Ce funcții admit primitive (M2, științe ale naturii)

Până acum, la capitolul de primitive din clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), întrebarea a fost mereu „care este primitiva?". Tabelul a răspuns de fiecare dată, iar răspunsul se putea controla derivând înapoi. Rămâne însă o întrebare pe care nimeni nu a pus-o încă și care vine, la Subiectul al III-lea de la bacalaureatul M2, înaintea calculului: are funcția din enunț vreo primitivă? Dacă răspunsul ar fi „uneori nu", atunci fiecare cerință ar începe cu o verificare, iar căutarea unei formule ar putea fi, în unele cazuri, timp pierdut.

La profilul științe ale naturii, răspunsul încape într-o singură propoziție, iar propoziția aceea se verifică în două rânduri. Lecția de față o enunță, arată ce garantează și ce nu garantează ea, și te învață redactarea cu care se răspunde la cerințele de tipul „arătați că $f$ admite primitive". Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al III-lea, fiindcă programa de examen conține capitolul de primitive; ea rămâne și în programa nouă, la domeniul Analiză matematică, pentru proba MAT_P2 din 2030.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți regula de existență: continuitatea pe un interval îți garantează că primitivele există.
• Vei ști să verifici ipoteza regulii: mai întâi că mulțimea de lucru este un interval, apoi că funcția e continuă pe el.
• Vei ști să scrii răspunsul la cerința „arătați că $f$ admite primitive" în trei rânduri, fără să calculezi vreo primitivă.
• Vei ști să desparți domeniul în intervale, atunci când mulțimea pe care e definită funcția nu este un interval.
• Vei ști să determini parametrul pentru care o funcție definită pe ramuri se lipește, devine continuă și intră astfel sub regulă.
• Vei ști ce nu spune regula și de ce concluzia „nu e continuă, deci nu are primitive" nu se poate scrie la acest profil.

Hai să descoperim împreună

1. Ce garantează regula de existență?

Reia pentru o clipă definiția din lecția de deschidere a capitolului, Primitive: problema inversă a derivării: a spune că $F$ este o primitivă a lui $f$ pe mulțimea $I$ înseamnă că $F$ e derivabilă pe $I$ și că $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru fiecare $x$ din $I$. Întrebarea existenței se pune deci așa: dată fiind $f$, se găsește măcar o funcție $F$ cu această proprietate?

Răspunsul de reținut este unul singur, și e singurul de care ai nevoie la acest profil:

Regula de existență a primitivelor este următoarea: dacă $f$ este continuă pe un interval $I$, atunci ea are primitive pe $I$, adică există cel puțin o funcție $F:I\to \mathbb{R}$, derivabilă pe $I$, cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Cele două condiții sunt amândouă obligatorii: mulțimea $I$ trebuie să fie interval, iar funcția trebuie să fie continuă pe el.

Enunțul se admite fără demonstrație, așa cum cere nota programei pentru rezultatele folosite în aplicații. Merită observat cât de mult spune. Ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x+6}{x^2+3}$. Numitorul ei nu se anulează niciodată, fiindcă $x^2+3\ge 3$ pentru orice număr real, deci $f$ este un cât de funcții continue cu numitor nenul, adică este continuă pe tot $\mathbb{R}$. Regula spune atunci, fără niciun calcul, că există o funcție derivabilă pe $\mathbb{R}$ a cărei derivată este exact $f$. Și totuși, cu rândurile din tabelul clasei tale nu o poți scrie: pentru ea ar fi nevoie de metode care vin abia la integrala definită. Regula îți spune că răspunsul există, nu cum arată el. Aici ne oprim, tocmai ca separarea dintre cele două întrebări să rămână limpede — în asta stă și folosul ei la examen: cerința „arătați că $f$ admite primitive" nu cere formula, ci verificarea ipotezelor.

2. De ce este obligatoriu cuvântul „interval"?

Cuvântul acesta pare un amănunt tehnic și nu este. Ia funcția $f(x)=\frac{x+2}{x-5}$, definită pentru orice $x\ne 5$, adică pe mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, și continuă în fiecare punct al ei, ca orice cât de funcții continue cu numitor nenul. Dacă regula ar cere doar continuitatea, ai încheia liniștit că funcția are primitive pe tot domeniul. Numai că $\mathbb{R}\setminus \{5\}$ nu este un interval: îi lipsește un punct din mijloc, deci mulțimea se rupe în două bucăți care nu comunică.

Se lucrează atunci pe fiecare bucată separat. Mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{5\}$ este reuniunea intervalelor $(-\infty ,5)$ și $(5,+\infty )$, iar pe fiecare dintre ele funcția e continuă, deci pe fiecare dintre ele regula se aplică. Nu poți însă lipi cele două răspunsuri într-unul singur: ce se întâmplă la stânga lui $5$ nu constrânge cu nimic ce se întâmplă la dreapta.

De reținut ca reflex: înainte de a rosti regula, spune pe ce interval lucrezi. Dacă enunțul ți-a dat domeniul ca interval, treaba e făcută; dacă ți-a dat o mulțime cu puncte scoase, primul pas e s-o desparți.

3. Ce NU spune regula?

Regula merge într-un singur sens. Ea pornește de la continuitate și ajunge la existență; nu spune nimic în sens invers. Din faptul că o funcție nu este continuă nu ai voie să tragi concluzia că ea nu admite primitive — pur și simplu regula tace, iar o regulă care tace nu e un argument.

Este o distincție de ținut minte pentru toată viața școlară: „dacă A, atunci B" și „dacă nu A, atunci nu B" sunt afirmații diferite, iar din prima nu rezultă a doua. La matematică-informatică (M1) există un instrument care se ocupă de sensul invers, teorema lui Darboux, cu care se arată, în anumite situații, că o funcție chiar nu are primitive. El nu face parte din programa ta, nici din cea de examen pentru clasa a XII-a, așa că la științe ale naturii concluziile negative nu se scriu.

Atenție la o ciocnire de nume: în clasa a XI-a ai întâlnit proprietatea lui Darboux, după care valorile intermediare sunt toate atinse de o funcție continuă, și cu care arătai că o ecuație are soluție. Acela e un rezultat despre funcții continue; teorema de la M1 e un rezultat despre derivate. Numele e același fiindcă autorul e același; enunțurile nu sunt.

4. Cum se scrie răspunsul, în trei rânduri?

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+2}$, și cerința „arătați că $f$ admite primitive". Redactarea completă are trei rânduri, în ordinea aceasta:

1. Intervalul: „Lucrăm pe intervalul $\mathbb{R}$."
2. Continuitatea, cu motivul: „Funcția este un cât de două funcții continue, iar numitorul nu se anulează, pentru că $x^2+2\ge 2>0$; deci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$."
3. Regula, numită: „Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$."

Nu lipsește nimic și nu se calculează nimic. Motivul continuității se ia din lecția de clasa a XI-a Continuitatea unei funcții: funcțiile elementare — polinomiale, raționale, radicalii, exponențiala, logaritmul, sinusul și cosinusul — sunt continue pe domeniile lor, iar suma, produsul, câtul cu numitor nenul și compunerea lor păstrează continuitatea. Când funcția din enunț e obținută din acestea, rândul al doilea se scrie dintr-o suflare.

5. Ce se întâmplă la funcțiile definite pe ramuri?

Aici apare singurul loc în care chiar ai ceva de calculat. O funcție dată prin două formule, pe două bucăți de domeniu, este continuă în fiecare punct din interiorul bucăților — acolo lucrează formula ei, care e elementară. Singurul punct nesigur este cel de racord, adică punctul în care se trece de la o formulă la cealaltă. Acolo se verifică dacă cele două formule dau aceeași valoare; dacă da, funcția e continuă și regula se aplică pe tot intervalul.

Ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definită prin

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+m,& x\le 2\\ x^2-1,& x>2\end{array}$$

și cerința: pentru ce valoare a lui $m$ este $f$ continuă pe $\mathbb{R}$? Punctul de racord este $2$. Ramura de sus dă acolo valoarea $2\cdot 2+m$, adică $4+m$; ramura de jos se apropie de $2^2-1$, adică de $3$. Cele două numere trebuie să coincidă, deci $4+m=3$, de unde $m=-1$. Pentru $m=-1$ funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ — vezi și lecția Continuitate cu parametru — și, fiind continuă pe un interval, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Reține și ce nu scriem: nu adăugăm „pentru celelalte valori ale lui $m$ funcția nu admite primitive". Ar fi o afirmație pe care instrumentele profilului tău nu o pot susține (subsecțiunea 3). De aceea cerințele din lecție sunt formulate cinstit: „determină $m$ pentru care $f$ este continuă și arată că atunci admite primitive".

6. Continuitate, nu derivabilitate — o confuzie care costă

Regula cere ca $f$ să fie continuă, nu derivabilă, iar diferența are consecințe practice: o funcție poate fi continuă într-un punct fără să fie derivabilă acolo — graficul are un colț —, și totuși regula se aplică fără rezerve.

Motivul e ușor de ținut minte. În egalitatea $F^{\prime }=f$, cea care trebuie să fie derivabilă este $F$, funcția căutată, nu $f$: funcția dată apare în rolul derivatei. Când vezi în enunț un modul sau un radical, întrebarea rămâne doar dacă e continuă pe intervalul dat — legătura dintre o funcție și derivata ei ai fixat-o la derivata unei funcții.

7. La ce folosește regula într-un model din științe?

Un model din fizică descrie o mărime măsurată în funcție de alta: rezistența în funcție de temperatură, de pildă. Când mărimea se măsoară pe un domeniu continuu de valori și legea nu face salturi, funcția care o descrie e continuă pe un interval, deci intră exact sub regula din lecție.

De ce contează? Pentru că orice mărime acumulată dintr-un astfel de model este, matematic, o primitivă a mărimii măsurate, iar regula garantează că acumulatul are sens chiar înainte să existe o formulă pentru el. Iar când modelul e scris pe bucăți, condiția de racord nu e o pretenție matematică, ci una fizică: o mărime măsurată nu sare fără trecere. Verificarea continuității e astfel prima probă că modelul e scris corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cerința standard, redactată complet

Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{x^2+7}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Lucrăm pe intervalul $\mathbb{R}$. Numitorul verifică $x^2+7\ge 7>0$ pentru orice număr real $x$, deci nu se anulează niciodată; prin urmare $f$ este un cât de funcții continue cu numitor nenul, adică este continuă pe $\mathbb{R}$. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. Observă că nu am scris nicio primitivă și nici nu era nevoie: cerința s-a încheiat la a treia propoziție.

Exemplul 2 — Când domeniul se rupe în bucăți

Se consideră funcția $f(x)=\frac{1}{x^2-5x+6}$, cu domeniul maxim de definiție. Precizează intervalele pe care se aplică regula de existență.

Rezolvare. Numitorul se descompune: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, deci se anulează pentru $x=2$ și $x=3$. Domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{2,3\}$, mulțime care nu este interval: din ea lipsesc două puncte, iar bucățile rămase sunt $(-\infty ,2)$, $(2,3)$ și $(3,+\infty )$. Pe fiecare dintre aceste trei intervale funcția este continuă, ca raport de funcții continue cu numitor nenul, deci pe fiecare dintre ele admite primitive. Răspunsul complet are trei intervale, nu unul singur, iar cele trei răspunsuri nu se pot uni.

Exemplul 3 — O funcție pe ramuri care se lipește

Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, definită prin

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x+7,& x<-1\\ x^2+2,& x\ge -1\end{array}$$

admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pe $(-\infty ,-1)$ funcția coincide cu o funcție polinomială de gradul întâi, deci e continuă; pe $(-1,+\infty )$ coincide cu una de gradul al doilea, deci e continuă și acolo. Rămâne punctul de racord $-1$. Valoarea dată de prima formulă este $4\cdot (-1)+7=3$, iar valoarea funcției, luată din a doua ramură, este $(-1{)}^2+2=3$. Cele două numere coincid, deci $f$ este continuă și în $-1$, adică pe tot $\mathbb{R}$. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Exemplul 4 — Determinarea parametrului

Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}mx+1,& x\le 3\\ x^2-5,& x>3\end{array}$$

este continuă pe $\mathbb{R}$, apoi arată că, pentru valoarea găsită, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Singurul punct de verificat este $3$. Prima ramură dă acolo $3m+1$, iar a doua se apropie de $3^2-5=4$. Punem condiția $3m+1=4$ și obținem $m=1$. Pentru $m=1$, cele două formule dau în $3$ aceeași valoare, $4$, iar în rest funcția e polinomială pe fiecare bucată, deci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, este continuă pe domeniul ei, deci, conform regulii, admite primitive pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$." Unde e greșeala și cum se repară enunțul?

Rezolvare. Continuitatea e corect observată: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ funcția chiar este continuă. Greșeala stă în cealaltă ipoteză, cea care se citește mai greu: ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este un interval, ci reuniunea a două intervale, $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$. Regula nu se poate invoca peste punctul lipsă. Formularea corectă este pe bucăți: „$f$ este continuă pe $(0,+\infty )$, care e interval, deci admite primitive acolo; la fel pe $(-\infty ,0)$." Reține tiparul: la funcțiile cu numitor, prima grijă nu e continuitatea, ci forma mulțimii pe care lucrezi.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+mx+4,& x\le 1\\ 6x-3,& x>1\end{array}$$

unde $m$ este un număr real.

a) Calculează limita la dreapta a funcției $f$ în punctul $1$.

b) Determină numărul real $m$ pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și arată că, pentru această valoare, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

c) Pentru valoarea găsită la punctul b), arată că $f(x)\ge 3$ pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. a) Pentru $x>1$ funcția coincide cu $6x-3$, deci limita la dreapta în $1$ este $6\cdot 1-3=3$.

b) Valoarea funcției în $1$ se citește din prima ramură: $1+m+4=m+5$. Continuitatea în punctul de racord cere ca acest număr să fie egal cu limita calculată la a), adică $m+5=3$, de unde $m=-2$. Pe fiecare dintre bucățile $(-\infty ,1)$ și $(1,+\infty )$ funcția e polinomială, deci continuă; împreună cu racordul, rezultă că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, iar $\mathbb{R}$ este interval, deci $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

c) Pentru $m=-2$, prima ramură devine $x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3$. Cum $(x-1{)}^2\ge 0$, avem $f(x)\ge 3$ pentru orice $x\le 1$, cu egalitate în $x=1$, unde $1-2+4=3$. Pentru $x>1$, funcția $6x-3$ este strict crescătoare și depășește valoarea ei din $1$, adică $6\cdot 1-3=3$. Prin urmare $f(x)\ge 3$ pe tot $\mathbb{R}$.

Să exersăm

1. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5}{x^2+8}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

2. Arată că funcția $f:(4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{x-4}$, admite primitive.

3. Precizează domeniul maxim al funcției $f(x)=\frac{7}{x^2-16}$ și intervalele pe care se aplică regula de existență.

4. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+8,& x<-2\\ x^2-2,& x\ge -2\end{array}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

5. Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+m,& x\le 0\\ x^2+2x+5,& x>0\end{array}$, este continuă pe $\mathbb{R}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$, atunci $f$ are pe $I$ exact o primitivă."

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+5}{x^2+2}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

9. Scrie în trei rânduri răspunsul la cerința „arătați că $f$ admite primitive", pentru $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+m,& x<1\\ 4x+3,& x\ge 1\end{array}$, este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite astfel primitive.

11. Pentru fiecare dintre funcțiile $\frac{1}{x^2+1}$, $\frac{1}{x^2-1}$ și $\frac{1}{x-1}$, scrie cel mai mare interval care conține punctul $0$ și pe care se aplică regula.

12. (Problemă aplicată.) Rezistența electrică a unui termistor, în ohmi, se modelează în funcție de temperatura $T$, în grade Celsius, prin $R(T)=\frac{600}{T+10}$ pentru $0<T\le 20$ și $R(T)=30-mT$ pentru $20<T<40$. Determină $m$ astfel încât modelul să fie continuu pe $(0,40)$, verifică dacă rezistența rămâne pozitivă pe tot intervalul și spune ce garantează regula din lecție pentru funcția obținută.

13. Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+9}{\sqrt{x}}$, admite primitive.

14. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+x+1}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$. (Indicație: studiază semnul numitorului cu discriminantul.)

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x^2+3x+4}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

16. Se dau $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ x+4,& x>0\end{array}$, dintre care una nu este continuă pe $\mathbb{R}$. Precizează, pentru fiecare, intervalele pe care se aplică regula de existență și de ce.

17. Arată că funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-1}{\sqrt{x-2}}$, admite primitive.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+m,& x<1\\ 3x+n,& 1\le x\le 4\\ x^2+3,& x>4\end{array}$, este continuă pe $\mathbb{R}$, apoi justifică faptul că ea admite primitive.

Răspunsuri și explicații

1. Lucrăm pe $\mathbb{R}$, care e interval. Cum $x^2+8\ge 8>0$, numitorul nu se anulează, deci $\frac{5}{x^2+8}$ este continuă pe $\mathbb{R}$; fiind continuă pe un interval, admite primitive.

2. Mulțimea $(4,+\infty )$ este interval, iar pe ea $x-4>0$, deci numitorul nu se anulează și $\frac{x+3}{x-4}$ este continuă. Prin regulă, admite primitive pe $(4,+\infty )$.

3. $x^2-16=(x-4)(x+4)$, deci domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{-4,4\}$, care nu e interval. Regula se aplică separat pe $(-\infty ,-4)$, pe $(-4,4)$ și pe $(4,+\infty )$.

4. În afara punctului $-2$ funcția e polinomială pe fiecare bucată, deci continuă. În $-2$: prima formulă dă $3\cdot (-2)+8=2$, a doua dă $(-2{)}^2-2=2$; valorile coincid, deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive.

5. Punctul de racord este $0$. Prima ramură dă acolo $m$, a doua se apropie de $0^2+2\cdot 0+5=5$. Din $m=5$ rezultă continuitatea pe $\mathbb{R}$, deci și existența primitivelor.

6. Adevărat. Sub radical stă $x^2+1\ge 1>0$, deci expresia are sens pe tot $\mathbb{R}$, iar funcția, compunere de funcții continue, e continuă acolo — și $\mathbb{R}$ e interval.

7. Fals. Regula garantează că există cel puțin una, iar de fapt există o infinitate: dacă $F$ e o primitivă, atunci și $F+c$ este, pentru orice constantă reală $c$. Mulțimea lor e descrisă în lecția despre integrala nedefinită.

8. $\mathbb{R}$ e interval, iar $x^2+2\ge 2>0$, deci numitorul nu se anulează și funcția este continuă pe $\mathbb{R}$; prin regulă, admite primitive.

9. Rând 1: lucrăm pe intervalul $(1,+\infty )$. Rând 2: pe el $x-1>0$, deci numitorul nu se anulează, iar funcția, fiind cât de funcții continue, este continuă. Rând 3: fiind continuă pe un interval, admite primitive pe $(1,+\infty )$.

10. În $1$, valoarea funcției este $4\cdot 1+3=7$, iar prima ramură se apropie de $1+m$. Din $1+m=7$ obținem $m=6$. Pentru $m=6$ funcția e continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive.

11. Pentru $\frac{1}{x^2+1}$: tot $\mathbb{R}$, fiindcă numitorul nu se anulează. Pentru $\frac{1}{x^2-1}$: intervalul $(-1,1)$, fiindcă numitorul se anulează în $-1$ și în $1$. Pentru $\frac{1}{x-1}$: intervalul $(-\infty ,1)$.

12. În racordul $T=20$: prima formulă dă $\frac{600}{20+10}=20$ ohmi, a doua dă $30-20m$. Din $30-20m=20$ rezultă $m=0,5$. Pe $(20,40)$ funcția devine $30-0,5T$, care scade spre $30-0,5\cdot 40=10$ ohmi, deci rezistența rămâne pozitivă, cum cere modelul. Fiind continuă pe intervalul $(0,40)$, $R$ admite primitive acolo.

13. $(0,+\infty )$ e interval; pe el $\sqrt{x}>0$, deci numitorul nu se anulează, iar funcția este continuă. Prin regulă, admite primitive.

14. Discriminantul numitorului este $1-4=-3<0$, iar coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci $x^2+x+1>0$ pentru orice $x$ real. Funcția este atunci un cât de funcții continue cu numitor nenul, deci continuă pe $\mathbb{R}$, și admite primitive.

15. Discriminantul este $9-16=-7<0$, cu coeficientul dominant pozitiv, deci $x^2+3x+4>0$ pe $\mathbb{R}$. Funcția e continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive.

16. Pentru $f$: pe $(-\infty ,3)$ ea coincide cu $3-x$, pe $[3,+\infty )$ cu $x-3$, iar în $3$ amândouă dau $0$, deci e continuă pe $\mathbb{R}$, unde regula se aplică; colțul nu o împiedică, fiindcă se cere continuitatea lui $f$, nu derivabilitatea ei. Pentru $g$: în $0$ o formulă dă $1$, cealaltă se apropie de $4$, deci $g$ nu e continuă acolo — regula se aplică pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, nu și pe unul care îl conține pe $0$.

17. Pe $(2,+\infty )$ avem $x-2>0$, deci $\sqrt{x-2}$ este definit și strict pozitiv, iar funcția este continuă ca raport de funcții continue cu numitor nenul. Intervalul fiind interval, funcția admite primitive.

18. Sunt două racorduri. În $4$: ramura din mijloc dă $3\cdot 4+n=12+n$, iar ultima se apropie de $4^2+3=19$; din $12+n=19$ rezultă $n=7$. În $1$: prima ramură se apropie de $1+m$, iar ramura din mijloc dă $3\cdot 1+7=10$; din $1+m=10$ rezultă $m=9$. Cu $m=9$ și $n=7$ funcția e continuă pe fiecare bucată și în ambele racorduri, deci pe $\mathbb{R}$; fiind continuă pe un interval, admite primitive.

De reținut

• Regula de existență, singura de care ai nevoie la M2: continuitatea pe un interval garantează primitivele — dacă $f$ e continuă pe $I$, atunci $f$ are primitive acolo.
• Ipotezele se verifică în ordinea aceasta: întâi că mulțimea de lucru este interval, apoi că funcția e continuă pe el.
• Regula spune că primitiva există, nu cum arată; cerința „arătați că $f$ admite primitive" se rezolvă fără niciun calcul de primitivă.
• Când domeniul are puncte scoase, el se desparte în intervale, iar regula se aplică pe fiecare interval separat.
• La funcțiile pe ramuri, singurul punct de verificat este cel de racord: cele două formule trebuie să dea acolo aceeași valoare.

Greșeli frecvente

• Sari peste cuvântul „interval". Cea mai frecventă greșeală nu e de calcul: elevul verifică doar continuitatea și invocă regula pe o mulțime cu puncte scoase, cum sunt ${\mathbb{R}}^{\ast }$ sau $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Domeniul se citește înainte de a spune ceva despre continuitate.
• Întorci regula. Din „nu e continuă" nu rezultă „nu are primitive". Concluziile negative cer un instrument care nu e la profilul tău, deci răspunsul se oprește la „regula nu se poate aplica".
• Ceri derivabilitatea lui $f$. Regula cere continuitatea funcției date; derivabilă trebuie să fie $F$, funcția căutată. O funcție continuă cu un colț în grafic intră sub regulă fără nicio rezervă.
• Începi să cauți formula. La cerința de existență nu se calculează nimic. Elevii care pornesc direct spre tabel pierd timp și, uneori, se blochează la o funcție a cărei primitivă nici nu se poate scrie cu formulele clasei.
• Verifici racordul doar dintr-o parte. La funcțiile pe ramuri se compară valoarea dată de o formulă cu valoarea spre care se apropie cealaltă; a scrie o singură dintre cele două și a conchide că „se potrivește" lasă jumătate din verificare nefăcută.

Aplică acasă

1. Fișa de domeniu. Ia din culegere zece funcții date prin formulă, fără domeniu precizat, și scrie pentru fiecare, pe o coloană, domeniul maxim, iar pe a doua, lista intervalelor pe care se aplică regula. Nu calcula nimic altceva. Vei vedea că la cele mai multe a doua coloană are un singur interval, iar la restul cheia e un numitor care se anulează.

2. Trei rânduri, cronometrate. Alege cinci funcții continue pe domeniul lor și scrie, pentru fiecare, redactarea de la subsecțiunea 4, în cel mult un minut. Dacă la toate cinci al doilea rând sună la fel, ai reținut motivul continuității, nu doar formula lui.

3. Modelul din manual. Caută în manualul de fizică un grafic obținut din măsurători, citit pe un interval. Spune dacă funcția pare continuă, arată unde ar putea avea un racord între două regimuri și explică într-o propoziție ce garantează regula pentru mărimea acumulată.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul citește mai întâi mulțimea pe care lucrează și recunoaște când ea nu e interval; dacă justifică continuitatea numind operația care o păstrează; și dacă se oprește la concluzia pe care regula chiar o dă. Sunt deprinderi de redactare, nu de calcul, iar la evaluare ele fac diferența între răspunsul complet și cel de jumătate.

Dificultatea reală nu e matematică, ci logică: elevul e obișnuit ca regulile să funcționeze în ambele sensuri și îi vine natural să încheie că „dacă nu e continuă, atunci nu are primitive". Merită insistat cu un exemplu din viața de zi cu zi — „dacă plouă, strada e udă" nu înseamnă că strada e uscată când nu plouă.

Întrebări de control: „Pe ce mulțime lucrezi și e ea interval?"; „De ce e funcția continuă — care operație o păstrează?"; „Ce ai de calculat ca să răspunzi?"; „Ce nu poți conchide dacă funcția are un salt?". Semne că a înțeles: începe cu domeniul, nu cu formula; la o funcție pe ramuri calculează numai în racord; și, pus în fața unei funcții cu numitor, desparte domeniul fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la elementele de analiză matematică, rândul „Primitivele unei funcții definite pe un interval" — deci tema se dă și în acele sesiuni. Teorema lui Darboux, folosită la matematică-informatică pentru concluziile negative, nu apare în programa de examen la clasa a XII-a pentru științe ale naturii. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce funcții admit primitive la profilul științe ale naturii?

Cele continue, luate pe un interval. Aceasta e regula unică pe care o reține profilul: dacă $f$ e continuă pe intervalul $I$, atunci există $F$ derivabilă pe $I$ cu $F^{\prime }=f$ acolo. Cum funcțiile din enunțuri sunt construite din funcții elementare, verificarea înseamnă, la un raport, să arăți că numitorul nu se anulează pe intervalul dat.

Cum arăt, la examen, că o funcție admite primitive?

În trei rânduri. Întâi precizezi intervalul pe care lucrezi. Apoi justifici continuitatea, numind operația care o păstrează: sumă, produs, cât cu numitor nenul, compunere de funcții elementare. La final invoci regula: „fiind continuă pe un interval, funcția admite primitive". Nu calculezi nicio primitivă, pentru că cerința nu o cere.

De ce trebuie ca mulțimea să fie interval și nu orice mulțime?

Pentru că regula este enunțată pe intervale, iar pe o mulțime cu puncte scoase cele două bucăți nu comunică. Funcția $\frac{1}{x}$ este continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu e interval: regula se aplică separat pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$. Când domeniul are puncte lipsă, răspunsul corect conține mai multe intervale.

Ce fac dacă funcția din enunț are un salt?

Te oprești la ce poți susține: regula nu se poate aplica pe intervalul care conține saltul, fiindcă ipoteza de continuitate cade. Nu scrii concluzia negativă, pentru că instrumentul care ar decide întrebarea nu e în programa profilului tău. Dacă cerința era cu parametru, cauți valoarea pentru care saltul dispare și lucrezi cu ea.

Se dă tema aceasta și la mate-info (M1)?

Da, dar cu un capitol în plus. Acolo, pe lângă regula de existență, se studiază teorema lui Darboux, cu ajutorul căreia se arată că anumite funcții discontinue nu au primitive, și se lucrează cu contraexemple. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1). La științe ale naturii rămâne doar regula pozitivă, deci capitolul e mult mai scurt.

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, a doua problemă a acestui subiect este cea de integrale, cu trei cerințe legate; verificarea existenței primitivelor poate apărea acolo ca prim pas, înaintea calculului. Programa de examen conține rândul „Primitivele unei funcții definite pe un interval".

Ce fac dacă funcția e definită pe ramuri?

Verifici doar punctul de racord. În interiorul fiecărei bucăți funcția coincide cu o formulă elementară, deci e continuă acolo. În punctul de trecere compari valoarea dată de o ramură cu valoarea spre care se apropie cealaltă; dacă sunt egale, funcția e continuă pe tot intervalul, iar regula se aplică.