Cum aflu ziua săptămânii cu resturi modulo 7?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Clasele de resturi

Obiectul. Clasa $\hat{a}$ modulo $n$ adună într-un singur obiect toate numerele întregi cu același rest ca $a$, luat față de $n$; ea e o mulțime de numere, nu un număr. Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}\}$ are exact $n$ elemente, iar două scrieri ajung la aceeași clasă tocmai când diferența reprezentanților se împarte exact la $n$.

Reducerea. Ca să aduci o scriere $\hat{k}$ printre cele $n$ clase, împarți $k$ la $n$ și reții restul; restul nu e niciodată negativ, așa că din $-53=32\cdot (-2)+11$ iese clasa $\widehat{11}$ în ${\mathbb{Z}}_{32}$, nu ceva cu minus.

Structura. Adunarea $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ nu depinde de reprezentanții aleși, iar $({\mathbb{Z}}_n,+)$ e grup comutativ: mutarea parantezelor și schimbarea literelor vin gata dovedite dinspre întregi, neutrul lui e $\hat{0}$, iar opusul se scrie $-\hat{a}=\widehat{n-a}$, cu proba imediată — suma reprezentanților dă chiar modulul.

Greșelile. Se numără cu unul în plus, se lasă un reprezentant negativ nereduse și se crede că tabla dovedește mutarea parantezelor; ea leagă însă numai două clase. Pe modul îl scrii o singură dată, la începutul rezolvării, și rămâne acolo până la capăt.

De reținut

• $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ, cu neutrul $\hat{0}$
• opusul lui $\hat{a}$ este $\widehat{n-a}$
• $\hat{a}=\hat{b}$ exact când $n$ divide $a-b$

Greșeala tipică

Se scrie opusul lui $\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ ca $\widehat{-2}$ și se lasă așa; clasa se aduce între $\hat{0}$ și $\hat{6}$, deci opusul este $\hat{5}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ${\mathbb{Z}}_{32}$, clasa $\widehat{-53}$ este:

   • a) $\widehat{11}$
   • b) $\widehat{21}$
   • c) $\widehat{27}$
   • d) $\hat{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\widehat{11}$

   Împărțim cu rest: $-53=32\cdot (-2)+11$, iar restul $11$ este în $\{0,1,\dots ,31\}$, deci $\widehat{-53}=\widehat{11}$. Controlul cu criteriul de egalitate: $-53-11=-64=32\cdot (-2)$. Pentru celelalte variante diferențele $-53-21=-74$, $-53-27=-80$ și $-53-5=-58$ nu se divid cu $32$.

2. Numerele $97$ și $161$ dau aceeași clasă în ${\mathbb{Z}}_n$ pentru:

   • a) $n=27$
   • b) $n=32$
   • c) $n=34$
   • d) $n=39$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $n=32$

   Criteriul cere ca $n$ să dividă diferența $161-97=64$. Dintre valorile date, numai $32$ o divide: $64=32\cdot 2$. Control: $97=32\cdot 3+1$ și $161=32\cdot 5+1$, deci ambele clase sunt $\hat{1}$. Pentru $27$, $34$ și $39$ împărțirea lui $64$ lasă resturile $10$, $30$, respectiv $25$.

3. În $({\mathbb{Z}}_{39},+)$, opusul clasei $\widehat{25}$ este:

   • a) $\widehat{25}$
   • b) $\widehat{14}$
   • c) $\widehat{11}$
   • d) $\widehat{24}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\widehat{14}$

   Din formula opusului, $-\widehat{25}=\widehat{39-25}=\widehat{14}$, cu proba $25+14=39$, deci $\widehat{25}+\widehat{14}=\widehat{39}=\hat{0}$. Pentru celelalte: $25+25=50$ dă $\widehat{11}$, $25+11=36$ dă $\widehat{36}$, iar $25+24=49$ dă $\widehat{10}$ — niciuna nu e clasa nulă.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: ziua săptămânii cu resturi modulo 7 · ce zi va fi peste 100 de zile · clase de resturi modulo 7 exemplu · calendarul și clasele de resturi