Ce este clasa de resturi a modulo n?

Este mulțimea tuturor numerelor întregi care dau același rest ca a la împărțirea cu n, adică a = a + kn | k ∈ ℤ. În ℤ₁₅, clasa 7 conține numerele 7, 22, 37, dar și -8. Clasele distincte sunt exact n la număr și formează mulțimea ℤₙ.

Câte elemente are ℤₙ și cum se scriu ele?

Are exact n elemente: 0, 1, până la n-1. Nu există o clasă n nouă, pentru că n dă restul 0, deci n = 0. Notația este cu căciulă deasupra, iar pentru expresii mai lungi se folosește căciula lungă, ca în n-a.

Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O fermă lucrează patru parcele și schimbă cultura de pe fiecare în fiecare an, după o listă fixă care se reia din patru în patru ani. Ca să afli ce se seamănă pe o parcelă în al șaptesprezecelea an, nu numeri șaptesprezece pași: împarți $17$ la $4$ și te uiți la rest. Toate numerele care dau același rest duc la același răspuns, deci ele pot fi strânse laolaltă și tratate ca un singur obiect. Din gestul acesta — a înlocui un număr întreg cu restul lui — se naște una dintre cele mai curate structuri algebrice din matematica de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2): mulțimea claselor de resturi, luată împreună cu adunarea. Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen, cea aprobată prin OMEN 4430/2014, cere la elementele de algebră rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ ", în timp ce programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai conține deloc structurile algebrice. Cu alte cuvinte: dacă dai examenul în una dintre cele trei sesiuni, tema aceasta intră în programa ta de examen, deși nu o găsești în manualul după programa nouă. Spre deosebire de profilul matematică-informatică, unde clasele de resturi ocupă trei lecții, aici se învață o singură dată și numai cu adunarea — atât cere rândul de programă de mai sus.

Ce vei învăța

Vei ști ce este clasa de resturi $\overset{a}{^}$ modulo $n$ și de ce ea este o mulțime de numere întregi, nu un număr.
Vei ști să reduci orice clasă la una dintre cele $n$ clase ale lui $Z_{n}$ , inclusiv când pornești de la un număr negativ.
Vei ști să aduni două clase și să explici de ce rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși.
Vei ști să scrii tabla adunării pentru module mici și să citești din ea elementul neutru, opusele și comutativitatea.
Vei ști să parcurgi cele patru condiții care fac din $(Z_{n}, +)$ un grup comutativ și să spui, la fiecare, de unde vine proprietatea.
Vei ști să lucrezi fără tablă, pentru module mari, folosind formula opusului $- \overset{a}{^} = n - a$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o clasă de resturi?

Întoarce-te la ferma cu patru parcele. Anii $1$ , $5$ , $9$ , $13$ , $17$ dau toți restul $1$ la împărțirea cu $4$ , deci pe fiecare parcelă se seamănă, în toți acești ani, aceeași cultură; anii $2$ , $6$ , $10$ , $14$ formează o a doua grupă, anii $3$ , $7$ , $11$ , $15$ o a treia, iar cei cu restul $0$ o a patra. Nu există an care să rămână pe dinafară și niciunul care să intre în două grupe deodată, pentru că teorema împărțirii cu rest dă, pentru fiecare număr întreg, un singur rest din mulțimea ${0, 1, 2, 3}$ — câtul și restul sunt cele din Partea întreagă și partea fracționară. Grupele acestea poartă un nume pe care l-ai întâlnit deja: la Legea de compoziție internă și tabla operației ele au apărut pentru modulul $3$ , ca prim exemplu de lege internă pe o mulțime mică. Reluăm construcția, acum pentru un modul oarecare, fiindcă de aici încolo interesează structura, nu operația.

Clasa de resturi a numărului întreg $a$ modulo $n$ (cu $n$ natural, $n \geq 2$ ) este mulțimea tuturor numerelor întregi care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$ ; se notează $\overset{a}{^}$ și se scrie $\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}$ . Mulțimea tuturor claselor se notează $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ și are exact $n$ elemente.

Reține deosebirea, fiindcă de ea depinde restul lecției: $\overset{a}{^}$ nu e un număr, ci o mulțime de numere. În $Z_{4}$ , clasa $\hat{1}$ este ${\dots, - 7, - 3, 1, 5, 9, 13, 17, \dots}$ , iar anul $17$ nu e „egal cu $1$ ": el aparține aceleiași clase. Căciula nu se amestecă niciodată cu bara de deasupra, rezervată altor înțelesuri.

De aici iese criteriul care hotărăște când două scrieri arată aceeași clasă:

$\overset{a}{^} = \hat{b} ⟺ n divide a - b .$

Două numere dau același rest exact când diferența lor se împarte exact la $n$ . Criteriul e util mai ales invers: ca să arăți că două clase diferă, ajunge să constați că diferența reprezentanților nu se divide cu $n$ .

Mai reține un lucru despre notație: simbolul $\hat{7}$ nu spune nimic dacă nu ai precizat modulul — aceeași scriere arată mulțimi diferite în module diferite. De aceea modulul se anunță o dată, la începutul rezolvării, și se ține până la capăt.

2. Cum aduni două clase și de ce rezultatul e bine definit?

Definiția e cea pe care ți-o sugerează bunul-simț: aduni reprezentanții și iei clasa sumei.

$\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b .$

Aici apare însă o întrebare care nu se pune la numere: fiecare clasă are o infinitate de reprezentanți, iar noi alegem câte unul. Ce ne asigură că un coleg care alege alți reprezentanți obține aceeași clasă?

Ia, în $Z_{4}$ , clasele $11$ și $\hat{6}$ . Eu aleg reprezentanții $11$ și $6$ și obțin $11 + 6 = 17$ , adică — împărțind $17$ la $4$ — clasa $\hat{1}$ . Colegul observă că $11 = \hat{3}$ și $\hat{6} = \hat{2}$ , adună $3$ cu $2$ și obține $\hat{5}$ , adică tot $\hat{1}$ . Același rezultat, deși drumurile au fost diferite.

Nu e o coincidență, iar la modulul $3$ ai văzut deja motivul, în lecția $46$ ; îl scriem acum pentru un $n$ oarecare. Dacă $\overset{a}{^} = a^{'}$ și $\hat{b} = b^{'}$ , atunci $n$ divide pe $a - a^{'}$ și pe $b - b^{'}$ , deci divide și suma lor, adică $(a + b) - (a^{'} + b^{'})$ . După criteriul de la punctul $1$ , asta înseamnă exact $a + b = a^{'} + b^{'}$ . Adunarea claselor este așadar bine definită: rezultatul depinde de clase, nu de reprezentanții aleși pentru ele.

Proprietatea aceasta e motivul pentru care, în practică, ai voie să reduci oricând: poți aduna întâi și reduce după, sau invers. Reducerea cât mai devreme e drumul mai scurt și cu mai puține greșeli de aritmetică.

3. Ce se vede în tabla adunării din $Z_{4}$ ?

Pentru module mici, toată operația încape într-un tabel cu $n$ linii și $n$ coloane, în care la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă $x + y$ . Pentru $n = 4$ arată așa:

$+$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$

Primul lucru care se citește este elementul neutru: linia clasei $\hat{0}$ repetă antetul, iar coloana ei repetă prima coloană. Al doilea sunt opusele: cauți $\hat{0}$ în interiorul tablei și notezi perechile care îl dau, aici $\hat{1}$ cu $\hat{3}$ ; clasele $\hat{0}$ și $\hat{2}$ îl dau compunându-se cu ele însele. Al treilea este comutativitatea: tabla e simetrică față de diagonala principală.

Mai sunt însă două lucruri de observat, pe care mulți elevi le ratează și care scurtează mult lucrul.

Fiecare rând este rândul dinaintea lui, deplasat cu o poziție la stânga. Rândul lui $\hat{1}$ continuă $\hat{2}, \hat{3}, \hat{0}$ , iar rândul lui $\hat{2}$ continuă $\hat{3}, \hat{0}, \hat{1}$ — firesc, fiindcă a trece de la o linie la următoarea înseamnă a aduna $\hat{1}$ la fiecare celulă. Consecința practică: scrii un singur rând corect, iar restul tablei îl obții deplasând.

Pe fiecare antidiagonală stă o singură clasă. Antidiagonalele merg din dreapta-sus spre stânga-jos; pe o astfel de linie suma $x + y$ este constantă, deci toate celulele ei poartă aceeași clasă. E o verificare de control rapidă: dacă pe o antidiagonală apar două clase diferite, ai greșit o celulă.

4. De ce este $(Z_{n}, +)$ grup comutativ?

Verificăm cele patru condiții pe $n$ oarecare, fără să ne sprijinim pe vreo tablă. Fiecare pas se reazemă pe o proprietate deja cunoscută a adunării numerelor întregi — aceasta e ideea de fond a demonstrației.

Pasul 0 — legea este internă. Suma $a + b$ este, prin construcție, tot o clasă modulo $n$ . Deci adunarea duce orice pereche de elemente din $Z_{n}$ tot într-un element din $Z_{n}$ .

Pasul 1 — asociativitatea. Pentru orice trei clase,

$(\overset{a}{^} + \hat{b}) + \overset{c}{^} = (a + b) + c = a + (b + c) = \overset{a}{^} + (\hat{b} + \overset{c}{^}),$

egalitatea din mijloc fiind chiar asociativitatea adunării numerelor întregi. Nu se demonstrează nimic nou: proprietatea se moștenește.

Pasul 2 — elementul neutru. $\overset{a}{^} + \hat{0} = a + 0 = \overset{a}{^}$ și, la fel, $\hat{0} + \overset{a}{^} = \overset{a}{^}$ . Deci $e = \hat{0}$ .

Pasul 3 — opusul. Pentru o clasă $\overset{a}{^}$ cu $1 \leq a \leq n - 1$ , luăm clasa $n - a$ și calculăm $\overset{a}{^} + n - a = \overset{n}{^} = \hat{0}$ , fiindcă $n$ se divide cu $n$ . Clasa $\hat{0}$ se compune cu ea însăși și dă $\hat{0}$ . Prin urmare orice clasă are opus, iar formula lui este

$- \overset{a}{^} = n - a .$

În fine, comutativitatea: $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b = b + a = \hat{b} + \overset{a}{^}$ .

Toate condițiile sunt îndeplinite, deci $(Z_{n}, +)$ este grup comutativ, cu $card Z_{n} = n$ . Numele simetricului urmează notația legii: la o lege scrisă cu semnul $+$ el se cheamă opus și poartă minusul, $- \overset{a}{^}$ , la fel ca la numere. Și încă o grijă de scriere: perechea se scrie întreagă, „grupul aditiv $(Z_{n}, +)$ ", fiindcă pe aceeași mulțime încap și alte legi, cu alt rezultat.

5. Ce arată — și ce nu arată — tabla lui $Z_{6}$

Scriem tabla și pentru $n = 6$ , ca să vezi că cele două citiri noi de la punctul $3$ nu erau un accident al lui $4$ :

$+$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$
$\hat{4}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{5}$	$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$

Regula deplasării funcționează identic, iar antidiagonalele sunt din nou constante: pe cea care trece prin celula $(\hat{1}, \hat{3})$ stă peste tot $\hat{4}$ .

Acum partea care se uită cel mai des: tabla nu arată asociativitatea. O celulă leagă două clase, în timp ce asociativitatea leagă trei; pentru $n = 6$ ar însemna $6^{3} = 216$ de verificări, iar tabla are doar $36$ de celule. De aceea asociativitatea nu se „citește din tablă": ori se moștenește, cu justificarea scrisă, ori se demonstrează prin calcul. Tabla e bună pentru ce se citește dintr-o celulă, dintr-un rând sau dintr-o simetrie, și pentru nimic mai mult.

6. Cum lucrezi când modulul este mare?

Peste $n = 8$ tabla devine nepractică și se lucrează cu formule. Sunt trei gesturi.

Reducerea. Orice scriere $\hat{k}$ se aduce la una dintre cele $n$ clase împărțind $k$ la $n$ și păstrând restul. Atenție la numerele negative: restul unei împărțiri este întotdeauna în mulțimea ${0, 1, \dots, n - 1}$ , niciodată negativ. În $Z_{15}$ , din $- 23 = 15 \cdot (- 2) + 7$ rezultă $- 23 = \hat{7}$ — nu $- 8$ și nici $- 23$ lăsat așa.

Adunarea. Aduni reprezentanții și reduci o singură dată, la final.

Opusul. Folosești $- \overset{a}{^} = n - a$ . În $Z_{24}$ , opusul lui $\hat{7}$ e $17$ , cu proba imediată: $7 + 17 = 24$ .

Aceste trei gesturi acoperă tot ce cere rândul de programă citat mai sus: ce urmează la profilul matematică-informatică nu intră în programa de examen M2, care cere numai grupul aditiv.

7. La ce folosește în științe?

Modelul se potrivește oriunde o mărime se numără „până la un capăt și de la început". Caruselul unui analizor automat de laborator are $24$ de locașuri, numerotate de la $0$ la $23$ ; când brațul trece de ultimul, revine la primul. Dacă brațul e acum în locașul $19$ și mai are de făcut $17$ avansări de câte o poziție, locașul final se obține dintr-o singură adunare în $Z_{24}$ : $19 + 17 = 36 = 12$ . Deci brațul se oprește în locașul $12$ .

Merită observat și ce nu spune modelul: $Z_{24}$ descrie numai poziția, nu timpul scurs și nici dacă locașul e liber. Un model algebric răspunde la întrebarea pentru care a fost construit.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din tema aceasta?

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține la elementele de algebră rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ ". Rândul acesta e singura sursă care spune cât se cere: grupul aditiv, cu exemple; restul capitolului de la matematică-informatică nu are corespondent în el. Rândul se împarte, la noi, între trei lecții: grupurile numerice stau la Grupul: definiție și grupuri numerice, grupurile de matrice la Grupuri de matrice, iar clasele de resturi aici.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. La Subiectul al II-lea stau două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte; în modelul acela ele sunt una de calcul cu matrice și una despre un polinom, fără nicio structură algebrică. Un model publicat arată formatul probei, nu lista temelor fiecărei sesiuni: ce se poate cere vine din programă, iar programa are rândul citat mai sus. Cerințele din lecție sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O sumă în $Z_{15}$

Calculează $47 + 38$ în $(Z_{15}, +)$ , pe amândouă drumurile.

Rezolvare. Drumul întâi: adunăm reprezentanții, $47 + 38 = 85$ , apoi reducem: $85 = 15 \cdot 5 + 10$ , deci iese $10$ .

Drumul al doilea: reducem întâi. Din $47 = 15 \cdot 3 + 2$ avem $47 = \hat{2}$ , din $38 = 15 \cdot 2 + 8$ avem $38 = \hat{8}$ , iar $\hat{2} + \hat{8} = 10$ . Aceeași clasă — exact ce garantează buna definire.

Exemplul 2 — Opusele în $Z_{18}$

Determină opusele claselor $\hat{7}$ , $13$ și $\hat{0}$ în $(Z_{18}, +)$ .

Rezolvare. Aplicăm formula $- \overset{a}{^} = n - a$ cu $n = 18$ . Obținem $- \hat{7} = 18 - 7 = 11$ , apoi $- 13 = 18 - 13 = \hat{5}$ . Pentru clasa nulă, opusul este ea însăși: $- \hat{0} = \hat{0}$ .

Proba se face adunând: $7 + 11 = 18$ , deci $\hat{7} + 11 = 18 = \hat{0}$ ; la fel, $13 + 5 = 18$ . O sumă de reprezentanți egală cu modulul este semnul că ai găsit opusul.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Doi elevi lucrează în $Z_{15}$ . Primul scrie: „opusul clasei $\hat{5}$ este $- 5$ ". Al doilea scrie: „mulțimea $Z_{15}$ are $16$ elemente, de la $\hat{0}$ la $15$ ". Găsește greșeala fiecăruia.

Rezolvare. Primul elev nu greșește matematic, ci se oprește prea devreme. Este adevărat că $\hat{5} + - 5 = \hat{0}$ , dar răspunsul cerut este una dintre cele $15$ clase ale lui $Z_{15}$ , iar $- 5$ nu este scrisă în forma aceea. Reducem: $- 5 = 15 \cdot (- 1) + 10$ , deci $- 5 = 10$ , și acesta este răspunsul corect.

Al doilea elev numără cu unul în plus. Resturile împărțirii la $15$ sunt $0, 1, \dots, 14$ — cincisprezece valori, nu șaisprezece. Clasa $15$ există ca scriere, dar ea este chiar $\hat{0}$ , fiindcă $15$ se divide cu $15$ . Prin urmare $card Z_{15} = 15$ , iar ultima clasă distinctă este $14$ .

Exemplul 4 — Un afișaj ciclic

Un dozimetru afișează doza acumulată pe o scală ciclică de $20$ de unități: după unitatea $19$ afișajul revine la $0$ . Acul arată acum $17$ și instrumentul mai înregistrează $26$ de unități. Ce va arăta afișajul?

Rezolvare. Fiecare unitate înregistrată adaugă $\hat{1}$ , deci cele $26$ de unități adaugă clasa $26$ . Lucrăm în $(Z_{20}, +)$ :

$17 + 26 = 43 = 3,$

fiindcă $43 = 20 \cdot 2 + 3$ . Afișajul va arăta $3$ unități.

Atenție la citire: afișajul arată $3$ , dar doza reală acumulată de la ultima resetare este de $43$ de unități. Modelul păstrează poziția acului, nu mărimea fizică — de aceea, la un dozimetru adevărat, se notează și de câte ori a trecut afișajul prin zero.

Exemplul 5 — Când sunt două scrieri aceeași clasă?

Stabilește dacă $86 = 26$ în $Z_{15}$ și dacă egalitatea se păstrează în $Z_{18}$ .

Rezolvare. Folosim criteriul: $\overset{a}{^} = \hat{b}$ exact când $n$ divide $a - b$ . Aici $86 - 26 = 60$ .

În $Z_{15}$ : $60 = 15 \cdot 4$ , deci $15$ divide $60$ și egalitatea este adevărată. Control: $86 = 15 \cdot 5 + 11$ și $26 = 15 \cdot 1 + 11$ , deci ambele clase sunt $11$ .

În $Z_{18}$ : $60 = 18 \cdot 3 + 6$ , deci $18$ nu divide $60$ , iar egalitatea este falsă. Control: $86 = 18 \cdot 4 + 14$ , deci $86 = 14$ , în timp ce $26 = 18 \cdot 1 + 8$ , deci $26 = \hat{8}$ . Două clase diferite.

Aceeași pereche de numere dă, așadar, clase egale la un modul și diferite la altul: modulul face parte din enunț.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră grupul aditiv $(Z_{18}, +)$ .

a) Calculează $13 + 11$ .

b) Determină opusul clasei $13$ .

c) Calculează $13 + 13 + 13$ și precizează ce clasă trebuie adunată la rezultat pentru a obține $\hat{0}$ .

Rezolvare. a) $13 + 11 = 24$ , iar $24 = 18 \cdot 1 + 6$ , deci rezultatul este $\hat{6}$ .

b) Din formula opusului, $- 13 = 18 - 13 = \hat{5}$ . Proba: $13 + 5 = 18$ , deci suma claselor este $\hat{0}$ .

c) Adunăm reprezentanții: $13 + 13 + 13 = 39$ , iar $39 = 18 \cdot 2 + 3$ , deci $13 + 13 + 13 = \hat{3}$ . Clasa care adunată la $\hat{3}$ dă $\hat{0}$ este opusul lui $\hat{3}$ , adică $18 - 3 = 15$ . Control: $3 + 15 = 18$ .

Să exersăm

Scrie modulul o singură dată, la începutul rezolvării, și redu fiecare rezultat la una dintre cele $n$ clase. La opuse, folosește formula $- \overset{a}{^} = n - a$ și fă proba adunând reprezentanții.

1. Scrie clasele $29$ și $- 4$ ca una dintre cele $15$ clase ale lui $Z_{15}$ .

2. Calculează $\hat{9} + \hat{8}$ în $(Z_{15}, +)$ .

3. Câte elemente are $Z_{20}$ și care sunt prima și ultima clasă din scrierea obișnuită?

4. Determină opusul clasei $\hat{6}$ în $(Z_{20}, +)$ și fă proba.

5. În tabla lui $(Z_{6}, +)$ , rândul clasei $\hat{3}$ este $\hat{3}, \hat{4}, \hat{5}, \hat{0}, \hat{1}, \hat{2}$ . Scrie rândul clasei $\hat{4}$ folosind regula deplasării, apoi verifică prin calcul celula din coloana $\hat{5}$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) În $(Z_{22}, +)$ există o clasă diferită de $\hat{0}$ care este propriul ei opus.

7. Calculează $14 + 14 + 14$ în $(Z_{18}, +)$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $(Z_{20}, +)$ este grup comutativ, parcurgând cele patru condiții, și precizează elementul neutru și opusul clasei $\hat{7}$ .

9. Scrie clasa numărului $- 31$ în $Z_{18}$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă două numere întregi dau aceeași clasă în $Z_{18}$ , atunci ele dau aceeași clasă și în $Z_{6}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $(Z_{24}, +)$ : a) calculează $16 + 21$ ; b) determină opusul clasei $16$ .

12. (Problemă aplicată.) Un laborator păstrează probele în $18$ congelatoare numerotate de la $0$ la $17$ , iar regula de depozitare spune că proba cu numărul $k$ merge în congelatorul al cărui număr este restul lui $k$ la împărțirea cu $18$ . În ce congelator ajunge proba cu numărul $247$ ? Scrie trei numere de probă care ajung în același congelator cu ea și spune ce condiție de laborator nu se citește din model.

13. Ce clasă trebuie adunată la $13$ în $(Z_{20}, +)$ pentru a obține $\hat{4}$ ? Justifică folosind opusul.

14. În tabla lui $(Z_{6}, +)$ , scrie toate celulele antidiagonalei care trece prin celula din linia $\hat{2}$ și coloana $\hat{3}$ , și precizează ce clasă stă pe ea.

15. Explică de ce clasa $n - a$ este tot una dintre cele $n$ clase ale lui $Z_{n}$ , pentru orice $a$ cu $1 \leq a \leq n - 1$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $(Z_{18}, +)$ : a) scrie clasa numărului $100$ ; b) determină opusul ei.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) Restul împărțirii sumei $a + b$ la $n$ este egal cu suma resturilor lui $a$ și $b$ la împărțirea cu $n$ .

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $n \geq 2$ și orice clase $\overset{a}{^}$ , $\hat{b}$ din $Z_{n}$ , are loc egalitatea $(- \overset{a}{^}) + (- \hat{b}) = - (\overset{a}{^} + \hat{b})$ . Verific-o apoi în $Z_{18}$ , pentru $a = 13$ și $b = 8$ .

Răspunsuri și explicații

1. $29 = 15 \cdot 1 + 14$ , deci $29 = 14$ . Pentru $- 4$ : $- 4 = 15 \cdot (- 1) + 11$ , deci $- 4 = 11$ . Restul rămâne pozitiv, chiar dacă numărul de la care pornești este negativ.

2. $\hat{9} + \hat{8} = 17$ , iar $17 = 15 \cdot 1 + 2$ , deci rezultatul este $\hat{2}$ .

3. $card Z_{20} = 20$ ; prima clasă este $\hat{0}$ , ultima este $19$ . Clasa $20$ ar fi tot $\hat{0}$ , deci nu aduce un element nou.

4. $- \hat{6} = 20 - 6 = 14$ . Proba: $6 + 14 = 20$ , deci $\hat{6} + 14 = 20 = \hat{0}$ .

5. În $(Z_{6}, +)$ , deplasând rândul lui $\hat{3}$ cu o poziție la stânga și aducând primul element la coadă, rândul lui $\hat{4}$ este $\hat{4}, \hat{5}, \hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}$ . Verificare pe coloana $\hat{5}$ : $\hat{4} + \hat{5} = \hat{9} = \hat{3}$ , exact ultima celulă scrisă.

6. Adevărat. Lucrăm în $Z_{22}$ și căutăm $a$ cu $- \overset{a}{^} = \overset{a}{^}$ , adică $22 - a = \overset{a}{^}$ ; după criteriul de egalitate a claselor, $22$ trebuie să dividă $(22 - a) - a = 22 - 2 a$ , deci și $2 a$ , de unde $a = 11$ . Clasa căutată este $11$ , iar proba e imediată: $11 + 11 = 22$ , deci $11 + 11 = \hat{0}$ . La un modul impar nu s-ar găsi nicio astfel de clasă în afară de $\hat{0}$ : din $n$ divide $2 a$ și $n$ impar ar rezulta că $n$ divide chiar pe $a$ .

7. $14 + 14 + 14 = 42$ , iar $42 = 18 \cdot 2 + 6$ , deci rezultatul este $\hat{6}$ .

8. Pasul 0: suma a două clase modulo $20$ este tot o clasă modulo $20$ . Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la adunarea numerelor întregi, prin $(a + b) + c = a + (b + c)$ . Pasul 2: $\overset{a}{^} + \hat{0} = \hat{0} + \overset{a}{^} = \overset{a}{^}$ , deci $e = \hat{0}$ . Pasul 3: orice clasă $\overset{a}{^}$ are opusul $20 - a$ . Comutativitatea vine din $a + b = b + a$ . Deci $(Z_{20}, +)$ este grup comutativ, cu $e = \hat{0}$ și $- \hat{7} = 13$ ; proba: $7 + 13 = 20$ .

9. În $Z_{18}$ : $- 31 = 18 \cdot (- 2) + 5$ , deci $- 31 = \hat{5}$ . Control: $5 - (- 31) = 36$ , iar $36$ se divide cu $18$ .

10. Adevărat. Din criteriul de egalitate a claselor, dacă cele două numere dau aceeași clasă în $Z_{18}$ , atunci $18$ divide diferența lor; cum $6$ divide $18$ , el divide și diferența, deci clasele coincid și modulo $6$ . Reciproca este însă falsă: $2$ și $8$ dau aceeași clasă în $Z_{6}$ , fiindcă $6$ divide $2 - 8 = - 6$ , dar $18$ nu divide $- 6$ , deci în $Z_{18}$ clasele lor sunt diferite.

11. a) $16 + 21 = 37$ , iar $37 = 24 \cdot 1 + 13$ , deci rezultatul este $13$ . b) $- 16 = 24 - 16 = \hat{8}$ ; proba: $16 + 8 = 24$ .

12. $247 = 18 \cdot 13 + 13$ , deci proba ajunge în congelatorul $13$ . În același congelator ajung toate probele al căror număr este în clasa $13$ modulo $18$ , de pildă $13$ , $31$ și $49$ . Nu se citește din model capacitatea congelatorului: algebra spune unde ar trebui pusă proba, nu dacă mai este loc acolo.

13. Notăm cu $\overset{x}{^}$ clasa căutată. Adunând opusul lui $13$ , adică $\hat{7}$ , la clasa-țintă $\hat{4}$ , obținem $\overset{x}{^} = \hat{4} + \hat{7} = 11$ . Control: $13 + 11 = 24 = \hat{4}$ , fiindcă $24 = 20 + 4$ .

14. Celulele sunt cele în care suma claselor este $\hat{2} + \hat{3} = \hat{5}$ , adică perechile $(\hat{0}, \hat{5})$ , $(\hat{1}, \hat{4})$ , $(\hat{2}, \hat{3})$ , $(\hat{3}, \hat{2})$ , $(\hat{4}, \hat{1})$ și $(\hat{5}, \hat{0})$ — șase celule, pe toate stând clasa $\hat{5}$ .

15. Din $1 \leq a \leq n - 1$ rezultă, scăzând din $n$ , că $1 \leq n - a \leq n - 1$ . Deci $n - a$ este chiar unul dintre resturile posibile la împărțirea cu $n$ , iar $n - a$ este una dintre cele $n$ clase, fără să mai fie nevoie de vreo reducere.

16. a) $100 = 18 \cdot 5 + 10$ , deci clasa lui $100$ este $10$ . b) $- 10 = 18 - 10 = \hat{8}$ ; proba: $10 + 8 = 18$ .

17. Fals. Suma resturilor poate ieși din mulțimea ${0, 1, \dots, n - 1}$ , iar atunci ea nu mai este un rest. În $Z_{20}$ , pentru $a = 27$ și $b = 34$ , resturile sunt $7$ și $14$ , cu suma $21$ ; dar $27 + 34 = 61 = 20 \cdot 3 + 1$ , deci restul sumei este $1$ . Egalitatea corectă este între clase: $27 + 34 = 61 = \hat{1}$ , iar $21$ și $1$ stau în aceeași clasă modulo $20$ — suma resturilor trebuie ea însăși redusă.

18. Din formula opusului, $- \overset{a}{^} = n - a$ și $- \hat{b} = n - b$ , deci suma lor este $2 n - a - b$ . Pe de altă parte, $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ , al cărui opus este $n - (a + b)$ . Cele două clase coincid, fiindcă diferența reprezentanților este $(2 n - a - b) - (n - a - b) = n$ , care se divide cu $n$ . Verificare în $Z_{18}$ : $- 13 = \hat{5}$ și $- \hat{8} = 10$ , cu suma $\hat{5} + 10 = 15$ ; pe celălalt drum, $13 + \hat{8} = 21 = \hat{3}$ , iar $- \hat{3} = 15$ . Aceeași clasă.

De reținut

Clasa $\overset{a}{^}$ modulo $n$ este mulțimea numerelor întregi care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$ ; două scrieri arată aceeași clasă exact când $n$ divide diferența reprezentanților.
Mulțimea $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ are $card Z_{n} = n$ elemente, iar adunarea se face prin $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ și nu depinde de reprezentanții aleși.
$(Z_{n}, +)$ este grup comutativ: legea e internă, asociativitatea și comutativitatea se moștenesc de la numerele întregi, elementul neutru este $\hat{0}$ , iar opusul este $- \overset{a}{^} = n - a$ .
Într-o tablă de adunare, fiecare rând este rândul dinainte deplasat cu o poziție, iar pe fiecare antidiagonală stă o singură clasă — două verificări rapide de control.
Tabla nu arată asociativitatea: ea leagă trei elemente, nu două; asociativitatea se moștenește sau se demonstrează, niciodată nu se „citește".

Greșeli frecvente

Numărarea cu unul în plus. Mulți scriu că $Z_{n}$ are $n + 1$ elemente, „de la $\hat{0}$ la $\overset{n}{^}$ ". Resturile împărțirii cu $n$ sunt $0, 1, \dots, n - 1$ , deci clasele distincte sunt $n$ , iar $\overset{n}{^}$ este chiar $\hat{0}$ .
Restul negativ. La reducerea unei clase cu reprezentant negativ se scrie, din grabă, $- 5 = - 5$ în loc de $10$ în $Z_{15}$ . Restul unei împărțiri este întotdeauna în ${0, 1, \dots, n - 1}$ ; dacă ți-a ieșit negativ, adaugă modulul.
Citirea neutrului de pe diagonală. Elementul neutru se recunoaște după linia care reproduce antetul, nu după diagonala principală; pe diagonală poate apărea $\hat{0}$ și în dreptul altor clase.
Credința că tabla dovedește asociativitatea. Tabla arată compuneri de câte două elemente; asociativitatea leagă trei. Într-o lucrare se scrie de unde se moștenește, altfel pasul rămâne nejustificat.
Scrierea unei clase fără modul. „ $\hat{3}$ " nu înseamnă nimic în sine: aceeași notație arată mulțimi diferite în module diferite. Modulul se anunță o dată și nu se schimbă pe parcursul rezolvării.

Aplică acasă

Calendarul fermei. Alege un ciclu de rotație cu patru culturi și scrie, pentru anii de la $1$ la $20$ , restul împărțirii la $4$ . Grupează anii după rest, numără câți ani intră în fiecare grupă și verifică pe listă că doi ani din aceeași grupă au întotdeauna diferența divizibilă cu $4$ .
Tabla scrisă dintr-un rând. Scrie doar primul rând al tablei adunării în $Z_{7}$ , apoi completează restul numai prin deplasare, fără să aduni. Verifică trei celule prin calcul direct și încă trei folosind constanța antidiagonalelor.
Modulul contează. Ia perechea de numere $58$ și $22$ și stabilește, pentru fiecare modul $n$ de la $2$ la $12$ , dacă $58 = 22$ . Notează pentru care module egalitatea are loc și explică ce au în comun acele valori ale lui $n$ cu diferența $58 - 22$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul înțelege că o clasă de resturi e o mulțime de numere întregi; dacă reduce corect orice scriere la una dintre cele $n$ clase, inclusiv pornind de la numere negative; și dacă parcurge cele patru condiții spunând, la fiecare, de unde vine proprietatea. Ultimul punct e cel mai des sărit.

Dificultatea reală nu este aritmetica, ci trecerea de la un obiect la o mulțime de obiecte: un elev care a înțeles spune fără ezitare că $17$ și $\hat{1}$ sunt aceeași clasă în $Z_{4}$ , dar că $17$ și $1$ rămân numere diferite.

Întrebări de control: „Câte elemente are $Z_{20}$ ?"; „Cum afli opusul unei clase?"; „De ce rezultatul adunării nu depinde de reprezentanți?"; „Ce se citește dintr-o tablă și ce nu?".

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027, 2028 și 2029. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche, iar programa lor de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la elementele de algebră ale clasei a XII-a, rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ "; la proba scrisă, ea intră în partea de algebră, adică la Subiectul al II-lea. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) structurile algebrice nu mai apar deloc în lista de conținuturi a clasei a XII-a, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează în programa de examen. Pentru prima promoție care învață după programa nouă, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este clasa de resturi $\overset{a}{^}$ modulo $n$ ?

Este mulțimea tuturor numerelor întregi care dau același rest ca $a$ la împărțirea cu $n$ , adică $\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}$ . În $Z_{15}$ , clasa $\hat{7}$ conține numerele $7$ , $22$ , $37$ , dar și $- 8$ . Clasele distincte sunt exact $n$ la număr și formează mulțimea $Z_{n}$ .

Câte elemente are $Z_{n}$ și cum se scriu ele?

Are exact $n$ elemente: $\hat{0}$ , $\hat{1}$ , până la $n - 1$ . Nu există o clasă $\overset{n}{^}$ nouă, pentru că $n$ dă restul $0$ , deci $\overset{n}{^} = \hat{0}$ . Notația este cu căciulă deasupra, iar pentru expresii mai lungi se folosește căciula lungă, ca în $n - a$ .

Cum aflu opusul unei clase de resturi?

Folosești formula $- \overset{a}{^} = n - a$ , valabilă pentru $1 \leq a \leq n - 1$ ; opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$ . De exemplu, în $Z_{24}$ opusul clasei $\hat{7}$ este $17$ . Proba se face imediat: suma reprezentanților trebuie să dea exact modulul, aici $7 + 17 = 24$ . O clasă nenulă egală cu propriul opus există doar când $n$ este par: este clasa lui $\frac{n}{2}$ .

De ce este $(Z_{n}, +)$ grup comutativ?

Pentru că adunarea claselor este internă, este asociativă și comutativă — ambele moștenite de la numerele întregi —, are elementul neutru $\hat{0}$ și fiecare clasă are opusul $n - a$ . Sunt exact condițiile din definiția grupului, iar niciuna nu cere un calcul nou. Neutrul, opusele și comutativitatea se citesc și din tabla adunării: tabla este simetrică față de diagonala principală, iar $\hat{0}$ apare o dată pe fiecare linie.

De ce nu depinde rezultatul adunării de reprezentanții aleși?

Pentru că, dacă $\overset{a}{^} = a^{'}$ și $\hat{b} = b^{'}$ , atunci $n$ divide pe $a - a^{'}$ și pe $b - b^{'}$ , deci divide și suma acestor diferențe, care este $(a + b) - (a^{'} + b^{'})$ . După criteriul de egalitate a claselor, asta înseamnă $a + b = a^{'} + b^{'}$ . Proprietatea se numește buna definire a operației. Fără ea, „suma a două clase" ar putea avea mai multe valori și nu ar fi o lege de compoziție.

Ce se citește dintr-o tablă de adunare și ce nu?

Se citesc: rezultatul unei adunări (o celulă), elementul neutru (linia care reproduce antetul), opusele (celulele cu $\hat{0}$ ) și comutativitatea (simetria față de diagonala principală). Nu se citește asociativitatea, care leagă trei clase, nu două. Mai sunt utile două controale: fiecare rând este cel dinainte deplasat cu o poziție, iar pe fiecare antidiagonală stă o singură clasă.

Prin ce diferă tema aceasta de cea de la mate-info (M1)?

La matematică-informatică, clasele de resturi ocupă trei lecții și se studiază cu amândouă operațiile: se construiește și înmulțirea claselor, se determină clasele inversabile și se rezolvă ecuații prin înmulțire cu inversul. Programa de examen M2 cere un singur rând, „grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ ", deci aici se lucrează numai cu adunarea. Pentru comparație, varianta completă de acolo: Clasele de resturi cu amândouă operațiile, la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, cel de algebră; acolo își are locul și grupul aditiv al claselor de resturi, cu cerințe scurte, de câte cinci puncte. Modelul publicat pentru sesiunea 2026 are însă aici o problemă cu matrice și una cu un polinom, fără structuri algebrice: tema se învață pentru că o cere programa. Vezi și Grupuri de matrice și Morfisme și izomorfisme de grupuri.