Din ce familie face parte funcția $$f(x)=\sqrt{10-5x}$$ și care este domeniul ei maxim de definiție?

familia cu radical, $$(-\infty,\ 2]$$

familia rațională, $$\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

familia cu radical, $$[2,\ +\infty)$$

familia polinomială, $$\mathbb{R}$$

Ce asimptotă are graficul funcției $$f(x)=5-2^{-x}$$ și spre ce capăt?

$$y=5$$, numai spre $$+\infty$$

$$y=5$$, spre amândouă capetele

$$y=5$$, numai spre $$-\infty$$

$$y=-2$$, numai spre $$+\infty$$

Ce asimptote are funcția log₂(x+3)?

Domeniul este (-3,+∞). Lângă -3, expresia x+3 tinde la 0 prin valori pozitive, deci funcția tinde la -∞: x=-3 este asimptotă verticală. La +∞ funcția crește nemărginit, deci nu are asimptotă orizontală.

Ce asimptotă are funcția 3· 2^(x)-1?

La -∞, 2^(x) tinde la 0, deci funcția tinde la -1: y=-1 este asimptotă orizontală spre stânga. La +∞ funcția crește nemărginit, iar f(x)/x tinde la +∞, deci spre dreapta nu există nicio asimptotă.

Ce asimptote are funcția 1/√x?

Domeniul este (0,+∞). Lângă 0, funcția tinde la +∞, deci x=0 este asimptotă verticală la dreapta. La +∞ funcția tinde la 0, deci y=0 este asimptotă orizontală. Graficul stă în primul cadran.

Ce asimptote are fiecare familie de funcții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Familii de grafice

Polinoamele de grad cel puțin $2$ nu au asimptote. Funcțiile raționale pot avea asimptote verticale, în zerourile numitorului care nu se simplifică, și una orizontală sau una oblică spre fiecare capăt, după grade. Exponențialele au o asimptotă orizontală spre un singur capăt, iar logaritmii o asimptotă verticală la capătul domeniului. Funcțiile cu radical pot avea asimptote oblice. De exemplu, $\frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ are asimptotele $x = 1$ și $y = x + 1$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 și strânge funcțiile numite de programa de examen în patru familii: cea polinomială, cea rațională, cea cu radical și cea cu exponențială ori logaritm. Familia se recunoaște dintr-o privire pe expresie și spune de la bun început cum arată domeniul, cum se poartă funcția la capete și ce asimptote sunt de așteptat.

La familia polinomială, domeniul e $R$ , graficul are o singură ramură și, de la gradul al doilea în sus, nicio asimptotă. La cea rațională apar toate tipurile: verticalele vin din zerourile numitorului, iar la capete stă ori o orizontală, ori o oblică, după cum se compară gradele. La cea cu radical, condiția de existență decide totul: domeniul poate fi mărginit, iar curba se termină în capete, adesea cu semitangentă verticală. Exponențiala aduce o orizontală spre un singur capăt, iar logaritmul o verticală în capătul $0$ .

Două capcane merită ținute minte. Familia dă asimptota, nu monotonia: aceasta se decide tot din semnul derivatei, chiar și acolo unde intră o exponențială. Și compararea gradelor ține de funcțiile raționale: la un radical ea nu spune nimic, deși o asimptotă oblică poate exista — atunci se calculează cele două limite din definiție, separat pentru fiecare capăt.

De reținut

polinom de grad $\geq 2$ : nicio asimptotă
rațională: verticale în zerourile numitorului, plus orizontală sau oblică după grade
exponențială: orizontală spre un capăt; logaritm: verticală la capătul domeniului

Greșeala tipică

Se caută asimptotă orizontală la un polinom de gradul al treilea; limitele lui la capete sunt infinite, deci nu există asimptote.

Exerciții din această mini-lecție

Din ce familie face parte funcția $f (x) = 10 - 5 x$ și care este domeniul ei maxim de definiție?
- a) familia rațională, $R ∖ {2}$
- b) familia cu radical, $(- \infty, 2]$
- c) familia cu radical, $[2, + \infty)$
- d) familia polinomială, $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) familia cu radical, $(- \infty, 2]$

Expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă: $10 - 5 x \geq 0$ dă $x \leq 2$ , deci domeniul este $(- \infty, 2]$ , un singur interval, cu capăt închis în $2$ . Familia se citește pe piesa care restrânge domeniul, iar aici aceasta este radicalul. Varianta c) răstoarnă inegalitatea, a) confundă condiția de existență cu anularea unui numitor, iar d) uită că un radical cere o condiție.
Ce asimptotă are graficul funcției $f (x) = 5 - 2^{- x}$ și spre ce capăt?
- a) $y = 5$ , numai spre $+ \infty$
- b) $y = 5$ , spre amândouă capetele
- c) $y = 5$ , numai spre $- \infty$
- d) $y = - 2$ , numai spre $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 5$ , numai spre $+ \infty$

Când $x \to + \infty$ , exponentul $- x$ tinde la $- \infty$ , deci $2^{- x} \to 0$ și $f (x) \to 5$ : dreapta $y = 5$ este asimptotă orizontală spre acel capăt. Când $x \to - \infty$ , puterea $2^{- x}$ crește nemărginit, deci $f (x) \to - \infty$ și acolo nu există nicio asimptotă orizontală. Exponențiala dă o orizontală spre capătul în care puterea se apropie de zero, iar semnul din exponent hotărăște care capăt este acela.
Ce asimptotă are spre $\pm \infty$ graficul funcției $f (x) = \frac{5 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - 3}$ ?
- a) orizontala $y = 0$
- b) orizontala $y = - \frac{1}{3}$
- c) o dreaptă oblică
- d) orizontala $y = \frac{5}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) orizontala $y = \frac{5}{2}$

Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la ambele capete este raportul coeficienților de grad maxim: $\frac{5}{2}$ . Asimptota este orizontala $y = \frac{5}{2}$ . Varianta a) e regula pentru numărător de grad mai mic, b) împarte termenii liberi, iar c) ar cere ca numărătorul să aibă gradul cu exact $1$ mai mare decât numitorul.

Întrebări conexe

Ce asimptote are funcția $lo g_{2} (x + 3)$ ?

Domeniul este $(- 3, + \infty)$ . Lângă $- 3$ , expresia $x + 3$ tinde la $0$ prin valori pozitive, deci funcția tinde la $- \infty$ : $x = - 3$ este asimptotă verticală. La $+ \infty$ funcția crește nemărginit, deci nu are asimptotă orizontală.

Poate o funcție polinomială să aibă asimptotă?

Doar în cazul banal al gradului $1$ , când graficul este chiar o dreaptă. De la gradul $2$ în sus, $\frac{f ( x )}{x}$ tinde la $\pm \infty$ , deci nu există asimptotă oblică, iar $f$ tinde la $\pm \infty$ , deci nici orizontală. Domeniul fiind $R$ , nu există nici verticale.

Ce asimptotă are $x^{2} + 6 x$ la plus infinit?

Panta este $lim \frac{x ^{2} + 6 x}{x} = 1$ , iar $lim (x^{2} + 6 x - x) = lim \frac{6 x}{x ^{2} + 6 x + x} = 3$ . Asimptota oblică este $y = x + 3$ . Graficul se apropie de ea dedesubt, fiindcă $x^{2} + 6 x < (x + 3)^{2}$ . Spre $- \infty$ calculul analog dă altă dreaptă, $y = - x - 3$ .

Ce asimptotă are funcția $3 \cdot 2^{x} - 1$ ?

La $- \infty$ , $2^{x}$ tinde la $0$ , deci funcția tinde la $- 1$ : $y = - 1$ este asimptotă orizontală spre stânga. La $+ \infty$ funcția crește nemărginit, iar $\frac{f ( x )}{x}$ tinde la $+ \infty$ , deci spre dreapta nu există nicio asimptotă.

Ce asimptote are funcția $\frac{1}{x}$ ?

Domeniul este $(0, + \infty)$ . Lângă $0$ , funcția tinde la $+ \infty$ , deci $x = 0$ este asimptotă verticală la dreapta. La $+ \infty$ funcția tinde la $0$ , deci $y = 0$ este asimptotă orizontală. Graficul stă în primul cadran.

Oamenii mai întreabă și: ce asimptote are fiecare familie de funcții · asimptotele funcțiilor raționale exponențiale și logaritmice · ce asimptote poate avea o funcție · asimptote după tipul funcției

Ce asimptote are fiecare familie de funcții?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce asimptote are funcția log2​(x+3)?

Poate o funcție polinomială să aibă asimptotă?

Ce asimptotă are x2+6x​ la plus infinit?

Ce asimptotă are funcția 3⋅2x−1?

Ce asimptote are funcția x​1​?

Continuă cu

Ce asimptote are funcția $lo g_{2} (x + 3)$ ?

Ce asimptotă are $x^{2} + 6 x$ la plus infinit?

Ce asimptotă are funcția $3 \cdot 2^{x} - 1$ ?

Ce asimptote are funcția $\frac{1}{x}$ ?