (1) = 6$ , deci $f (I) = [- 3, 6]$ . Prin urmare $f : [- 2, 1] \to [- 3, 6]$ este bijectivă. Răspunsul nu e unic: și $f : [1, 4] \to [2, 6]$ este bijectivă, pe ramura descrescătoare.

Exemplul 2 — O funcție polinomială pe toată dreapta

Arătați că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 6 x - 2$ , este bijectivă.

Rezolvare. Monotonia: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6$ . Fiind sumă dintre un pătrat înmulțit cu $3$ și numărul $6$ , derivata este strict pozitivă pentru orice $x$ real. Domeniul $R$ este interval, deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ și, prin urmare, injectivă.

Imaginea: la capete, $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , deci tabelul de variație are $f (R) = R$ .

Concluzia: imaginea coincide cu codomeniul propus, așadar $f$ este și surjectivă, deci bijectivă.

Merită observat de ce a fost atât de comod: derivata unui polinom de gradul al treilea cu coeficientul lui $x$ pozitiv și fără termen în $x^{2}$ este o sumă de mărimi pozitive, care nu se poate anula.

Exemplul 3 — Restricția la o ramură

Se consideră funcția $f : [1, + \infty) \to J$ , $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ . Determinați $J$ astfel încât $f$ să fie bijectivă.

Rezolvare. Monotonia: $f^{'} (x) = 2 x - 2 = 2 (x - 1)$ , care este pozitivă pentru $x > 1$ și se anulează doar în capătul $x = 1$ . Un zerou izolat nu strică stricta monotonie, deci $f$ este strict crescătoare pe $[1, + \infty)$ , deci injectivă.

Imaginea: capătul stâng dă $f (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ , iar $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ . Prin urmare $f ([1, + \infty)) = [4, + \infty)$ .

Concluzia: pentru $J = [4, + \infty)$ funcția $f : [1, + \infty) \to [4, + \infty)$ este bijectivă. Rezultatul se putea anticipa din clasa a IX-a: graficul este o parabolă cu vârful în punctul $(1, 4)$ , iar $[1, + \infty)$ este exact ramura din dreapta vârfului.

Exemplul 4 — Un model din chimie, citit înapoi

Concentrația unui reactant, în miligrame pe litru, la $t$ ore de la începutul reacției, este $c (t) = \frac{60}{t + 2}$ , $t \in [0, 10]$ . a) Arătați că $c : [0, 10] \to [5, 30]$ este bijectivă. b) Determinați momentul la care concentrația este de $12$ mg/L.

Rezolvare. a) Derivata este $c^{'} (t) = - \frac{60}{( t + 2 ) ^{2}}$ , strict negativă pe tot intervalul, pentru că numitorul este un pătrat nenul. Deci $c$ este strict descrescătoare pe $[0, 10]$ , adică injectivă. Capetele dau $c (0) = \frac{60}{2} = 30$ și $c (10) = \frac{60}{12} = 5$ , așa că imaginea este $[5, 30]$ — exact codomeniul din enunț. Funcția este deci bijectivă.

b) Din $\frac{60}{t + 2} = 12$ rezultă $t + 2 = 5$ , adică $t = 3$ ore. Bijectivitatea este cea care garantează că acesta este singurul moment cu această concentrație; fără ea, aparatul ar da o citire ambiguă. Modelul este valabil doar pe intervalul declarat: după zece ore reacția e practic încheiată, iar formula nu mai descrie nimic.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ , are $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , deci imaginea ei este $R$ ; prin urmare $f$ este bijectivă." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Partea despre imagine este corectă: funcția chiar este surjectivă. Greșeala stă în cuvântul „prin urmare": surjectivitatea singură nu dă bijectivitate, mai lipsește injectivitatea, iar aceasta cade.

Verificarea e imediată: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ , derivată care este pozitivă pe $(- \infty, - 1)$ , negativă pe $(- 1, 1)$ și din nou pozitivă pe $(1, + \infty)$ . Funcția urcă până la $f (- 1) = 3$ , coboară până la $f (1) = - 1$ , apoi urcă din nou, deci ia de mai multe ori aceeași valoare. Concret, ecuația $f (x) = 1$ se scrie $x^{3} - 3 x = 0$ , adică $x (x^{2} - 3) = 0$ , cu soluțiile $x = 0$ , $x = - 3$ și $x = 3$ : trei argumente diferite, aceeași valoare.

Reține proba: înainte de a vorbi despre imagine, verifică semnul derivatei. Dacă el se schimbă în interiorul domeniului, funcția nu mai are cum să fie injectivă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ , $x \geq 0$ . b) Arătați că funcția $f$ este strict crescătoare pe $[0, + \infty)$ . c) Arătați că funcția $f : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ este bijectivă.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen, cu regulile din tabelul derivatelor: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ și $(3 x)^{'} = 3$ , deci $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ pentru orice $x \geq 0$ .

b) Pentru $x \geq 0$ avem $3 x^{2} \geq 0$ , deci $f^{'} (x) \geq 3 > 0$ . Domeniul $[0, + \infty)$ fiind interval, semnul constant al derivatei dă stricta creștere.

c) Din stricta creștere rezultă injectivitatea. Pentru imagine: $f (0) = 0$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , deci $f ([0, + \infty)) = [0, + \infty)$ , adică exact codomeniul. Funcția este deci bijectivă.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe urmează tiparul modelului oficial de subiect: o formulă de verificat, o proprietate de demonstrat, o concluzie de tras. Observă cum punctul c) se sprijină pe b) fără să-l repete — la examen se scrie „conform punctului b), $f$ este strict crescătoare, deci injectivă", nu se reia tabelul.

Să exersăm

La fiecare cerință de bijectivitate scrie cei trei pași: monotonia, imaginea, concluzia.

1. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 3$ , este bijectivă.

2. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 4 x + 1$ , este bijectivă.

3. Determină intervalul $J$ pentru care funcția $f : (0, + \infty) \to J$ , $f (x) = \frac{x}{x + 3}$ , este bijectivă.

4. Determină intervalul $J$ pentru care funcția $f : (0, + \infty) \to J$ , $f (x) = 2 + \frac{6}{x}$ , este bijectivă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție strict crescătoare pe domeniul ei este bijectivă."

6. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ , nu este injectivă, apoi găsește un interval $I$ și un interval $J$ pentru care restricția lui $f$ să fie bijectivă.

7. Arată că funcția $f : [1, 7] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 8 x + 10$ , nu este injectivă, folosind două valori concrete.

8. Determină intervalul $J$ pentru care funcția $f : [1, + \infty) \to J$ , $f (x) = ln x + x$ , este bijectivă.

9. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5} + x^{3} + x$ , este bijectivă.

10. Reluăm funcția $f (x) = x + 1$ de la funcții derivabile: determină intervalul $J$ pentru care $f : [0, 3] \to J$ este bijectivă.

11. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de aclimatizare, salinitatea apei, în grame pe litru, la $t$ ore de la pornirea instalației, este $s (t) = 35 - \frac{20}{t + 1}$ , $t \in [0, 9]$ . Arată că $s$ este bijectivă de la $[0, 9]$ la $[15, 33]$ și determină momentul în care salinitatea ajunge la $27$ g/L.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 8 x - 4$ . a) Arată că $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 8$ , $x \in R$ . b) Arată că funcția $f$ este strict crescătoare pe $R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x + 9$ . Arată că funcția $f$ este bijectivă.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 15 x$ . Arată că funcția $f$ este strict crescătoare pe $R$ și deduce că $f$ este injectivă.

15. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 1$ , este bijectivă, deși derivata ei se anulează.

16. Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + m x + 5$ , este bijectivă.

17. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 3$ , nu este surjectivă, determinându-i imaginea.

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . Arată că $f$ nu este injectivă, determină-i imaginea și scrie cele două intervale $I \subset (0, + \infty)$ , cât mai mari cu putință, pe care restricția lui $f$ devine bijectivă pe imaginea ei.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{'} (x) = 5 > 0$ pe $R$ , deci $f$ este strict crescătoare, adică injectivă. Limitele la capete sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , deci imaginea este $R$ , egală cu codomeniul. Funcția este bijectivă.

2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 \geq 4 > 0$ pentru orice $x$ real, deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ , deci injectivă. Cum $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , imaginea este $R$ , deci $f$ este bijectivă.

3. Prin regula câtului, $f^{'} (x) = \frac{( x + 3 ) - x}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 3 ) ^{2}} > 0$ pe $(0, + \infty)$ , deci $f$ este strict crescătoare, adică injectivă. La capete: $x \to 0, x > 0 lim f (x) = 0$ și $x \to + \infty lim f (x) = 1$ , fiindcă raportul a doi termeni de gradul întâi tinde la raportul coeficienților dominanți. Niciuna dintre cele două margini nu este valoare a funcției — $0$ ar cere $x = 0$ , care nu e în domeniu, iar $1$ ar cere $x = x + 3$ —, deci amândouă parantezele sunt rotunde: $J = (0, 1)$ .

4. $f^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{2}} < 0$ pe $(0, + \infty)$ , deci $f$ este strict descrescătoare, deci injectivă. La capete, $x \to 0, x > 0 lim f (x) = + \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = 2$ , valoare care nu se atinge. Deci $J = (2, + \infty)$ .

5. Fals. Stricta creștere dă injectivitatea, nu și surjectivitatea; aceasta din urmă depinde de codomeniul ales. Contraexemplu: $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x}$ , are $f^{'} (x) = e^{x} > 0$ , deci este strict crescătoare, dar imaginea ei este $(0, + \infty)$ , nu $R$ : numărul $- 1$ nu este valoarea funcției pentru niciun $x$ .

6. $f (- 1) = e^{- 1} + e$ și $f (1) = e + e^{- 1}$ : două argumente diferite cu aceeași valoare, deci $f$ nu este injectivă. Derivata, $f^{'} (x) = e^{x} - e^{- x}$ , se anulează doar acolo unde $e^{x} = e^{- x}$ , adică în $0$ , și își schimbă semnul: e negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ . Pe $I = [0, + \infty)$ funcția este deci strict crescătoare, cu $f (0) = 1 + 1 = 2$ și limita $+ \infty$ la capătul din dreapta, așa că restricția $f : [0, + \infty) \to [2, + \infty)$ este bijectivă.

7. $f (2) = 4 - 16 + 10 = - 2$ și $f (6) = 36 - 48 + 10 = - 2$ . Două argumente diferite din $[1, 7]$ au aceeași valoare, deci funcția nu este injectivă. Explicația: $f^{'} (x) = 2 x - 8$ își schimbă semnul în $x = 4$ , punct aflat în interiorul intervalului.

8. $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ pe $[1, + \infty)$ , deci $f$ este strict crescătoare, deci injectivă. Cum $f (1) = ln 1 + 1 = 1$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , rezultă $J = [1, + \infty)$ .

9. $f^{'} (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2} + 1$ , sumă de trei termeni nenegativi dintre care unul este $1$ , deci $f^{'} (x) \geq 1 > 0$ pentru orice $x$ real. Funcția este strict crescătoare pe $R$ , cu limitele $- \infty$ și $+ \infty$ la capete, deci imaginea este $R$ și $f$ este bijectivă.

10. Derivata, calculată acolo din definiție, este $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 1} > 0$ pe $(0, 3)$ , iar $f$ este continuă pe $[0, 3]$ , deci strict crescătoare acolo. Cum $f (0) = 1 = 1$ și $f (3) = 4 = 2$ , obținem $J = [1, 2]$ .

11. $s^{'} (t) = \frac{20}{( t + 1 ) ^{2}} > 0$ pe $[0, 9]$ , deci salinitatea crește strict, iar funcția este injectivă. Capetele dau $s (0) = 35 - 20 = 15$ și $s (9) = 35 - 2 = 33$ , deci imaginea este $[15, 33]$ , egală cu codomeniul: funcția este bijectivă. Din $35 - \frac{20}{t + 1} = 27$ rezultă $\frac{20}{t + 1} = 8$ , adică $t + 1 = \frac{5}{2}$ și $t = \frac{3}{2}$ , adică o oră și jumătate. Bijectivitatea garantează că acesta este singurul moment cu salinitatea de $27$ g/L, pe intervalul pe care modelul este valabil.

12. a) $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ și $(8 x)^{'} = 8$ , iar derivata constantei este nulă, deci $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 8$ . b) Cum $3 x^{2} \geq 0$ , avem $f^{'} (x) \geq 8 > 0$ pentru orice $x$ real; domeniul fiind interval, $f$ este strict crescătoare pe $R$ .

13. $f^{'} (x) = 4 > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ , deci injectivă. Limitele la $\pm \infty$ fiind tot $\pm \infty$ , în ordinea potrivită, imaginea este $R$ , deci $f$ este surjectivă. Funcția este bijectivă. (Se putea răspunde și direct: ecuația $4 x + 9 = y$ are, pentru fiecare $y$ real, soluția unică $x = \frac{y - 9}{4}$ .)

14. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15 = 3 (x^{2} - 4 x + 5) = 3 ((x - 2)^{2} + 1) \geq 3 > 0$ pentru orice $x$ real. Domeniul fiind interval, $f$ este strict crescătoare pe $R$ ; stricta monotonie pe un interval atrage injectivitatea.

15. $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 12 x + 3 = 3 (2 x - 1)^{2} \geq 0$ , cu un singur zerou, $x = \frac{1}{2}$ . Un zerou izolat nu întrerupe stricta creștere, deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ , deci injectivă. Limitele la capete fiind $- \infty$ și $+ \infty$ , imaginea este $R$ , deci $f$ este bijectivă. (Scrisă sub forma $f (x) = \frac{( 2 x - 1 ) ^{3} + 3}{2}$ , funcția se vede a fi graficul lui $x^{3}$ întins și mutat.)

16. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + m$ . Dacă $m \geq 0$ , derivata este nenegativă, cu cel mult un zerou, deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ ; limitele la capete dau imaginea $R$ , deci $f$ este bijectivă. Dacă $m < 0$ , derivata se anulează în două puncte distincte, $\pm - \frac{m}{3}$ , și își schimbă semnul, deci funcția urcă, coboară și urcă din nou: nu mai este injectivă. Răspuns: $m \in [0, + \infty)$ .

17. $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1)$ ; factorul $x^{2} + 1$ este mereu pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui $x$ : funcția scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul $f (0) = 3$ . Limitele la $\pm \infty$ sunt amândouă $+ \infty$ , deci imaginea este $[3, + \infty)$ . Cum aceasta nu este $R$ — numărul $0$ , de pildă, nu este valoarea funcției pentru niciun $x$ —, funcția nu este surjectivă (și nici injectivă: $f (- 1) = f (1) = 6$ ).

18. $f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}}$ , negativă pe $(0, 2)$ și pozitivă pe $(2, + \infty)$ . Funcția coboară și apoi urcă, deci nu este injectivă: de exemplu $f (1) = 5$ și $f (4) = 5$ . Minimul este $f (2) = 2 + 2 = 4$ , iar limitele la ambele capete sunt $+ \infty$ , deci imaginea este $[4, + \infty)$ . Cele două intervale căutate sunt ramurile de monotonie, tăiate de punctul de minim: pe $I_{1} = (0, 2]$ funcția este strict descrescătoare, cu limita $+ \infty$ la capătul deschis și $f (2) = 4$ , deci $f : (0, 2] \to [4, + \infty)$ este bijectivă; pe $I_{2} = [2, + \infty)$ este strict crescătoare, cu aceeași imagine, deci $f : [2, + \infty) \to [4, + \infty)$ este tot bijectivă. Niciunul nu se poate mări, pentru că orice interval care conține $2$ în interior cuprinde puncte de pe ambele ramuri, cu valori care se repetă.

De reținut

Bijectivitatea este o proprietate a tripletei formulă–domeniu–codomeniu, nu a formulei singure: aceeași lege poate fi bijectivă pe un interval și să nu fie pe altul.
Strict monotonă pe un interval $\Rightarrow$ injectivă. Aceasta este calea scurtă spre injectivitate la clasa a XI-a; semnul derivatei o dă, cu condiția ca domeniul să fie interval.
Surjectivitatea se verifică prin imagine: citești $f (I)$ din tabelul de variație și o compari cu codomeniul $J$ . Dacă $f (I) = J$ , funcția este surjectivă.
Redactarea are trei pași punctați separat: monotonia, imaginea, concluzia. Cine se oprește după monotonie a demonstrat doar injectivitatea.
O funcție care pică testul se repară, restrângând domeniul la un interval de monotonie sau înlocuind codomeniul cu imaginea.

Greșeli frecvente

Te oprești după monotonie și scrii „deci bijectivă". Stricta creștere demonstrează doar injectivitatea. La $f : [1, 5] \to [0, 30]$ , $f (x) = x^{2} + 2$ , derivata $2 x$ este pozitivă pe tot intervalul, dar imaginea este $[3, 27]$ , nu $[0, 30]$ : valoarea $29$ nu se atinge, deci funcția nu este surjectivă.
Aplici regula semnului pe o mulțime care nu e interval. La $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ , derivata este negativă peste tot, dar concluzia „strict descrescătoare pe tot domeniul" e falsă: $f (1) = - 1$ și $f (3) = 1$ , adică valoarea crește când treci de la $1$ la $3$ .
Scrii imaginea cu paranteze greșite. Capătul se include numai dacă funcția îl atinge efectiv: la $f (x) = 3 + \frac{5}{x}$ pe $(0, + \infty)$ imaginea este $(3, + \infty)$ , fiindcă $3$ este doar limita la $+ \infty$ , nu o valoare a funcției.
Crezi că un zerou al derivatei strică automat injectivitatea. Contează dacă derivata schimbă semnul acolo. La $f (x) = x^{5}$ derivata $5 x^{4}$ se anulează în $0$ , dar rămâne pozitivă de o parte și de alta, iar funcția este strict crescătoare pe $R$ .
Insiști cu calculul algebric din clasa a IX-a acolo unde el nu duce nicăieri. La $f (x) = x^{7} + x + 1$ , plecarea de la $f (x_{1}) = f (x_{2})$ te lasă cu $x_{1}^{7} - x_{2}^{7} + x_{1} - x_{2} = 0$ , o expresie greu de factorizat, în timp ce derivata rezolvă totul într-un rând: $f^{'} (x) = 7 x^{6} + 1 \geq 1 > 0$ .

Aplică acasă

Curba de etalonare din bucătărie. Umple treptat un pahar gradat, turnând din $50$ în $50$ de mililitri, și notează de fiecare dată înălțimea apei cu o riglă. Fă tabelul volum–înălțime și verifică dacă, la o înălțime citită, volumul se poate afla fără ambiguitate. Repetă apoi cu un vas cu gâtul strâmt, unde aceeași creștere de volum ridică nivelul mai mult: corespondența rămâne bijectivă, deși nu mai e liniară.
Sarea care se dizolvă. Cântărește $30$ de grame de sare, toarn-o într-un pahar cu apă călduță și amestecă încontinuu, scoțând cu o sită, din $30$ în $30$ de secunde, ce a rămas nedizolvat, ca să-l cântărești și să-l pui la loc. Cât timp masa nedizolvată scade strict, din valoarea cântărită poți spune la ce moment te afli; din clipa în care ea rămâne la zero, doi timpi diferiți dau aceeași cifră. Scrie intervalul pe care corespondența moment $\to$ masă este bijectivă și momentul exact în care ea se strică.
Etichetele din baie. Caută pe un cântar de persoane, pe un termometru sau pe o seringă gradată intervalul pe care aparatul garantează citirea. Scrie-l ca pereche de intervale $I \to J$ și explică, în trei rânduri, de ce în afara lui citirea nu mai este de încredere: fie două stări diferite dau același număr, fie valoarea afișată nu corespunde niciunei stări reale.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Funcții bijective: definiție, studiul bijectivității unor funcții $f : I \to J$ , unde $I$ și $J$ sunt intervale". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere bijectivitatea la nivelul clasei a X-a, în capitolul „Funcții și ecuații" — „injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă" —, deci cu definiții și lectură grafică, la Subiectul I, nu ca aplicație a derivatei. Ruta cu derivata, predată aici, este aportul programei noi. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

De ce merită reluată o noțiune de clasa a X-a: pentru că instrumentul s-a schimbat. În clasa a X-a, în suplimentul pentru bacalaureatul M2, injectivitatea se demonstra prin calcul algebric, pornind de la $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , metodă care se blochează la funcții cu radicali, logaritmi sau fracții. Cu derivata, aceleași funcții se rezolvă în trei rânduri. Elevul care a înțeles lecția nu mai încearcă niciodată calculul algebric la o funcție de gradul al treilea.

Lecția verifică patru lucruri: (1) elevul scrie domeniul și codomeniul înainte de orice calcul; (2) folosește cuvântul „interval" când invocă regula semnului; (3) determină imaginea, nu o presupune; (4) formulează concluzia ca o propoziție despre funcție. Trei întrebări de control: „Care dintre cele două condiții cade la funcția asta?"; „De unde știi că valoarea din capăt se atinge?"; „Ce ai schimba ca funcția să devină bijectivă?". Semne că elevul a înțeles: desenează mental o dreaptă orizontală și numără intersecțiile; nu confundă zeroul izolat al derivatei cu schimbarea de semn. Continuarea firească este lecția despre problemele de optimizare cu perimetre, arii și volume, unde aceleași unelte se folosesc pentru a găsi valori extreme.

Întrebări frecvente

Cum demonstrez că o funcție este bijectivă folosind derivata? În trei pași. Calculezi derivata și îi stabilești semnul pe interval: semn constant înseamnă strictă monotonie, deci injectivitate. Apoi citești imaginea funcției din tabelul de variație, folosind valorile sau limitele de la capete. La final compari imaginea cu codomeniul: dacă sunt egale, funcția este și surjectivă, deci bijectivă.

Ce diferență este între bijectivitate la M2 și la mate-info (M1)? Diferă clasa și metoda. La profilul matematică-informatică noțiunea se predă în clasa a IX-a, prin definiții și demonstrații algebrice; versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcții injective, surjective, bijective lucrează cu mulțimi finite, diagrame și principiul cutiei. La științe ale naturii tema revine în clasa a XI-a, ca aplicație a derivatei, doar pentru funcții definite pe intervale.

La ce subiect apare bijectivitatea la bacalaureatul M2? La sesiunile 2027–2029, programa de examen o are printre conținuturile clasei a X-a, deci apare la Subiectul I, unde cerințele despre funcții sunt scurte și se rezolvă din definiții. Forma cu derivata, de aici, este cea din programa nouă și intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică.

De ce trebuie neapărat ca domeniul să fie un interval? Pentru că regula „derivata pozitivă înseamnă funcție crescătoare" se enunță pe un interval. Pe o reuniune de intervale, funcția poate coborî pe fiecare ramură separat fără să fie descrescătoare pe tot domeniul. Exemplul standard este $\frac{1}{x}$ pe $R^{*}$ : derivată negativă peste tot, și totuși $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ .

Ce fac dacă derivata se anulează într-un punct? Verifici dacă își schimbă semnul acolo. Dacă păstrează semnul, ca la $f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2}$ , monotonia strictă se păstrează și funcția rămâne injectivă. Dacă schimbă semnul, funcția are un extrem, urcă și coboară, deci ia de două ori aceeași valoare și injectivitatea cade. Proba se face pe tabelul de semn al derivatei, nu din ochi, fiindcă un zerou dublu nu schimbă semnul.

Cum determin codomeniul $J$ când problema nu mi-l dă? Îl iei chiar egal cu imaginea funcției. Faci tabelul de variație, scrii valorile de la capete sau limitele corespunzătoare și obții $J = f (I)$ ; cu această alegere surjectivitatea este automată, iar funcția $f : I \to J$ devine bijectivă de îndată ce e strict monotonă. Ai grijă la paranteze: un capăt intră în $J$ numai dacă funcția îl atinge într-un punct al domeniului.

Bijectivitatea are legătură cu funcția inversă? Da, este chiar condiția de existență a inversei: o funcție admite inversă exact atunci când este bijectivă. La profilul științe ale naturii, în clasa a XI-a se cere numai stabilirea bijectivității; calculul efectiv al inversei rămâne la nivelul claselor anterioare, unde a fost studiat.