Care dintre matricele de mai jos nu aparține grupului $$GL_2(\mathbb{R})$$?

$$\begin{pmatrix}12&8\\9&6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}6&5\\7&6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}0&9\\-4&0\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}13&5\\5&2\end{pmatrix}$$

Ce determinant are inversa unei matrice din GL₂(ℝ)?

Inversul determinantului: det(A⁻¹)= 1/(det A), fiindcă det A·det(A⁻¹)=det I₂=1. O matrice cu determinantul 4 are inversa cu determinantul 1/4, tot nenul, deci inversa rămâne în GL₂(ℝ). Dacă determinantul ar fi zero, inversa nici nu ar exista.

Cum rezolv ecuația AX = B cu matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupuri de matrice

Dacă $A$ este inversabilă, adică $det A \neq = 0$ , înmulțești la stânga cu $A^{- 1}$ și obții $X = A^{- 1} B$ . Ordinea contează, fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă. Exemplu: $A = (2111)$ , cu $det A = 1$ și $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ , iar $B = (3221)$ . Rezultă $X = (1110)$ ; verificare: $A X = B$ . Dacă necunoscuta ar sta în stânga, ca în $X A = B$ , soluția ar fi $X = B A^{- 1}$ .

Ce se schimbă. Socotelile rămân cele deprinse la clasa a XI-a; ce se adaugă e întrebarea despre structura unei mulțimi de matrice. Mutarea parantezelor nu se redemonstrează niciodată: ea se moștenește, într-un rând.

Grupul mare. $M_{2} (R)$ nu e grup față de înmulțire, fiindcă o matrice cu determinantul nul nu se poate „da la o parte”. Scoțându-le, rămâne $G L_{2} (R) = {A ∣ det A \neq = 0}$ , care e grup: $det (A B) = det A \cdot det B$ ține produsul înăuntru, $det I_{2} = 1$ , iar $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ e tot nenul. Grupul nu e comutativ, deci ecuațiile $A \cdot X = B$ și $X \cdot A = B$ au soluțiile $A^{- 1} B$ , respectiv $B A^{- 1}$ : necunoscuta se eliberează din partea în care stă.

Familiile cu parametru. Primul rând scris e formula produsului, $A (x) \cdot A (y) = A (x * y)$ . Din ea ies apartenența produsului, elementul neutru și simetricul, rezolvând ecuații în parametru. Elementul neutru se caută, nu se recunoaște: el poate fi altceva decât $I_{2}$ și poate avea chiar determinantul nul, caz în care criteriul determinantului nu mai decide nimic.

Capcana. Se verifică primii trei pași și se scrie concluzia; cade tocmai al patrulea.

De reținut

$G L_{2} (R)$ : matricele cu determinantul nenul, grup la înmulțire
$A X = B$ are soluția $X = A^{- 1} B$ ; $X A = B$ are soluția $X = B A^{- 1}$
$det (A B) = det A \cdot det B$

Greșeala tipică

Se scrie soluția ecuației $A X = B$ ca $X = B A^{- 1}$ ; înmulțirea matricelor nu e comutativă, iar pentru necunoscuta din dreapta se înmulțește la stânga: $X = A^{- 1} B$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre matricele de mai jos nu aparține grupului $G L_{2} (R)$ ?
- a) $(6756)$
- b) $(12986)$
- c) $(0 - 4 90)$
- d) $(13552)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(12986)$

Determinanții sunt: $36 - 35 = 1$ ; $72 - 72 = 0$ ; $0 - (- 36) = 36$ ; $26 - 25 = 1$ . Numai a doua are determinantul nul, deci numai ea nu are simetric față de $I_{2}$ și rămâne în afara grupului. Se vede și direct: a doua linie a ei este prima înmulțită cu $\frac{3}{4}$ .
Se notează $W (a) = (a 0 a 0)$ , cu $a$ număr real nenul. Produsul $W (a) \cdot W (b)$ este:
- a) $W (a + b)$
- b) $W (2 ab)$
- c) $W (ab)$
- d) $W (a^{2} b)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $W (ab)$

Înmulțim: pe prima linie ies $a \cdot b + a \cdot 0 = ab$ și $a \cdot b + a \cdot 0 = ab$ , iar linia a doua rămâne nulă. Deci $W (a) \cdot W (b) = (ab 0 ab 0) = W (ab)$ . Formula aceasta e cheia: din ea ies toți pașii următori, iar din $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$ rezultă $ab \neq = 0$ .
Fie $G = {W (a) ∣ a \in R^{*}}$ , unde $W (a) = (a 0 a 0)$ . Elementul neutru al grupului $(G, \cdot)$ este:
- a) $W (1)$
- b) $I_{2}$
- c) $O_{2}$
- d) $W (\frac{1}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $W (1)$

Căutăm parametrul $u$ cu $W (a) \cdot W (u) = W (a)$ pentru orice $a$ ; din formula produsului condiția devine $a u = a$ , deci $u = 1$ și elementul neutru este $W (1) = (1010)$ , care aparține lui $G$ . Varianta b) e greșită fiindcă $I_{2}$ nici măcar nu aparține lui $G$ ; c) ar cere parametrul $0$ , iar $G$ e format numai din matrice cu parametru nenul; d) ar fi răspunsul dacă formula produsului ar avea un factor $2$ .

Întrebări conexe

Formează grup matricele $(10 a 1)$ la înmulțire?

Da. Notând matricea cu $A (a)$ , produsul este $A (a) A (b) = A (a + b)$ , deci mulțimea e stabilă. Asociativitatea se moștenește, neutrul este $A (0) = I_{2}$ , iar inversa lui $A (a)$ este $A (- a)$ . Grupul este chiar comutativ.

Ce determinant are inversa unei matrice din $G L_{2} (R)$ ?

Inversul determinantului: $det (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t A}$ , fiindcă $det A \cdot det (A^{- 1}) = det I_{2} = 1$ . O matrice cu determinantul $4$ are inversa cu determinantul $\frac{1}{4}$ , tot nenul, deci inversa rămâne în $G L_{2} (R)$ . Dacă determinantul ar fi zero, inversa nici nu ar exista.

Este comutativ grupul $G L_{2} (R)$ ?

Nu. Pentru $A = (1011)$ și $B = (1101)$ , $A B = (2111)$ , iar $B A = (1112)$ . De aceea $A X = B$ și $X A = B$ au soluții diferite. O singură pereche care nu comută ajunge ca să arăți că grupul nu e comutativ.

Formează grup matricele de rotație?

Da. Matricea rotației de unghi $t$ este $R (t) = (cos t sin t - sin t cos t)$ , iar $R (s) R (t) = R (s + t)$ : două rotații succesive fac o rotație cu suma unghiurilor. Neutrul este $R (0) = I_{2}$ , iar inversa este $R (- t)$ . Grupul apare în fizică și în grafica pe calculator.

Pentru ce $m$ matricea $(m 2 2 m)$ nu este în $G L_{2} (R)$ ?

Când determinantul ei, $m^{2} - 4$ , se anulează, adică pentru $m = 2$ sau $m = - 2$ . Pentru orice altă valoare matricea este inversabilă și aparține grupului. Determinantul se calculează ca diferența produselor de pe diagonale: $m \cdot m - 2 \cdot 2$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuația matriceală AX = B · cum se rezolvă o ecuație cu matrice · X egal A la minus 1 ori B · ecuații matriceale în GL2

Cum rezolv ecuația AX = B cu matrice?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Formează grup matricele (10​a1​) la înmulțire?

Ce determinant are inversa unei matrice din GL2​(R)?

Este comutativ grupul GL2​(R)?

Formează grup matricele de rotație?

Pentru ce m matricea (m2​2m​) nu este în GL2​(R)?

Continuă cu

Formează grup matricele $(10 a 1)$ la înmulțire?

Ce determinant are inversa unei matrice din $G L_{2} (R)$ ?

Este comutativ grupul $G L_{2} (R)$ ?

Pentru ce $m$ matricea $(m 2 2 m)$ nu este în $G L_{2} (R)$ ?