Graficele celor patru familii de funcții (M2, științe ale naturii)

Programa de examen pentru Bacalaureatul M2 nu cere graficul oricărei funcții, ci al câtorva tipuri numite pe nume: funcția de gradul I, cea de gradul al doilea, funcția putere, funcția radical, exponențiala, logaritmul și raportul a două funcții de grad cel mult $2$. Grupate după forma expresiei, ele se strâng în patru familii, iar fiecare familie are un tipar de grafic pe care îl recunoști din prima privire. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), asta înseamnă câteva minute câștigate la Subiectul al III-lea: știi de la început ce cauți și, înainte de toate, ce nu are rost să cauți.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: reprezentarea grafică a funcțiilor este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), în timp ce programa nouă a clasei a XI-a se oprește la tabelul de variație. Lecția nu reia schema în șapte pași, ci o aplică pe rând celor patru familii, ca să vezi ce arată diferit de la una la alta.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, dintr-o privire pe expresie, din ce familie face parte o funcție și ce fel de domeniu are.
• Vei ști ce asimptote poate și ce asimptote nu poate avea graficul fiecărei familii, înainte de a calcula vreo limită.
• Vei ști să desenezi graficul unei funcții polinomiale de gradul al treilea, al uneia raționale simple, al uneia cu radical și al uneia cu exponențială.
• Vei ști să tratezi capetele închise de domeniu, unde curba se oprește, și semitangentele verticale care apar acolo.
• Vei ști să citești un model din științe pornind de la familia funcției care îl descrie.
• Vei ști să eviți greșeala de a aplica rețeta unei familii la alta, de pildă compararea gradelor la o funcție cu radical.

Hai să descoperim împreună

1. De ce merită să recunoști familia înainte de a calcula?

Familia unei funcții este grupul din care ea face parte după forma expresiei — polinomială, rațională, cu radical sau cu exponențială și logaritm —, iar apartenența la o familie hotărăște dinainte ce fel de domeniu are funcția, ce se întâmplă la capete și ce asimptote poate să apară.

Câștigul e practic. La o funcție polinomială nu are rost să cauți asimptote: nu are. La una rațională, zerourile numitorului sunt primul lucru de scris. La una cu radical, condiția de existență decide totul, iar domeniul poate fi mărginit. La una cu exponențială, asimptota orizontală apare doar spre un capăt. Cinci secunde de recunoaștere scutesc cinci minute de calcule fără rost.

Există și funcții care amestecă familii — $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ sau $x{\mathrm{e}}^{-x}$. Ele nu strică regula: se tratează după familia care dă restricția cea mai tare, adică după radical, respectiv după partea rațională. Tiparul se citește pe piesa care limitează domeniul.

2. Familia I: cum arată graficul unei funcții polinomiale?

Domeniul este întotdeauna $\mathbb{R}$, funcția este continuă și derivabilă peste tot, deci graficul are o singură ramură, fără găuri și fără asimptote. La capete, valorile merg către $+\infty$ sau $-\infty$, după grad și după semnul coeficientului dominant. O funcție de gradul al treilea are cel mult două puncte de extrem și exact un punct de inflexiune.

Studiem $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+3x^2+1$. Intersecția cu $Oy$: $f(0)=1$. Derivata $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ este negativă în afara intervalului $[0,2]$ și pozitivă înăuntru, deci $f(0)=1$ este minim local și $f(2)=5$ este maxim local. Derivata a doua, $f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$, dă punctul de inflexiune $(1,3)$.

Coeficientul dominant fiind negativ, curba vine de sus din stânga și pleacă în jos spre dreapta — invers față de $x^3$, familia de bază pe care ai văzut-o la funcția putere cu exponent întreg.

3. Familia a II-a: cum arată graficul unei funcții raționale?

Aici apar toate tipurile de asimptote. Domeniul se obține scoțând zerourile numitorului, iar numărul de intervale rămase este numărul de ramuri. Comportarea la capete se citește comparând gradele, după tabelul acesta:

Studiem $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$. Domeniul are două intervale, deci două ramuri. Intersecții: $f(0)=-3$ și $f(x)=0$ pentru $x=\frac{3}{2}$. Numitorul se anulează în $-1$, unde numărătorul valorează $-5\ne 0$, deci $x=-1$ este asimptotă verticală. Gradele fiind egale, $y=2$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele.

Derivata se calculează cu regula câtului:

$$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0.$$

Funcția este deci strict crescătoare pe fiecare dintre cele două intervale — niciodată pe reuniunea lor. Derivata a doua, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-10}{(x+1{)}^3}$, este pozitivă pe $(-\infty ,-1)$ și negativă pe $(-1,+\infty )$: curbura se schimbă peste asimptota verticală, fără punct de inflexiune. Graficul este o hiperbolă: ramura stângă urcă de la $y=2$ către $+\infty$, ramura dreaptă urcă de la $-\infty$ către $y=2$.

4. Familia a III-a: cum arată graficul unei funcții cu radical?

Deosebirea față de celelalte familii începe de la domeniu: radicalul de ordinul al doilea cere expresia de sub el nenegativă, așa că domeniul poate fi un interval mărginit sau o reuniune de două intervale. Consecința pentru desen este că graficul are capete: puncte în care curba începe sau se termină, fără săgeată de continuare. În aceste capete funcția are valoare, dar adesea nu este derivabilă, iar curba pornește cu semitangentă verticală.

Studiem $f:[-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2\sqrt{x+1}$. În capătul $x=-1$ avem $f(-1)=-1$. Derivata

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x+1}}$$

se anulează pentru $\sqrt{x+1}=1$, adică $x=0$, unde $f(0)=-2$ este minim. Pe $(-1,0)$ derivata este negativă, pe $(0,+\infty )$ pozitivă. În capătul $-1$ funcția are valoarea $-1$, dar nu este derivabilă, deci curba pleacă din $(-1,-1)$ cu semitangentă verticală, în jos. Derivata a doua, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$, este pozitivă peste tot: funcția este convexă, fără inflexiuni.

Intersecția cu $Ox$ cere $x=2\sqrt{x+1}$, adică $x^2-4x-4=0$ cu $x\ge 0$, deci $x=2+2\sqrt{2}$. Fiindcă $f(4)=4-2\sqrt{5}<0$ și $f(5)=5-2\sqrt{6}>0$, punctul de tăiere se află între $4$ și $5$ — o localizare care se justifică cu proprietatea lui Darboux.

5. Familia a IV-a: cum arată graficul unei funcții cu exponențială sau logaritm?

Exponențiala aduce o asimptotă orizontală, dar numai spre un capăt: ${\mathrm{e}}^x$ se apropie de $0$ spre $-\infty$ și crește nemărginit spre $+\infty$. Logaritmul aduce, simetric, o asimptotă verticală în capătul $0$ al domeniului $(0,+\infty )$. Ambele sunt strict monotone, dar produsele și sumele în care intră nu mai sunt — acolo monotonia se decide tot din derivată.

Studiem $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2){\mathrm{e}}^x$. Intersecții: $f(0)=-2$ și $f(x)=0$ pentru $x=2$. Limitele: spre $-\infty$ exponențiala câștigă și $f(x)\to 0$, cu valori negative, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$; spre $+\infty$ funcția crește nemărginit, deci acolo nu există asimptotă.

Derivatele se calculează cu regula produsului: $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-2){\mathrm{e}}^x=(x-1){\mathrm{e}}^x$ și $f^{\prime \prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x$. Cum ${\mathrm{e}}^x>0$, semnele lor sunt cele ale factorilor $x-1$ și $x$.

Curba vine lipită de axa $Ox$ dinspre stânga, pe dedesubt, coboară până la minimul $(1,-e)$, taie axa în $(2,0)$ și apoi urcă abrupt. Punctul de inflexiune $(0,-2)$ — care este chiar intersecția cu axa $Oy$ — este locul în care coborârea începe să se domolească.

6. Cum arată cele patru familii, una lângă alta?

Tabelul acesta răspunde, dinainte, la jumătate dintre întrebările unui subiect: câte ramuri, ce limite se calculează, ce fel de asimptote se caută. El nu înlocuiește însă niciun calcul — semnele derivatelor se determină de fiecare dată.

7. Ce se cere din fiecare familie la examen?

Programa de examen numește funcțiile pe care se lucrează: gradul I, gradul al doilea, funcția putere cu $n=2,3$, funcția radical cu $n=2,3$, exponențiala, logaritmul și raportul a două funcții de grad cel mult $2$. De aici vin două limite practice. Prima: la familia rațională nu apar numărători de gradul al treilea peste numitori de gradul al doilea, deci asimptota oblică vine, cel mult, dintr-un raport cu grade $2$ și $1$. A doua: funcțiile trigonometrice nu intră în această listă, deci graficele lor nu se cer. Lista spune ce funcții apar în enunțuri, nu ce ai voie să derivezi: o sumă de puteri se derivează cu regulile deja știute, așa că un polinom de grad mai mare rămâne un exercițiu bun de desen, chiar dacă nu e numit în listă.

Cerințele sunt aceleași pentru toate familiile — o derivată de verificat, o asimptotă sau o monotonie de determinat, o inegalitate de demonstrat —, iar modelul oficial al probei M_șt-nat are, la prima problemă a Subiectului al III-lea, o funcție cu exponențială, cu derivata, o limită și o inegalitate. Desenul propriu-zis nu se cere acolo, dar el este cel care leagă subpunctele între ele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sortarea pe familii, în treizeci de secunde

Pentru fiecare dintre funcțiile $f_1(x)=x^3-4x$, $f_2(x)=\frac{x+2}{x-5}$, $f_3(x)=\sqrt{6-2x}$ și $f_4(x)=2^x+3$, precizați familia, domeniul maxim și ce fel de asimptote poate avea graficul, fără niciun calcul de limită.

Rezolvare. Prima este polinomială, de gradul al treilea: domeniul $\mathbb{R}$, o ramură, nicio asimptotă.

A doua este rațională, cu grade egale: domeniul $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, două ramuri, o asimptotă verticală $x=5$ și una orizontală, egală cu raportul coeficienților dominanți, $y=1$.

A treia este cu radical: condiția $6-2x\ge 0$ dă domeniul $(-\infty ,3]$, un singur interval, cu capăt închis în $3$. Nicio asimptotă verticală; la $-\infty$ funcția crește nemărginit.

A patra este exponențială: domeniul $\mathbb{R}$; spre $-\infty$ puterea tinde la $0$, deci $y=3$ este asimptotă orizontală numai spre acel capăt.

Exemplul 2 — O funcție polinomială de gradul al patrulea

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^4-4x^2$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$ și funcția este pară, pentru că $f(-x)=f(x)$; graficul e simetric față de axa $Oy$. Intersecții: $f(0)=0$ și $2x^4-4x^2=2x^2\left(x^2-2\right)=0$ pentru $x\in \left\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\right\}$.

Derivata $f^{\prime }(x)=8x^3-8x=8x(x-1)(x+1)$ se anulează în $-1$, $0$ și $1$: minime în $\pm 1$, cu $f(\pm 1)=-2$, și maxim local în $0$, cu $f(0)=0$. Limitele la ambele capete sunt $+\infty$, iar asimptote nu există.

Graficul are forma unei litere „W" cu vârful de mijloc pe origine și cele două gropi la înălțimea $-2$. Este tiparul funcțiilor polinomiale pare de gradul al patrulea cu coeficient dominant pozitiv.

Exemplul 3 — O funcție rațională cu asimptotă orizontală tăiată

Arătați că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x^2+2}$, are asimptota orizontală $y=0$ și nu o taie niciodată.

Rezolvare. Numitorul $x^2+2$ nu se anulează niciodată, deci domeniul este $\mathbb{R}$ și graficul are o singură ramură, fără asimptote verticale. Gradul numărătorului, zero, este mai mic decât al numitorului, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$ și $y=0$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele.

Ecuația $f(x)=0$ ar cere $6=0$, imposibil: graficul nu taie asimptota. Pe de altă parte, $f(x)>0$ peste tot, deci curba stă mereu deasupra axei. Funcția fiind pară, cu maximul $f(0)=3$, graficul arată ca un clopot simetric.

Ține minte deosebirea față de exemplul clasic în care asimptota orizontală este tăiată: acolo numărătorul se anulează undeva, aici nu se anulează nicăieri. Nu familia decide, ci numărătorul.

Exemplul 4 — O funcție cu radical, pe un domeniu mărginit

Reprezentați grafic funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}(4-x)$.

Rezolvare. Domeniul este dat, mărginit și închis, deci graficul are două capete și nicio asimptotă. Valorile la capete: $f(0)=0$ și $f(4)=0$; acestea sunt și singurele intersecții cu axele.

Derivăm produsul, cu ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(4-x)-\sqrt{x}=\frac{4-x-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{4-3x}{2\sqrt{x}}.$$

Derivata se anulează pentru $x=\frac{4}{3}$, este pozitivă înainte și negativă după, deci acolo se află maximul, cu valoarea $f\left(\frac{4}{3}\right)=\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\approx 3,08$.

În capătul $0$ funcția are valoarea $0$, dar nu este derivabilă: curba pornește din origine cu semitangentă verticală, urcă până la maxim și coboară apoi până în $(4,0)$. Un arc scurt, cu început și sfârșit — exact ce deosebește familia a treia de celelalte.

Exemplul 5 — Exponențiala într-un model din științe

Concentrația unui medicament în sânge, în miligrame pe litru, la $t$ ore după administrare, este $c(t)=8t{\mathrm{e}}^{-t}$, $t\ge 0$. Studiați variația și trasați graficul, precizând momentul concentrației maxime.

Rezolvare. Domeniul este $[0,+\infty )$, cu $c(0)=0$: la administrare, concentrația în sânge este nulă. Derivata este

$$c^{\prime }(t)=8{\mathrm{e}}^{-t}-8t{\mathrm{e}}^{-t}=8(1-t){\mathrm{e}}^{-t},$$

pozitivă pe $[0,1)$ și negativă pe $(1,+\infty )$: concentrația crește în prima oră și scade după aceea. Maximul este $c(1)=\frac{8}{e}\approx 2,94$ mg/L, atins la o oră după administrare.

Derivata a doua, $c^{\prime \prime }(t)=8(t-2){\mathrm{e}}^{-t}$, se anulează în $t=2$, unde se află punctul de inflexiune, cu $c(2)=\frac{16}{e^2}\approx 2,17$ mg/L: de acolo încolo scăderea începe să se domolească. Cum $\underset{t\to +\infty }{\lim }c(t)=0$, dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală.

Citirea medicală: medicamentul își atinge efectul maxim după o oră, iar concentrația scade apoi spre zero fără să ajungă vreodată exact la zero în model — motiv pentru care dozele se repetă la intervale fixe. Toate valorile sunt pozitive, cum trebuie să fie o concentrație.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Arătați că $f(x)\ge 1$, pentru orice număr real $x$. c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Rezolvare.

a) Derivăm funcția compusă, cu regula lanțului:

$$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

b) Pentru orice $x$ real avem $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1$ și, radicalul fiind crescător, $\sqrt{x^2+1}\ge \sqrt{1}=1$. Egalitatea are loc doar în $x=0$, unde $f(0)=1$ este chiar minimul funcției — lucru confirmat de semnul derivatei de la punctul a), care este cel al lui $x$.

c) Calculăm panta și ordonata:

$$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1,n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0.$$

Asimptota oblică spre $+\infty$ este deci dreapta $y=x$.

De la examen la lecție. Modelul oficial al probei M_șt-nat are la Subiectul al III-lea și o funcție cu radical, dar cu cerințe de calcul integral; cerințele de aici — o derivată, o inegalitate și o asimptotă — sunt de tipul celor din prima problemă, care are derivata, o limită și o inegalitate. Reține surpriza de la punctul c): o funcție cu radical poate avea asimptotă oblică, deși familia ei nu e cea a funcțiilor raționale. Compararea gradelor nu se aplică aici; asimptota se caută calculând cele două limite.

Să exersăm

Ordinea de lucru: familia și domeniul, capetele și asimptotele, derivatele și semnele lor, tabelul, desenul.

1. Precizează familia fiecărei funcții: $f(x)=x^3-2x$, $g(x)=\frac{x+1}{x-4}$, $h(x)=\sqrt{2x-6}$, $k(x)=3^x-1$.

2. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ și spune din câte intervale este format.

3. Câte asimptote verticale are graficul funcției $f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$?

4. Determină asimptota orizontală a graficului funcției $f(x)=\frac{7x-2}{2x+5}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție exponențială are asimptotă orizontală spre amândouă capetele."

6. Arată că funcția $f(x)=x^4-32x^2$ este pară și determină punctele ei de extrem.

7. (Problemă aplicată.) Intensitatea luminii care pătrunde într-un lichid, în lucși, la adâncimea $x$ metri, este $I(x)=120{\mathrm{e}}^{-0,5x}$, $x\ge 0$. Determină intensitatea la suprafață, monotonia funcției și asimptota orizontală, apoi explică ce înseamnă ea pentru adâncimile mari.

8. Determină punctul de minim al graficului funcției $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln (x+2)$, și ecuația asimptotei verticale.

9. Arată că graficul funcției $f(x)=\frac{20}{x^2+5}$ este simetric față de axa $Oy$ și determină-i valoarea maximă.

10. Determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f(x)=x^3+6x^2+1$ și intervalele de convexitate.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-2}{x+4}$. Determină ecuațiile asimptotelor graficului funcției $f$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}$. Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{2-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}$ și determină punctul de maxim al graficului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x$. Arată că $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2$ și determină punctul de minim al graficului.

14. Arată că dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1}$.

15. Scrie, pentru fiecare dintre cele patru familii, ce pas al schemei în șapte pași iese cel mai scurt și de ce.

16. Determină punctul în care graficul funcției $f(x)=\ln \left(x^2+25\right)$ are tangentă orizontală.

17. Spune, pentru fiecare familie, dacă graficul poate avea asimptotă verticală și motivează într-o propoziție.

18. (Provocare.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$. Arată că funcția este pară, că dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală și că graficul nu o taie niciodată, apoi determină valoarea minimă a funcției.

Răspunsuri și explicații

1. $f$ este polinomială; $g$ este rațională; $h$ este cu radical; $k$ este exponențială.

2. Condiția $x^2-9\ge 0$ dă $D=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$, adică două intervale; graficul va avea două ramuri, fiecare cu un capăt închis.

3. Numitorul se anulează în $-3$ și în $3$, iar numărătorul nu se anulează în niciunul dintre ele, deci graficul are două asimptote verticale.

4. Gradele fiind egale, asimptota este orizontala egală cu raportul coeficienților dominanți: $y=\frac{7}{2}$.

5. Fals. Funcția $f(x)={\mathrm{e}}^x$ are asimptota $y=0$ numai spre $-\infty$; spre $+\infty$ ea crește nemărginit, deci acolo nu există nicio asimptotă orizontală.

6. $f(-x)=(-x{)}^4-32(-x{)}^2=x^4-32x^2=f(x)$, deci funcția este pară. Din $f^{\prime }(x)=4x^3-64x=4x(x-4)(x+4)$ rezultă minimele $(-4,-256)$ și $(4,-256)$ și maximul local $(0,0)$.

7. $I(0)=120$ lucși. Derivata $I^{\prime }(x)=-60{\mathrm{e}}^{-0,5x}<0$, deci intensitatea scade cu adâncimea. Cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }I(x)=0$, dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală: în model, lumina slăbește oricât de mult, dar nu dispare complet — la adâncimi mari valorile sunt neglijabile, deși pozitive.

8. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}$, negativă pe $(-2,-1)$ și pozitivă pe $(-1,+\infty )$, deci punctul de minim este $(-1,-1)$, pentru că $f(-1)=-1-\ln 1=-1$. Cum $f(x)\to +\infty$ când $x\to -2$ la dreapta, dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală.

9. $f(-x)=\frac{20}{(-x{)}^2+5}=f(x)$, deci graficul este simetric față de axa $Oy$. Numitorul este minim pentru $x=0$, deci fracția este maximă acolo: $f(0)=4$.

10. $f^{\prime \prime }(x)=6x+12$, care se anulează în $-2$ și își schimbă semnul. Cum $f(-2)=-8+24+1=17$, punctul de inflexiune este $(-2,17)$; funcția este concavă pe $(-\infty ,-2)$ și convexă pe $(-2,+\infty )$.

11. Numitorul se anulează în $-4$, unde numărătorul valorează $-22\ne 0$, deci $x=-4$ este asimptotă verticală. Gradele fiind egale, $y=5$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele.

12. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}=\frac{2-\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}$. Derivata este pozitivă pentru $\sqrt{x}<2$ și negativă după, deci maximul se atinge în $x=4$, iar punctul este $(4,1)$.

13. $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2$, negativă pentru ${\mathrm{e}}^x<2$ și pozitivă după, deci punctul de minim are abscisa $x=\ln 2$ și ordonata $f(\ln 2)=2-2\ln 2$.

14. $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x(x+1)}=1$, iar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+2x+3}{x+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+3}{x+1}=1$. Asimptota oblică este deci $y=x+1$. Se vede și din scrierea $f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}$, în care restul se stinge la infinit.

15. La familia polinomială iese gol pasul $2$: nu există asimptote. La familia rațională este cel mai bogat, tot pasul $2$. La familia cu radical, pasul $1$ este cel mai lung, din cauza condiției de existență, iar pasul $2$ se reduce la capete finite. La exponențială și logaritm, pasul $2$ are un singur capăt interesant.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+25}$ se anulează numai pentru $x=0$, iar $f(0)=\ln 25=2\ln 5$. Punctul este $(0,2\ln 5)$.

17. Polinomială: nu, este definită peste tot. Rațională: da, în zerourile numitorului care nu anulează numărătorul. Cu radical: rar, doar dacă radicalul stă la numitor. Exponențială: nu; logaritm: da, în capătul $0$ al domeniului.

18. $f(-x)=\frac{(-x{)}^2-1}{(-x{)}^2+1}=f(x)$, deci funcția este pară. Scriind $f(x)=1-\frac{2}{x^2+1}$, se vede că $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=1$, deci $y=1$ este asimptotă orizontală. Egalitatea $f(x)=1$ ar cere $\frac{2}{x^2+1}=0$, imposibil, deci graficul nu taie asimptota. Fracția scăzută este maximă pentru $x=0$, deci valoarea minimă este $f(0)=-1$.

De reținut

• Cele patru familii de la examen sunt: polinomială, rațională, cu radical, cu exponențială sau logaritm; recunoașterea familiei spune dinainte ce domeniu, ce capete și ce asimptote se pot ivi.
• O funcție polinomială de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă, iar graficul ei are o singură ramură; o funcție rațională are atâtea ramuri câte intervale are domeniul.
• La familia rațională, tipul asimptotei de la capete se citește comparând gradele; spre un capăt nu pot sta amândouă, ci ori una orizontală, ori una oblică.
• La familia cu radical, domeniul poate fi mărginit, iar graficul are capete în care curba se oprește, adesea cu semitangentă verticală.
• Exponențiala dă o asimptotă orizontală spre un singur capăt, logaritmul dă o asimptotă verticală în capătul $0$; monotonia unei expresii care le conține se decide tot din semnul derivatei.

Greșeli frecvente

• Cauți asimptote la o funcție polinomială. La gradul cel puțin $2$ nu există niciuna: pasul rămâne gol, iar asta se scrie în rezolvare. Un minut petrecut calculând $\lim \frac{f(x)}{x}$ pentru un polinom de gradul al treilea este un minut pierdut.
• Uiți condiția de existență la radical. Domeniul este primul lucru care deosebește familia a treia; fără el desenezi o curbă care iese din zona în care funcția există. Graficul se oprește în capătul închis, fără săgeată de continuare.
• Crezi că o funcție cu exponențială este mereu crescătoare. Exponențiala singură este, dar $(x-2){\mathrm{e}}^x$ scade pe $(-\infty ,1)$. Familia dă asimptota, nu monotonia; aceasta se determină tot din semnul derivatei.
• Cauți asimptota orizontală a exponențialei la amândouă capetele. Ea apare numai spre capătul în care puterea se apropie de zero. Spre celălalt, funcția crește nemărginit, iar scrierea unei asimptote acolo este o afirmație falsă.
• Aplici rețeta unei familii la alta. Compararea gradelor este o regulă a funcțiilor raționale; pentru $\sqrt{x^2+1}$ ea nu spune nimic, deși funcția are asimptotă oblică. Când familia se schimbă, se revine la cele două limite din definiție.

Aplică acasă

1. Cartea de identitate a celor patru familii. Ia o foaie A4 și împarte-o în patru casete. În fiecare scrie forma generală a familiei, domeniul, ce se întâmplă la capete, ce asimptote pot apărea, și desenează un reprezentant. Ține foaia la vedere o săptămână și folosește-o ca listă de verificare la primele cinci funcții pe care le studiezi.

2. Sortare contra cronometru. Alege douăsprezece funcții dintr-o culegere și încearcă să le pui în familii în treizeci de secunde, fără să scrii nimic. Notează separat funcțiile care par să aparțină la două familii deodată, cum este $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$, și hotărăște, pentru fiecare, care parte dă restricția cea mai tare.

3. Ceaiul și familia a patra. Măsoară temperatura unei căni de ceai fierbinte din trei în trei minute, jumătate de oră, și desenează graficul. Verifică două lucruri: dacă valorile se apropie de o orizontală — temperatura camerei — și dacă arcul este convex. Ai obținut, cu un termometru, tiparul unei funcții din familia exponențială.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: „Reprezentarea grafică a funcțiilor" este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", în vreme ce programa nouă a clasei a XI-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) se oprește la tabelul de variație și cere doar coroborarea lui cu reprezentări grafice obținute digital. Lista funcțiilor pe care se lucrează este tot din programa de examen, la capitolul de limite: gradul I, gradul al doilea, funcția putere și funcția radical cu $n=2,3$, exponențiala, logaritmul și raportul a două funcții de grad cel mult $2$. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde locul firesc al temei este Subiectul al III-lea, prima problemă; modelul oficial publicat pentru proba M_șt-nat are acolo o funcție cu exponențială, cu cerințe de derivată, de limită și de inegalitate, fără desen; funcția cu radical apare în a doua problemă, cu cerințe de calcul integral. Forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Împărțirea pe familii nu este o clasificare de dragul clasificării, ci o economie de timp măsurabilă: la o probă de trei ore, elevul care știe că o funcție polinomială nu are asimptote nu mai calculează două limite inutile, iar cel care vede radicalul scrie condiția de existență înaintea oricărei derivate. Lecția verifică patru lucruri: (1) recunoașterea familiei din expresie; (2) scrierea domeniului, cu condiția de existență acolo unde e cazul; (3) alegerea asimptotelor pe care are rost să le caute; (4) respectarea capetelor închise la desen. Întrebări de control: „Din ce familie face parte și de unde știi?"; „Câte ramuri va avea graficul?"; „Ce asimptote nu pot exista aici?"; „Unde se oprește curba?". Semn că a înțeles: primul lucru pe care îl rostește, la o funcție necunoscută, este numele familiei. Tema încheie suplimentul de clasa a XI-a, care se deschide cu sistemele rezolvate cu matricea inversă.

Întrebări frecvente

Care sunt cele patru familii de funcții de la bacalaureatul M2? Polinomialele, funcțiile raționale, funcțiile cu radical și cele cu exponențială sau logaritm. Ele acoperă exact lista din programa de examen: gradul I, gradul al doilea, funcția putere și funcția radical cu $n=2,3$, exponențiala, logaritmul și raportul a două funcții de grad cel mult $2$.

Cum arată graficul unei funcții raționale? Are atâtea ramuri câte intervale are domeniul, despărțite de verticalele din zerourile numitorului care nu anulează și numărătorul. Spre fiecare capăt infinit apare o singură dreaptă de apropiere, orizontală sau oblică, iar care dintre ele se află comparând gradul numărătorului cu gradul numitorului. Desenul se face ramură cu ramură.

Care este diferența față de mate-info (M1) la această temă? La M1 tema apare în clasa a XII-a și este tratată familie cu familie, cu o lecție întreagă doar pentru funcțiile raționale. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: graficul funcțiilor raționale intră în cazuri pe care programa de științe ale naturii nu le cere, cum sunt numărătorii de grad mare. La M2 cele patru familii se strâng într-o singură lecție, pe lista de funcții a examenului.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, prima problemă, cea de studiu al funcțiilor cu derivate. Cerințele sunt aceleași pentru toate familiile: verificarea unei derivate, determinarea unei asimptote sau a monotoniei, demonstrarea unei inegalități. În modelul oficial publicat apar o funcție cu exponențială, la prima problemă, și una cu radical, la a doua.

Poate o funcție cu radical să aibă asimptotă oblică? Da. Funcția $\sqrt{x^2+1}$ are asimptota $y=x$ spre $+\infty$, deși nu este rațională. Compararea gradelor nu se aplică în afara familiei raționale; asimptota se caută calculând panta ca limită a raportului $\frac{f(x)}{x}$ și apoi ordonata ca limită a diferenței. Spre $-\infty$ aceeași funcție are altă asimptotă oblică, dreapta $y=-x$, așa că cele două capete se studiază separat.

De ce graficul unei funcții cu radical se oprește brusc? Pentru că domeniul are un capăt: expresia de sub radical devine negativă dincolo de el, iar funcția nu mai există. În desen, curba se termină într-un punct, fără săgeată de continuare, iar dacă funcția nu este derivabilă în capăt, arcul pleacă cu semitangentă verticală.

Cum recunosc familia unei funcții care le amestecă? Te uiți care parte a expresiei restrânge cel mai mult domeniul. Un radical la numărător impune condiția lui de existență, un numitor impune anularea lui, iar o exponențială nu impune nimic. Funcția se tratează după piesa cea mai restrictivă, iar tiparele celorlalte familii rămân doar orientative.