Funcția $$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{-0{,}2}$$, este:

crescătoare pe $$(0;1)$$ și descrescătoare pe $$(1;+\infty)$$

Cum arată graficul funcției $$x\mapsto x^{0{,}9}$$ pe $$(0,+\infty)$$?

coboară de lângă axa verticală

Ce formă are graficul lui x la puterea alfa?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Graficul funcției putere

Pe $(0, + \infty)$ toate curbele $y = x^{α}$ trec prin $(1, 1)$ , iar forma depinde de exponent. Pentru $α > 1$ curba pleacă turtită de lângă origine și urcă tot mai abrupt; pentru $0 < α < 1$ urcă repede, apoi tot mai domol; pentru $α < 0$ coboară dinspre axa verticală spre cea orizontală. Exemplu în $x = 4$ : $4^{2} = 16$ , $4^{0, 5} = 2$ , $4^{- 1} = 0, 25$ . Semnul lui $α$ decide monotonia: crescătoare pentru $α > 0$ , descrescătoare pentru $α < 0$ .

Pe numerele strict pozitive, curba lui $x \mapsto x^{α}$ conține mereu punctul $(1; 1)$ și nu atinge axele. Aspectul ei ține de exponent. Cu $α > 1$ pleacă turtită de lângă origine și apoi urcă tot mai abrupt; cu $0 < α < 1$ urcă repede la început și apoi se domolește; cu $α < 0$ coboară din zona înaltă, aproape de axa verticală, apropiindu-se treptat de axa orizontală. Pentru $α = 1$ obții bisectoarea, iar pentru $α = 0$ orizontala $y = 1$ .

Semnul exponentului spune dacă funcția crește sau scade: crește pentru exponent pozitiv, scade pentru exponent negativ. Pe două numere, raportul $(\frac{x _{2}}{x _{1}})^{α}$ față de $1$ confirmă ce arată desenul, fără să fie însă o demonstrație.

Când compari două curbe, contează partea: la dreapta abscisei $1$ e mai sus curba cu exponent mai mare, la stânga ei cea cu exponent mai mic, fie exponenții pozitivi, fie negativi. Într-un model din biologie, de exemplu frecvența cardiacă exprimată ca putere negativă a masei, curba care coboară arată că inima animalelor mari bate mai rar.

De reținut

toate curbele $y = x^{α}$ trec prin $(1, 1)$
$α > 0$ : crescătoare; $α < 0$ : descrescătoare
după $1$ e mai sus exponentul mai mare, înainte de $1$ exponentul mai mic

Greșeala tipică

Se crede că o putere mai mare dă mereu o valoare mai mare; pentru $x = \frac{1}{4}$ , $x^{2} = \frac{1}{16}$ este mai mic decât $x^{0, 5} = \frac{1}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{- 0, 2}$ , este:
- a) strict crescătoare
- b) strict descrescătoare
- c) constantă
- d) crescătoare pe $(0; 1)$ și descrescătoare pe $(1; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) strict descrescătoare

Exponentul $- 0, 2$ este negativ, deci graficul coboară pe tot intervalul. Control: $2^{- 0, 2} \approx 0, 871$ și $3^{- 0, 2} \approx 0, 803$ .
Cum arată graficul funcției $x \mapsto x^{0, 9}$ pe $(0, + \infty)$ ?
- a) coboară de lângă axa verticală
- b) urcă îndoindu-se în sus
- c) urcă îndoindu-se în jos
- d) este orizontala $y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) urcă îndoindu-se în jos

Exponentul $0, 9$ este între $0$ și $1$ : curba urcă, dar tot mai domol, ca radicalul. Fiind aproape de $1$ , curba e aproape de bisectoare.
Pe intervalul $(0; 1)$ , care dintre graficele funcțiilor $x \mapsto x^{0, 25}$ și $x \mapsto x^{3}$ este deasupra?
- a) graficul lui $x^{3}$
- b) graficul lui $x^{0, 25}$
- c) graficele coincid
- d) depinde de punct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) graficul lui $x^{0, 25}$

Pentru $0 < x < 1$ curba cu exponentul mai mic este deasupra. De exemplu, în $x = \frac{1}{16}$ : $(\frac{1}{16})^{0, 25} = \frac{1}{2}$ , iar $(\frac{1}{16})^{3} = \frac{1}{4096}$ .

Întrebări conexe

Care curbă putere este deasupra pe intervalul $(0, 1)$ ?

Între $0$ și $1$ curba cu exponentul mai mic este deasupra, invers față de ce se întâmplă după $1$ . De exemplu, în $x = \frac{1}{4}$ : $(\frac{1}{4})^{0, 5} = \frac{1}{2}$ , iar $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ . În $x = 4$ ordinea se inversează: $2 < 16$ .

Cum depinde frecvența cardiacă a mamiferelor de masă ca lege de putere?

Un model folosit în biologie este $f = c \cdot M^{- 0, 25}$ , cu exponent negativ, deci curba coboară: animalele mai grele au inima mai lentă. Un animal de $16$ ori mai greu are frecvența înmulțită cu $1 6^{- 0, 25} = \frac{1}{2}$ , adică bate de două ori mai rar.

Care e cea mai mică valoare a funcției $x^{- 1, 5}$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$ ?

Exponentul este negativ, deci funcția scade pe tot intervalul, iar cea mai mică valoare este în capătul drept: $4^{- 1, 5} = \frac{1}{4 ^{1, 5}} = \frac{1}{8}$ . Cea mai mare este în capătul stâng: $(\frac{1}{4})^{- 1, 5} = 4^{1, 5} = 8$ .

Cum verific pe două numere că funcția $x^{- 0, 5}$ scade?

Compari valorile în două puncte, de exemplu $4$ și $9$ : $4^{- 0, 5} = \frac{1}{2}$ și $9^{- 0, 5} = \frac{1}{3}$ . Argumentul a crescut, valoarea a scăzut, iar raportul $(\frac{9}{4})^{- 0, 5} = \frac{2}{3}$ este sub $1$ . Verificarea confirmă desenul, dar nu ține loc de demonstrație.

Unde se intersectează graficele funcțiilor $x^{2}$ și $x^{- 1}$ pe $(0, + \infty)$ ?

Rezolvi $x^{2} = \frac{1}{x}$ , adică $x^{3} = 1$ , deci $x = 1$ . Singurul punct comun este $(1, 1)$ , prin care trec toate curbele putere. La stânga lui $1$ , $x^{- 1}$ este deasupra, iar la dreapta, $x^{2}$ . Proba în $x = 2$ : $4 > \frac{1}{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: graficul funcției putere după exponent · cum arată graficul lui x la alfa · forma graficului funcției putere · monotonia funcției putere pe grafic

Ce formă are graficul lui x la puterea alfa?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care curbă putere este deasupra pe intervalul (0,1)?

Cum depinde frecvența cardiacă a mamiferelor de masă ca lege de putere?

Care e cea mai mică valoare a funcției x−1,5 pe [41​,4]?

Cum verific pe două numere că funcția x−0,5 scade?

Unde se intersectează graficele funcțiilor x2 și x−1 pe (0,+∞)?

Continuă cu

Care curbă putere este deasupra pe intervalul $(0, 1)$ ?

Care e cea mai mică valoare a funcției $x^{- 1, 5}$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$ ?

Cum verific pe două numere că funcția $x^{- 0, 5}$ scade?

Unde se intersectează graficele funcțiilor $x^{2}$ și $x^{- 1}$ pe $(0, + \infty)$ ?