Se consideră funcția $$f(x)=\dfrac{6}{x^2-12x}$$, cu domeniul maxim de definiție. Care este cel mai mare interval care conține punctul $$5$$ și pe care se aplică regula de existență?

$$\mathbb{R}\setminus\{0,12\}$$

Despre funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\lvert 2x-7\rvert+5$$, este adevărat că:

admite primitive pe $$\mathbb{R}$$, fiindcă este continuă pe $$\mathbb{R}$$, care este interval

nu admite primitive pe $$\mathbb{R}$$, fiindcă nu este derivabilă în $$3{,}5$$

admite primitive numai pe $$(3{,}5\,;+\infty)$$

regula nu se poate aplica, fiindcă $$f$$ nu este dată printr-o singură formulă elementară

Admite primitive pe ℝ funcția 1/(x²+4x+5)?

Da. Numitorul are Δ=16-20<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci nu se anulează niciodată, iar funcția este continuă pe ℝ. O primitivă este arctg(x+2), fiindcă x²+4x+5=(x+2)²+1, lucru care se verifică prin derivare.

Admite primitive pe ℝ funcția 1/x?

Nu se poate vorbi de primitive pe ℝ, fiindcă funcția nu e definită în 0. Domeniul ℝ^* nu este interval, dar pe fiecare bucată, (-∞,0) și (0,+∞), funcția este continuă și are primitivele ln| x|+ C.

Are primitive o funcție cu modul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Existența primitivelor

Da, dacă e continuă pe un interval, iar funcțiile cu modul de tipul $∣ 2 x - 4 ∣$ sunt continue pe $R$ . Colțul din grafic, unde funcția nu e derivabilă, nu contează: derivabilă trebuie să fie primitiva, nu funcția. O primitivă se scrie pe ramuri și se lipește în punctul de racord: $F (x) = - x^{2} + 4 x$ pentru $x < 2$ și $F (x) = x^{2} - 4 x + 8$ pentru $x \geq 2$ . Ambele formule dau $F (2) = 4$ , deci $F$ este continuă și are derivata $∣ 2 x - 4 ∣$ .

Regula de existență a profilului științe ale naturii încape într-o propoziție: continuitatea pe un interval este de ajuns pentru ca primitivele să existe. Ipoteza se citește în două trepte, iar ordinea nu e indiferentă — mai întâi forma mulțimii de lucru, care trebuie să fie interval, apoi continuitatea funcției pe ea. Un domeniu ca $R ∖ {0, 12}$ se rupe în trei bucăți fără legătură între ele, așa că regula se rostește separat pentru fiecare.

Sensul implicației este unul singur. Absența continuității nu îngăduie verdictul contrar: uneltele care ar decide întrebarea stau în afara programei acestui profil, deci despre o funcție cu salt verdictul rămâne acela că ipoteza nu este îndeplinită. De aici și confuzia care costă — cerința privește continuitatea funcției date, nu derivabilitatea ei; derivabilă urmează să fie $F$ , cea căutată, iar un colț în grafic nu schimbă nimic.

Răspunsul complet ocupă trei rânduri: intervalul, apoi motivul continuității — cât cu numitor nenul, sumă, produs sau compunere de funcții elementare —, apoi regula rostită pe nume. Nicio primitivă nu se calculează.

Când funcția este scrisă cu acolade se cercetează doar valoarea în care se schimbă formula. Acolo cele două expresii trebuie să dea același număr, iar dacă una dintre ele poartă un parametru, egalitatea îl determină. Conținutul apare atât în programa de examen din 2014, cât și în cea a probei MAT_P2 a anului 2030, la domeniul Analiză matematică.

De reținut

funcție continuă pe un interval $\Rightarrow$ admite primitive pe acel interval
regula cere continuitatea lui $f$ , nu derivabilitatea
domeniu cu goluri: regula se aplică pe fiecare interval separat

Greșeala tipică

Se spune că $∣ 2 x - 4 ∣$ nu admite primitive fiindcă nu e derivabilă în $2$ ; regula cere continuitatea funcției, iar derivabilă trebuie să fie doar primitiva.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f (x) = \frac{6}{x ^{2} - 12 x}$ , cu domeniul maxim de definiție. Care este cel mai mare interval care conține punctul $5$ și pe care se aplică regula de existență?
- a) $(- \infty, 0)$
- b) $(0, 12)$
- c) $(12, + \infty)$
- d) $R ∖ {0, 12}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, 12)$

Numitorul se descompune: $x^{2} - 12 x = x (x - 12)$ , deci se anulează în $0$ și în $12$ . Domeniul maxim este $R ∖ {0, 12}$ , mulțime care nu este interval; bucățile ei sunt $(- \infty, 0)$ , $(0, 12)$ și $(12, + \infty)$ . Punctul $5$ se află în a doua, deci răspunsul este $(0, 12)$ . Variantele a) și c) sunt intervale pe care regula se aplică, dar care nu îl conțin pe $5$ , iar d) nu este interval.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {x^{2} + 3 x, a x + 6, x \leq - 2 x > - 2$ , este continuă pe $R$ pentru:
- a) $a = - 4$
- b) $a = 2$
- c) $a = 4$
- d) $a = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 4$

Singurul punct de verificat este racordul $- 2$ . Prima ramură dă acolo $(- 2)^{2} + 3 \cdot (- 2) = 4 - 6 = - 2$ , iar a doua se apropie de $- 2 a + 6$ . Din $- 2 a + 6 = - 2$ rezultă $a = 4$ . Pentru $a = - 4$ a doua ramură dă $14$ , pentru $a = 2$ dă $2$ , iar pentru $a = 5$ dă $- 4$ — niciuna nu se potrivește cu $- 2$ .
Despre funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ 2 x - 7 ∣ + 5$ , este adevărat că:
- a) nu admite primitive pe $R$ , fiindcă nu este derivabilă în $3, 5$
- b) admite primitive pe $R$ , fiindcă este continuă pe $R$ , care este interval
- c) admite primitive numai pe $(3, 5; + \infty)$
- d) regula nu se poate aplica, fiindcă $f$ nu este dată printr-o singură formulă elementară
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) admite primitive pe $R$ , fiindcă este continuă pe $R$ , care este interval

Regula cere continuitatea, nu derivabilitatea: modulul unei funcții de gradul întâi este continuu pe tot $R$ , iar adunarea constantei $5$ păstrează continuitatea. Prin urmare $f$ admite primitive pe $R$ . Varianta a) cere derivabilitatea lui $f$ , deși derivabilă trebuie să fie primitiva; c) restrânge fără motiv intervalul, fiindcă și pe $(- \infty; 3, 5)$ funcția este continuă, iar $R$ este oricum interval; d) confundă forma scrierii cu continuitatea.

Întrebări conexe

Admite primitive pe $R$ funcția $\frac{1}{x ^{2} + 4 x + 5}$ ?

Da. Numitorul are $Δ = 16 - 20 < 0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci nu se anulează niciodată, iar funcția este continuă pe $R$ . O primitivă este $arctg (x + 2)$ , fiindcă $x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + 1$ , lucru care se verifică prin derivare.

Admite primitive funcția $x$ pe $[0, + \infty)$ ?

Da. Intervalul $[0, + \infty)$ este închis la stânga, iar radicalul este continuu pe el, inclusiv în $0$ . O primitivă este $\frac{2 x x}{3}$ , a cărei derivată la dreapta în $0$ este $0$ , adică exact $0$ .

Admite primitive pe $R$ funcția $\frac{1}{x}$ ?

Nu se poate vorbi de primitive pe $R$ , fiindcă funcția nu e definită în $0$ . Domeniul $R^{*}$ nu este interval, dar pe fiecare bucată, $(- \infty, 0)$ și $(0, + \infty)$ , funcția este continuă și are primitivele $ln ∣ x ∣ + C$ .

De ce o viteză care variază continuu are mereu o lege de mișcare?

Poziția este o primitivă a vitezei, iar o funcție continuă pe un interval de timp admite primitive. Chiar o viteză ca $v (t) = ∣ t - 3 ∣$ , a unui mobil care încetinește și apoi accelerează, are o lege de mișcare; primitivele diferă doar prin punctul de plecare.

Ce funcții elementare sunt continue pe domeniul lor?

Polinoamele, funcțiile raționale, radicalii, exponențialele, logaritmii și funcțiile trigonometrice sunt continue pe domeniile lor. Prin urmare admit primitive pe orice interval inclus în domeniu, de exemplu $ln x$ pe $(0, + \infty)$ sau $\frac{1}{x - 1}$ pe $(1, + \infty)$ .

Oamenii mai întreabă și: admite primitive funcția modul · primitiva funcției modul · o funcție cu modul admite primitive · funcție nederivabilă admite primitive