Graficul funcției putere: monotonie: pe scurt

Pe $(0,+\infty )$, funcția putere $f(x)=x^{\alpha }$ ia doar valori pozitive și se studiază complet: monotonia depinde doar de semnul lui $\alpha$ — strict crescătoare pentru $\alpha >0$, strict descrescătoare pentru $\alpha <0$, constantă pentru $\alpha =0$. Demonstrația trece prin raportul $t=\frac{x_2}{x_1}>1$ și lema $t^{\alpha }>1$ pentru $\alpha >0$.

Pentru $\alpha \ne 0$, funcția este bijectivă pe $(0,+\infty )$, cu inversa $f^{-1}(y)=y^{1/\alpha }$ — de aceea ecuația $x^{\alpha }=b$, cu $b>0$, are exact o soluție pozitivă.

Compararea puterilor cu același exponent: la $\alpha >0$ ordinea bazelor se păstrează (baza mai mare dă puterea mai mare), la $\alpha <0$ se răstoarnă. Radicalii de ordine diferite se compară aducându-i la exponent comun — numitorul comun al exponenților lor de tip $1/n$ — apoi comparând radicandele.

Toate graficele trec prin $(1,1)$; pe $(1,+\infty )$, exponentul mai mare urcă mai sus, pe $(0,1)$ coboară mai jos. Greșeli frecvente: confuzia funcției putere cu cea exponențială (variabila stă în bază, nu la exponent), aplicarea regulii de comparare la exponenți diferiți fără a-i egaliza întâi, și uitarea răsturnării sensului la exponent negativ.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $(0,+\infty )$, funcția $f(x)=x^{\alpha }$ este strict crescătoare dacă:

   • a) $\alpha >0$
   • b) $\alpha =0$
   • c) pentru orice $\alpha$
   • d) $\alpha <0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\alpha >0$

   Monotonia depinde doar de semnul exponentului: pozitiv înseamnă strict crescătoare pe $(0,+\infty )$.

2. Inversa funcției $f(x)=x^{\alpha }$ (pe $(0,\infty )$, $\alpha \ne 0$) este:

   • a) $f^{-1}(y)=\alpha y$
   • b) $f^{-1}(y)=y^{1/\alpha }$
   • c) $f^{-1}(y)=y^{\alpha }$
   • d) $f^{-1}(y)=y^{-\alpha }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f^{-1}(y)=y^{1/\alpha }$

   Din bijectivitate, inversa funcției putere este tot o funcție putere, cu exponentul răsturnat: $y^{1/\alpha }$.

3. Toate graficele funcțiilor putere (pe $(0,\infty )$) trec prin punctul:

   • a) $(0,0)$
   • b) $(1,0)$
   • c) $(1,1)$
   • d) $(0,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(1,1)$

   $1^{\alpha }=1$ pentru orice $\alpha$, deci toate graficele funcțiilor putere trec prin $(1,1)$.