Funcție derivabilă și funcția derivată (M2, științe ale naturii)

În lecția trecută ai calculat derivata unei funcții într-un punct și ai obținut de fiecare dată un număr: panta tangentei acolo, rata de variație în acea clipă. Un chimist sau un biolog are însă nevoie de ritmul din orice moment, nu doar dintr-unul singur. La clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), pasul acesta are un nume — trecerea de la derivata într-un punct la funcția derivată —, iar la Bacalaureatul M2 el apare la Subiectul al III-lea, unde prima problemă pornește de la derivata funcției date, cu o cerință de tipul „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$".

Programa profilului cere noțiunea sub formularea „funcție derivabilă", și tot pe ea se sprijină restul unității: tabelul derivatelor, regulile de derivare și studiul variației. Ideea din spate e simplă și merită spusă de la început: dacă repeți calculul derivatei în fiecare punct, numerele obținute formează ele însele o funcție nouă, cu domeniul și formula ei.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi derivata unei funcții într-un punct oarecare $x_0$ și să treci de acolo la formula funcției derivate.
• Vei ști să spui ce înseamnă că o funcție este derivabilă pe o mulțime și să scrii corect enunțul cu toate condițiile lui.
• Vei ști să deosebești numărul $f^{\prime }(2)$ de funcția $f^{\prime }$ și să folosești notația potrivită în rezolvare.
• Vei ști să determini mulțimea pe care o funcție este derivabilă și să explici de ce ea poate fi mai mică decât domeniul funcției.
• Vei ști să scrii funcția derivată pentru cele trei tipuri de funcții cerute la M2 — polinomială, rațională, cu radical — alegând prelucrarea potrivită.
• Vei ști să citești o cerință de examen în care se spune „funcția $f$ este derivabilă" și să redactezi răspunsul în ordinea potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Câte derivate are o funcție?

Pornim de la o funcție simplă, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$ — aceeași pe care ai mărginit-o la vecinătăți și dreapta încheiată —, și aplicăm de trei ori rețeta din lecția derivata unei funcții și panta tangentei: valoarea, raportul, limita.

În $x_0=1$ avem $f(1)=4$, iar raportul de variație se simplifică imediat:

$$\frac{x^2-4x+7-4}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3⟶-2.$$

În $x_0=3$ avem tot $f(3)=4$, iar același numărător, factorizat la fel, se simplifică acum prin $x-3$ și lasă $x-1$, care tinde la $2$. În $x_0=5$ avem $f(5)=12$ și

$$\frac{x^2-4x+7-12}{x-5}=\frac{(x-5)(x+1)}{x-5}=x+1⟶6.$$

Trei puncte, trei numere: $f^{\prime }(1)=-2$, $f^{\prime }(3)=2$, $f^{\prime }(5)=6$. Dacă mai adaugi $f^{\prime }(0)=-4$ și $f^{\prime }(2)=0$, obținute la fel, începe să se vadă un tipar:

Fiecărui punct îi corespunde un singur număr, iar numerele cresc cu $2$ atunci când punctul crește cu $1$. Or, o corespondență care asociază fiecărui număr un singur număr este, prin definiție, o funcție. Așa se naște obiectul nou al lecției: funcția derivată a lui $f$ este funcția care duce fiecare punct în care $f$ e derivabilă în numărul $f^{\prime }(x)$ obținut acolo, adică în panta tangentei din acel punct.

Formula se obține fără efort suplimentar, dacă faci calculul o singură dată, într-un punct $x_0$ oarecare. Numărătorul se grupează astfel încât factorul $x-x_0$ să iasă la vedere:

$$\frac{x^2-4x+7-(x_0^2-4x_0+7)}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0)-4(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0-4⟶2x_0-4.$$

Cum $x_0$ a fost ales la întâmplare, egalitatea $f^{\prime }(x_0)=2x_0-4$ este valabilă pentru orice număr real. Verificarea e imediată: pentru $x_0=1$ dă $-2$, pentru $x_0=5$ dă $6$ — exact valorile din tabel. Un singur calcul a înlocuit o infinitate.

2. Ce înseamnă că o funcție este derivabilă?

Numele acestui obiect nou și condiția în care el există se formulează așa.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $A$ o mulțime formată numai din puncte interioare ale lui $D$. Spunem că $f$ este derivabilă pe $A$ când, oricare ar fi punctul ales din $A$, limita raportului de variație în acel punct există și este finită. Punctele interioare lui $D$ care trec acest test formează mulțimea $D^{\prime }$, iar funcția $f^{\prime }:D^{\prime }\to \mathbb{R}$, care duce fiecare $x\in D^{\prime }$ în numărul $f^{\prime }(x)$, se numește funcția derivată a lui $f$.

Trei observații care se cer de la prima citire. Prima: definiția nu conține nimic nou față de lecția precedentă — cere aceeași limită, finită, doar că o cere în toate punctele mulțimii deodată. A doua: condiția „puncte interioare" se păstrează cuvânt cu cuvânt; despre un capăt al domeniului, unde funcția nu poate fi urmărită din ambele părți, nu spunem nici că e derivabilă, nici că nu e. A treia: mulțimea $D^{\prime }$ face parte din răspuns. „Funcția $f$ este derivabilă" fără să spui unde e o propoziție incompletă, la fel ca „funcția este crescătoare" fără interval.

Pentru funcția din paragraful precedent putem scrie acum răspunsul complet: $f(x)=x^2-4x+7$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar funcția ei derivată este $f^{\prime }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=2x-4$. Observă că la final litera $x_0$ a fost înlocuită cu $x$: punctul oarecare a devenit variabilă, pentru că tocmai asta face un punct ales la întâmplare atunci când calculul a mers pentru toate valorile lui.

3. Cum se scrie și cum se citește notația?

Notația $f^{\prime }$ se citește „f prim" și îi aparține lui Lagrange, ca și $f^{\prime }(x_0)$ din lecția trecută. Ea nu e un simbol decorativ, ci numele unei funcții; de aceea poate fi urmată de o paranteză cu un număr, la fel ca $f$. Merită să fixezi diferența dintre cele două scrieri, pentru că ele nu sunt interschimbabile:

• $f^{\prime }(2)$ este un număr — panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $2$, rata de variație în clipa $2$;
• $f^{\prime }$ este o funcție — regula care produce numărul acela pentru orice punct din $D^{\prime }$;
• $f^{\prime }(x)$ este valoarea acestei funcții în punctul $x$, deci formula cu care lucrezi.

Când enunțul cere „funcția derivată", răspunsul este o formulă cu $x$ în ea; când cere $f^{\prime }(3)$, răspunsul este un singur număr. Un răspuns de forma „$f^{\prime }(3)=2x-4$" amestecă cele două lucruri și este greșit, chiar dacă formula scrisă e corectă.

Mai apare, în culegeri și pe tablă, și scrierea cu apostrof pusă direct pe expresie: $(x^2-4x+7{)}^{\prime }=2x-4$. Este aceeași informație, prescurtată, și o vei folosi des în lecțiile următoare, când formulele vor veni dintr-un tabel. La examen se preferă forma cu $f^{\prime }$, pentru că enunțul numește funcția.

4. Cum calculezi funcția derivată, pas cu pas?

Rețeta e cea din lecția precedentă, cu o singură schimbare: punctul nu mai e un număr, ci litera $x_0$.

1. Valoarea: scrii $f(x_0)$ ca expresie, fără să calculezi nimic (nu ai ce, $x_0$ e literă);
2. Raportul: formezi $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ și îl prelucrezi până dispare nedeterminarea $\frac{0}{0}$;
3. Limita: treci la limită pentru $x\to x_0$ și obții $f^{\prime }(x_0)$;
4. Rescrierea: înlocuiești $x_0$ cu $x$ și anunți mulțimea pe care ai lucrat.

Prelucrarea de la pasul 2 se alege, ca și înainte, după forma funcției — factorizare la polinoame, numitor comun la funcții raționale, expresie conjugată la radicali. Diferența este că acum factorizarea trebuie făcută cu litere, iar asta cere o identitate de calcul prescurtat cunoscută din clasele anterioare: $x^2-x_0^2=(x-x_0)(x+x_0)$, respectiv $x^3-x_0^3=(x-x_0)(x^2+x{x}_0+x_0^2)$.

Merită făcut o singură dată calculul pentru toate funcțiile de gradul al doilea deodată. Fie $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a$, $b$, $c$ numere reale, $a\ne 0$ — funcția studiată în clasa a IX-a la funcția de gradul al doilea. Atunci

$$\frac{a{x}^2+bx+c-(a{x}_0^2+b{x}_0+c)}{x-x_0}=\frac{a(x-x_0)(x+x_0)+b(x-x_0)}{x-x_0}=a(x+x_0)+b⟶2a{x}_0+b.$$

Prin urmare orice funcție de gradul al doilea este derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)=2ax+b$. Termenul liber $c$ a dispărut din rezultat, și nu întâmplător: el ridică sau coboară tot graficul, fără să-i schimbe înclinarea în vreun punct. Cu $a=1$, $b=-4$, $c=7$ regăsim $f^{\prime }(x)=2x-4$, deci calculul din §1 era corect. Același drum, cu $a=0$, arată că o funcție de gradul I, $f(x)=bx+c$, are raportul de variație constant, egal cu $b$, deci $f^{\prime }(x)=b$: panta unei drepte e aceeași peste tot, iar tangenta la o dreaptă este dreapta însăși.

5. De ce poate fi $D^{\prime }$ mai mic decât domeniul?

La funcțiile polinomiale, mulțimea de derivabilitate este tot $\mathbb{R}$, deci întrebarea pare fără miză. Ea devine însă esențială la celelalte două familii cerute la M2.

La o funcție rațională, punctele în care numitorul se anulează nu aparțin nici măcar domeniului, deci nu se pune problema derivabilității în ele; mulțimea $D^{\prime }$ coincide cu domeniul, dar acesta nu este un interval, ci o reuniune de intervale, iar răspunsul trebuie scris ca atare (vezi Exemplul 3).

La o funcție cu radical apare însă o situație nouă. Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Funcția este definită și continuă în $0$, dar $0$ nu este punct interior al domeniului: la stânga lui nu există niciun punct în care funcția să fie definită, deci definiția derivatei nici nu se poate aplica acolo. Mai mult, raportul de variație calculat în $0$,

$$\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}},$$

crește peste orice valoare atunci când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive — deci nu are limită finită. Concluzia, pe care o vei folosi în toată unitatea: funcția radical de ordinul al doilea este derivabilă pe $(0,+\infty )$, nu pe $[0,+\infty )$, deși este continuă pe tot $[0,+\infty )$. Este singura capcană de domeniu din tabelul care urmează, dar apare des: un răspuns care scrie formula derivatei radicalului „pe $[0,+\infty )$" este greșit, chiar dacă formula în sine e bună.

Regula generală se reține ușor: $D^{\prime }\subseteq D$ întotdeauna, iar egalitatea nu e garantată. Mai întâi scrii domeniul funcției, apoi scoți din el capetele închise și punctele în care limita raportului nu e finită; ce rămâne este mulțimea de derivabilitate.

6. Ce se cere la examen când enunțul spune „funcția este derivabilă"?

La Subiectul al III-lea al Bacalaureatului M2, funcția din enunț este una dintre cele pe care programa le numește „funcții studiate", iar derivabilitatea ei nu face obiectul cerinței: enunțul dă funcția, cu domeniul ei, și cere direct derivata. Rolul lecției de față este să înțelegi ce ți se dă de-a gata, pentru că mai departe apar trei tipuri de cerințe, toate despre funcția derivată:

• „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$" — se verifică o formulă pe tot domeniul. Aici scrii calculul într-un punct oarecare și spui explicit că punctul a fost ales arbitrar;
• „Calculați $f^{\prime }(a)$" — se cere un număr, deci după formulă urmează o înlocuire;
• „Determinați $x$ pentru care $f^{\prime }(x)=k$" — se rezolvă o ecuație în care necunoscuta stă în formula derivatei.

Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei M_șt-nat, nu se presupune. Ce se poate spune cu certitudine este ordinea de redactare: valoarea funcției în punct, raportul de variație scris explicit, simplificarea, limita — aceeași ordine ca în lecția precedentă, plus rescrierea finală cu litera $x$.

7. Funcția derivată într-un context din științe

Până acum variabila a fost, aproape mereu, timpul. Nu e obligatoriu. Pe suprafața unei ape, o pată de ulei se întinde ca un disc de rază $r$, măsurată în metri; aria ei, în metri pătrați, este $A(r)=\pi r^2$. Cât de repede crește aria când crește raza? Raportul de variație se prelucrează exact ca la o funcție de gradul al doilea:

$$\frac{\pi r^2-\pi r_0^2}{r-r_0}=\pi (r+r_0)⟶2\pi r_0.$$

Deci $A^{\prime }(r)=2\pi r$, pentru $r>0$. Rezultatul e frumos: rata de creștere a ariei față de rază este chiar lungimea cercului de rază $r$. Unitatea de măsură confirmă citirea — metri pătrați împărțiți la metri înseamnă metri —, iar interpretarea practică e directă: la o pată cu raza de $3$ m, $A^{\prime }(3)=6\pi \approx 18,85$ m²/m, deci o creștere a razei cu un centimetru adaugă aproximativ $0,19$ m² de suprafață acoperită. Cu cât pata e mai mare, cu atât aceeași creștere a razei costă mai multă suprafață.

Același mecanism traduce în matematică orice mărime care se schimbă: dacă $s(t)$ este spațiul parcurs, funcția derivată $s^{\prime }$ este funcția viteză, iar valoarea ei într-o clipă e viteza din acea clipă — subiectul lecției despre viteza și accelerația calculate cu derivate. Dacă $c(t)$ este o concentrație, $c^{\prime }$ arată în fiecare moment dacă substanța se consumă sau se acumulează și cu ce ritm. Semnul funcției derivate se citește întotdeauna înaintea valorii ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul, apoi verifică prin calcul

Graficul funcției $g:[-3,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=9-x^2$, este desenat mai jos, cu punctele $A(-2,5)$, $B(0,9)$ și $C(2,5)$ marcate pe el. a) Spuneți, citind desenul, care este semnul lui $g^{\prime }$ în fiecare dintre cele trei puncte. b) Determinați funcția derivată și confirmați răspunsurile de la a).

Rezolvare. a) În $A$ graficul urcă, deci panta tangentei este pozitivă: $g^{\prime }(-2)>0$. În $B$, vârful arcului, tangenta este orizontală: $g^{\prime }(0)=0$. În $C$ graficul coboară, deci $g^{\prime }(2)<0$.

b) Într-un punct oarecare $x_0$ din intervalul deschis $(-3,3)$,

$$\frac{9-x^2-(9-x_0^2)}{x-x_0}=\frac{-(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=-(x+x_0)⟶-2x_0.$$

Deci $g^{\prime }(x)=-2x$ pe $(-3,3)$. Înlocuind, $g^{\prime }(-2)=4>0$, $g^{\prime }(0)=0$ și $g^{\prime }(2)=-4<0$ — exact citirea de la punctul a). Capetele $-3$ și $3$ nu sunt puncte interioare, deci nu intră în mulțimea de derivabilitate.

Exemplul 2 — O funcție polinomială de gradul al treilea

Determinați funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x$, și calculați $f^{\prime }(1)$.

Rezolvare. Valoarea: $f(x_0)=x_0^3+2x_0$.

Raportul: folosim descompunerea diferenței de cuburi și dăm factor comun în rest:

$$\frac{x^3+2x-x_0^3-2x_0}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x^2+x{x}_0+x_0^2)+2(x-x_0)}{x-x_0}=x^2+x{x}_0+x_0^2+2.$$

Limita: pentru $x\to x_0$ expresia rămasă este continuă, deci limita se obține înlocuind: $3x_0^2+2$.

Rescrierea: $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }(x)=3x^2+2$. În particular $f^{\prime }(1)=5$. Observă că $f^{\prime }$ ia numai valori strict pozitive, deci graficul lui $f$ urcă în fiecare punct al său.

Exemplul 3 — O funcție rațională și mulțimea ei de derivabilitate

Determinați funcția derivată a funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$, precizând mulțimea pe care lucrați.

Rezolvare. Fie $x_0\ne 0$. Aducem numărătorul raportului la același numitor:

$$\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x_0^2}}{x-x_0}=\frac{x_0^2-x^2}{x^2{x}_0^2(x-x_0)}=\frac{-(x-x_0)(x+x_0)}{x^2{x}_0^2(x-x_0)}=-\frac{x+x_0}{x^2{x}_0^2}.$$

Pentru $x\to x_0$ obținem $-\frac{2x_0}{x_0^4}=-\frac{2}{x_0^3}$, un număr finit pentru orice $x_0\ne 0$. Așadar $f$ este derivabilă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$.

Mulțimea de derivabilitate coincide aici cu domeniul, dar nu este un interval: ea are două bucăți, $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$. În $0$ funcția nu e definită, deci despre derivabilitate în $0$ nu se pune problema. Semnul derivatei confirmă desenul: pentru $x>0$ avem $f^{\prime }(x)<0$, iar pentru $x<0$ avem $f^{\prime }(x)>0$.

Exemplul 4 — O funcție cu radical

Arătați că funcția $f:[-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+1}$, este derivabilă pe $(-1,+\infty )$, determinați $f^{\prime }$ și calculați $f^{\prime }(3)$.

Rezolvare. Fie $x_0>-1$. Amplificăm raportul cu expresia conjugată a numărătorului:

$$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x_0+1}}{x-x_0}=\frac{(x+1)-(x_0+1)}{(x-x_0)(\sqrt{x+1}+\sqrt{x_0+1})}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x_0+1}}.$$

Numitorul rămas este nenul în $x_0$, pentru că $x_0+1>0$, deci limita se obține prin înlocuire directă și este finită:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0+1}}.$$

Prin urmare $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, pentru $x>-1$, iar $f^{\prime }(3)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$. Capătul $-1$ rămâne în afara mulțimii de derivabilitate, pentru același motiv discutat la §5: nu e punct interior, iar raportul crește acolo peste orice valoare.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-12x$, am obținut că raportul de variație tinde la $0$ în punctul $2$. Cum derivata iese zero, înseamnă că funcția nu este derivabilă în $2$." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Calculul elevului este bun, concluzia nu. Într-un punct oarecare $x_0$,

$$\frac{3x^2-12x-(3x_0^2-12x_0)}{x-x_0}=\frac{3(x-x_0)(x+x_0)-12(x-x_0)}{x-x_0}=3(x+x_0)-12⟶6x_0-12,$$

deci $f^{\prime }(x)=6x-12$ și, într-adevăr, $f^{\prime }(2)=0$.

Greșeala este de limbaj, nu de calcul. Definiția cere ca limita raportului să existe și să fie finită; numărul $0$ este finit, ca oricare altul. Prin urmare funcția este derivabilă în $2$, iar valoarea derivatei acolo este $0$ — ceea ce înseamnă că tangenta la grafic în punctul de abscisă $2$ este orizontală. „Derivata este zero" și „funcția nu are derivată" sunt afirmații complet diferite: prima descrie o tangentă orizontală, a doua spune că limita nu există sau nu e finită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-2}$. a) Arătați că $f$ este derivabilă pe $(2,+\infty )$ și că $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x-2{)}^2}$. b) Calculați $f^{\prime }(3)$. c) Determinați numărul real $x>2$ pentru care $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{4}$.

Rezolvare.

a) Fie $x_0>2$, ales arbitrar. Aducem numărătorul la același numitor:

$$\frac{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x_0-2}}{x-x_0}=\frac{(x_0-2)-(x-2)}{(x-2)(x_0-2)(x-x_0)}=\frac{-(x-x_0)}{(x-2)(x_0-2)(x-x_0)}=-\frac{1}{(x-2)(x_0-2)}.$$

Pentru $x\to x_0$ expresia rămasă tinde la $-\frac{1}{(x_0-2{)}^2}$, număr finit, pentru că $x_0-2>0$. Cum $x_0$ a fost ales arbitrar în $(2,+\infty )$, funcția este derivabilă pe tot acest interval și $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x-2{)}^2}$.

b) Înlocuind, $f^{\prime }(3)=-\frac{1}{(3-2{)}^2}=-1$.

c) Ecuația $-\frac{1}{(x-2{)}^2}=-\frac{1}{4}$ dă $(x-2{)}^2=4$, deci $x-2=2$ sau $x-2=-2$. A doua variantă ar da $x=0$, care nu aparține domeniului, deci rămâne $x=4$.

De la examen la lecție. Cerințele de mai sus au forma celor din modelul oficial al probei M_șt-nat: o formulă de verificat, un număr de calculat, o ecuație de rezolvat. La examen punctul a) se rezolvă cu regulile de derivare din lecțiile următoare; aici l-am făcut din definiție, ca să se vadă de unde vine formula. Atenție la punctul c): soluțiile se compară întotdeauna cu domeniul, iar cele din afara lui se elimină cu o propoziție, nu în tăcere.

Să exersăm

La fiecare cerință care întreabă de funcția derivată, scrie și mulțimea pe care ai lucrat.

1. Determină, pornind de la raportul de variație, funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+8x$.

2. Arată, pornind de la definiție, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-9$, are funcția derivată constantă și precizează valoarea acestei constante.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+6x$, determină $f^{\prime }$ și apoi punctul în care $f^{\prime }$ se anulează.

4. Determină funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3$.

5. Determină funcția derivată și mulțimea de derivabilitate pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{7}{x}$.

6. Arată că funcția $f:\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4x+1}$, este derivabilă pe $\left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$, determină $f^{\prime }$ și calculează $f^{\prime }(2)$.

7. Determină funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x-5}$, și calculează $f^{\prime }(0)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția derivată are întotdeauna același domeniu ca funcția din care provine."

9. Se știe că funcția derivată a unei funcții este $f^{\prime }(x)=4x-1$, $x\in \mathbb{R}$. Calculează $f^{\prime }(0)$ și $f^{\prime }(2)$, apoi rezolvă ecuația $f^{\prime }(x)=7$.

10. (Problemă aplicată.) Costul producerii a $q$ kilograme dintr-un reactiv este $C(q)=q^2+20q$ lei, pentru $q\in [0,200]$. Determină funcția $C^{\prime }$ și calculează $C^{\prime }(10)$, precizând unitatea de măsură și înțelesul rezultatului.

11. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-12x$, determină punctul graficului în care tangenta este orizontală.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{x}$. Arată că $f$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$ și că $f^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^2}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x$. Arată, pornind de la raportul de variație, că $f^{\prime }(x)=2x-7$ și determină numărul real $x$ pentru care $f^{\prime }(x)=1$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x$. Arată că $f^{\prime }(x)=3x^2-6$ și calculează $f^{\prime }(1)$.

15. Explică, pornind de la raportul de variație, de ce funcția constantă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6$, are funcția derivată nulă.

16. Determină funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$, folosind descompunerea $x^4-x_0^4=(x-x_0)(x^3+x^2{x}_0+x{x}_0^2+x_0^3)$.

17. Scrie funcția derivată a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^2-3x+2$, apoi calculează $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)$.

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx$, unde $m$ este un număr real. Determină $m$ știind că $f^{\prime }(1)=5$, apoi află punctul în care funcția derivată se anulează.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $f(x)=x^2+8x$, raportul este $\frac{x^2+8x-x_0^2-8x_0}{x-x_0}=x+x_0+8⟶2x_0+8$, deci $f^{\prime }(x)=2x+8$ pe $\mathbb{R}$. Formula generală de la §4, cu $a=1$ și $b=8$, dă același rezultat, dar cerința era calculul din definiție.

2. Pentru $f(x)=5x-9$, raportul este $\frac{5x-9-5x_0+9}{x-x_0}=\frac{5(x-x_0)}{x-x_0}=5$, constant, deci $f^{\prime }(x)=5$ pe $\mathbb{R}$. Graficul este o dreaptă de pantă $5$, iar tangenta la ea coincide cu ea în orice punct.

3. Pentru $f(x)=-x^2+6x$ avem $f^{\prime }(x)=-2x+6$ pe $\mathbb{R}$. Ecuația $-2x+6=0$ dă $x=3$; acolo tangenta este orizontală, iar punctul graficului este $(3,9)$.

4. Pentru $f(x)=2x^3$, raportul este $\frac{2(x^3-x_0^3)}{x-x_0}=2(x^2+x{x}_0+x_0^2)⟶6x_0^2$, deci $f^{\prime }(x)=6x^2$ pe $\mathbb{R}$.

5. Pentru $f(x)=\frac{7}{x}$ și $x_0\ne 0$, raportul este $\frac{7x_0-7x}{x{x}_0(x-x_0)}=-\frac{7}{x{x}_0}⟶-\frac{7}{x_0^2}$, deci $f^{\prime }(x)=-\frac{7}{x^2}$, iar mulțimea de derivabilitate este ${\mathbb{R}}^{\ast }$, adică reuniunea intervalelor $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$.

6. Pentru $f(x)=\sqrt{4x+1}$ și $x_0>-\frac{1}{4}$, amplificarea cu conjugata dă $\frac{4(x-x_0)}{(x-x_0)(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1})}=\frac{4}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1}}⟶\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}$. Deci $f^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$ pe $\left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$, iar $f^{\prime }(2)=\frac{2}{3}$.

7. Pentru $f(x)=\frac{x}{x-5}$ și $x_0\ne 5$, numărătorul adus la numitor comun este $\frac{x(x_0-5)-x_0(x-5)}{(x-5)(x_0-5)}=\frac{-5(x-x_0)}{(x-5)(x_0-5)}$, deci raportul este $-\frac{5}{(x-5)(x_0-5)}⟶-\frac{5}{(x_0-5{)}^2}$. Așadar $f^{\prime }(x)=-\frac{5}{(x-5{)}^2}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{5\}$ și $f^{\prime }(0)=-\frac{1}{5}$.

8. Fals. Uneori coincid, alteori nu. Funcția radical de ordinul al doilea este definită pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$, pentru că $0$ nu este punct interior al domeniului, iar raportul de variație crește acolo peste orice valoare. În schimb, la orice funcție polinomială cele două mulțimi coincid.

9. $f^{\prime }(0)=-1$ și $f^{\prime }(2)=7$. Ecuația $4x-1=7$ are soluția $x=2$ — coerent cu valoarea calculată mai sus. Reține că, pentru a răspunde, nu ai avut nevoie de formula lui $f$: funcția derivată este ea însăși o funcție și se folosește ca atare.

10. Pentru $C(q)=q^2+20q$, raportul de variație dă $C^{\prime }(q)=2q+20$, pentru $q\in (0,200)$. Atunci $C^{\prime }(10)=40$ lei pe kilogram: la un nivel de producție de $10$ kilograme, fiecare kilogram în plus costă aproximativ $40$ de lei. Economiștii numesc acest număr cost marginal, iar el crește odată cu producția, fiindcă $C^{\prime }$ este o funcție crescătoare.

11. Pentru $f(x)=x^2-12x$ avem $f^{\prime }(x)=2x-12$, iar tangenta este orizontală acolo unde $f^{\prime }(x)=0$, adică pentru $x=6$. Cum $f(6)=-36$, punctul căutat este $(6,-36)$.

12. Fie $x_0>0$. Raportul $\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{x_0}}{x-x_0}=\frac{4x_0-4x}{x{x}_0(x-x_0)}=-\frac{4}{x{x}_0}$ tinde la $-\frac{4}{x_0^2}$, număr finit pentru orice $x_0>0$. Cum $x_0$ a fost ales arbitrar, $f$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$ și $f^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^2}$.

13. Pentru $f(x)=x^2-7x$, raportul este $\frac{(x-x_0)(x+x_0)-7(x-x_0)}{x-x_0}=x+x_0-7⟶2x_0-7$, deci $f^{\prime }(x)=2x-7$. Ecuația $2x-7=1$ are soluția $x=4$.

14. Pentru $f(x)=x^3-6x$, raportul este $\frac{(x-x_0)(x^2+x{x}_0+x_0^2)-6(x-x_0)}{x-x_0}=x^2+x{x}_0+x_0^2-6⟶3x_0^2-6$, deci $f^{\prime }(x)=3x^2-6$ și $f^{\prime }(1)=-3$. Valoarea negativă arată că în punctul de abscisă $1$ graficul coboară.

15. Pentru $f(x)=6$, numărătorul raportului este $6-6=0$, deci raportul valorează $0$ pentru orice $x\ne x_0$, iar limita lui este tot $0$. Prin urmare $f^{\prime }(x)=0$ pe $\mathbb{R}$: o mărime care nu se schimbă are rata de variație nulă, iar graficul ei, o dreaptă orizontală, are peste tot tangenta orizontală.

16. Pentru $f(x)=x^4$, simplificarea cu $x-x_0$ lasă $x^3+x^2{x}_0+x{x}_0^2+x_0^3$, sumă de patru termeni care tind fiecare la $x_0^3$. Limita este $4x_0^3$, deci $f^{\prime }(x)=4x^3$ pe $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime }(1)=4$.

17. Pentru $f(x)=5x^2-3x+2$, formula generală de la §4 cu $a=5$ și $b=-3$ dă $f^{\prime }(x)=10x-3$. Atunci $f^{\prime }(1)=7$, $f^{\prime }(-1)=-13$, iar suma cerută este $-6$.

18. Pentru $f(x)=x^2+mx$, raportul este $x+x_0+m⟶2x_0+m$, deci $f^{\prime }(x)=2x+m$. Condiția $f^{\prime }(1)=5$ înseamnă $2+m=5$, adică $m=3$. Cu această valoare, $f^{\prime }(x)=2x+3$ se anulează pentru $x=-\frac{3}{2}$, unde tangenta la grafic este orizontală.

De reținut

• Funcția derivată $f^{\prime }$ se obține calculând derivata într-un punct oarecare $x_0$ și rescriind rezultatul cu litera $x$; ea este o funcție nouă, nu un număr, iar valoarea ei într-un punct este panta tangentei acolo.
• Enunțul complet al derivabilității cere trei lucruri: punctele să fie interioare domeniului, limita raportului de variație să existe și să fie finită în fiecare dintre ele. Mulțimea punctelor care trec acest test se numește mulțime de derivabilitate.
• Mulțimea de derivabilitate face parte din răspuns. Ea este inclusă în domeniu, dar poate fi mai mică: funcția radical de ordinul al doilea este derivabilă pe $(0,+\infty )$, deși e definită pe $[0,+\infty )$.
• Orice funcție de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+bx+c$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)=2ax+b$; termenul liber dispare, pentru că ridicarea graficului nu-i schimbă înclinarea.
• $f^{\prime }(2)$ este un număr, $f^{\prime }$ este o funcție, $f^{\prime }(x)$ este formula ei. Un răspuns care amestecă cele trei scrieri e greșit chiar dacă toate calculele sunt corecte.

Greșeli frecvente

• Răspunzi cu o formulă când se cere un număr. La cerința „calculați $f^{\prime }(3)$" răspunsul este un singur număr; formula cu $x$ în ea arată că ai oprit rezolvarea cu un pas mai devreme.
• Uiți să rescrii $x_0$ ca $x$. După ce ai obținut $f^{\prime }(x_0)=2x_0-4$ pentru un punct arbitrar, funcția derivată se scrie $f^{\prime }(x)=2x-4$. Un răspuns lăsat cu $x_0$ sugerează că formula a fost dovedită într-un singur punct, nu pe tot domeniul.
• Anunți derivabilitatea fără să spui pe ce mulțime. „Funcția este derivabilă" nu e un răspuns complet; la funcțiile raționale și la radicali mulțimea de derivabilitate este chiar miezul cerinței.
• Confunzi „derivata este zero" cu „funcția nu este derivabilă". Zero este o valoare finită perfect legitimă a derivatei și înseamnă tangentă orizontală; nederivabilitatea înseamnă că limita raportului nu există sau nu e finită.
• Simplifici raportul înainte de a scoate factorul $x-x_0$. La calculul cu litere, numărătorul trebuie mai întâi grupat, ca factorul $x-x_0$ să apară întreg; tăierea unor termeni izolați de la numărător cu numitorul este cea mai costisitoare greșeală din tot capitolul.

Aplică acasă

1. Desenează funcția derivată. Alege funcția $f(x)=x^2-4x+7$ din prima secțiune și calculează $f^{\prime }$ în șase puncte, din jumătate în jumătate, între $0$ și $5$. Marchează perechile obținute într-un reper și unește-le: vei obține o dreaptă, graficul funcției derivate. Compară panta acestei drepte cu numărul $2$ din formula $f^{\prime }(x)=2x-4$.

2. Cercurile de pe hârtie. Trasează pe o foaie cercuri de raze $1$, $2$, $3$, $4$ și $5$ cm și calculează aria fiecăruia. Împarte apoi creșterea ariei la creșterea razei, de la un cerc la următorul, și compară rezultatele cu $2\pi r$ calculat la mijlocul fiecărui interval. Vei vedea cum rata medie se apropie de cea instantanee.

3. Interviu cu profesorul de fizică sau de biologie. Cere-i trei mărimi din materia lui care sunt, de fapt, derivate ale altor mărimi, și notează pentru fiecare ce se derivează și în raport cu ce. Scrie-le într-un tabel cu trei coloane: mărimea inițială, variabila, mărimea derivată. Vei constata că majoritatea „vitezelor" și „ritmurilor" din științe au aceeași definiție matematică.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „noțiunea de funcție derivabilă". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) listează, la capitolul „Funcții derivabile", chiar „tangenta la o curbă, derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile"; tema apare la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Dificultatea acestei lecții nu este de calcul, ci de nivel de abstractizare: elevul trebuie să accepte că rezultatul unui calcul poate fi o funcție, nu un număr, și că litera $x_0$ ține locul tuturor punctelor deodată. Cine sare peste etapa aceasta învață mai târziu tabelul derivatelor ca pe o listă de simboluri fără sens și nu poate răspunde la cerințele în care derivata trebuie egalată cu un număr sau interpretată.

Lecția verifică patru lucruri: (1) calculul derivatei într-un punct oarecare, cu factorul $x-x_0$ scos corect; (2) trecerea de la $x_0$ la $x$, cu precizarea mulțimii; (3) deosebirea dintre $f^{\prime }$, $f^{\prime }(x)$ și $f^{\prime }(a)$; (4) determinarea mulțimii de derivabilitate la funcții raționale și cu radical. Întrebări de control, de pus oral: „Ce este $f^{\prime }$ — un număr sau o funcție?"; „De ce ai voie să înlocuiești la final $x_0$ cu $x$?"; „Pe ce mulțime este derivabilă funcția radical și de ce nu în capăt?"; „Ce înseamnă că derivata se anulează într-un punct?". Semne că elevul a înțeles: scrie mulțimea odată cu formula, fără să i se ceară, și nu se sperie când derivata iese zero. Continuarea firească este lecția tabelul derivatelor funcțiilor uzuale, care strânge într-un singur loc formulele obținute aici cu efort.

Întrebări frecvente

Se predau funcțiile derivabile la fel la M1 și la M2? Definiția funcției derivate este aceeași, dar programa de științe ale naturii se oprește mai devreme. La mate-info se studiază în plus derivatele laterale, punctele unghiulare și de întoarcere și teorema care leagă derivabilitatea de continuitate. Versiunea pentru mate-info (M1), unde noțiunea se construiește cu derivate laterale: derivate laterale și funcții derivabile într-un punct tratează aceste teme suplimentare, care nu se cer la M2.

La ce subiect apare funcția derivată la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, care are două probleme de analiză matematică a câte trei subpuncte. În modelul oficial al probei, publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă pornește de la derivata funcției date, iar primul subpunct cere verificarea unei formule de tipul „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$". Subpunctele următoare folosesc formula obținută, deci o greșeală acolo se propagă în toată problema.

Ce este funcția derivată și cu ce diferă de derivata într-un punct? Derivata într-un punct este un număr: panta tangentei la grafic în acel punct. Funcția derivată este regula care asociază fiecărui punct în care funcția e derivabilă numărul respectiv. Se obține făcând calculul o singură dată, într-un punct oarecare $x_0$, și rescriind rezultatul cu litera $x$.

Ce înseamnă că o funcție este derivabilă pe un interval? Înseamnă că este derivabilă în fiecare punct al acelui interval, adică în fiecare punct limita raportului de variație există și este finită. Intervalul trebuie format din puncte interioare domeniului; despre capetele închise ale domeniului nu se pune problema derivabilității la profilul științe ale naturii.

Cum determini funcția derivată a unei funcții raționale? Scrii raportul de variație, aduci numărătorul la același numitor și abia apoi simplifici prin $x-x_0$, care apare după reducerea termenilor asemenea. Expresia rămasă se evaluează direct în $x_0$, pentru că numitorul ei nu se anulează acolo. Mulțimea de derivabilitate este domeniul funcției, adică mulțimea în care numitorul inițial nu se anulează.

De ce domeniul funcției derivate poate fi mai mic decât domeniul funcției? Pentru că derivabilitatea cere mai mult decât existența valorii: cere ca raportul de variație să aibă limită finită, iar punctul să fie interior domeniului. La funcția radical de ordinul al doilea, în $0$ ambele condiții cad, deși valoarea funcției există. De aceea formula derivatei se scrie numai pe $(0,+\infty )$.

Ce trebuie scris la cerința „Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$"? Calculul într-un punct $x_0$ oarecare, în patru pași: valoarea $f(x_0)$, raportul de variație, simplificarea prin $x-x_0$ și limita. La final se spune explicit că $x_0$ a fost ales arbitrar, deci formula este valabilă pe toată mulțimea anunțată. Pașii se scriu toți, nu doar rezultatul final.