Se știe că funcția derivată a unei funcții $$f$$ este $$f'(x)=8x-9$$, $$x\in\mathbb{R}$$. Care dintre afirmații este adevărată?

$$f'$$ este un număr, nu o funcție

Cum rezolv o ecuație în care apare f'(x)?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Funcția derivată

Calculezi întâi formula funcției derivate, apoi rezolvi ecuația ca pe una obișnuită și păstrezi doar soluțiile din domeniul de derivabilitate. Pentru $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x$ . Ecuația $f^{'} (x) = - 9$ devine $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ , adică $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , cu soluțiile $x = 1$ și $x = 3$ . Proba: $f^{'} (1) = 3 - 12 = - 9$ . Pentru un logaritm sau un radical, verifici la final că soluțiile aparțin domeniului.

Repetând calculul derivatei în fiecare punct, numerele care ies alcătuiesc la rândul lor o funcție: funcția derivată $f^{'}$ . Ea se obține însă dintr-un singur calcul, făcut într-un punct $x_{0}$ oarecare și rescris la final cu litera $x$ — un calcul ține locul unei infinități.

Trei scrieri care nu se confundă: $f^{'} (3)$ este un număr, $f^{'}$ este o funcție, iar $f^{'} (x)$ este formula ei. Un răspuns de forma „ $f^{'} (3) = 2 x - 4$ " amestecă primele două și rămâne greșit, chiar dacă formula din el este corectă.

Mulțimea de derivabilitate $D^{'}$ face parte din răspuns, nu e o observație în plus. Ea stă în interiorul domeniului și poate fi strict mai mică: radicalul de ordinul al doilea are drept domeniu $[0, + \infty)$ , dar se derivează numai pe $(0, + \infty)$ , fiindcă în jurul lui $0$ nu încape un interval deschis inclus în domeniu, iar raportul de variație are acolo limită infinită. La funcțiile raționale, $D^{'}$ coincide cu domeniul, însă acesta nu e un singur interval, ci o reuniune de mai multe, și așa se și scrie.

Un calcul făcut cu litere rezolvă o familie întreagă: pentru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ raportul de variație dă $f^{'} (x) = 2 a x + b$ , formulă din care termenul liber a dispărut — ridicarea graficului nu-i schimbă înclinarea în niciun punct. „Derivata este zero" și „funcția nu este derivabilă" descriu situații complet diferite: prima înseamnă tangentă orizontală, a doua că raportul de variație nu are limită finită.

De reținut

întâi se află formula lui $f^{'}$ , apoi se rezolvă ecuația
$f^{'} (a)$ este un număr; $f^{'}$ este o funcție
soluțiile se păstrează doar dacă aparțin domeniului de derivabilitate

Greșeala tipică

Se înlocuiește soluția găsită în $f$ în loc de $f^{'}$ la probă; ecuația era despre derivată, deci proba se face tot în $f^{'}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că funcția derivată a unei funcții $f$ este $f^{'} (x) = 8 x - 9$ , $x \in R$ . Care dintre afirmații este adevărată?
- a) $f^{'} (2) = 8 x - 9$
- b) $f (2) = 7$
- c) $f^{'} (2) = 7$
- d) $f^{'}$ este un număr, nu o funcție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f^{'} (2) = 7$

$f^{'} (2) = 16 - 9 = 7$ , un singur număr. Varianta a) amestecă funcția cu valoarea ei: un răspuns care păstrează litera $x$ după înlocuire nu este un număr. Varianta b) cere valoarea lui $f$ , care nu se poate afla din $f^{'}$ — termenul liber dispare la derivare. Varianta d) inversează rolurile: $f^{'}$ este o funcție, iar $f^{'} (2)$ este un număr.
Funcția derivată a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{2} - 9 x + 2$ , este:
- a) $8 x - 7$
- b) $8 x - 9$
- c) $4 x - 9$
- d) $8 x^{2} - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8 x - 9$

Cu formula funcției de gradul al doilea, $f^{'} (x) = 2 \cdot 4 x - 9 = 8 x - 9$ . Varianta a) păstrează termenul liber, deși el dispare la derivare; c) coboară exponentul fără să înmulțească cu el; d) nu scade exponentul cu o unitate.
Se consideră $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{64}{x}$ . Mulțimea soluțiilor ecuației $f^{'} (x) = - 1$ este:
- a) ${8}$
- b) ${- 64, 64}$
- c) ${64}$
- d) ${- 8, 8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${- 8, 8}$

Din raportul de variație se obține $f^{'} (x) = - \frac{64}{x ^{2}}$ , iar ecuația $- \frac{64}{x ^{2}} = - 1$ dă $x^{2} = 64$ , deci $x = 8$ sau $x = - 8$ ; amândouă sunt în domeniu. Varianta a) pierde soluția negativă, iar b) și c) rezolvă $x = 64$ , uitând pătratul de la numitor.

Întrebări conexe

Care e diferența dintre $f (2)$ și $f^{'} (2)$ ?

$f (2)$ este valoarea funcției, adică înălțimea punctului de pe grafic, iar $f^{'} (2)$ este panta tangentei în acel punct. Pentru $f (x) = x^{2} + 1$ : $f (2) = 5$ , iar $f^{'} (x) = 2 x$ , deci $f^{'} (2) = 4$ . Cele două numere răspund la întrebări diferite.

Cum aflu punctele în care tangenta la grafic este orizontală?

Rezolvi ecuația $f^{'} (x) = 0$ , fiindcă tangenta orizontală are panta $0$ . Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ dă $x = - 1$ și $x = 1$ . Punctele de pe grafic sunt $(- 1, 2)$ și $(1, - 2)$ , obținute înlocuind abscisele în $f$ , nu în $f^{'}$ .

Cum verific soluțiile unei ecuații cu derivata?

Înlocuiești fiecare soluție în formula lui $f^{'}$ , nu în $f$ . Pentru $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x$ și soluția $x = 3$ : $27 - 36 = - 9$ , cum se cerea. Verifici și că soluția aparține domeniului pe care $f$ este derivabilă; o soluție din afara lui se elimină, chiar dacă verifică ecuația algebric.

Când au două grafice tangente paralele în același punct?

Când derivatele sunt egale în acel $x$ . Pentru $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = 4 x - x^{2}$ , condiția $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ dă $2 x = 4 - 2 x$ , deci $x = 1$ . În $x = 1$ ambele tangente au panta $2$ , deci sunt paralele sau chiar confundate; aici punctele $(1, 1)$ și $(1, 3)$ diferă, deci sunt paralele.

Când are un mobil o viteză dată, dacă îi știu legea de mișcare?

Viteza este derivata poziției, deci rezolvi $x^{'} (t) = v$ . Pentru $x (t) = t^{3} - 3 t^{2}$ metri, $x^{'} (t) = 3 t^{2} - 6 t$ , iar $3 t^{2} - 6 t = 9$ dă $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , cu $t = 3$ sau $t = - 1$ . Timpul fiind pozitiv, viteza de $9$ m/s se atinge la $t = 3$ s.

Oamenii mai întreabă și: ecuația f prim de x egal cu zero · rezolvă ecuația f derivat de x · cum rezolv f'(x)=0 · ecuații cu derivata funcției